1
Przykładowe zadania na kolokwium
– proszę przynieść na kolokwium
mały kalkulator – korzystanie z telefonów i rozbudowanych kalkulatorów
nie będzie dozwolone!
(W poniższy tekst i rozwiązania mogły zakraść się błędy – jeśli
ktoś je znajdzie, to „+” gwarantowany)
1. Na klocek działają dwie siły:
i
. (a) Znajdź
wektor siły wypadkowej. (b) Znajdź kąt, jaki tworzą wektory i .
Odp. (a)
. (b) cos =0,236 (wskazówka: z iloczynu skalarnego
wektorów
.
)
2. Przyjrzyj się wektorom
na rysunku. (a) Rozłóż je na wektory
składowe, znajdź ich współrzędne. Zapisz te wektory posługując się
wersorami
,
. Oblicz wartośd wektora (b) Znajdź prędkośd ciała
1 względem 2, zaznacz ten wektor na rysunku.
Odp. (a)
.
,
.
wartośd
. (b)
3. Wartośd wektora położenia ciała A wynosi r
A
=4,0cm, a kąt jaki tworzy z osią x jest równy 120
o
. (a) Znajdź jego
współrzędne (patrz: dw.1 wzór 2). Narysuj ten wektor.
Położenie ciała B dane jest wektorem
. (b) Narysuj ten wektor. Znajdź wektor
przemieszczenia ciała B względem ciała A i narysuj go na wykresie.
Odp. (a)
. (b)
4. Z balonu, którego położenie chwilowe dane jest wektorem
w chwili t=0 wyskakuje spadochroniarz i jego położenie
opisuje wektor
.
(a) Znajdź wektor przemieszczenia spadochroniarza względem balonu. (b) Oblicz odległośd spadochroniarza od
balonu po upływie 2,0s. (c) Jeśli oś z skierowana jest pionowo, to po jakim czasie spadochroniarz spadnie na
ziemię? (Biedaczek, nie otworzył mu się spadochron!) (d) Znajdź wektory prędkości balonu i skoczka. (e) Znajdź
przyspieszenia balonu i skoczka.
Odp. (a)
. (b) d=20m. (c) t 4,46s.
(d)
,
.
(e)
,
.
5. Ruch ciała opisany jest układem równao:
,
,
. (a) Znajdź wektor
prędkości i (b) wektor przyspieszenia ciała. (c) Oblicz kąt między wektorem przyspieszenia i prędkości.
Odp. (a)
. (b)
. (c)
.
5,0m/s
v
x
[m/s]
v
y
[m/s]
1
1
?
2
6. Ciało porusza się po torze danym równaniem :
. Wiadomo, że współrzędna
.
(a) Znajdź zależnośd
(wskazówka: dwicz.2, zad.4). Zapisz wektor położenia. Znajdź (b) wektor prędkości
chwilowej i (c) przyspieszenia chwilowego.
Odp. (a)
,
. (b)
.
(c)
.
7. Do kooca nieważkiej i nierozciągliwej liny przerzuconej przez nieruchomy
bloczek umocowany jest klocek o masie m
1
. Drugi koniec liny przywiązano do
klocka o masie m
2
, znajdującego się na równi pochyłej o kącie nachylenia .
Przyjmij, że w czasie ruchu drugiego klocka w dół równi współczynnik tarcia
wynosi f. (a) Zaznacz wektory sił działających na każdy z klocków oraz zapisz
dla każdego z nich równanie ruchu (drugie prawo Newtona). (b) Oblicz
przyspieszenie klocka o masie m
2
oraz szybkośd jaką osiągnie po
przemieszczeniu się o odcinek d licząc od podstawy równi. (Patrz: zad.2, str.74 w [1], dwicz.3, zad.1).
8. Dwie skrzynie połączone ze sobą nieważką i nierozciągliwą liną mogą przesuwad się po powierzchni
stołu. Pierwsza skrzynia jest ciągnięta siłą
. Współczynnik tarcia w czasie ruchu skrzynek przyjmij równy f,
ich masy M i m. (a) Z jakimi oddziaływaniami masz do czynienia w powyższym zadaniu? (b) Znajdź wypadkowe sił
działających na skrzynie oraz zapisz równania ruchu, oblicz przyspieszenia oraz prędkości. (c) Oblicz siłę naciągu
liny między skrzyniami.
Wskazówka: Zamiast klocka zwisającego na linie mamy drugi klocek na płaszczyźnie stołu. Wyobraź sobie, że w
zadaniu 1 dw.3 kąt jest równy 0 i pojawia się dodatkowo siła
.
9. Przez nieruchomy blok przerzucona jest nieważka nierozciągliwa lina, której kooców
uczepiły się dwie małpki o masach m
1
= 0,5kg i m
2
=0,6kg
. (a) Znajdź siły działające na małpki
i zapisz dla każdej z nich równanie ruchu. (b) Oblicz przyspieszenie pierwszej małpki i jej
prędkośd względem ziemi, jeśli wiadomo, że wspina się w górę liny ze stałą prędkością
.
Wskazówka: W zadaniu 1 dw.1 znika równia, zostaje bloczek, przez który przerzucona jest
lina, a zamiast skrzyni przyczepiona jest do drugiego kooca liny małpka!
10. Kuleczka o masie m
0
i ładunku dodatnim q wpada w punkcie P(x
0
, y
0
, 0) z prędkością
w
jednorodne, stałe pole elektryczne o natężeniu
)
0
,
,
0
(
0
0
E
E
. Opory ruchu kuleczki zaniedbujemy, ale
uwzględniamy siłę ciężkości (skierowaną wzdłuż osi z). (a) Zaznacz wektory sił działających na kuleczkę, napisz dla
niej drugą zasadę Newtona (równanie ruchu) oraz warunki początkowe. (b) Znajdź składowe wektora prędkości i
położenia kuleczki
.(Wskazówka: dw.3, zad.4)
11. Po powierzchni stołu porusza się klocek o masie m (traktowany jako punkt materialny). Jeśli w chwili
początkowej prędkośd klocka wynosiła
0,0)
,
(
0
0
v
v
i znajdował się on a punkcie P (x
0
, y
0
, z
0
) i uwzględnimy siłę
tarcia (współczynnik tarcia f), to jak będzie wyglądało równanie ruchu klocka i warunki początkowe? Znajdź
prędkośd klocka i jego wektor położenia. Oblicz czas, po którym się zatrzyma.
Wskazówka: równanie ruchu ma
postad:
, ale
, a siła tarcia hamuje ruch klocka. Zastosowad odpowiednie
wyrażenia na prędkośd i położenie w ruchu jednostajnie opóźnionym.
m
2
m
1
R
t
F
T
g
m
1
3
12. Po powierzchni stołu porusza się klocek o masie m (traktowany jako punkt materialny), na który działa siła
skierowana pod kątem do poziomu. Jeśli w chwili początkowej prędkośd klocka wynosiła
0)
,
(
0
0
v
v
i
znajdował się on a punkcie P (x
0
, y
0
)) i uwzględnimy siłę tarcia (współczynnik tarcia f), to jak będzie wyglądało
równanie ruchu klocka i warunki początkowe? Znajdź prędkośd klocka i jego wektor położenia. Oblicz czas, po
którym się zatrzyma.
Wskazówka: równanie ruchu ma postad:
, ale
, a o ruchu klocka
decyduje siła
. Podobny przykład był na wykładzie! Zastosowad odpowiednie wyrażenia na
prędkośd i położenie w ruchu jednostajnie przyspieszonym.