1

Algebra

Definicje, twierdzenia, własności, wzory

2

Definicja (działanie wewnętrzne, struktura algebraiczna)
Działaniem wewnętrznym dwuargumentowym określonym (wykonalnym) w niepustym zbiorze A
nazywamy każdą funkcję

A

A

A

f

→

×

:

Przyjmujemy oznaczenie:

b

a

b

a

f

o

=

)

,

(

Niepusty zbiór A z określonym działaniem wewnętrznym nazywamy strukturą algebraiczną i
oznaczamy

)

,

(

o

A

.

Definicja (grupa)
Strukturę

)

,

(

⊕

A

nazywamy grupą jeśli jednocześnie zachodzą warunki:

1.

)

(

)

(

,

,

c

b

a

c

b

a

A

c

b

a

⊕

⊕

=

⊕

⊕

∈

∧

- łączność

2.

A

e

∈

∨

a

e

a

a

e

A

a

=

⊕

=

⊕

∈

∧

- istnienie elementu neutralnego

3.

e

a

a

a

a

A

a

A

a

=

⊕

=

⊕

∈

∈

∨

∧

'

'

'

- istnienie elementu symetrycznego (a')

Jeśli ponadto zachodzi
4.

a

b

b

a

A

b

a

⊕

=

⊕

∈

∧

,

- przemienność

to

)

,

(

⊕

A

nazywamy grupą przemienną (inaczej grupą abelową).

Definicja (pierścień)
Jeśli w zbiorze

∅

≠

A

są określone dwa dwuargumentowe działania

⊕

oraz

⊗

, ponadto

)

,

(

⊕

A

jest

grupą przemienną i zachodzi
5.

)

(

)

(

,

,

c

b

a

c

b

a

A

c

b

a

⊗

⊗

=

⊗

⊗

∈

∧

- łączność działania

⊗

6.

)

(

)

(

)

(

,

,

c

b

c

a

c

b

a

A

c

b

a

⊗

⊕

⊗

=

⊗

⊕

∈

∧

- rozdzielność działania

⊗

względem

⊕

to

)

,

,

(

⊗

⊕

A

nazywamy pierścieniem.

Definicja (ciało)
Ciałem nazywamy pierścień

)

,

,

(

⊗

⊕

A

w którym zachodzi ponadto

7.

a

e

a

a

e

A

a

A

e

=

⊗

=

⊗

∈

∈

∧

∨

'

'

'

- istnienie elementu neutralnego działania

⊗

8.

}

{

'

ˆ

ˆ

ˆ

\

e

a

a

a

a

A

a

e

A

a

=

⊗

=

⊗

∈

∈

∨

∧

- istnienie elementu symetrycznego ( aˆ )

9.

a

b

b

a

A

b

a

⊗

=

⊗

∈

∧

,

- przemienność działania

⊗

Przyjęte są następujące oznaczenia i terminologia
Symbol

Oznaczenie

Określenie

⊕

+

dodawanie

⊗

•

mnożenie

e

0

element zerowy

e'

1

jedność

a'

-a

element przeciwny do a

aˆ

1

a

−

element odwrotny do a

3

Twierdzenie
Ciało zawiera co najmniej dwa elementy (

1

0

≠

). W ciele

)

,

,

(

•

+

K

0

0

0

,

=

∨

=

⇔

=

•

∈

∧

b

a

b

a

K

b

a

0

0

=

•

∈

∧

a

K

a

Rozważmy ciało

)

,

,

(

•

+

R

. Przyjmijmy, że

1

2

−

=

i

. Wtedy rozwiązaniem równania

1

2

−

=

x

są liczby

urojone i oraz –i.

Definicja (ciało liczb zespolonych)
Ciałem liczb zespolonych nazywamy zbiór liczb postaci

}

1

,

:

{

2

−

=

∧

∈

+

i

R

b

a

bi

a

z dodawaniem + i z

mnożeniem

•

.

Uwaga

}

1

,

:

{

2

−

=

∧

∈

+

=

i

R

b

a

bi

a

C

ozn

Twierdzenie
Ciało

)

,

,

(

•

+

C

jest to najmniejsze ciało (w sensie inkluzji) zawierające ciało

)

,

,

(

•

+

R

oraz liczbę

urojoną i

Definicja (ciało liczbowe)
Ciało

)

,

,

(

•

+

C

oraz każdy podzbiór C, który ze względu na działania + i

•

jest ciałem (podciało)

nazywamy ciałem liczbowym.

Twierdzenie
Najmniejszym ciałem liczbowym w sensie inkluzji jest ciało liczb wymiernych

)

,

,

(

•

+

Q

.

Twierdzenie (zasadnicze twierdzenie algebry)
Każdy wielomian stopnia dodatniego o współczynnikach zespolonych rozkłada się w C na czynniki
liniowe.

Definicja (struktury izomorficzne)
Dwie struktury algebraiczne nazywamy izomorficznymi jeśli istnieje funkcja odwzorowująca
wzajemnie jednoznacznie jedną strukturę na drugą zachowująca wszystkie działania.

Definicja (przestrzeń liniowa)
Niech

)

,

,

(

•

+

K

będzie ciałem liczbowym oraz

∅

≠

V

będzie grupą przemienną z pewnym działaniem

⊕

. Określmy ponadto działanie zewnętrzne

V

V

K

→

×

:

*

takie, że:

1.

v

b

v

a

v

b

a

K

b

a

V

v

*

*

*

)

(

,

⊕

=

+

∈

∈

∧

∧

2.

w

a

v

a

w

v

a

K

a

V

w

v

*

*

)

(

*

,

⊕

=

⊕

∈

∈

∧

∧

3.

)

*

(

*

*

)

(

,

v

b

a

v

b

a

K

b

a

V

v

=

•

∈

∈

∧

∧

4.

v

v

V

v

=

∈

∧

*

1

4

Wówczas strukturę

*)

,

,

,

(

K

V

⊕

nazywamy przestrzenią liniową (wektorową) nad ciałem K. Elementy

zbioru V nazywamy wektorami a elementy zbioru K nazywamy skalarami.

Definicja (macierz)
Rozważmy dwa podzbiory zbioru N (liczb naturalnych):

}

{

p

X

,

,

2

,

1

K

=

,

}

{

s

Y

,

,

2

,

1

K

=

oraz zbiór

C

K

⊂

. Macierzą o p wierszach oraz s kolumnach nazywamy funkcję

K

Y

X

→

×

:

Μ

.

Dla

X

i

∈

oraz

Y

j

∈

przyjmujemy

ij

m

j

i

=

)

,

(

M

.

Macierz zapisujemy w postaci tabeli

]

[

ij

m

=

M

.

Jeśli,

s

p

=

to macierz nazywamy kwadratową.

Liczby

ij

m nazywamy wyrazami macierzy M .

Macierz

]

[

ij

m

−

=

−

M

nazywamy przeciwną do

]

[

ij

m

=

M

.

Macierz dla której wszystkie wyrazy są zerami nazywamy zerową i oznaczamy Θ .
Macierz kwadratową dla której

a

m

ii

=

oraz

0

=

ij

m

dla

j

i

≠

nazywamy diagonalną.

Jeśli

1

=

a

, to macierz nazywamy jednostkową i oznaczamy I .

Macierz

]

[

ij

m

M

=

dla której

ji

ij

m

m

=

nazywamy symetryczną, a taką dla której

ji

ij

m

m

−

=

-

antysymetryczną.

Zbiór wszystkich macierzy o p wierszach i s kolumnach oznaczamy

ps

M .

Niech

ps

,

M

B

A

∈

oraz

K

x

∈

.

Definicja (suma macierzy)
Sumą macierzy

B

A

⊕

nazywamy macierz

]

[

ij

c

=

C

taką, że

ij

ij

ij

b

a

c

+

=

gdzie

]

[

ij

a

=

A

,

]

[

ij

b

=

B

.

Definicja (iloczyn macierzy przez skalar)
Iloczynem macierzy A przez skalar x (symbolicznie

A

⋅

x

) nazywamy macierz

]

[

ij

d

=

D

taką, że

ij

ij

a

x

d

⋅

=

.

Twierdzenie
Struktura

*)

,

,

,

(

K

ps

⊕

M

jest przestrzenią liniową.

Definicja (macierz transponowana)
Macierzą transponowaną do macierzy

]

[

ij

a

=

A

nazywamy macierz

]

[

ij

T

x

=

A

taką, że

ji

ij

a

x

=

.

Definicja (iloczyn macierzy)
Niech

nk

M

A

∈

oraz

kp

M

B

∈

,

]

[

ij

a

=

A

i

]

[

ij

b

=

B

. Iloczynem

B

A

⋅

nazywamy macierz

]

[

ij

c

=

C

taką,

ż

e

∑

=

•

=

k

t

tj

it

ij

b

a

c

1

.

5

Twierdzenie
Struktura

)

,

,

(

⋅

+

pp

M

jest pierścieniem nieprzemiennym

z jedynką.
Uwaga
Jedynką tego pierścienia jest macierz jednostkowa.

Twierdzenie
Iloczyn macierzy diagonalnych jest macierzą diagonalną.

Definicja (macierz odwracalna)
Macierz

pp

M

A

∈

(kwadratową) nazywamy odwracalną, jeśli istnieje macierz

pp

M

A

∈

−

1

taka, że

I

A

A

A

A

=

=

−

−

o

o

1

1

. Macierz

1

−

A nazywamy odwrotną do

A .

Uwaga
Macierz kwadratowa ma co najwyżej jedną macierz odwrotną.

Twierdzenie

A

A

=

T

T

)

(

A

A

=

−

−

1

1

)

(

T

T

T

)

(

A

B

B

A

o

o

=

-1

-1

-1

)

(

A

B

B

A

o

o

=

T

T

T

)

(

B

A

B

A

⊕

=

⊕

Definicja (wyznacznik)
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej

pp

M

A

∈

(oznaczenia det

A lub |A|).

nazywamy dla
p=1

]

[

11

a

=

A

11

det

a

=

A

p>1

]

[

ij

a

=

A

A

A

*

1

1

1

det

t

p

t

t

a

∑

=

=

gdzie

ij

j

i

ij

A

A

det

)

1

(

*

+

−

=

- jest to algebraiczne dopełnienie

ij

a

. Macierz

ij

A jest to macierz powstała z A

przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny. Wyznacznik

ij

A

det

nazywamy minorem stopnia

pierwszego macierzy A.

Twierdzenie Laplace’a: Niech A

∈

M

nn

oraz

Własności wyznaczników
1.

det A

T

= det A.







≠

=

=

+

+

+

j

i

j

i

A

A

a

A

a

A

a

jn

in

j

i

j

i

0

det

...

*

*

2

2

*

1

1







≠

=

=

+

+

+

j

i

j

i

A

A

a

A

a

A

a

nj

ni

j

i

j

i

0

det

...

*

*

2

2

*

1

1

6

2.

Jeżeli w wyznaczniku zamienimy miejscami dwa dowolne wiersze (kolumny), to wartość
wyznacznika zmieni się na przeciwną.

3.

Aby wyznacznik pomnożyć przez liczbę należy wszystkie elementy dowolnego wiersza (kolumny)
pomnożyć przez tę liczbę.

4.

Jeżeli w wyznaczniku wszystkie elementy znajdujące się nad (lub pod) diagonalą są równe zeru, to
wartość wyznacznika równa jest iloczynowi elementów diagonali. O takim wyznaczniku mówimy,
ż

e ma postać trójkątną.

5.

Jeżeli w wyznaczniku
a) wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) są równe zeru lub
b) dwa wiersze (kolumny) są identyczne lub
c) wszystkie elementy pewnego wiersza ( kolumny ) są proporcjonalne do odpowiednich
elementów innego wiersza (kolumny) lub
d) pewien wiersz (kolumna) jest kombinacją liniową pozostałych wierszy (kolumn) , to wartość
wyznacznika równa jest zeru.

6.

Jeżeli w wyznaczniku do elementów pewnego wiersza (kolumny) dodamy odpowiednie elementy
innego wiersza (kolumny) pomnożone przez jedną i tę samą liczbę, to wartość wyznacznika nie
ulegnie zmianie.

7.

Wyznacznik jest różny od zera wtedy i tylko wtedy, gdy jego wiersze (kolumny) są liniowo
niezależne.

8.

T

WIERDZENIE

C

AUCHY

'

EGO

. Jeżeli A i B są macierzami tego samego stopnia to

det(A·B) = detA·detB

Definicja (macierz nieosobliwa)
Macierz A nazywamy nieosobliwą jeśli

0

det

≠

A

.

Twierdzenie
Macierz jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy jest nieosobliwa.

Definicja
Macierz A nazywamy ortogonalną jeśli

T

1

A

A

=

−

.

Twierdzenie
Jeśli A jest ortogonalna to

1

det

=

A

oraz

1

−

A jest ortogonalna.

Definicja
Niech

nn

M

A

∈

,

[ ]

ij

a

=

A

,

[ ]

i

x

=

X

,

1

n

M

X

∈

,

[ ]

ij

b

=

B

,

1

n

M

B

∈

.Wówczas układ równań

AX=B

nazywamy układem Cramera jeśli

A jest nieosobliwa.

Twierdzenie Cramera
Jeżeli układ n równań liniowych o n niewiadomych, ma nieosobliwą macierz

A współczynników przy

niewiadomych, to układ ten ma jedyne rozwiązanie dane wzorami Cramera

,

,

...

,

2

,

1

,

det

n

i

dla

A

A

x

i

i

=

=

gdzie A

i

jest wyznacznikiem powstałym z wyznacznika macierzy

A, przez zastąpienie w nim kolumny

współczynników przy niewiadomej x

i

kolumną wyrazów wolnych.

7

Układ równań Cramera jest oznaczony.

Definicja (liniowa kombinacja)
Jeśli V jest przestrzenią liniową nad ciałem liczbowym K oraz

V

n

∈

α

α

β

,

,

,

1

L

to mówić będziemy, że

β

jest liniową kombinacją wektorów

n

α

α

,

,

1

L

jeśli istnieją skalary

K

a

a

n

∈

,

,

1

L

takie,

ż

e

i

n

i

i

a

α

β

∑

=

=

1

.

Definicja (wektory liniowo zależne)
Wektory

V

n

∈

α

α

,

,

1

L

nazywamy liniowo zależnymi jeśli istnieje ich liniowa kombinacja

o współczynnikach nie znikających jednocześnie, równa wektorowi zerowemu.
Wektory, które nie są liniowo zależne nazywamy liniowo niezależnymi.

Definicja
Zbiór wszystkich liniowych kombinacji wektorów

n

α

α

,

,

1

L

przestrzeni liniowej V jest przestrzenią

liniową (podprzestrzenią liniową V), oznaczamy ją

{

}

(

)

n

lin

α

α

,

,

1

L

.

Definicja (baza p-ni liniowej)
Bazą przestrzeni liniowej V nazywamy układ liniowo niezależnych wektorów

V

n

∈

α

α

,

,

1

L

taki, że

{

}

(

)

n

lin

V

α

α

,

,

1

L

=

.

Moc bazy nazywamy wymiarem V i oznaczamy dimV. Jeśli baza jest skończona (nieskończona)
mówimy, że V jest skończenie (nieskończenie) wymiarowa.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Jeżeli

n

K

∈

α

i jest zapisany w bazie kanonicznej oraz

α

′

oznacza ten sam wektor zapisany w nowej

bazie

n

n

K

∈

α

α

,

,

1

L

to zachodzi wzór:

α

α

1

−

=

′

B

, gdzie

1

,

n

M

∈

′

α

α

.

Definicja (rząd macierzy)
Niech

nm

M

A

∈

mówimy, że rzędem macierzy

A jest liczba t, rzA = t jeśli istnieje minor macierzy A

stopnia t, różny od zera oraz każdy minor stopnia większego niż t jest równy zero.

Twierdzenie
Niech

nm

M

A

∈

oraz

m

K

K

,

,

1

K

oznaczają kolumny A

[

]

(

)

m

K

K

A

,

,

1

K

=

to

{

}

(

)

m

K

K

lin

rz

,

,

dim

1

K

=

A

Własności rzędu macierzy

Poniższe operacje nie zmieniają rzędu macierzy (chociaż zmieniają samą macierz):

1.

transpozycja

2.

odrzucenie wiersza (kolumny) złożonego z samych zer

3.

pomnożenie lub podzielenie wszystkich elementów pewnego wiersza (kolumny) przez tę samą
liczbę różną od zera

4.

dodanie do elementów pewnego wiersza (kolumny) odpowiednich elementów innego wiersza
(kolumny) pomnożonych przez tę samą liczbę

5.

dodanie do elementów pewnego wiersza (kolumny) kombinacji liniowej odpowiednich elementów
pozostałych wierszy (kolumn)

6.

odrzucenie jednego z dwóch wierszy (kolumn) o odpowiednich elementach proporcjonalnych

8

7.

odrzucenie wiersza (kolumny) będącego kombinacją liniową pozostałych wierszy (kolumn).

Twierdzenie Kroneckera Capelliego
Niech

nm

M

A

∈

,

1

m

M

X

∈

,

1

n

Μ

B

∈

wówczas układ równań liniowych AX=B ma rozwiązanie wtedy i

tylko wtedy gdy rzA=rz[A|B] gdzie [A|B] jest to macierz uzupełniona, powstała z A przez dopisanie do
niej kolumny B (wyrazów wolnych) jako ostatniej.

Definicja (układ jednorodny)
Układ równań liniowych AX= Θ nazywamy jednorodnym.
Twierdzenie
Zbiór

{

}

Θ

AX

=

∈

=

:

n

K

x

W

jest przestrzenią liniową ( podprzestrzenią liniową

n

K ). Jej bazę

nazywamy fundamentalnym układem rozwiązań równania jednorodnego AX= Θ .

Twierdzenie
Jeżeli

{

}

n

α

α

,

,

1

L

jest bazą przestrzeni liniowej

V nad ciałem liczbowym K to dla każdego wektora

V

∈

β

istnieje dokładnie jeden ciąg skalarów

(

)

K

a

a

n

⊂

,

,

1

K

taki, że

i

n

i

i

a

α

β

∑

=

=

1

ciąg

(

)

n

a

a

,

,

1

K

nazywamy współrzędnymi

β

w bazie

{

}

n

α

α

,

,

1

L

.

Twierdzenie
Każda niezerowa przestrzeń liniowa ma co najmniej jedną bazę i jednoznacznie wyznaczony wymiar.
Każdy układ liniowo niezależny wektorów V można uzupełnić do bazy przestrzeni liniowej V.

Definicja
Rozważmy przestrzeń liniową

n

K złożoną z n-elementowych ciągów o wyrazach z ciała liczbowego

K

. Układ wektorów

K

e

e

n

∈

,

,

1

K

takich, że

(

)

0

,

0

,

1

,

0

,

,

0

L

K

=

i

e

(na i-tym miejscu jest 1) stanowi

bazę

n

K . Nazywamy ją bazą kanoniczną.

Twierdzenie
Wektory

n

n

K

∈

α

α

,

,

1

L

stanowią bazę

n

K wtedy i tylko wtedy gdy

[

]

0

,

,

det

1

≠

n

α

α

K

.

Definicja
Macierzą przejścia od bazy kanonicznej

n

K do nowej bazy

n

n

K

∈

α

α

,

,

1

L

nazywamy macierz

[

]

n

α

α

,

,

1

K

=

B

, której kolumnami są wektory

n

α

α

,

,

1

L

. Macierz

B jest nieosobliwa.

Definicja (przestrzeń afiniczna)
Niech dana będzie przestrzeń liniowa V

(

)

∗

⊕

,

,

,

K

V

nad ciałem liczbowym K, zbiór

∅

≠

E

oraz

funkcja

V

E

E

→

×

:

ω

taka, że

1)

(

)

α

ω

α

=

∈

∈

∈

∨

∧

∧

B

A

E

B

V

E

A

,

!

2)

( )

(

) (

)

C

A

C

B

B

A

E

C

B

A

,

,

,

,

,

ω

ω

ω

=

⊕

∈

∧

to strukturę

(

)

ω

,

,V

E

nazywamy przestrzenią afiniczną stowarzyszoną z przestrzenią liniową V.

Elementy E nazywamy punktami .

Jeśli przyjąć oznaczenia

( )

AB

B

A

=

,

ω

to warunki 1) i 2) można zapisać:

9

1)

α

α

=

∈

∈

∈

∨

∧

∧

AB

E

B

V

E

A

!

2)

AC

BC

AB

E

C

B

A

=

⊕

∈

∧

,

,

.

Własności:

( )

0

,

=

∈

∧

A

A

E

A

ω

(

)

(

)

A

B

B

A

E

B

A

,

,

.

ω

ω

−

=

∈

∧

Definicja (przesunięcie przestrzeni afinicznej)
Jeśli

V

E

A

∈

∈

α

,

to istnieje jeden

E

B

∈

taki, że

( )

α

ω

=

B

A,

. Punkt B nazywamy sumą punktu A i

wektora

α

:

α

+

A

. Jeśli ustalimy

V

∈

α

to odwzorowanie

E

E

f

→

:

takie, że

α

+

=

∈

∧

A

A

f

E

A

)

(

nazywamy przesunięciem przestrzeni afinicznej E o wektor

α

.

Twierdzenie
Jeśli dany jest układ równań liniowych

B

AX

=

nm

M

A

∈

,

1

m

M

X

∈

,

1

n

M

B

∈

o wyrazach z ciała

liczbowego K,

[

]

B

A

A

:

rz

rz

=

oraz stowarzyszony z nim układ jednorodny

Θ

AX

=

oraz

{

}

B

AX

=

∈

=

:

m

K

X

H

,

H

p

∈

0

,

{

}

Θ

AX

=

∈

=

:

m

K

X

W

, to

W

p

H

+

=

0

.

GEOMETRIA !!!

Wektory w przestrzeni R

n

.

Długość wektora a którą oznaczać będziemy

|

a

|

wyraża się wzorem

|a| =

a

i

i

n

2

1

=

∑

,

Kątami kierunkowymi wektora

a nazywamy kąty

ϕ

i

jakie wektor a tworzy z kolejnymi osiami układy współrzędnych,

zaś kosinusy tych kątów nazywamy kosinusami kierunkowymi wektora a. Kosinusy kierunkowe wektora a określają
wzory

cos

| |

,

, ,..., ,

ϕ

i

i

a

dla i

n

====

====

a

1 2

Suma kwadratów kosinusów kierunkowych dowolnego wektora równa jest jedności.

cos

.

2

1

1

ϕ

i

i

n

=

∑

=

Wektory w przestrzeni R

3

.

W przestrzeni R

3

wektor ma postać

a = [a

x

,a

y

,a

z

]

T

, gdzie

R

a

,

a

,

a

z

y

x

∈

.

a

×

b = [a

x

,a

y

,a

z

]

T

×

[b

x

, b

y

,b

z

]

T

=

i

j

k

a

a

a

b

b

b

x

y

z

x

y

z

.

Równoległość i prostopadłość wektorów

a

b

a

b

a

b

1

1

2

2

3

3

====

====

⇒

⇒

⇒

⇒ a b

||

10

a

⊥β

β

β

β ⇔

a

1

b

1

+ a

2

b

2

+ a

3

b

3

= 0.

Iloczyn mieszany wektorów.

(a

×

b)c =

a

a

b

b

c

a

a

b

b

c

a

a

b

b

c

a

a

a

b

b

b

c

c

c

y

z

y

z

x

x

z

x

z

y

x

y

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

−

+

=

.

Płaszczyzna i prosta.

Równania parametryczne płaszczyzny.

Niech P(x,y,z) będzie dowolnym punktem płaszczyzny

π, .

Zatem wektory

P P

0

→

=

[x-x

0

,y-y

0

,z-z

0

]

T

oraz u i v są komplanarne,

a to oznacza, że są liniowo zależne. Istnieją więc stałe t i s takie, że

P P

0

→

=

tu + sv, gdzie t,s

∈

R.

x

x

u t

v s

y

y

u t

v s

z

z

u t

v s

x

x

y

y

z

z

=

+

+

=

+

+

=

+

+











0

0

0

, gdzie t,s

∈

R.

Te równania skalarne nazywamy równaniami parametrycznymi płaszczyzny.
Równanie ogólne płaszczyzny.

x

x

y

y

z

z

u

u

u

v

v

v

x

y

z

x

y

z

−

−

−

=

0

0

0

0.

Równaniu temu można nadać postać

A(x-x

0

) + B(y-y

0

) + C(z-z

0

) = 0 (*)

lub Ax + By + Cz + D = 0.
Ostatnie równanie nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny.

Weźmy pod uwagę wektor n = [A,B,C]

T

. Łatwo zauważyć, że jest on iloczynem wektorowym wektorów u i v :

n = u

×

v

=

i

j

k

u

u

u

v

v

v

x

y

z

x

y

z

= [A,B,C]

T

Wektor n = [A,B,C]

T

nazywamy wektorem normalnym płaszczyzny

π

. .

L.p

. wektor n

równanie

położenie płaszczyzny

1.

A=0

By + Cz + D = 0

równoległa do osi Ox

2.

B=B=0

Ax + Cz + D = 0

równoległa do osi Oy

3.

C=0

Ax + By + D =0

równoległa do osi Oz

4.

D=0

Ax + By + Cz =0

zawiera początek układu współrzędnych

5.

A=B=0

Cz + D = 0 lub z=c prostopadła do osi Oz, równoległa do plaszcz. Oxy

6.

A=C=0

By + D = 0 lub y=b prostopadła do osi Oy, równoległa do plaszcz. Oxz

7.

B=C=0

Ax + D = 0 lub x=a prostopadła do osi Ox, równoległa do plaszcz. Oyz

8.

A=D=0

By + Cz = 0

zawiera oś Ox

9.

B=D=0

Ax + Cz = 0

zawiera oś Oy

11

10.

C=D=0

Ax + By = 0

zawiera oś Oz

11.

A=B=D=0 z = 0

równanie płaszczyzny Oxy

12.

A=C=D=0 y = 0

równanie płaszczyzny Oxz

13.

B=C=D=0 x = 0

równanie płaszczyzny Oyz

A

A

B

C

x

B

A

B

C

y

C

A

B

C

z

D

A

B

C

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

,

Z równania normalnego łatwo można otrzymać wzór na odległość dowolnego punktu P

0

(x

0

,y

0

,z

0

) od płaszczyzny

określonej równaniem normalnym

d

x

y

z

p

x

y

z

=

⋅

+

⋅

+

⋅

−

cos

cos

cos

ϕ

ϕ

ϕ

0

0

0

lub od płaszczyzny określonej równaniem ogólnym

d

Ax

By

Cz

D

A

B

C

=

+

+

+

+

+

|

|

.

0

0

0

2

2

2

x

p

y

q

z

r

+ + =

1.

Jest to równanie odcinkowe płaszczyzny.

Wzajemne położenie dwóch płaszczyzn

Rząd macierzy

Układ równań, liczba param.

Położenie płaszczyzn

r(A)

≠

r(U)

Sprzeczny

płaszczyzny są równoległe

r(A)=r(U)=1

nieoznaczony, p = n-r = 2

płaszczyzny pokrywają się

r(A)=r(U)=2 1

nieoznaczony, p = n-r = 1

płaszczyzny mają wspólną prostą

Równania parametryczne prostej l.

,

R

t

gdzie

,

ct

z

z

bt

y

y

at

x

x

0

0

0

∈











+

=

+

=

+

=

Równania kierunkowe prostej

x

x

a

y

y

b

z

z

c

−

=

−

=

−

0

0

0

.

Równania krawędziowe prostej.

A x

B y

C z

D

A x

B y

C z

D

1

1

1

1

2

2

2

2

0

0

+

+

+

=

+

+

+

=







jest

A

A

B

B

C

C

D

D

1

2

1

2

1

2

1

2

≠

≠

lub

,

Wzajemne położenie dwóch prostych.

Dane są dwie proste l

1

i l

2

R.

s

,

s

c

z

z

s

b

y

y

s

a

x

x

l

R,

t

,

t

c

z

z

t

b

y

y

t

a

x

x

l

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

∈











+

=

+

=

+

=

≡

∈











+

=

+

=

+

=

≡

wektory są równoległe

wektory nie są równoległe

proste mają punkt wspólny

proste pokrywają się

proste przecinają się

proste nie mają punktu wspólnego

proste równoległe

proste są skośne

12

Pęk płaszczyzn

λ

1

(

A

1

x+B

1

y+C

1

z+D

1

)+

λ

2

(

A

2

x+B

2

y+C

2

z+D

2

)

= 0

Definicja (przekształcenie liniowe)
Niech V , W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem liczbowym K. Przekształcenie

W

V

f

→

:

takie, że

(

)

( )

( )

y

bf

x

af

by

ax

f

K

b

a

V

y

x

+

=

+

∈

∈

∧

∧

,

,

nazywamy przekształceniem liniowym.

Jeśli

(

)

n

α

α

,

,

1

K

jest bazą V oraz

(

)

m

β

β

,

,

1

K

jest bazą W , to macierz A której kolumnami są

odpowiednio współrzędne wektorów

( )

( )

n

f

f

α

α

,

,

1

K

w bazie

(

)

m

β

β

,

,

1

K

nazywamy macierzą

przekształcenia f w ustalonych bazach. W zapisie macierzowym oznacza to że

( )

X

A

X

f

⋅

=

.

Definicja (jądro i obraz przekształcenia g)
Jeśli g jest przekształceniem liniowym

W

V

g

→

:

, to zbiór

( )

{

}

0

:

=

∈

=

x

g

V

x

g

Ker

nazywamy

jądrem g . Zbiór ten jest przestrzenią liniową (podprzestrzenią liniową V ), a

g

Ker

dim

nazywamy

defektem i oznaczamy

g

df .

Zbiór

( )

{

}

v

g

w

W

w

g

V

v

=

∈

=

∈

∨

:

Im

nazywamy obrazem g . Ten zbiór również jest przestrzenią liniową

(podprzestrzenią liniową W ),

g

Im

dim

nazywamy rzędem przekształcenia g i oznaczamy

g

rz

.

Twierdzenie
Odwzorowanie

g jest różnowartościowe wtedy i tylko wtedy gdy

0

=

g

df

. Ponadto

V

g

df

g

rz

dim

=

+

oraz

A

rz

g

rz

=

, gdzie A jest macierzą g w dowolnych bazach.

Twierdzenie
Niech

W

V

g

→

:

oraz A będzie macierzą przekształcenia przy ustalonych bazach

V

B oraz

W

B . Jeśli

B jest macierzą przejścia od bazy

V

B do nowej bazy

∗

V

B natomiast C jest macierzą przejścia od

W

B

do nowej bazy

∗

W

B , to macierzą g w bazach

∗

V

B i

∗

W

B jest macierz

D

postaci:

AB

C

D

1

−

=

.

Definicja (wyznacznik macierzy przekształcenia)
Jeśli przekształcenie liniowe

V

V

g

→

:

, to wyznacznikiem g ,

g

det

nazywamy wyznacznik macierzy

przekształcenia w dowolnych bazach.

Definicja (podprzestrzeń liniowa niezmiennicza)
Niech

V

V

→

:

ϕ

. Podprzestrzeń liniową

V

W

⊂

nazywamy niezmienniczą względem odwzorowania

liniowego

ϕ

jeśli

( )

.

W

W

⊂

ϕ

Twierdzenie
Jeśli

{ }

( )

α

lin

W

=

jest niezmiennicza, to istnieje skalar

K

a

∈

taki, że

( )

av

v

V

v

=

∈

∧

ϕ

.

Definicja (wektor własny , wartość własna)

13

Wektor

V

∈

α

nazywamy wektorem własnym względem odwzorowania liniowego

V

V

→

:

ϕ

jeśli

θ

α

≠

oraz

{ }

( )

α

lin

W

=

jest podprzestrzenią niezmienniczą względem

ϕ

. Skalar

K

a

∈

taki, że

( )

av

v

W

v

=

∈

∧

ϕ

nazywamy wartością własną.

Definicja (macierz charakterystyczna, wielomian charakterystyczny, równanie charakterystyczne)
Jeśli A jest macierzą przekształcenia liniowego

V

V

→

:

ϕ

, to macierz

I

A

x

−

nazywamy macierzą

charakterystyczną

ϕ

, wielomian

( )

(

)

I

A

x

x

P

−

=

det

nazywamy wielomianem charakterystycznym

ϕ

,

a równanie

( )

0

=

x

P

nazywamy równaniem charakterystycznym

ϕ

.

Twierdzenie
Wielomian charakterystyczny nie zależy od wyboru bazy.

Twierdzenie
Na to by liczba

K

∈

λ

była wartością własną przekształcenia liniowego

n

n

K

K

→

:

ϕ

potrzeba i

wystarcza by

( )

0

=

λ

P

.

Twierdzenie
Zbiór wektorów własnych

n

n

K

K

→

:

ϕ

o wartości własnej

K

∈

λ

uzupełniony o wektor zerowy jest

niezmienniczą przestrzenią liniową , oznaczamy ją

λ

L ,

(

)

I

A

x

rz

n

L

−

−

=

λ

dim

, gdzie A - macierz

przekształcenia.

Twierdzenie
Jeśli

n

x

x

,

,

1

K

wektory własne przekształcenia liniowego

n

n

K

K

→

:

ϕ

mają różne wartości własne, to

są liniowo niezależne.

Twierdzenie
Jeśli

n

n

K

K

→

:

ϕ

ma n różnych wartości własnych

n

λ

λ

,

,

1

K

oraz dla

{

}

n

i

,

,

2

,

1

K

∈

i

x jest wektorem

własnym o wartości własnej

i

λ

, to

n

x

x

,

,

1

K

tworzą bazę

n

K . W bazie tej

ϕ

ma macierz diagonalną ,

której główną przekątną (diagonalę) tworzą liczby

n

λ

λ

,

,

1

K

.

Twierdzenie. Jeśli

nn

M

A

∈

ma n liniowo niezależnych wektorów własnych, to macierz C której

kolumnami są kolejne wektory własne A nazywamy diagonalizującą A . Macierz

AC

C

D

1

−

=

jest

diagonalna.

Twierdzenie Cayleye’a Hamiltona
Każda macierz kwadratowa spełnia swoje równanie charakterystyczne, traktowane jako równanie
macierzowe.
Definicja (forma liniowa)
Niech

n

R

V

=

, R - ciało liczb rzeczywistych,

(

)

n

α

α

,

,

1

K

- baza V . Odwzorowanie

R

V

V

f

→

×

:

takie, że

( )

∑

∧

=

∈

=

n

j

i

j

i

ij

V

y

x

y

x

a

y

x

f

1

,

,

,

,

R

a

ij

∈

nazywamy formą liniową , gdzie

(

)

j

i

ij

f

a

α

α

,

=

.

Macierz

[ ]

ij

a

=

A

nazywamy macierzą formy,

A

rz

-rzędem formy,

A

det

- wyróżnikiem formy.

Jeśli

0

det

≠

A

to mówimy, że f jest nieosobliwa.

14

Jeśli

A

A

=

T

to mówimy, że

f jest symetryczna.

Definicja (forma kwadratowa)
Jeśli f jest dwuliniową symetryczną formą, to funkcję

( ) ( )

x

x

f

x

F

,

=

nazywamy formą kwadratową

formy dwuliniowej f . Jeśli

( )

∑

=

=

n

i

i

ii

x

a

x

F

1

2

to mówimy, że F jest postaci kanonicznej.

Każdą formę kwadratową można sprowadzić do postaci kanonicznej. Ilość współczynników dodatnich
w każdej postaci kanonicznej formy jest taka sama.

Definicja (forma dodatnio określona)
Formę

R

R

R

F

n

n

→

×

:

nazywamy dodatnio (ujemnie, niedodatnio, nieujemnie) określoną jeśli

{ }

( )

0

\

>

∈

∧

x

F

n

R

x

θ

(

0

,

0

,

0

≥

≤

<

).

Twierdzenie
Na to by

R

R

R

F

n

n

→

×

:

była dodatnio określona potrzeba i wystarcza by

1.

minory główne macierzy formy A były dodatnie lub

2.

wszystkie wartości własne macierzy formy były dodatnie lub

3.

C

C

A

T

=

, gdzie C - jest pewną nieosobliwą macierzą.

Definicja (iloczyn skalarny, przestrzeń euklidesowa)
Formę dwuliniową symetryczną dodatnio określoną

R

V

V

→

×

:

ϕ

(V - przestrzeń liniowa nad R )

nazywamy iloczynem skalarnym , a strukturę

(

)

ϕ

,

,

R

V

nazywamy przestrzenią euklidesową.

Twierdzenie
W każdej skończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej V można utworzyć bazę ortonormalną.