2

OBIEKT RZECZYWISTY -

fragment rzeczywisto ci, którym zainteresowany jest cz owiek w
konkretnej sytuacji.

BADANIA OPERACYJNE –

„badanie procesów zamiIEKT RZECZYWISTY

-

fragment rzeczywisto ci, którym zainteresowany jest cz owiek w
konkretnej sytuacji.

BADANIA OPERACYJNE –

„badanie procesów zamiIEKT RZECZYWISTY

-

fragment rzeczywisto ci, którym zainteresowany jest cz owiek w
konkretnej sytuacji.

BADANIA OPERACYJNE –

„badanie procesów zamiIEKT RZECZYWISTY

-

fragment rzeczywisto ci, którym zainteresowany jest cz owiek w
konkretnej sytuacji.

BADANIA OPERACYJNE –

6

PRZYK AD:

prosty model ruchu pojazdu

Chcemy

formalnie

opisa prosty model ruchu pojazdu. Z

fizyki elementarnej wiemy, e przebyta przez pojazd

( ) droga jest

wprost proporcjonalna do pr dko ci pojazdu i czasu

jaki z t

pr dko ci si porusza (przy za o eniu ruchu jednostajnego). Z
kolei

(2) przyspieszenie

pojazdu jest

wprost proporcjonalne do

pr dko ci

z jak si pojazd porusza i

odwrotnie proporcjonalne

do czasu

.

Mamy wi c nast puj ce

cechy

modelu:

symbol zbiór

warto ci

. droga przebyta przez pojazd

s

{ }

0

∪

+

R

2. pr dko pojazdu

v

{ }

0

∪

+

R

3. przyspieszenie pojazdu

a

{ }

0

∪

+

R

4. czas ruchu

t

+

R

Zwi zki

modelu wyszczególnione s w opisie werbalnym.

Mamy:

{ }

{ }

{ }

{

}

+

+

+

+

∪

∪

∪

=

R

t,

,

0

R

a,

,

0

R

v,

,

0

R

s,

X

"

oraz:

(1)

{ }

(

)

{

}

z

x

y

:

R

0

R

z

y,

x,

R

t

s,

v,

2

1

1

⋅

=

×

∪

∈

=

=

+

+

X

(2)

{ }

(

)













=

×

∪

∈

=

=

+

+

z

y

x

:

R

0

R

z

y,

x,

t

v,

a,

2

2

2

R

X

Stąd:

{

}

2

2

1

1

,

2,

_

z

,

,

1,

_

z

R

X

R

X

R

=

"

gdzie:

z_1– symbol związku

(1),

z_2–symbol związku

(2).

7

KLASYFIKACJA MODELI MATEMATYCZNYCH

Zbiór cech

"

X

mo emy rozbi na trzy podzbiory cech:

III

II

I

X

X

X

X

∪

∪

=

"

∅

=

∩

=

∩

III

II

II

I

X

X

X

X

III

nz

III

roz

III

los

III

dec

III

X

X

X

X

X

∪

∪

∪

=

!"

model

BADAWCZY

(bez decyzji)

∅

=

∪

III

dec

I

X

X

•

deterministyczny:

∅

=

∪

∪

III

nz

III

roz

II

los

X

X

X

•

probabilistyczny:

∅

≠

∧

∅

=

∪

III

los

X

X

X

III

nz

III

roz

•

rozmyty:

∅

≠

∧

∅

=

∪

III

roz

III

nz

III

los

X

X

X

•

w warunkach nieokre lono ci:

∅

≠

∧

∅

=

∪

III

nz

III

roz

III

los

X

X

X

•

mieszany

!"

model

STRATEGICZNY

(co najmniej dwie strony podejmuj decyzje)

∅

≠

∩

III

dec

I

X

X

•

deterministyczny, probabilistyczny, rozmyty, w warunkach

nieokreśloności, mieszany (j/w)

!"

model

OPTYMALIZACYJNY

(jedna strona podejmuje decyzje)

∅

=

∧

∅

≠

III

dec

I

X

X

•

deterministyczny, probabilistyczny, rozmyty, w warunkach

nieokreśloności, mieszany (j/w)

Decydent ma wpływ Decydent zna wartości Decydent nie zna wart.

Wp ywaj inni

decydenci

Zmienne losowe

o znanych

rozk adach

Zmienne rozmyte

o znanej

„rozmyto ci”

Zmienne
nieznane

8

MODEL OPTYMALIZACYJNY

mo na zapisa jako:

R

X

X

X

X

X

"

;

;

III
nz

III
roz

III

los

II

I

∪

∪

∪

inne

∪

∪

I
wsk

I
dec

X

X

X

dane

– zbiór danych

MODEL OPTYMALIZACYJNY W POSTACI DOGODNEJ

DO SFORMU OWANIA ZADANIA OPTYMALIZACYJNEGO

( )

{ }

( )

{

}

( )

{ }

A

A

A

W

A

∈

Ω

∈

∈

∈

Ω

a

a

a

x

a

a

E

x

a

a

y

x

a

,

,

,

,

,

,

,

gdzie:
a, x, y – listy: danych, zmiennych decyzyjnych i wska ników;
A

≠≠≠≠

Ø – zbiór dopuszczalnych zestawów warto ci danych;

Ω

Ω

Ω

Ω

(a) – zbiór dopuszczalnych zestawów warto ci zmiennych

decyzyjnych przy zestawie warto ci danych a

∈

∈

∈

∈

A;

W(a,x) – zbiór mo liwych zestawów warto ci wska ników przy
zestawie warto ci zmiennych decyzyjnych x

∈

∈

∈

∈

Ω

Ω

Ω

Ω

(a), a

∈

∈

∈

∈

A;

E

a

– funkcja logiczna opisuj ca osi gni cie celu g ównego:

( ) { }

( )









=

→

0

1

1

,

0

:

y

E

a

E

a

a

Y

gdzie:

( )

( )

( )

{

}

a

x

x

a

y

a

Ω

∈

∈

=

:

,

W

Y

- jeżeli przy możliwym zestawie wartości

wskaźników y cel został osiągnięty;
- w przeciwnym przypadku.

Zbiór

zmiennych

decyzyjnych

Zbiór wska ników

(stopnia osi gni cia celu

)

9

SFORMU OWANIE ZADANIA OPTYMALIZACYJNEGO

Dla danych

a

∈

∈

∈

∈

A

wyznaczy

x

*

∈

∈

∈

∈Ω

Ω

Ω

Ω

(a)

tak, aby

( )

( )

1

y

E

a

*

x

a,

y

=

∧

∈

W

PRZYK AD:

model optymalizacyjny + zadanie optymalizacji

Niech

a =

〈

a

1

, a

2

〉

A

=

{〈

a

1

, a

2

〉

∈

R

×

R : a

1

= 1

∧

a

2

= 2

}

Ω

(a) =

{

x

∈

R : a

1

≤

x

≤

a

2

}

=

{

x

∈

R : 1

≤

x

≤

2

}

W

(a,x) =

{

y

∈

R : y=-x

2

+3

}

( )

( )

( )

{

}

{

}

2

1

:

3

:

,

2

≤

≤

+

−

=

=

Ω

∈

∈

=

x

x

y

a

x

x

a

y

a

W

Y

( )

(

)









+

−

≤

≤

=

⇔

=

3

2

1

1

2

x

x

y

y

E

a

max

-1

1

2

3

4

5

x

-1

1

2

3

4

5

f

<

x

>

3

-

x^2

y(x*)

x*

Ω

(a)

Rozwiązanie zadania

optymalizacyjnego dla

powyższego modelu jest

równe x

*

=1 a wartość funkcji y

dla x

*

jest równa y(x

*

)=2.

Gdyby pominąć warunek

x

*

∈

Ω

(a) wówczas

rozwiązaniem byłoby x

*

=0 i

odpowiadające mu y(x

*

)=3, ale

wówczas

zaproponowaliby my
podj cie decyzji
niedopuszczalnej

(bo x = 0

∉

Ω(a))!!!!!

10

Zadanie optymalizacyjne sformu owane poprzednio (w ramce)
jest postaci ogóln formu owania zadania optymalizacyjnego.
Najcz ciej mamy do czynienia z sytuacj , gdy:

!"

zbiór W(a,x) dla wszystkich a

∈

∈

∈

∈

A i x

∈

∈

∈

∈Ω

Ω

Ω

Ω

(a) jest

jednoelementowy, a jego elementem jest liczba y;

!"

cel g ówny zostanie osi gni ty, gdy decyzji odpowiada

b dzie ekstremalna warto wska nika.

W takich przypadkach

zadanie optymalizacyjne

formu ujemy

nast puj co

:

Dla danych:

a

∈

∈

∈

∈

A

wyznaczy :

x

*

∈

∈

∈

∈

(a) (lub krócej x

*

∈

∈

∈

∈

)

tak, aby:

( )

( )

( )

x

a

f

a

x

x

a

f

,

,

*

Ω

∈

=

extr

gdzie:

( )

*

, x

a

f

=

(tu występuje określenie

funkcji f, tzw. funkcji celu).

symbol

extr

oznacza jeden z symboli: sup, inf,

min, max

PRZYK AD: (nawi zanie do przyk adu poprzedniego)

Zadanie optymalizacyjne dla przyk adu poprzedniego

mo emy sformu owa nast puj co:

dla danych:

a

=

〈〈〈〈

a , a

2

〉〉〉〉

∈

∈

∈

∈

A

wyznaczy :

x

*

∈

∈

∈

∈

(a) =

[[[[

,2

]]]]

tak, aby:

( )

( )

[ ]

( )

x

a

f

x

a

f

a

x

,

,

2

,

1

*

=

Ω

∈

=

max

gdzie

( )

3

,

2

+

−

=

x

x

a

f

.

11

PRZYK AD MODELU MATEMATYCZNEGO

DLA PROBLEMU PRAKTYCZNEGO

1) Werbalny opis problemu

Pewien

zakład produkuje dwa typy wyrobów: typ A i typ B. Na

wyprodukowanie wyrobu typu A potrzeba m

A

jednostek materiału a

na wyprodukowanie wyrobu typu B potrzeba m

B

jednostek materiału.

Zakład ma w magazynie M jednostek materiału. Czas potrzebny na

wyprodukowanie wyrobu typu A oszacowano na t

A

jednostek czasu a

wyrobu typu B - na t

B

jednostek czasu. Łączny czas jaki zakład może

przeznaczyć na produkcję wynosi T jednostek czasu. Dział

marketingu oszacował również, że popyt na wyrób typu A wyniesie

nie więcej niż p

A

jednostek natomiast na wyrób typu B - nie mniej niż

p

B

jednostek. Cenę jednostkową sprzedaży dla wyrobu A oszacowano

na c

A

natomiast jednostki wyrobu B - na c

B

. Ponadto koszty produkcji

jednostki wyrobu typu A wynoszą k

A

natomiast jednostki wyrobu typu

B - k

B

.

Zbudować model matematyczny do rozpatrywanego zagadnienia oraz

sformułować na jego podstawie zadanie optymalizacyjne wyznaczenia

ilości produkowanych wyrobów obu typów tak, aby przewidywany

zysk zakładu był jak największy.

2) Cechy wyodrębnione w modelu

m

A

- ilość materiału potrzebna na wyprodukowanie wyrobu typu A;

m

B

- ilość materiału potrzebna na wyprodukowanie wyrobu typu B;

M

- zapas materiału znajdujący się w magazynach zakładu;

t

A

- ilość czasu potrzebna na wyprodukowanie wyrobu typu A;

t

B

- ilość czasu potrzebna na wyprodukowanie wyrobu typu B;

T

- ilość czasu jaką zakład może przeznaczyć na produkcję;

p

A

- górna granica zapotrzebowania na wyrób typu A;

p

B

- dolna granica zapotrzebowania na wyrób typu B;

c

A

- cena sprzedaży wyrobu typu A;

c

B

- cena sprzedaży wyrobu typu B;

k

A

- koszt produkcji wyrobu typu A;

k

B

- koszt produkcji wyrobu typu B;

x

1

- zmienna decyzyjna liczby produkowanych wyrobów typu A;

x

2

- zmienna decyzyjna liczby produkowanych wyrobów typu B;

y

- zysk zakładu odpowiadający produkcji określonej ilości

wyrobów typu A i B;

12

3) Zakres zmienności cech

y

∈

R

- zysk zakładu (ujemny interpretujemy jako straty);

x

1

, x

2

∈

N

;

m

A

, m

B

, M, t

A

, t

B

, T , p

A

, p

B

, c

A

, c

B

, k

A

, k

B

∈

R

+

4) Wyodrębnienie związków

•

m

A

x

1

+ m

B

x

2

<= M

łą

czna ilość materiału potrzebna na wyprodukowanie x

1

sztuk wyrobu A

oraz x

2

sztuk wyrobu typu B nie może być większa niż zapas materiału M w

magazynie ;

•

t

A

x

1

+ t

B

x

2

<= T

suma

ilości czasu potrzebnego na wyprodukowanie x

1

sztuk wyrobu A i x

2

sztuk wyrobu B nie może być większa niż łączny zasób czasu T jaki zakład

może przeznaczyć na produkcję (przy założeniu, że w danej chwili może być

produkowany tylko jeden wyrób);

lub

•

max

{t

A

x

1,

t

B

x

2

} <= T

czas potrzebny na wyprodukowanie x

1

sztuk wyrobu A i x

2

sztuk

wyrobu B nie może być większy niż łączny zasób czasu T jaki zakład może

przeznaczyć na produkcję (przy założeniu, że oba wyroby mogą być

produkowane jednocześnie);

•

x

1

<= p

A

ilość sztuk wyprodukowanych wyrobów typu A nie może być większa niż

szacowane zapotrzebowanie na nie na rynku p

A

;

•

x

2

>= p

B

ilość sztuk wyprodukowanych wyrobów typu B nie może być mniejsza

niż szacowane zapotrzebowanie na nie na rynku p

B

;

•

y = (c

A

-k

A

)x

1

+ (c

B

-k

B

)x

2

zysk

zakładu z wyprodukowania x

1

sztuk wyrobu typu A i x

2

sztuk

wyrobu typu B;

13

5) Analiza poprawności modelu

a) istotność cech

Każda z wybranych cech występuje w przynajmniej jednym

związku;

b) istotność związków

Ż

aden związek nie wynika jednoznacznie z innego, dlatego

wszystkie związki są istotne (w praktyce ten postulat jesteśmy w

stanie sprawdzić dopiero wtedy, gdy znamy konkretne wartości

parametrów z listy danych a);

c) spójność modelu

Wszystkie

wyróżnione cechy łączą się ze sobą pośrednio lub

bezpośrednio, np. cecha x

1

łączy się w sposób bezpośredni z cechami

m

A

, t

A

, p

A

, c

A

, k

A

i pośrednio z pozostałymi cechami.

d) niesprzeczność modelu

Nie

występują związki, z których analizy można by dojść do

sprzecznych wniosków (w praktyce ten postulat jesteśmy w stanie

sprawdzić dopiero wtedy, gdy znamy konkretne wartości parametrów

z listy danych a).

6) Klasyfikacja cech

X

dane

={m

A

, m

B

, M, t

A

, t

B

, T , p

A

, p

B

, c

A

, c

B

, k

A

, k

B

}- dane znane ;

}

,

{

2

1

x

x

X

I

dec

=

-

zmienne decyzyjne;

}

{y

X

I

wsk

=

- wskaźnik;

Lista

danych :

k

,

k

,

c

,

c

,

p

,

p

,

T

,

t

,

t

M,

,

m

,

m

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

=

a

A

=

{

}

12

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

k

,

k

,

c

,

c

,

p

,

p

,

T

,

t

,

t

M,

,

m

,

m

+

∈

R

14

Lista zmiennych decyzyjnych :

2

1

, x

x

x

=

Zbiór rozwiązań dopuszczalnych :

























≥

≤

≤

+

≤

+

×

∈

=

Ω

B

A

B

B

p

x

p

x

T

x

t

x

t

M

x

m

x

m

N

N

x

x

a

2

1

2

1

A

2

1

A

2

1

:

,

)

(

Wskaźnik (lista wskaźników jest jednoelementowa):

W

)

,

( x

a

={f(a,x)=y

∈

R : y = (c

A

-k

A

)x

1

+ (c

B

-k

B

)x

2

}

( ) {

}

)

(

:

)

(

)

(

2

1

a

x

x

k

c

x

k

c

y

a

B

B

A

A

Ω

∈

−

+

−

=

=

Y

Funkcja oceny osiągnięcia celu

(może być, ale nie musi w tak formułow. zad.)

( )









=

=

Ω

∈

przypadku

przeciwnym

w

,

0

x)

f(a,

max

y

gdy

,

1

)

(a

x

a

y

E

7) Zadanie optymalizacyjne

Dla danego a

∈

∈

∈

∈

A

wyznaczy x

*

∈

∈

∈

∈

Ω

Ω

Ω

Ω

(a)

tak,

aby

:

f (a,x

*

) = max f (a,x)

x

∈

∈

∈

∈Ω

Ω

Ω

Ω

(a)

gdzie :

f

(a,x)

=

(c

A

-k

A

)x

1

+ (c

B

-k

B

)x

2

15

PROBLEMY DOTYCZ CE KONSTRUOWANIA

MODELI OPTYMALIZACYJNYCH

!"

zapewnienie istnienia x

*

dla ka dego a,

!"

zbiór W(a, x) mo e by wieloelementowy,

!"

element zbioru W(a, x) mo e nie by liczb (a np. zmienn

losow , wektorem, zbiorem itp.),

!"

du a z o ono obliczeniowa skonstruowanego zadania

optymalizacyjnego,

!"

inne.

METODY OPISU FUNKCJI OSI GNI CIA CELU

Za o enie:

W(a, x) – jednoelementowy

w

∈

∈

∈

∈

W(a, x)

Przypadki mo liwych rodzajów w

∈

∈

∈

∈

W(a, x):

!"

liczba,

!"

wektor,

!"

zmienna losowa,

!"

zbiór rozmyty,

!"

zbiór liczbowy,

!"

inne.

∗

Przypadek, gdy

w

∈

∈

∈

∈

W(a, x) jest

liczb :

( )

( )







=

=

p.p.

w

0

max

gdy

1

a

w

w

E

a

Y

16

∗

Przypadek, gdy

w

∈

∈

∈

∈

W(a, x) jest

wektorem:

I.

pe ne przedstawienie skutków (tabele porówna ),

II.

optymalizacja wielokryterialna,

III.

funkcja „wa ona”,

IV.

warto ci dopuszczalne,

V.

porz dek leksykograficzny (nadawanie kryteriom

priorytetów),

VI.

synteza logiczna,

VII.

uogólniona synteza logiczna.

Ad. II. (

optymalizacja wielokryterialna

)

Stosowanie tzw. rozwi za dominuj cych, niezdominowanych i
kompromisowych.

Zadanie:

Zadanie:

oraz

y

y

1

max

2

max

oraz

y

y

1

max

2

max

Y

y

1

y

2

y* (punkt idealny)

A

B

Y

y

1

y

2

y* (wynik dominuj¹cy)

Y

y

∉

*

AB

-zbiór wyników

niezdominowanych, bo

(

)

B

A

y

y

y

y

z

n

n

n

Y

z

,

,

,

2

,

1

:

~

2

1

∈

=

≥

=

∀

∃

∈

Y

y

y

y

∈

=

*

2

*

1

*

,

- wynik

dominujący

bo

n

n

z

y

n

Y

z

≥

=

∀

∈

∀

*

2

,

1

17

Ad. III. (

funkcja „wa ona”,

)

∑

=

⋅

=

S

j

j

j

W

w

1

λ

gdzie:

W

j

– j – ta sk adowa wektora W;

j

– „waga” j – tej sk adowej wektora W;

S – liczba sk adowych wektora W;

Ad. IV. (

kryterium

warto ci dopuszczalnych)









=

≥

=

p.p.

w

0

,

1

,

gdy

1

0

S

j

W

W

w

j

j

gdzie:

0

j

W

- pewna ustalona krytyczna warto j – tej

sk adowej wektora W.

Ad. V. (

porz dek leksykograficzny)

W przypadku zadania:

oraz

y

y

1

max

2

max

−

y

*

jest rozwi zaniem zadania przy

kolejno ci priorytetów dla kryteriów
„najpierw y , pó niej y

2

”;

−

y

**

jest rozwi zaniem zadania przy

kolejno ci priorytetów dla kryteriów
„najpierw y

2

, pó niej y ”;

Ad. VI. (

synteza logiczna

)

a)

∏

=

=

S

j

j

W

w

1

c)

w= -W

j

b)

(

)

∏

=

−

−

=

S

j

j

W

w

1

1

1

d)

mieszane

Y

y

1

y

2

y**

y*

18

Ad. VII. (

uogólniona synteza logiczna)

!"

j

j

W

S

j

w

⋅

=

=

λ

,1

min

!"

j

j

W

S

j

w

⋅

=

=

λ

,

1

max

!"

j

W

w

−

=

!"

mieszane

∗

Przypadek, gdy

w

∈

∈

∈

∈

W(a, x) jest

zmienn losow :

!"

warto oczekiwana

( )

[ ]

[ ]









∈

=

=









p.p.

w

0

gdy

1

W

E

a

W

W

E

W

E

a

Y

max

W

1

f

1

(x)

f

2

(x)

0

W

2

E

1

E

2

Wykres g sto ci rozk adu prawdopodobie stwa dla dwóch
zmiennych losowych W i W

2

19

Zgodnie z kryterium maksymalizacji warto ci oczekiwanej

wybierzemy zmienn losow W

, bo jej warto oczekiwana E

jest wi ksza ni warto oczekiwana E

2

dla W

2

, ale:

•

z prawdopodobie stwem 0 zmienna losowa W przyjmuje
warto z do du ego otoczenia swojej warto ci oczekiwanej
E

1

;

•

efekty decyzji z jednakowym prawdopodobie stwem b d
albo bardzo korzystne albo bardzo niekorzystne dla W ;

!"

kwantyle (

Pr

{{{{

W < w

p

}}}}

= p

)

( )









∈

=

=









p.p.

w

0

max

gdy

1

p

p

a

w

a

W

W

W

E

Y

!"

wariancja

[ ]

[ ]









∈

=

=









0

gdy

1

2

2

W

D

a

W

W

D

E

a

Y

min

!"

inne charakterystyki (np. synteza warto ci oczekiwanej i

wariancji)

20

∗

Przypadek, gdy

w

∈

∈

∈

∈

W(a, x) jest

zbiorem rozmytym:

Podej cie wg Bellmana, Zadeha

( ) ( )

a

a Y

A

"

"

"

,

,

Ω

–

nierozmyte

zbiory warto ci danych, zmiennych

decyzyjnych i wska ników;

( ) ( )

a

a Y

,

Ω

–

rozmyte

zbiory wartości zmiennych decyzyjnych i

wskaźników;

Mechanizm realizacji decyzji nierozmytej:

( )

( )

a

a

h

a

Y

"

"

→

Ω

;

Wska nik liczbowy (funkcja przynale no ci do przeci cia zbiorów
rozmytych zmiennych decyzyjnych i wska ników):

( )

( )

( )

( )

{

}

x

h

f

x

g

x

a

a

a

x

o

,

min

max

*

)

(

Ω

∈

=

µ

→

→

→

→

max

gdzie: g

a

, f

a

-

funkcje przynale no ci elementów do zbiorów

(a), Y(a).

PRZYK AD:

Spo ród ma o licznych grup pracowników chcemy wybra grup
du ej wydajno ci.

Nr grupy

2 3 4

Liczno

3 2 5

Wydajno h

a

30 5 2 7

Przypadek, gdy

W

∈

W(a, x) jest

zbiorem liczbowym

:

x

2 3 4

g

a

(x)

9/ 0 /7

h

a

(x)

30

5

2 7

f

a

(h

a

(x)) /3 /8 0 0

μ(x)

/3 /8 0 0

( ) {

}

( ) {

}

30

,

15

,

12

,

7

,

4

,

3

,

2

,1

=

=

Ω

a

a

Y

"

"

Niech zbiór rozmyty „ma ych
liczno ci grup” ma posta :













7

1

/

5

,

2

1

/

4

,

10

9

/

3

,

1

/

2

,

1

/

1

a zbiór rozmyty „du ych wydajno ci”:













3

1

/

30

,

8

1

/

15

,

0

/

12

,

10

/

7

.

St d rozmyty zbiór dopuszczalnych
decyzji jest nast puj cy:













7

1

/

4

,

1

/

3

,

10

9

/

2

,

1

/

1

max = /3. Odpowiada to decyzji nr

21

∗

Przypadek, gdy

w

∈

∈

∈

∈

W(a, x) jest

zbiorem liczbowym:

!"

kryterium pesymisty (Walda):

( )

( )

( )











=

Ω

∈

p.p.

w

0

,

gdy

1

x

a

W

W

E

a

x

a

min

max

sytuacja

decyzja

zapyta

nie

zapyta

1.

uczyć się 10 -10

2.

nie uczyć

się

-5 0

!"

kryterium optymisty:

( )

( )









Ω

∈

=

=









p.p.

w

0

,

max

max

max

gdy

1

x

a

W

a

x

W

W

E

a

Decyzja:
uczy si , bo:
max {max{ 0, - 0} , max{-5, 0}} = max { 0, 0} =

0

odpowiada decyzji nr

!"

kryterium Hurwicza:

– wspó czynnik optymizmu

( )

(

)

( )

( ) (

)

( )

[

]













−

+

Ω

∈

=

=

−

+

=

p.p.

w

0

,

min

1

,

max

max

min

1

max

gdy

1

x

a

W

x

a

W

a

x

W

W

W

E

a

α

α

α

α

Mo na pokaza , e dla danych z powy szej tabeli:

nie

uczy si <

3

1

=

qr

α

< uczy si

Decyzja:
nie uczy si bo:
max {min

{{{{

0,- 0

}}}}

; min

{{{{

-5,0

}}}}}}}}

=

= max

{{{{

- 0, -5

}}}}

=

-5

odpowiada
decyzji nr 2

22

!"

kryterium alu (Savage’a)

Rozumowanie decydenta:

Gdybym

zna

b, to podj bym decyzj x

*

, tak e:

(

)

( )

(

)

b

a

x

w

a

x

b

a

x

w

,

,

,

,

*

Ω

∈

=

max

ale poniewa

nie zna em

b i podj em decyzj x, wi c mój „ al”

z tego powodu wynosi:

(

)

(

)

b

a

x

w

b

a

x

w

b

a

x

s

w

,

,

,

,

,

,

*

−









=

Dla w

s

stosuje si kryterium pesymisty.

0

0

- 0

0

-5

5

0

0

wskaźnik

decyzja

dane

sytuacja

w ( x, a, b )

Poniewa interesuje nas to, aby al by
jak najmniejszy, wi c nasz decyzj
b dzie decyzja nr , tzn. uczy si , bo
max {

0

,

0

} < max {

5

,

0

}.

23

PRZYK AD

Podejmujemy

decyzj , czy i do kina, teatru, czy muzeum.

Mo emy trafi na dobry film lub spektakl, albo te s aby. Nie
wiemy tylko, czy muzeum jest otwarte.

„ al” odpowiadaj cy powy szym sytuacjom przedstawiaj
tabelki:

Muzeum zamkni te

Muzeum otwarte

dobry

s aby

dobry s aby

Film 20

4

Film 20

4

Spektakl

3

0

Spektakl 3

0

Wystawa 0 0

Wystawa 2

2

max 20

0

max

20

2

max

max

0 6 6

0 8 8

7 0 7

7 2 7

20

0 20

Je eli muzeum jest zamkni te,

to idziemy do kina, w p.p. – do

teatru ?!!!!

8 0 8

24

MODELE SYMULACYJNE

!"

„pozwalaj na drodze opisów matematycznych „na ladowa ”
zachowanie si obiektu obserwowanego z punktu widzenia
okre lonego problemu”

!"

s to modele badawcze z czasem, w którym zbiór zmiennych

X

(tzw. opisowych) dzieli si na 3 roz czne podzbiory:

•

zmiennych wej ciowych (ich warto ci s ustalone niezale nie
od zachowania si obiektu rzeczywistego);

X

we

;

•

zmiennych stanu (ich warto ci opisuj wybrane cechy obiektu
zmieniaj ce si w czasie);

X

st

,

X

wy

;

•

podzbiór jednoelementowy opisuj cy czas:

{ }

st

wy

st

we

st

we

T

t,

X

X

X

X

X

X

X

⊂

∅

=

∩

∪

∪

=

"

Zbiory dopuszczalnych zestawów warto ci, odpowiednio:
zmiennych wej ciowych

we

X

, zmiennych stanu

st

X

oraz

zmiennych wyj ciowych

wy

X

, mog by funkcjami czasu

okre lonymi w zbiorze

R

"

.

W modelach symulacyjnych definiuje si dwie funkcje:

•

przej cia stanu ,

•

wyj ciow .

T

T

T

st

We

st

×

→

×

×

×

X

X

X

:

δ

Warto

(x, y, t, h)

jest zestawem warto ci zmiennych stanu

chwili t+h.

T

T

wy

we

st

×

→

×

×

X

X

X

:

λ

Warto

(x, y, t)

jest zestawem warto ci zmiennych wyj ciowych

w chwili t.