Zadania domowe z Analizy Matematycznej III - cz¸

eść 4

(całki podwójne i potrójne)

Zadanie 1. Obliczyć całki

a)

ZZ

A

e

−y

2

dxdy,

gdzie

A = {(x, y) ∈ R

2

: 0 ¬ x ¬ y ¬ 5};

b)

ZZ

B

xy

2

dxdy,

gdzie B jest trójk

,

atem o wierzchołkach (−1, 0), (1, 0), (0, 1);

c)

ZZ Z

C

dxdydz

(1 + x + y + z)

3

,

gdzie C to czworościan: x + y + z ¬ 1, x ­ 0, y ­ 0, z ­ 0;

d)

ZZ

D

6yx

2

x

2

+ y

2

dxdy,

gdzie

D = {(x, y) ∈ R

2

: 1 ¬ x

2

+ y

2

¬ 4, y ­ −x};

e)

ZZ

E

q

x

2

+ 4y

2

dxdy,

gdzie

E = {(x, y) ∈ R

2

:

x

2

4

+ y

2

¬ 1};

f )

Z Z

F

x

y

dxdy,

gdzie F jest obszarem ograniczonym liniami:

y

3

= ax

2

, y

3

= bx

2

, y = αx, y = βx, (0 < a < b, 0 < α < β);

g)

ZZ Z

G

(x

2

+ y

2

)dxdydz, gdzie G to obszar ograniczony powierzchniami: x

2

+ y

2

= 2z, z = 2;

h)

ZZ Z

H

(x

2

+ y

2

)dxdydz,

gdzie H = {(x, y, z) ∈ R

3

: 1 ¬ x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 9 i z ¬ 0}.

Zadanie 2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami: x

2

+ y

2

= 2x, x

2

+ y

2

= 4x,

y = 0, y = x.

Zadanie 3. Używaj

,

ac całki podwójnej, obliczyć pole powierzchni figury ograniczonej lini¸

a

(x

2

+ y

2

)

2

= 2a

2

xy.

Zadanie 4. Obliczyć mas¸

e bryły D = {(x, y) ∈ R

2

: 4x

2

+ 25y

2

¬ 100, y ­ 0} wiedz¸

ac, że

g¸

estość jest proporcjonalna do kwadratu odległości od osi OX.

Zadanie 5. Wyznaczyć współrz

,

edne środka masy półkola o promieniu R i o g

,

estości wprost

proporcjonalnej do odległości od średnicy.

Zadanie 6. Obliczyć obj

,

etość bryły ograniczonej

a) powierzchniami: x

2

+y

2

+z

2

= 4 i x

2

+y

2

= 3z;

b) powierzchni

,

a

q

(x

2

+ y

2

+ z

2

)

3

= z

2

−x

2

−y

2

.

Zadanie 7. Obliczyć współrz

,

edne środka masy jednorodnej bryły

a) V = {(x, y, z) ∈ R

3

:

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

¬ 1, z ­ 0};

b) ograniczonej powierzchniami:

x

2

4

+ y

2

=

z

2

4

i z = 2.

1

Odpowiedzi:

1. a)

1
2

(1 − e

−25

)

b) 0

c) ln

√

2 −

5

16

d)

7

√

2

3

e)

8π

3

f )

1

12

(b

2

− a

2

)(α

−6

− β

−6

)

g)

16

3

π

h)

968

15

π

2. 3(

π

4

+

1
2

)

3. a

2

4. 5kπ

5. x

C

= 0 (z symetrii), y

C

=

3

16

πR, (m =

2
3

kR

3

)

6. a)

19π

6

b)

4π

105

(8

√

2 − 9)

7. a) x

C

= y

C

= 0 (z symetrii), z

C

=

3c

8

, (m =

2
3

πabc)

b) x

C

= y

C

= 0 (z symetrii), z

C

=

3
2

, (m =

4
3

π)

2