am3, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Analiza Matematyczna, materialy od starszych rocznikow Analiza


Tw.

Jeżeli 0x01 graphic

Jeżeli 0x01 graphic

Tw.4 (o trzech ciągach)

Jeżeli 0x01 graphic
oraz dla prawie wszystkich n spełniona jest nierówność 0x01 graphic
to 0x01 graphic
.

Tw.5

Jeżeli ciąg 0x01 graphic
jest ograniczony i 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

Tw.6 ( zachowaniu nierówności słabej przy przejściu do granicy)

Jeżeli 0x01 graphic
i 0x01 graphic
oraz dla prawie wszystkich n spełniona jest nierówność 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

Znak granicy i znak wyrazów ciągu

Tw.7

Jeżeli granica ciągu jest liczbą dodatnią (ujemną), to prawie wszystkie wyrazy ciągi są dodatnie (ujemne).

Jeżeli ciąg jest zbieżny i ma nieskończenie wiele wyrazów nieujemnych (niedodatnich), to granica tego ciągu jest liczbą nieujemną (niedodatnią).

Tw.8 (warunek Cauchy'ego zbieżności ciągu)

Ciąg 0x01 graphic
jest zbieżny

0x01 graphic
0x01 graphic

dla dowolnej liczby dodatniej 0x01 graphic
istnieje liczba 0x01 graphic
taka, że wszystkie wyrazy ciągu o wskaźnikach większych od 0x01 graphic
różnią się między sobą mniej niż o 0x01 graphic
.

Ważniejsze granice

Prawdziwe są poniższe równości:

1. 0x01 graphic

2. 0x01 graphic

3. 0x01 graphic

4. 0x01 graphic

5. 0x01 graphic

Podciągi danego ciągu

Niech dany będzie ciąg 0x01 graphic
oraz ciąg rosnący 0x01 graphic
, którego każdy wyraz jest liczba naturalną.

Ciąg 0x01 graphic
nazywamy podciągiem ciągu 0x01 graphic
odpowiadającym ciągowi wskaźników0x01 graphic
.

Tw.9

Jeżeli ciąg jest zbieżny do granicy g, to każdy jego podciąg jest zbieżny do granicy g.

Jeżeli ciąg jest rozbieżny do0x01 graphic
(0x01 graphic
), to każdy jego podciąg jest rozbieżny do 0x01 graphic
(0x01 graphic
).

Wniosek

Jeżeli dwa podciągi danego ciągu są zbieżne do różnych granic, to ciąg ten jest rozbieżny.

Tw.10: (Bolzano-Weierstrassa)

Z każdego ciągu ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny.

Symbole nieoznaczone

0x01 graphic

Mówimy, że ciąg 0x01 graphic
jest ciągiem typu 0x01 graphic
jeżeli jest dany w postaci różnicy dwóch ciągów rozbieżnych do 0x01 graphic
.

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

O ciągu 0x01 graphic
nie można niczego orzec bez bliższych informacji o ciągach 0x01 graphic
.

Rachunek granic nieskończonych

1. Jeżeli 0x01 graphic
lub 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
. Symbolicznie: 0x01 graphic
,0x01 graphic
.

2. Jeżeli 0x01 graphic
i wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie (0x01 graphic
), to 0x01 graphic
. Symbolicznie0x01 graphic
.

3. Jeżeli 0x01 graphic
i wszystkie wyrazy ciągu są ujemne (0x01 graphic
), to 0x01 graphic
. Symbolicznie0x01 graphic
.

4a. Jeżeli 0x01 graphic
, 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

4b. Jeżeli 0x01 graphic
, 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

Symbolicznie0x01 graphic
.

5a Jeżeli 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
. 0x01 graphic

5b. Jeżeli 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
. 0x01 graphic

6a. Jeżeli 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
. 0x01 graphic

6b. Jeżeli 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
. 0x01 graphic

Symbolicznie twierdzenie zapisujemy

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Zadania z twierdzeniami do zapamiętania (praca domowa)

1.Niech 0x01 graphic
będzie ciągiem liczbowym o wyrazach różnych od zera.

Jeżeli 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

Jeżeli 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

2. Niech 0x01 graphic
będzie ciągiem liczbowym.

Jeżeli 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

Jeżeli 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

3. Niech 0x01 graphic
będzie ciągiem liczbowym o wyrazach dodatnich. Pokazać, że

Jeżeli 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

Pokazać na przykładzie, że implikacja odwrotna nie zachodzi.

9



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wyklad7ALG2001, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Algebra Liniowa, materialy od starszych r
Wyklad8ALG2001, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Algebra Liniowa, materialy od starszych r
Wyklad2ALG2001a, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Algebra Liniowa, materialy od starszych
Wyklad5ALG2001, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Algebra Liniowa, materialy od starszych r
ALGEBRA tu szuka kolosa, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Algebra Liniowa, materialy od s
Wyklad6ALG2001, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Algebra Liniowa, materialy od starszych r
Egzamin z algebry, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Algebra Liniowa, materialy od starszyc
am4 Szeregi liczbowe, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Analiza Matematyczna, materialy od
27112009, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Analiza Matematyczna, materialy od starszych ro
Egzamin ANA1 04092000, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Analiza Matematyczna, materialy od
analiza (2), Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Analiza Matematyczna, materialy od starszych
am2.kol1, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Analiza Matematyczna, materialy od starszych ro
PD ćw13, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Analiza Matematyczna, materialy od starszych roc
d3 ciagi iczbowe, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Analiza Matematyczna, materialy od star

więcej podobnych podstron