1

Wydział: WILiŚ, Budownictwo i Transport, sem.2

dr Jolanta Dymkowska

Powierzchnie stopnia drugiego

Definicja Powierzchnią stopnia drugiego nazywamy zbiór punktów przestrzeni trójwymiarowej,

które spełniają równanie:

A x

2

+ B y

2

+ C z

2

+ D xy + E xz + F yz + G x + H y + I z + K = 0,

gdzie A, B, . . . , K są stałymi. Ponadto przynajmniej jedna ze stałych A, B, C, D, E, F musi

być rózna od zera. Jest to ogólne równanie powierzchni stopnia drugiego.

Przykład

Równanie x

2

+ y

2

+ z

2

= 1 opisuje sferę o środku w punkcie O(0, 0, 0) i

promieniu 1. Równanie x

2

+ y

2

+ z

2

+ 2x − 6z + 6 = 0 opisuje sferę o środku w punkcie

S(−1, 0, 3) i promieniu 2.

Twierdzenie

Każdą powierzchnię stopnia drugiego można tak obrócić i przesunąć, aby

miała ona jedno z następujących równań:

•

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

= 1

-

elipsoida

•

x

2

a

2

+

y

2

b

2

−

z

2

c

2

= 1

-

hiperboloida jednopowłokowa

•

x

2

a

2

−

y

2

b

2

−

z

2

c

2

= 1

-

hiperboloida dwupowłokowa

•

x

2

a

2

+

y

2

b

2

−

z

2

c

2

= 0

-

stożek

•

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 2pz

-

paraboloida eliptyczna

•

x

2

a

2

−

y

2

b

2

= 2pz

-

paraboloida hiperboliczna

•

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1

-

walec eliptyczny

•

x

2

a

2

−

y

2

b

2

= 1

-

walec hiperboliczny

• x

2

= 2py

-

walec paraboliczny

2

Równania powyższe nazywamy równanianmi kanonicznymi powierzchni stopnia drugiego

(niezdegenerowanych).

W niektórych przypadkach ogólne równanie powierzchni stopnia drugiego może przedstawiać

zbiór punktów przestrzeni, będący zbiorem pustym, zbiorem jednopunktowym, prostą, sumą

dwóch prostych, płaszczyzną, sumą dwóch płaszczyzn. Powierzchnie takie nazywamy zdegenerowanymi.

Uwaga

Kształt powierzchni opisanych w twierdzeniu można ocenić na podstawie ich

przekrojów z płaszczyznami równoległymi do płaszczyzn układu współrzędnych.

Rysunki podstawowych powierzchni stopnia drugiego przedstawiłam na osobnej kartce (kartkę

tą można mieć na kolokwium i egzaminie).

Definicja

Powierzchnię utworzoną przez rodzinę prostych równoległych do danej prostej

i przechodzących przez punkty krzywej

L

nazywamy powierzchnia walcową. Krzywą

L

nazywamy kierownicą, a każdą prostą ztej rodziny - tworzącą powierzchni walcowej.

Na przykład równanie

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1 na płaszczyźnie OXY opisuje elipsę, w przestrzeni równanie

to opisuje powierzchnię walcową, której kierownicą jest elipsa a tworzące są równoległe do osi

OZ. Powierzchnię tą nazywamy walcem eliptycznym.

Ćwiczenie

Narysuj powierzchnie:

• x

2

+ y

2

+ 2z

2

= 4

• x

2

+ 2y

2

= z

2

• x

2

+ y

2

+ z

2

= 2z

• x

2

+ z

2

= 4z

• y = 3x

2

+ 1

• y = ln x