MMF 1 – Egzamin pisemny FT + FM + IS – 5.02.2009

1. (5 pkt) Znajd´

z wszystkie pierwiastki r´

ownania

z

4

− 2z

2

+ 4 = 0

Ka˙zdy z pierwiastk´

ow przedstaw w ka˙zdej z trzech postaci liczby zespolonej:

algebraicznej, trygonometrycznej i wyk ladniczej.

2. (5 pkt) Znajd´

z macierz odwrotn

ι

a do macierzy

A

=






i

1

−i

2

0

i

0

1

i






3. (5 pkt) Podaj liczb

ι

e rozwi

ι

aza´

n uk ladu r´

owna´

n w zale˙zno´

sci od warto´

sci parame-

tru a. W przypadkach kiedy istniej

ι

a rozwi

ι

azania znajd´

z je.

x

+ y + 2z = 3

x

+ ay + 2az = 3

3x − y + az = 5

4. (5 pkt) Prosz

ι

e znale´

z´

c warto´

sci w lasne i wektory w lasne macierzy

B

=








0

0

−1

−i

0

0

−1

i

−1

−1

0

0

i

−i

0

0








Nast

ι

epnie prosz

ι

e wybra´

c cztery ortonormalne wektory w lasne oraz zbudowa´

c

z nich unitarn

ι

a macierz U diagonalizuj

ι

ac

ι

a macierz B poprzez transformacj

ι

e po-

dobie´

nstwa U

†

BU

= Λ i obliczy´

c macierz Λ.