MMF 1 – Egzamin pisemny FT + FM + IS – 5.02.2009

1. (5 pkt) Znajdź wszystkie pierwiastki równania z4 − 2z2 + 4 = 0

Każdy z pierwiastków przedstaw w każdej z trzech postaci liczby zespolonej: algebraicznej, trygonometrycznej i wyk ladniczej.

2. (5 pkt) Znajdź macierz odwrotna do macierzy ι



i

1



−i

A =  2

0

i







0

1

i

3. (5 pkt) Podaj liczbe rozwiazań uk ladu równań w zależności od wartości parame-

ι

ι

tru a. W przypadkach kiedy istnieja rozwiazania znajdź je.

ι

ι

x + y + 2z = 3

x + ay + 2az = 3

3x − y + az = 5

4. (5 pkt) Prosze znaleźć wartości w lasne i wektory w lasne macierzy ι



0

0



−1

−i



0

0



B =

−1

i











−1

−1

0

0 

i

−i

0

0

Nastepnie prosze wybrać cztery ortonormalne wektory w lasne oraz zbudować ι

ι

z nich unitarna macierz U diagonalizujaca macierz B poprzez transformacje po-

ι

ι

ι

ι

dobieństwa U †BU = Λ i obliczyć macierz Λ.