Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 11

11. Elementy szczególnej teorii względności

11.1 Wstęp

Mechanika klasyczna oparta na zasadach dynamiki Newtona poprawnie opisuje zja-

wiska, w których prędkości ciał są małe w porównaniu z prędkością światła. Jednak
w zjawiskach atomowych, jądrowych i w astrofizyce spotykamy się z prędkościami
zbliżonymi do prędkości światła i wtedy zamiast mechaniki klasycznej musimy stoso-
wać mechanikę relatywistyczną opartą na szczególnej teorii względności opracowanej
przez Einsteina. Mechanika klasyczna nie jest sprzeczna z mechaniką relatywistyczną,
a stanowi jej szczególny przypadek (dla małych prędkości).

11.1.1 Zasada względności

Wiemy już, że gdy układ porusza się ze stałą prędkością po linii prostej to każde do-

świadczenie przebiega tak samo jakbyśmy się nie poruszali. Jednocześnie jakakolwiek
zmiana prędkości natychmiast jest przez nas zauważana.
Narzuca się wniosek, poparty przez niezliczone obserwacje, że żadne doświadczenie nie
pozwala nam stwierdzić, że się poruszamy (

v

= const). Inaczej mówiąc:

Prawa przyrody (w szczególności fizyki) są takie same bez względu na to, czy obserwu-
jemy je z układu nie poruszającego się, czy z ruchomego, ale poruszającego się bez
przyśpieszenia (czyli układu inercjalnego)

Ten wniosek, nazywany obecnie

zasadą względności

: sformułowano jeszcze za czasów

Galileusza.

11.1.2 Transformacja Galileusza

Omawiając zasady dynamiki Newtona stwierdziliśmy, że prawa przyrody (w szcze-
gólności fizyki) są takie same bez względu na to, czy obserwujemy je z układu nie po-
ruszającego się, czy z ruchomego, ale poruszającego się bez przyśpieszenia (układy in-
ercjalne).

Spróbujemy teraz opisać zjawiska widziane z dwóch różnych inercjalnych układów

odniesienia, poruszających się względem siebie (rysunek). W tym celu wyobraźmy so-
bie, obserwatora na ziemi, który rejestruje dwa wybuchy na pewnej, jednakowej wyso-
kości. Odległość między miejscami wybuchów wynosi, (według ziemskiego obserwato-
ra)

∆x, natomiast czas między wybuchami ∆t. Te same dwa zdarzenia obserwowane są

przez pasażera samolotu lecącego z prędkością V po linii prostej łączącej miejsca wy-
buchów. Względem lokalnego układu odniesienia związanego z lecącym samolotem
różnica położeń wybuchów wynosi

∆x’, a różnica czasu ∆t’.

Porównajmy teraz spostrzeżenia obserwatorów na ziemi i w samolocie. Zróbmy to

np. z pozycji obserwatora na ziemi, który próbuje opisać to co widzą pasażerowie sa-
molotu.

11-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Jeżeli, pierwszy wybuch nastąpił w punkcie x

1

’ (względem samolotu), a drugi po

czasie

∆t, to w tym czasie samolot przeleciał drogę V∆t (względem obserwatora na

Ziemi) i drugi wybuch został zaobserwowany w punkcie

Vt

x

x

x

−

∆

+

= '

'

1

2

czyli

Vt

x

x

x

x

−

∆

=

−

=

∆

'

'

'

1

2

Jednocześnie, ponieważ samolot leci wzdłuż linii łączącej wybuchy, to

∆y’ = ∆z’ = 0.

Oczywistym wydaje się też, że

∆t’ = ∆t.

Otrzymaliśmy więc

wzory przekładające wyniki obserwacji jednego obserwatora na

spostrzeżenia drugiego

t

t

z

z

y

y

Vt

x

x

=

=

=

−

=

'

'

'

'

(11.1)

Te równania noszą nazwę

transformacji Galileusza

Sprawdźmy, czy stosując powyższe wzory do opisu doświadczeń, otrzymamy takie sa-
me wyniki, niezależnie od układu w którym to doświadczenie opisujemy. Jako przykład
wybierzmy ciało poruszające wzdłuż osi x ruchem jednostajnie przyspieszonym z przy-
spieszeniem a. W układzie nieruchomym prędkość chwilowa ciała wynosi

t

x

u

∆

∆

=

Jego przyspieszenie jest stałe i równe a. Natomiast obserwator w pojeździe poruszają-
cym się wzdłuż osi x ze stałą prędkością V rejestruje, że w czasie

∆t’ ciało przebywa

odległość

∆x’. Zatem prędkość chwilowa ciała zmierzonego przez tego obserwatora

wynosi

11-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

'

'

'

t

x

u

∆

∆

=

Zgodnie z transformacją Galileusza

∆x' = ∆x − V∆t, oraz ∆t' = ∆t, więc

V

u

t

t

V

x

t

x

u

−

=

∆

∆

−

∆

=

∆

∆

=

'

'

'

Otrzymaliśmy prędkość względną jednego obiektu względem drugiego co jest wyni-
kiem intuicyjnie oczywistym. Natomiast przyśpieszenie w układzie poruszającym się
wynosi

a

t

u

t

V

u

t

u

a

=

∆

∆

=

∆

−

∆

=

∆

∆

=

)

(

'

'

'

Widać, że w tym przypadku zastosowanie wzorów transformacji Galileusza daje wynik
zgodny z doświadczeniem. Jednak nie jest to prawdą w każdym przypadku. Miedzy in-
nymi stwierdzono, że ta transformacja zastosowana do równań Maxwella nie daje tych
samych wyników dla omawianych układów inercjalnych. W szczególności z praw
Maxwella wynika, że

prędkość światła jest podstawową stałą przyrody i powinna być

taka sama w każdym układzie odniesienia

.

Oznacza to na przykład, że gdy impuls światła rozchodzący się w próżni w kierunku x
jest obserwowany przez dwóch obserwatorów (patrz na tekst i rysunek powyżej) to za-
równo obserwator nieruchomy jak poruszający się z prędkością V (względem pierwsze-
go) zmierzą identyczną prędkość impulsu c = 2.998

⋅10

8

m/s. Tymczasem zgodnie

z transformacją Galileusza i ze zdrowym rozsądkiem powinniśmy otrzymać wartość
c – V. W
Maxwella, a w szczególności próbowano pokazać, że prędkość światła, tak jak prędkość
dźwięku zależy od układu odniesienia (stosuje się do transformacji Galileusza). Naj-
sławniejsze z nich, to doświadczenie Michelsona-Morleya mające na celu wykrycie
wpływu ruchu orbitalnego Ziemi na prędkość światła poprzez pomiar prędkości światła
w kierunku prostopadłym i równoległym do ruchu Ziemi. Wszystkie te doświadczenia
dały wynik negatywny i musimy uznać, że prędkość światła w próżni jest jednakowa
we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.

Prędkość światła c = 2.988

⋅10

8

m/s we wszystkich u

ykonano szereg doświadczeń, w których próbowano podważyć równania

kładach odniesienia

.

ła.

11.1.3 Dylatacja czasu

Załóżmy, że w rakiecie znajduje się przyrząd wysyłający impuls światła z punktu A,

któ

dzy wysłaniem światła, a jego zarejestrowaniem przez obser-

światła z punktu A do zwierciadła i z powrotem do A.

Rozpatrzmy teraz niektóre wnioski wynikające ze stałości prędkości świat

ry następnie odbity przez lustro Z, odległe od A o d powraca do punktu A, gdzie jest

rejestrowany (rysunek).
Czas

∆t' jaki upływa mię

watora będącego w rakiecie jest oczywiście równy

∆t' = 2d/c (rysunek po lewej stronie).

Teraz to samo zjawisko opisujemy z układu nieruchomego, względem którego rakieta
porusza się w prawo z prędkością V. Chcemy, w tym układzie, znaleźć czas

∆t przelotu

11-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

na rysunku (po prawej stronie) światło przechodząc od punktu

porusza się po linii o długości S

Jak widać

A do zwier-

ciadła Z



2

2

d

t

V

S

+







∆

=

Zatem czas potrzebny na przebycie drogi

(tj. dwóch odcinków S) wynosi

2 



AZA

c

t

2

2





=

∆

2d

d

V

2

+





lub po przekształceniu

t

2



 ∆

2

2

2

2

1

1

c

V

c

V

t

−

=

−

=

∆

(11.2)

Widzimy, że warunek stałoś

nych układach odniesienia może

yć spełniony tylko wtedy gdy, czas pomiędzy dwoma zdarzeniami obserwowanymi

y są w ruchu. Dotyczy to również reakcji chemicznych,

ści bliskiej prędkości światła i mierzono zmianę

ci prędkości światła w róż

't

c

∆

b
i mierzonymi z różnych układów odniesienia jest różny.
W konsekwencji,

każdy obserwator stwierdzi, że poruszający się zegar idzie wolniej niż

identyczny zegar w spoczynku

.

To zjawisko

dylatacji czasu

jest własnością samego czasu i dlatego spowolnieniu ulega-

ją wszystkie procesy fizyczne gd
więc i np. biologicznego starzenia się.
Dylatację czasu zaobserwowano doświadczalnie min. za pomocą nietrwałych cząstek.
Cząstki takie przyspieszano do prędko
ich czasu połowicznego zaniku.

11-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

11.2 Transformacja

Lorentza

Szukamy ponownie (jak w przypadku transformacji Galileusza) wzorów przekłada-

jących spostrzeżenia jednego obserwatora na obserwacje drugiego. Chcemy znaleźć
transformację współrzędnych ale taką, w której obiekt poruszający się z prędkością
równą c w układzie nieruchomym (x, y, z, t), również w układzie (x', y', z', t') poruszają-
cym się z prędkością V wzdłuż osi x będzie poruszać się z prędkością c.

Transformacja współrzędnych, która uwzględnia niezależność prędkości światła od

układu odniesienia ma postać

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

'

'

'

1

1

'

β

β

−

−

=

−

−

=

=

=

−

−

=

−

−

=

x

c

V

t

c

V

x

c

V

t

t

z

z

y

y

Vt

x

c

V

Vt

x

x

(11.3)

gdzie

β = V/c. Te równania noszą nazwę

transformacji Lorentza

.

Omówimy teraz niektóre wnioski wynikające z transformacji Lorentza.

11.2.1 Jednoczesność

Przyjmijmy, że według obserwatora w rakiecie poruszającej się wzdłuż osi x' (czyli

także wzdłuż osi x, bo zakładamy, że te osie są równoległe) pewne dwa zdarzenia za-
chodzą równocześnie

∆t' = t

2

' - t

1

' = 0, ale w rożnych miejscach x

2

' - x

1

' =

∆x' ≠ 0.

Sprawdźmy, czy te same zdarzanie są również jednoczesne dla obserwatora w spoczyn-
ku. Z transformacji Lorentza wynika, że

2

2

1

'

β

−

∆

−

∆

=

∆

x

c

V

t

t

t

V

x

x

∆

+

−

∆

=

∆

2

1

'

β

Łącząc oba powyższe równania otrzymujemy związek

'

1

'

2

2

x

c

V

t

t

∆

−

−

∆

=

∆

β

(11.4)

Jeżeli teraz uwzględnimy fakt, że zdarzenia w układzie związanym z rakietą są jedno-
czesne

∆t' = 0 to otrzymamy ostatecznie

11-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

'

1

2

2

x

c

V

t

∆

−

=

∆

β

(11.5)

Widzimy, że równoczesność zdarzeń nie jest bezwzględna, w układzie nieruchomym te
dwa zdarzenia nie są jednoczesne.

11.2.2 Skrócenie długości

Teraz rozpatrzmy inny przykład. W rakiecie poruszającej się z prędkością V, wzdłuż

osi x' leży pręt o długości L'. Sprawdźmy jaką długość tego pręta zaobserwuje obserwa-
tor w układzie nieruchomym.

Pomiar długości pręta polega na zarejestrowaniu dwóch zjawisk zachodzących rów-

nocześnie na końcach pręta (np. zapalenie się żarówek). Ponieważ żarówki zapalają się
na końcach pręta to

∆x' = L'. Ponadto żarówki zapalają się w tym samym czasie (dla ob-

serwatora w układzie spoczywającym ) to dodatkowo

∆t = 0. Uwzględniając te warunki

otrzymujemy na podstawie transformacji Lorentza

x

L

∆

−

=

2

1

1

'

β

∆x jest długością pręta L w układzie nieruchomym więc

2

1

'

β

−

=

=

∆

L

L

x

(11.6)

Okazuje się, że pręt ma mniejszą długość, jest krótszy.

11.2.3 Stałość przedziału czasoprzestrzennego

Pomimo,

że powyższy opis kłóci się ze zdrowym rozsądkiem i doświadczeniem ży-

cia codziennego to jednak po bliższej analizie transformacja Lorentza może już nie wy-
dawać się aż tak dziwna. Wyobraźmy sobie pręt o dł. np. .20m. umieszczony w układzie
współrzędnych w taki sposób, że rzut tego odcinka na oś x wynosi

∆x, a na oś y ∆y.

y'

y

x'

x

α

Jeśli teraz ktoś znajdzie się w drugim układzie współrzędnych, obróconym względem
pierwszego o kąt , to spoglądając na ten odcinek z tego układu mierzy jego współ-
rzędne jako

∆x

’

i

∆y

’

α

. Czy jest to dla nas dziwne? Oczywiście nie. Możemy także prze-

tłumaczyć opis w jednym układzie na opis w drugim (znaleźć transformację)

11-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

∆x

’

=

∆x cos

α + ∆y sinα

∆y

’

=-

∆x sin

α + ∆y cosα

Poszczególne wyniki obserwacji

∆x i ∆y dla jednego człowieka, oraz, odpowiednio, ∆x'

i

∆y' dla drugiego są różne, lecz suma ich kwadratów tj.

długość pręta jest taka sama

.

Związek między

∆x i ∆y, a ∆x' i ∆y' jest dany przez liniową kombinację podobnie jak

w transformacji Lorentza. Tylko, że tutaj wiemy, że

∆x i ∆y to odległości, a tam ∆x i ∆t

to wielkości innego rodzaju.

Szczególna teoria względności dowodzi, że

czas jest ściśle powiązany z odległością

i naprawdę żyjemy w 4-wymiarowej przestrzeni; czasoprzestrzeni

. Co więcej, podobna

wielkość jak odległość w naszym przykładzie też istnieje: jest nią

przedział czasoprze-

strzenny

(

∆x)

2

-(c

∆t)

2

, który jest niezmiennikiem transformacji Lorenzta, czyli jest taki

sam w dwóch układach

(

∆x)

2

-(c

∆t)

2

=(

∆x’)

2

-(c

∆t’)

2

(11.7)

11.2.4 Dodawanie prędkości

Uprzednio rozważaliśmy obiekt spoczywający w rakiecie. Teraz zajmiemy się przy-

padkiem gdy obiekt ma już pewną prędkość U

x

' w ruchomym układzie odniesienia (tj.

względem rakiety). Sprawdzimy jaką prędkość U

x

zarejestruje nieruchomy obserwator,

w układzie którego rakieta porusza się z prędkością V wzdłuż osi x. Z transformacji Lo-
rentza wynika, że

2

1

'

β

−

∆

−

∆

=

∆

t

V

x

x

2

2

1

'

β

−

∆

−

∆

=

∆

x

c

V

t

t

Dzieląc te równania przez siebie otrzymujemy

t

x

c

V

V

t

x

x

c

V

t

t

V

x

t

x

∆

∆

−

−

∆

∆

=

∆

−

∆

∆

−

∆

=

∆

∆

2

2

1

'

'

a po podstawieniu

'

'

'

t

x

U

x

∆

∆

=

i

t

x

x

∆

∆

=

U

11-7

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

2

1

'

c

VU

V

U

U

x

x

x

−

−

=

(11.8a)

Równanie (11.8a) można rozwiązać ze względu na U

x

2

'

1

'

c

VU

V

U

U

x

x

x

+

+

=

(11.8b)

W ogólności, jeśli obiekt przesuwa się z prędkością

' , względem ob-

serwatora w rakiecie (poruszającej się z prędkością U wzdłuż osi x) to prędkość

tego przedmiotu zarejestrowana w nieruchomym układzie wyniesie

'

'

y

x

V

V

V

j

i

+

=

y

x

V

V

V

j

i

+

=

2

'

1

'

c

UV

V

U

V

x

x

x

+

+

=

(11.9a)

V

y

= V

y

'

(11.9b)

Przykład 1

Dwa naddźwiękowe samoloty odrzutowe lecą ku sobie na kursie kolizyjnym. Ich

prędkości względem Ziemi wynoszą odpowiednio: samolot 1 V

x

= 1500km/h, samolot 2

U = 3000km/h. Jaką wartość prędkości pierwszego samolotu zmierzy obserwator w sa-
molocie drugim?
Samolot 2 jest układem, względem którego prędkość obiektu (czyli samolotu 1) chcemy
obliczyć, przy znanej prędkości w układzie związanym z Ziemią. Ponieważ V

x

= 1500

km/h, U = - 3000 km/h (bo przeciwny kierunek). stąd na podstawie równania (11.9a)
V

x

' = 4497.77 km/h.

11.2.5 Zależność masy od prędkości

Dotychczas zajmowaliśmy się kinematyką ruchu ciała obserwowanego z dwóch

układów odniesienia poruszających się względem siebie ze stałą prędkością. Teraz
chcemy odpowiedzieć na pytanie jak można opisać zachowanie ciała pod wpływem sił
w sytuacji, gdy transformacja Lorentza, (a nie Galileusza) jest prawdziwa. Chodzi o to,
czy druga zasada dynamiki Newtona F = dp/dt może być stosowana i czy zasada za-
chowania pędu ma taką samą postać we wszystkich układach inercjalnych.

Okazuje się, że warunkiem zachowania pędu przy transformacji z jednego układu

odniesienia do innego jest uwzględnienie zależność masy ciała m od jego prędkości V,
danej następującym wyrażeniem

2

2

0

1

)

(

c

V

m

V

m

−

=

(11.10)

11-8

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

w którym m

0

oznacza

masę spoczynkową

, czyli masę nieruchomego ciała. Zauważmy

ponadto, że masa cząstki rośnie wraz z prędkością i zmierza do nieskończoności gdy
V Æ c.

Rozpatrzmy teraz ruch ciała pod wpływem stałej siły F działającej równolegle do

kierunku ruchu. Zależność prędkości ciała od czasu obliczamy na podstawie drugiej za-
sad dynamiki Newtona. Uwzględniając zależność masy od prędkości (11.10) otrzymu-
jemy

2

0

0

1

)

(













+

=

c

m

Ft

m

Ft

t

V

Porównanie zależność prędkości ciała od czasu działania siły w mechanice klasycznej
i relatywistycznej jest pokazane na rysunku poniżej.

0

1

Prędkość relatywistyczna

Prędkość klasyczna

Przedział mechaniki klasycznej

V/

c

t

W przeciwieństwie do opisu klasycznego, z powyższej zależności wynika, że cząstki
nie da się przyspieszać w nieskończoność działając stałą siłą.
Zmiana masy z prędkością została potwierdzona wieloma doświadczeniami prze-
prowadzonymi dla cząstek elementarnych.

11.2.6 Równoważność masy i energii

Einstein pokazał, że zasada zachowania energii jest spełniona w mechanice relaty-

wistycznej pod warunkiem, że pomiędzy masą i całkowitą energią ciała zachodzi zwią-
zek

2

mc

E

=

(11.11)

11-9

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

gdzie m zależy od prędkości ciała V zgodnie zrównaniem (11.10). To znane powszech-
nie równanie Einsteina opisuje równoważność masy i energii. Wynika z niego, że ciało
w spoczynku ma zawsze pewną energię związaną z jego masa spoczynkową

2

0

0

c

m

E

=

Energię kinetyczną ciała poruszającego się z prędkością V obliczamy odejmując od

energii całkowitej energię spoczynkową (nie związaną z ruchem)

2

0

2

0

2

0

)

(

c

m

m

c

m

mc

E

E

E

k

−

=

−

=

−

=

Widzimy, że mechanika relatywistyczna wiąże energię kinetyczną z przyrostem masy
ciała. Na zakończenie zobaczmy jaką wartość przyjmuje energia całkowita, jeśli pręd-
kość V jest mała. Dla małego V równanie (11.10) można przybliżyć (rozwijając w sze-
reg) do postaci













+

≈

−

=

2

2

0

2

2

0

2

1

1

)

(

c

V

m

c

V

m

V

m

Podstawiając tę wartość do wyrażenia na energię całkowitą otrzymujemy

2

)

(

2

0

2

0

2

V

m

c

m

c

V

m

E

+

≈

=

Pierwszy wyraz jest energią związaną z istnieniem samej masy (energia spoczynkowa)
natomiast drugi jest klasyczną energią kinetyczną związaną z ruchem ciała. Otrzymali-
śmy rozwiązanie klasyczne jako graniczny przypadek (dla małych prędkości) rozwiąza-
nia relatywistycznego.

Stąd o krok już było do stwierdzenia, że jeżeli masa spoczynkowa cząstki zostanie

zmniejszona o

∆m, to nastąpi wyzwolenie energii ∆E = ∆mc

2

. Te wnioski zostały po-

twierdzone doświadczalnie i omówimy je na dalszych wykładach.

11-10