Zestaw VI – trygonometria

- BUDOWNICTWO I -

1

Na zajęciach rozwiążemy tylko niektóre z poniższych zadań. Zadania nierozwiązane na tablicy należy rozwiązać

samemu w domu.

Zadanie 0.

Zapamiętaj szybki sposób tworzenia tabelki najczęściej używanych wartości trygonometrycznych.

Zadanie 1.

Dla f (x) = sin x narysuj: f (2x), f (

x

2

), 2f (x),

1
2

f (x),

1
2

f (2x), 2f (

1
2

x).

Zadanie 2.

Znajdź okres podstawowy funkcji:

a) y = cos(3x − 5), b y = sin(2πx), c) y = 7 sin(

3πx

2

), d) y = 2

sin(

x

2

)

, e) y = −2 cos(π − 3x).

Zadanie 3.

Sporządź wykresy funkcji:

a) f (x) = |

1
2

sin(2x −

π

2

) − 1|, b) f (x) = ||tg(|x|) − 1| − 1|, c) f (x) = || − ctg(x +

π

4

)| − 1|,

d) f (x) = | − cos(|x +

π

2

|) −

1
2

|.

Zadanie 4.

Za pomocą elementarnych przekształceń wykresu stwórz:

a) wykres funkcji cos(x) przekształcając wykres sin(x),

b) wykres funkcji sin(x) przekształcając wykres cos(x),

c) wykres funkcji tg(x) przekształcając wykres ctg(x),

d) wykres funkcji ctg(x) przekształcając wykres tg(x),

Dla każdego podpunktu wymyśl co najmniej dwa przykłady.

Zadanie 5.

Oszacuj znak wyrażeń korzystając z popularnego wierszyka:

a) ctg(4), b) sin(5.24), c) cos(

√

3), d) tg(e).

Zadanie 6.

Oblicz dokładną wartość wyrażeń:

a) cos(−1050

◦

) + sin(870

◦

), b) 8 · sin(120

◦

) · tg(300

◦

), c) 4 · sin(30

◦

) · cos(60

◦

) · tg(240

◦

) · ctg(210

◦

).

Zadanie 7.

Korzystając z wzorów redukcyjych wyprowadź:

a) dwa inne wzory na cos 2x, b) wzór na ctg(2x), c) wzór na tg(x + y).

Zadanie 8.

Wykaż tożsamości:

a) 1 − 2 sin

2

x =

1−tg

2

x

1+tg

2

x

, b)

tgx

tgx+ctgx

= sin

2

x, c) cos

4

x − sin

4

x = cos

2

x − sin

2

x,

d)

tgx+tgy

ctgx+ctgy

= tgx · tgy, e)

1

sin

2

x

− 1 = tg

−2

x.

Zadanie 9

∗

.

Wykaż, że cos

π

5

cos

2π

5

=

1
4

.

Zadanie 10.

Wyznacz wartości czterech funkcji trygonometrycznych dla kąta 15

◦

.

Zestaw VI – trygonometria

- BUDOWNICTWO I -

2

Zadanie 11

∗

.

Oblicz cos 72

◦

jeżeli sin 12

◦

= p.

Zadanie 12.

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji korzystając z własności funkcji trygonome-

trycznych:

a) y =

1

4+tgx

, x ∈ [−

π

4

,

π

4

], b) y = 2

sin x+2

, c) y = (sin

6

x + cos

6

x)

−1

,

d) y = −3 + 8 sin

x

2

cos

x

2

, e) y = 1 − 2 cos

2

x + cos 2x, f) y = sin x cos

3

x − sin

3

x cos x.

Zadanie 13.

Naszkicuj wykresy funkcji:

a) y = sin x + | sin x|, b) y = ctg(

x−|x|

2

), c) y = sgn(cos x), d) y = | sin

4

x − cos

4

x|,

e) y =

√

1 + cos 2x, f) y = tg(

√

x

2

), g) y = 2 sin x| cos x|.

Zadanie 14.

Rozwiąż równania:

a) cos x =

1
2

, b) sin x =

√

3

2

, c) tgx = 1, d) ctgx =

√

3.

Zadanie 15.

Rozwiąż równania z Zadania 14 zmieniając znak liczby stojącej po znaku równości.

Zadanie 16.

Rozwiąż nierówności:

a) cos x < −

1
2

, b) sin x ≥

√

2

2

, c) tgx > −1, d) ctgx <

√

3.

Zadanie 17.

Rozwiąż równania i nierówności:

a) sin(

2x−π

3

) >

1
2

,

b) cos(

x

2

+ π) =

√

2

2

,

c) tg

−x

2

= 1,

d) ctg

2x+

π

3

3

> 1,

e) sin(

3x−

π

4

4

) <

√

3

2

,

f) cos(

x

2

+ π) < −

√

2

2

,

g) tg

−x

2

≤ −

√

3,

h) ctg

3x−

π

3

4

≥

√

3

3

.

Zadanie 18.

Rozwiąż równania:

a) sin 3x − sin x = 0,

b) 2 sin x = 3ctgx,

c) sin 5x − sin 3x = 2 cos 4x,

d) tgx = sin x,

e) tg

3

x + 1 = tg

2

x + tg,

f) sin

4

x + cos

4

x =

5
8

,

g) tg(

π

2

sin x) = 1,

h)4 sin

3

x + 2 = 1 − 2 sin

2

x − 2 sin x,

i)

cos x

1−sin x

= 1 + sin x.

Zadanie 19.

Rozwiąż nierówności:

a) 3 sin x > 2 cos

2

x,

b) sin

2

x ≤ 0.5,

c) sin

4

x + cos

4

x ≥ 1,

d)

1

sin

2

x+2 cos

2

x

≤ 1,

e) | sin x| > | cos x|,

f) | sin x| sin x ≤ 0.5,

g)

p

ctg

2

x <

√

3,

h) sin

2

x(sin x − 1)

2

(sin x + 0.5) ≥ 0.5.

Zadanie 20.

Wyznacz dziedziny funkcji:

a) y = (1 − 2 cos x)

1
2

, b) y =

p

tg2x −

√

3, c) y =

√

cos x +

√

6x − x

2

.

Zadanie 21.

Oblicz wartość wyrażeń:

a) arccos

√

2

2

+ arctg(−1), b) tg(arcsin

√

2

2

), c) cos(2 arcsin

1
4

), d) ctg(tg(

7π

6

)), e) arcsin(sin

7π

5

).

Zadanie 22.

Określ dziedzinę, przeciwdziedzinę, narysuj wykres funkcji i znajdź wzór funkcji odwrotnej:

a) f (x) = 2 arcsin(

3x+2

5

) +

π

2

, b) f (x) =

1
2

arccos(

x−2

2

) +

π

4

, c) f (x) = π − 0.5arctg(x + 1),

d) f (x) = 2arcctg(

x+2

2

).

Zestaw VI – trygonometria

- BUDOWNICTWO I -

3

Zadanie 23.

Rozwiąż równania i nierówności:

a) arcsin(3 − x) =

π

2

,

b) arccos(

2−x

3

) = π,

c) arctgx

3

=

π

4

,

d) |3arcctgx| = π,

e) 2(arcsin x)

2

− π arcsin x +

π

2

8

= 0,

f) arcsin(x − 1) <

π

4

,

g) 4(arcsin x)

2

− π

2

> 0,

h) arccos x ≥ arccos x

2

,

i) 3 arccos |x

2

− 6x + 9| ≤ π,

j) arctg(2 − x) ≤ arctgx

2

,

k) tg

2

(arcsin x) ≥ 1.

Zadanie 24.

Uprość wzory funkcji i naszkicuj ich wykresy:

a) f (x) = arcsin(sin x), b) f (x) = sin(arcsin x), c) f (x) = cos(2 arcsin x).

Większość zadań pochodzi ze skryptu ”Matematyka – podstawy z elementami matematyki wyższej", Wydawnictwo

PG, 2009.

Zestaw VI – trygonometria

- BUDOWNICTWO I -

4

Wskazówki i odpowiedzi do niektórych zadań

Zadanie 2.

a)

2π

3

, b) 1, c)

4
3

, d)

2π

3

, e) 4π.

Zadanie 5.

a) +, b) −, c) −, d) −.

Zadanie 6.

a)

1
2

+

√

3

2

, b) −12, c) 3.

Zadanie 7.

a) cos 2x = 2 cos

2

x − 1 = 1 − 2 sin

2

x, b) ctg2x =

ctg

2

x−1

2ctgx

, c) tg(x + y) =

tgx+tgy

1−tgxtgy

.

Zadanie 10.

sin

π

12

=

√

3−1

2

√

2

, cos

π

12

=

√

3+1

2

√

2

, tg

π

12

= 2 −

√

3, ctg

π

12

= 2 +

√

3.

Zadanie 11.

1
2

(

p

1 − p

2

−

√

3p).

Zadanie 12.

a) m =

1
5

, M =

1
3

, b) m = 2, M = 8, c) m = 1, M = 4, d) m = −7, M = 1, e) m = M = 0,

f) m = −

1
4

, M =

1
4

.

Zadanie 14.

a) x = ±

π

3

+ 2kπ, b) x ∈ {

π

3

+ 2kπ,

2π

3

+ 2kπ}, c) x =

π

4

+ kπ, d) x =

π

6

+ kπ.

Zadanie 15.

a) x = ±

2π

3

+ 2kπ, b) x ∈ {−

π

3

+ 2kπ,

4π

3

+ 2kπ}, c) x = −

π

4

+ kπ, d) x = −

π

6

+ kπ.

Zadanie 16.

a) x ∈ (

2π

3

+ 2kπ,

4π

3

+ 2kπ), b) x ∈ [

π

4

+ 2kπ,

3π

4

+ 2kπ], c) x ∈ [−

π

4

+ kπ,

π

2

+ kπ),

d) x ∈ (

π

6

+ kπ, π + kπ).

Zadanie 17.

a) x ∈ (

3π

4

+ 3kπ,

7π

4

+ 3kπ), b) x ∈ {−

3π

2

+ 4kπ, −

5π

2

+ 4kπ}, c) x = −

π

2

+ 2kπ,

d) x ∈ (−

π

6

+

3
2

kπ,

5π

24

+

3
2

kπ), e) x ∈ (−

61π

36

+

8kπ

3

,

19π

36

+

8kπ

3

), f) x ∈ (−

π

2

+ 4kπ,

π

2

+ 4kπ),

g) x ∈ [

2π

3

+ 2kπ, π + 2kπ), h) x ∈ (

π

9

+

4
3

kπ,

5π

9

+

4
3

kπ).

Zadanie 18.

a) x ∈ {kπ,

π

4

+

kπ

2

}, b) x = ±

π

3

+ 2kπ, c) x ∈ {

π

8

+

kπ

4

,

π

2

+ 2kπ}, d) x = kπ, e) x =

π

4

+

kπ

2

,

f) x = ±

π

6

+

kπ

2

, g) x ∈ {±

5π

6

+ 2kπ, ±

π

6

+ 2kπ}, h) x ∈ {−

π

6

+ 2kπ, −

5π

6

+ 2kπ}, i) x ∈ {2kπ,

π

2

+ (2k + 1)π}.

Zadanie 19.

a) x ∈ (

π

6

+ 2kπ,

5π

6

+ 2kπ), b) x ∈ [−

π

4

+ kπ,

π

4

+ kπ], c) x =

kπ

2

, d) x ∈ R,

e) x ∈ (

π

4

+ kπ,

3π

4

+ kπ), f) x ∈ R\(

π

4

+ 2kπ,

3π

4

+ 2kπ), g) x ∈ (

π

6

+ kπ,

5π

6

+ kπ), h) x ∈ [−

π

6

+ 2kπ,

7π

6

+ 2kπ].

Zadanie 20.

a) x ∈ [

π

3

+ 2kπ,

5π

3

+ 2kπ], b) x ∈ [

π

6

+

kπ

2

,

π

4

+

kπ

2

), c) x ∈ [0,

π

2

] ∪ [

3π

2

, 6].

Zadanie 21.

a) 0, b) 1, c)

7
8

, d)

π

6

, e)

2π

5

.

Zadanie 22.

a) x ∈ [−

7
3

, 1], y ∈ [−

π

2

,

3π

2

], f

−1

(x) =

5
3

sin(

x

2

−

π

4

) −

2
3

,

b) x ∈ [0, 4], y ∈ [

π

4

,

3π

4

], f

−1

(x) = 2 cos(2x −

π

2

) + 2,

c) x ∈ R, y ∈ (

3π

4

,

5π

4

), f

−1

(x) = tg(−2x + 2π) − 1,

d) x ∈ R, y ∈ (0, 2π), f

−1

(x) = 2ctg(

x

2

) − 2.

Zadanie 23.

a) x = 2, b) x = 5, c) x = 1, d) x =

√

3

3

, e) x =

√

2

2

, f) x ∈ [0, 1 +

√

2

2

], g) x ∈ ∅,

h) x ∈ [−1, 0] ∪ {1}, i) x ∈ [2, 3 −

√

2

2

] ∪ [3 +

√

2

2

, 4], j) x ∈ (−∞, −2) ∪ (1, ∞), k) x ∈ [−1, −

√

2

2

] ∪ [

√

2

2

, 1].

Zadanie 24.

a) x ∈ R, y ∈ [−1, 1], f (x) =







−x

tam gdzie sin x maleje

x

tam gdzie sin x rośnie

,

b) x ∈ [−1, 1], y ∈ [−1, 1], f (x) = x, c) x ∈ [−1, 1], y ∈ [−1, 1], f (x) = −2x

2

+ 1.

Nikt nie jest nieomylny – jeżeli znajdziesz błąd w odpowiedziach, napisz do mnie!