Zadania z oryginalną numeracją pochodzą z Informatora o egzaminie maturalnym od 2010 roku
z matematyki (zdawanej jako przedmiot obowiązkowy) – Zbiór przykładowych zadań maturalnych.

Tydzień 6.

Przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań skorzystaj z

tablic

matematycznych 10. Planimetria oraz

12. Trygonometria.

Do obliczenia sinusa kąta w trójkącie prostokątnym potrzebujemy długości jego przeciwprostokątnej
obliczonej z twierdzenia Pitagorasa.
|AC|

2

+ |BC|

2

= |AB|

2

Stąd |AB| =

sin

Odp. C

W tym przypadku możemy skorzystać z tożsamości trygonometrycznej sin

2

+ cos

2

= 1. Po

podstawieniu i przekształceniu otrzymujemy, że cos

.

Lub

Skoro sin

= , to możemy przyjąć, że odpowiednia przyprostokątna ma długość a, natomiast

przeciwprostokątna 4a. Z twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość drugiej przyprostokątnej, która jest

równa a

. Zatem cos

2

4

c

Odp. D

tg30

o

= > = tg . Funkcja y = tgx w przedziale (0

o

, 90

o

) jest funkcją rosnącą, zatem < 30

o

.

Odp. A

c =

c = 2

sin cos =

Możemy obliczyć cos , tak jak w zad. 28, a następnie tg =

. Teraz podstawiając odpowiednie

wartości możemy obliczyć wartość wyrażenia 3 + 2tg

2

.

Lub

Po obliczeniu długości drugiej przyprostokątnej (patrz rozwiązanie zad. 28. po słowie lub) obliczamy

tg =

. Teraz obliczamy wartość wyrażenia 3 + 2(

)

2

=

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku powyżej, wynikające z warunków zadania.

równoramienny, czyli

(1)

i

są przyległe

Podstawiamy do (1).

5

|CD|

2

+ |BD|

2

= |BC|

2

|CD|

2

+12

2

= 13

2

|CD| = 5

P

ABC

= =

A

13

24

C

B

D

13

Z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej trójkąta ABC. |AB| = 13.

podobny do

w skali k = .

Korzystając z twierdzenia o stosunku pól figur podobnych obliczymy pole trójkąta HAE.

P

ABC

=

P

AHE

=

Nie pamiętając twierdzenia o stosunku pól figur podobnych możemy obliczyć długości boków trójkąta
AHE a następnie, policzyć jego pole.

|AH| =

|EH| =

P

AEH

=

mają wspólny kąt BOR oraz |OD| = |OP| (promień mniejszego półokręgu) i |OB| = OR|

(promień większego półokręgu)

mają wspólny kąt AOR oraz |OC| = |OP| (promień mniejszego półokręgu) i |OA| = |OR|

(promień większego półokręgu)
Dla ułatwienia możemy wprowadzić na rysunku oznaczenia kątów wynikających z warunków zadania.
(1)

(2)

Dodając stronami (1) i (2) otrzymujemy

a to należało dowieść.