Ć w i c z e n i e 43

BADANIE TRANSFORMACJI ENERGII MECHANICZNEJ

W KRĄŻKU MAXWELLA

43.1 Opis teoretyczny

Krążek Maxwella jest to masywne ciało (w naszym przypadku jest to koło zamachowe) zadzierz-
gnięte na cienkim pręcie (ośce). Pręt wystaje z obu stron ciała i przechodzić przez środek jego ma-
sy. Do każdej części pręta ( po obu stronach krążka) są umocowane cienkie linki. Całość może,
więc wisieć na dwu linkach w ten sposób, że pręt zachowuje pozycję poziomą (rys. 43.1), a linki
możemy nawijać na ośkę, przy czym krążek unosi się do góry. Gdy z górnego położenia puścimy
krążek swobodnie, linki zaczynają się odwijać z ośki, a całość opadać ku dołowi coraz szybciej
ruchem jednostajnie przyśpieszonym.
Jednostajnie przyśpieszonemu ruchowi postępowemu ku dołowi towarzyszy ruch obrotowy krążka,
który też jest jednostajnie przyśpieszony. Przyśpieszenie kątowe ruchu obrotowego (ε) związane
jest z przyśpieszeniem liniowym ruchu postępowego (a) zależnością:

R

a

ε

=

(43.1)

gdzie R – promień ośki na której nawinięte są linki.
Zastosujmy zasadę zachowania energii mechanicznej dla krążka Maxwella spadającego z wysoko-
ści h. Jego początkowa energia potencjalna ( mgh ) w pozycji końcowej ruchu w dół zostaje całko-

wicie zamieniona na energię kinetyczną ruchu postępowego













2

mV

2

oraz na energię kinetyczną

ruchu obrotowego













2

J

2

0

ω

:

2

J

2

mV

mgh

2

0

2

ω

+

=

(43.2)

gdzie: m. – masa krążka razem z ośką, J

0

– moment bezwładności krążka z ośką względem osi ob-

rotu, V – prędkość liniowa ruchu postępowego, ω – prędkość liniowa ruchu obrotowego.
Następuje, więc podział początkowej energii układu ( mającej postać energii potencjalnej w jedno-
rodnym polu grawitacyjnym Ziemi) na dwie postacie energii kinetycznej. W ćwiczeniu wyznacza-
my wartości obu energii kinetycznych, ich wzajemny stosunek oraz określamy, w jaki sposób zmie-
niają się one w czasie. W tym celu musimy najpierw wyznaczyć moment bezwładności krążka J

0

względem centralnej osi obrotu. Wielkość fizyczna, jaką jest moment bezwładności została
szczegółowo przedstawiona w ćwiczeniu nr 36 przy opisie działania maszyny Atwooda.

Stosując zależność

R

V

=

ω

do zasady zachowania energii (43.2) mamy:











 +

=

2

0

2

mR

J

1

V

2gh

(43.3).

Rys. 43.1. Krążek Maxwella Fotografia stanowiska laboratoryjnego

i stąd po przekształceniach możemy obliczyć moment bezwładności J

0

:













−

=

1

V

2gh

mR

J

2

2

0

(43.4)

Moment bezwładności krążka Maxwella można określić też na innej drodze. A mianowicie rozpa-
trując jego chwilowy ruch obrotowy względem osi przebiegającej przez punkt styczności nici z
prętem (rys. 43.2)

R

mg

Rys. 43.2. Chwilowy ruch obrotowy krążka względem osi przebiegającej przez punkt

styczności z nicią zaznaczony literą A

.

Stosując drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego otrzymujemy:

J

mgR

ε

=

(43.5).

gdzie: mgR – moment siły obracający ciało względem osi A, J – moment bezwładności krążka z
ośką względem osi A,
Na podstawie twierdzenia Steinera ( o osiach równoległych) (patrz ćw. nr 4) momenty bezwładno-
ści J i J

0

są związane ze sobą zależnością:

2

0

mR

J

J

+

=

(43.6).

w efekcie:

2

0

mR

J

mgR

ε

+

=

(43.6).

i stąd:











 −

=

R

ε

g

mR

J

0

(43.7).

a więc wyznaczając

ε

można znaleźć J

0

. J

0

jest momentem bezwładności ciała (tu krążka z ośką)

względem osi przechodzącej przez jego środek masy. Tak więc zaprezentowana metoda dobrze
nadaje się do eksperymentalnego wyznaczania momentów bezwładności względem takich osi.
Ważne jest to, że nie jest wymagana kołowa symetria badanego ciała. Oś obrotu musi przechodzić
tylko przez środek jego masy (rys. 43.3).

A

a

b

Rys. 43.3. Przykładowe kształty ciał, których momenty bezwładności można wyznaczyć sto-

sowaną w ćwiczeniu metodą: a) oś obrotu przebija prostopadle walec w środku masy, b) oś

obrotu przebija prostopadle trójkątną płytę w środku masy.

43.2 Opis układu pomiarowego

Zastosowany w ćwiczeniu krążek Maxwella ma kształt koła zamachowego umocowanego na ośce o
promieniu

mm

0,1

2,5

r

±

=

. Masa koła z ośką

0,001

0,436

m

±

=

kg. Możliwy do zrealizowania

maksymalny spadek ciała wynosi około 65 cm. Całość jest umocowana na specjalnym wypozio-
mowanym statywie. Po nawinięciu linek na ośkę, krążek blokuje się w górnym położeniu za pomo-
cą specjalnego mechanicznego wyzwalacza. Krążek posiada umieszczone na obwodzie otwory
umożliwiające tę blokadę. Wyzwalacz jest sprzęgnięty elektronicznie z fotobramką. Całość umoż-
liwia pomiar czasu spadku krążka Maxwella z dokładnością do 0,001s . W fotobramce zastosowano
fotokomórkę reagującą na podczerwień o bardzo wąskim strumieniu światła. Wysokość położenia
fotobramki można zmieniać przesuwając ją wzdłuż statywu.
Całość zaopatrzona jest w pionowo ustawiony liniał. Znaczniki umieszczone na liniale
umożliwiają wyznaczenie położeń ośki krążka oraz fotokomórki w fotobramce z dokładnością do
1 mm.

43.3. Przebieg pomiarów

1. Zablokować wężyk wyzwalacza w pozycji „wciśnięty”.
2. Ostrożnie nawinąć linki, na których jest zawieszony krążek na jego ośki i zablokować go w
górnym położeniu.
3. Ustawić fotobramkę na żądanej wysokości. Uważać aby oś krążka Maxwella przy spadku prze-
cinała światło fotokomórki ( wiązka światła jest niewidoczna, gdyż fotokomórka działa na pod-
czerwień) i nie uderzała w samą bramkę.
4. Za pomocą znaczników liniału ustalić górne położenie krążka Maxwella oraz fotokomórki. Ich
różnica da nam wysokość (h) spadku krążka Maxwella.
5. Wcisnąć przycisk „Set” na bramce. W polu wyświetlania bramki powinny zapalić się trzy krop-
ki.
6. Zwolnić blokadę wężyka wyzwalacza i gdy koło rozwijając się z nici zacznie opadać, ponow-
nie nacisnąć wężyk i trzymać go w pozycji wciśniętej , aż do momentu gdy oś krążka Maxwella
przetnie strumień światła wiązki fotokomórki i na wyświetlaczu ukaże się wynik pomiaru czasu
spadku krążka.
7. Czynności 1-6 powtórzyć przynajmniej pięciokrotnie.

8. Czynności 1-7 powtórzyć dla pięciu wysokości (h) spadku różniących się o ~ 10cm.

43.4. Opracowanie wyników pomiarów.

Dla

każdej serii pomiarowej (punkty 1-7 poprzedniego rozdziału) wykonać następujące ob-

liczenia:

1. Obliczyć średnią wysokość spadku

śr

h

i jej średni błąd kwadratowy

h

σ

.

2. Obliczyć średni czas spadku

śr

t

i jego średni błąd kwadratowy

t

σ

.

3. Obliczyć przyśpieszenie liniowe spadku krążka ze wzoru

2

2

t

h

a

=

i średni błąd kwadratowy jego

wyznaczenia:

2

3

2

2

4

2













+













=

t

h

a

t

h

t

σ

σ

σ

4. Obliczyć końcową prędkość ruchu postępowego:

śr

K

t

a

V

=

;

(

) (

)

2

2

a

śr

t

V

t

a

K

σ

σ

σ

+

=

5. Obliczyć końcową energię kinetyczną ruchu postępowego:

2

2

K

K

V

m

E

P

=

;

(

)

2

2

2

2

K

P

K

V

K

K

E

V

m

m

V

σ

σ

+













∆

=

6. Obliczyć moment bezwładności krążka J

0

ze wzoru (44.4) oraz jego średni błąd kwadratowy:

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

J

V

4gh

mR

V

2g

mR

1

V

2gh

2mR

1

V

2gh

mR

0













+













+













∆













−













−

=

V

h

R

σ

σ

σ

7. Obliczyć przyśpieszenie kątowe spadku krążka ze wzoru (44.1) oraz błąd

2

2

2

1













∆

+













=

R

R

a

R

a

σ

σ

ε

8. Obliczyć moment bezwładności krążka J

0

ze wzoru (44.7) i porównać otrzymany wynik z wyni-

kiem otrzymanym w punkcie 6. Wyciągnąć odpowiedni wniosek.

9. Obliczyć końcową prędkość kątową krążka:

śr

K

t

ε

ω

=

;

(

) (

)

2

2

ε

ω

σ

σ

ε

σ

śr

t

t

+

=

10.

Obliczyć końcową energię kinetyczną ruchu obrotowego:

2

0

2

K

K

J

E

obr

ω

=

;

(

)

2

0

2

2

2

ω

σ

ω

σ

ω

σ

K

J

E

J

obr

K

+













=

.

11. Obliczyć stosunek energii kinetycznych

P

obr

K

K

E

E

.

12. Obliczyć początkową energię potencjalną krążka

h

g

m

E

P

=

i błąd jej wyznaczenia

h

E

g

m

P

σ

σ

=

.

Zestawić w tabeli wyniki otrzymane ze wszystkich serii pomiarowych. Wykonać wykresy energii

obr

P

K

P

K

E

E

E

,

,

od kwadratu czasu ( t

2

). Po naniesieniu punktów pomiarowych aproksymo-

wać je prostymi. (Teoretycznie powinny to być proste. Dlaczego?). Sprawdzić czy eksperyment
potwierdza teorię. Wyciągnąć ogólne wnioski z całego przebiegu doświadczenia, szczególnie odno-
śnie sprawdzania się zasady zachowania energii.

43.5. Pytania kontrolne

1. Wyprowadzić wzór na naciąg nici podczas ruchu w dół krążka Maxwella.
2. Sformułować drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego.
3. Zdefiniować moment bezwładności bryły. Od czego on zależy?.
4. Sformułować zasadę zachowania energii mechanicznej.

L i t e r a t u r a

[1] Piekara A. Mechanika ogólna,. PWN, Warszawa 1970.
[2] Leyko J. Mechanika ogólna, PWN, Warszawa 2002.