Algebra z geometrią analityczną A - MAP 1140
Algebra z geometrią analityczną B - MAP 1141
Lista uzupełniająca
1. Uprościć wyrażenia:
a)
a
3
− 1
a
2
− 2a + 1
;
b)
4x
2
− y
2
4x
2
+ 4xy + y
2
;
c)
u
2
+ 3uv
u
2
v
+ 3uv
2
.
2. Pokazać indukcyjnie, że jeżeli
a) a
1
= 2 oraz a
n
=
1 −
1
n
2
a
n
−
1
dla n 2, to a
n
=
n
+ 1
n
dla n 1;
b) a
1
= 0 oraz a
n
= a
n
−
1
+ 2n − 3 dla n 2, to a
n
= (n − 1)
2
dla n 1.
3. Wyznaczyć równanie prostej w postaci parametrycznej, która zawiera podane punkty P , Q:
a) P = (4, 3), Q = (5, 6);
b) P = (−1, 0), Q = (2, −1);
c) P = (−2, 1), Q = (−2, 3); d) P = (3, 1), Q = (5, 1).
4. Wyznaczyć w postaci ogólnej równanie prostej przechodzącej przez punkt P = (2, −1) i równoległej do
prostej l, jeżeli:
a) l : y = 3x − 1; b) l : 2x − y + 11 = 0; c) l :
x
2
−
y
3
= 1;
d) l :
(
x
= −1 + 2t,
y
=
2 − t.
5. Wyznaczyć równania ogólne prostych zawierających punkt P = (1, 1) i prostopadłych do prostych z po-
przedniego zadania.
6. Wyznaczyć te wartości parametru α, dla których proste l
1
, l
2
są równoległe oraz te, dla których są prosto-
padałe:
a) l
1
: y =
αx
α
+ 1
+
α − 1
α
+ 3
, l
2
: y =
(α − 1)x
α
+ 1
+
α
α
+ 3
;
b) l
1
: αx − 2y + 3 = 0, l
2
: y = αx + 2αy − 1 = 0;
c) l
1
:
(
x
= 1 + αt,
y
= 3 + 4t,
l
2
:
(
x
= −2 + t,
y
=
1 − t;
d) l
1
:
(
x
= 2 + t,
y
= 3 − 2t,
l
2
: 2x − 3αy + 4 = 0.
Wyznaczyć te wartości parametru α, dla których proste z podpunktu a) przecinajaą się pod kątem
π
4
.
7. Dla podanych punktów P , Q napisać równanie symetralnej odcinka P Q:
a) P = (−2, 2), Q = (2, 10); b) P = (1, 3), Q = (5, 0).
8. Obliczyć odległość punktu P = (1, 2) od podanych prostych oraz wyznaczyć punkty symetryczne do punktu
P
względem tych prostych:
a) y = x − 1; b) y − 2x + 5 = 0; c)
(
x
= 6 + 3t,
y
= 3 − 2t.
9. Uzasadnić, że podane proste są równoległe, a następnie wyznaczyć odległości między nimi:
a) l
1
: y = −2(x + 1), l
2
: y = −2x − 1;
b) l
1
: y = 3 − 4x, l
2
: y = −4x + 2;
c) l
1
: 2x − 3y + 2 = 0, l
2
: 4x − 6y − 1 = 0; d) l
1
: 2x − 3y + 2 = 0, l
2
: −4x + 6y − 1 = 0;
e) l
1
:
(
x
= 1 + 2t,
y
= 2 − 3t,
l
2
:
(
x
= −3 + 4t,
y
=
1 − 6t;
f ) l
1
:
(
x
= 1 + 8t,
y
= 3 + 6t,
l
2
: 3x − 4y − 2 = 0.
10. Wyznaczyć pole kwadratu, którego jednym z wierzchołków jest punkt P = (1, −3), a jego przekątna leży
na prostej o równaniu y = 2x.
1
11. Wyznaczyć miarę kąta, jaki tworzą wersory ~
u
, ~
v
, jeżeli wektory ~
p
= 2~
u
+~
v
, ~
q
= −4~
u
+ 5~
v
są prostopadłe.
12. Wyznaczyć punkt P , który jest względem prostej l : x + 2y = 2 symetryczny do punktu Q = (−1, −3).
13. Dla jakiej wartości parametru a, prosta y = ax + 4 jest równoległa do prostej
l
:
(
x
= 1 + 3t,
y
= 2 − t, gdzie t ∈ R.
14. a) Znaleźć równanie krzywej zawierającej punkty, których suma odległości od punktów A =
2 − 2
√
3, 0
i B =
2 + 2
√
3, 0
jest stała i równa 8. Sporządzić rysunek.
b) Jaką krzywą stożkową opisuje równanie x
2
− 2x − y
2
+ 4y − 7 = 0? Narysować ją. Wyznaczyć współrzędne
ognisk.
15. Rozwiązać równanie macierzowe 2
"
2 −1
0
1
#
+ 2X =
"
4 1
−2 0
#
16. Które z iloczynów macierzy A
2
B
T
, BA
2
, B
2
A
, B
T
A
2
istnieją, jeżeli A jest macierzą stopnia 3, a B macierzą
wymiaru 3 × 2? Obliczyć te z podanych iloczynów, które istnieją, jeżeli
A
=
1
0 2
0 −1 3
2 −2 0
,
B
=
1 −1
0
1
−1
2
.
17. Rozwiązać ukad równań macierzowych
2X − Y =
"
1 1
−1 0
#
−4X + Y =
"
0 1
1 0
#
.
Następnie obliczyć XY.
18. Obliczyć wyznaczniki:
a)
4 1 1 1
1 3 1 1
1 1 2 1
1 1 1 1
;
b)
2 1 0 2
1 1 0 1
1 1 1 1
1 1 1 2
;
c)
1
2 0
0 0
0 −1 2
0 0
0
0 1
2 0
0
0 0 −1 2
2
0 0
0 1
.
19. Sprawdzić, że
a)
sin
2
a
cos
2
a
1
sin
2
b
cos
2
b
1
sin
2
c
cos
2
c
1
= 0 dla dowolnych a, b, c ∈ R; b)
1
a
b
1 a + x
b
1
a
b
+ y
= xy dla dowolnych a, b, x, y ∈ R.
20. Korzystając z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej, obliczyć macierz odwrotną do macierzy
−2 4 10
3 2
0
−1 1
3
.
21. Metodą bezwyznacznikową obliczyć macierz odwrotną do macierzy:
a)
1 1 1
1 1 2
1 2 3
;
b)
1 2 3
2 1 2
3 2 1
.
22. Dla jakich wartości parametru q, macierz
0 0
0 −2
q
0
1
1
q
1 −1
4
3 1
q
2
ma macierz odwrotną?
2
23. Znaleźć macierz A spełniającą równanie:
a) 2
1
0 0
−4
2 0
8 −4 1
−
1
A
=
1
2
A
+
3
4
−11
;
b)
0 −1
1
0
A
1 0 0
1 1 0
1 1 1
=
−1 0 0
2 2 1
.
24. Dla jakich wartości parametru p podany układ równań jest układem Cramera?
a)
px − 2y − z =
p
− y + 2z = −1
−x
+ pz =
1
;
b)
2x − y + z + 2t = 2
px
+ z
=
0
p
2
x
+ y + z
=
1
x
+ y + pz
= −1
.
25. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać podane układy równań:
a)
2x + y − z + t = 5
x
+ y + z − 2t = −1
x − 2y + z + t =
2
x
+ z
=
3
;
b)
2x + 7y + 3z + t = 5
x
+ 3y + 5z − 2t = 3
x
+ 5y − 9z + 8t = 1
5x + 18y + 4z + 5t = 12
;
c)
3x + 2y + z = 5
x
+ y − z = 0
6x
+ 7z = 8
4x − y + 5z = 3
;
d)
2x +
3z = 7
4x + y + 4z = 10
− 4y + 4z = 4
2x − 4y + 5z = 5
.
26. Dla jakich wartości paremtru m układ równań
x
+ my − 3z = 0
2x +
y
+ z = 0
3x + my − z = 0
ma niezerowe rozwiązanie?
27. Wyznaczyć te wartości parametru p, dla których układ równań
2x + y − z = p
x
+ py + z = 0
3x + y − az = p
ma jedno rozwiazanie.
28. Określić liczbę rozwiązań podanego układu równań liniowych w zależności od parametru p :
a)
px
+ 2y + 2z = 10
x
+ py + z = 4
x
+ y + z = 4
;
b)
x
+
4z = 6
2x + y + 10z = 14
3x + y + pz = 20
.
29. Niech ~
u
= (1, 0, −1), ~
v
= (0, −2, 1), ~
w
= (1, 1, −1) . Obliczyć:
a) (2~
u
− ~
v
) × ~
w
;
b) (~
u
◦ ~
w
) (~
u
× ~
w
);
c) (~
u
,
~
v
,
~
w
) ~
u
;
d) ~
u
× (~
v
× ~
w
) ;
e) ~
u
× ~
v
− ~
u
× ~
w
;
f ) ~
u
× ~
v
+ [~
w
× ~
v
◦ 2~
u
]~
v
.
30. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez:
a) punkt P = (3, −1, 2) i prostopadłej do wektora ~
n
= (3, −1, 2);
b) punkt P = (−4, −1, −2) i równoległej do płaszczyzny 2x − 3y + 4z = 0;
c) punkty P = (2, −1, 3), Q = (3, 1, 2) i równoległej do wektora ~
v
= (−3, 1, 4);
d) punkt P = (1, 5, 1) i równoległej do wektorów ~
u
= (2, 1, 6), ~
v
= (−3, 5, 6);
e) punkty P = (3, 1, 2), Q = (0, −1, 1), R = (1, 0, 2);
f ) punkt P = (−1, −2, −3) i prostopadłej do płaszczyzn x − 3y + 2z − 7 = 0, 2x − 2y − z + 3 = 0;
g) punkty P = (2, −1, 4), Q = (1, −1, 5) i prostopadłej do płaszczyzy x − 2y + z − 1 = 0.
31. Wyznaczyć te wartości parametru p, dla których płaszczyzny
π
1
: x + 2y − z − 1 = 0,
π
2
: px − y − z − p = 0,
π
3
: x − py + z − 1 = 0
przecinają się
a) w jedyn punkcie (wyznaczyć ten punkt);
b) wzdłuż jednej prostej (podać równanie tej prostej).
3
32. Dana jest prosta l :
x
=
t,
y
=
at,
z
= 2 −
t
oraz płaszczyzna π : 3a
2
x
+ ay + z − 4a = 0. Wyznaczyć wartości
parametru α, dla którego:
a) prosta l przecina płaszczyznę π;
b) prosta l jest równoległa do płaszczyzny π;
c) prosta l leży w płaszczyźnie π.
33. Prostą l zadaną w postaci krawędziowej (parametrycznej) zapisać w postaci parametrycznej (krawędziowej),
jeżeli:
a) l :
(
2x − 2y + 4z − 2 = 0,
3x + y − 5z − 1 = 0;
b) l :
(
4x
+ z − 1 = 0,
x − 2y
+ 3 = 0;
c) l :
x
=
2 + t,
y
= −3 − 2t,
z
=
1 + 3t;
d) l :
x
= −2 + 4t,
y
=
1 − 2t,
z
= −2 + 3t.
34. Wyznaczyć punkt przecięcia prostej l i płaszczyzny π: jeżeli:
a) l :
x
= −1 + 2t,
y
=
3 + 4t,
x
=
3t,
π
: 3x − 3y + 2z − 5 = 0;
b) l :
(
2x + y − 3z
= 0,
x
+ 2y + 3z + 1 = 0,
π
: x + y + z + 1 = 0.
35. Napisać równanie płaszczyzny zawierającej proste l
1
, l
2
, jeżeli:
a) l
1
:
x
=
2 + 4t,
y
=
− 5t,
z
= −1 + 8t,
l
2
:
x
=
2 − 6s,
y
=
9s,
z
= −1 + 12s;
b) l
1
:
x
= 3 − 2t,
y
= 1 + 3t,
z
= 2 + t,
l
2
:
(
3x + 2y
− 3 = 0,
− y + 3z − 9 = 0.
36. Napisać równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt P = (−1, 2, 2) oraz:
a) równoległej do wektora ~
v
= (−1, 2, 2);
b) punkt Q = (−2, 0, 3);
c) prostopadłej do płaszczyzny 3x − y + 2z − 5 = 0;
d) prostopadłej do wektorów ~
v
1
= (2, 0, −3), ~
v
2
= (−1, 2, 0);
e) prostopadłej do prostych l
1
:
x
=
1 + 2t,
y
= −1 + 4t,
z
=
t,
l
1
:
(
2x − y + z − 1 = 0,
x
+ z
= 0.
37. a) Sprawdzić, czy punkty P = (1, 2, −3), Q = (2, 5, −3) leżą po tej samej stronie płaszczyzny 2x−y−z+6 =
0.
b) Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu P = (4, −1, 6) względem płaszczyzny 2x − y + 3z − 7 = 0.
c) Wyznaczyć miejsce geometryczne punktów, które są w równej odległości od punktów P = (2, 1, 4), Q =
(−4, −3, 2).
d) Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu P = (6, 2, 9) względem prostej l :
x
= −7 + 5t,
y
= −7 + 2t,
z
= −6 + 4t.
38. Sprawdzić, że podane proste l
1
, l
2
oraz płaszczyzny π
1
, π
2
są równoległe i następnie obliczyć odległość
między nimi:
a) l
1
:
x
=
1 + t,
y
=
2 + 2t,
z
= −3 + 3t,
l
2
:
x
= 2s,
y
= 4s,
z
= 6s;
4
b) l
1
:
(
x − 5y + 6z − 3 = 0,
2x + y − z + 5 = 0,
l
2
:
(
13x + y
+ 1 = 0,
11x
+ z − 1 = 0;
c) l
1
:
(
x
+ y + z = 0,
2x − y + 2z = 0,
l
2
:
x
=
1 − 6t,
y
= −8,
z
=
2 + 6t;
d) π
1
: x − 2y + 3z − 8 = 0, π
2
: 2x − 4y + 6z + 21 = 0.
39. Niech A(−1, 0, 1), B(0, 0, 0), C(1, y, 0) będą wierzchołkami trójkata ABC. Wyznaczyć y, jeżeli pole trójkąta
ABC
wynosi
1
2
.
40. Obliczyć część rzeczywistą i urojoną liczb:
a) (2 + 5i)(−1 + 2i) − i; b)
4
2i − 1
;
c)
1 + 3i
1 −
√
2i
;
d)
2 + i
1 − 2i
−
3 + i
3 − i
.
41. Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowiete wielomianu 2x
3
− 9x
2
− 38x + 21.
42. Nie wykonując dzielenia wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu P (x) przez wielomian Q(x), jeżeli:
a) P (x) = x
3
− x
2
− x + 2, Q(x) = x − 5;
b) P (x) = x
4
+ x
3
+ x
2
+ x + 1, Q(x) = x −
√
2;
c) P (x) − x
8
− 16x
4
+ 3x
2
− x + 1, Q(x) = x
2
+ 3x + 2;
d) P (x) = x
5
+ 11x − 13, Q(x) = x
3
− 3x
2
− x + 3.
43.
a) Wielomian P (x) przy dzieleniu przez dwumiany x − 1 i x + 3 daje odpowiednio reszty 3 i −1. Wyznaczyć
resztę z dzielnia wielomianu P (x) przez trójmian x
2
+ 2x − 3.
b) Wielomian P (x) przy dzieleniu przez wielomian x
4
− x
3
+ x − 1 daje resztę x
3
+ 2. Wyznaczyć resztę z
dzielenia wielomianu P (x) przez x
2
− 1.
44. Liczba z
1
jest pierwiastkiem wielomianu W (z). Znaleźć pozostałe pierwiastki tego wielomianu, jeżeli:
a) W (z) = z
4
+ iz
3
− z − i, z
1
= −i;
b) W (z) = z
4
− z
3
+ 4z
2
+ 3z + 5, z
1
= −
1
2
+ i
√
3
2
;
c) W (z) = z
5
+ z
4
− 3z
3
+ 3z
2
− 18z, z
1
= i
√
3;
d) W (z) = z
4
+ z
3
+ 5z
2
+ 4z + 4, z
1
= −
1
2
−
√
3
2
i.
45. Wiemy, że liczba zespolona z
1
jest pierwiastkiem wielomianu W (z). Rozłożyć wielomian W (z) na nieroz-
kładalne czynniki rzeczywiste, jeżeli:
a) z
1
= −
1
2
+
i
√
3
2
, W (z) = z
4
− z
3
+ 4z
2
+ 3z + 5;
b) z
1
=
√
2i, W (z) = z
4
+ z
3
+ 3z
2
+ 2z + 2.
5