Algebra z geometrią analityczną A - MAP 1140

Algebra z geometrią analityczną B - MAP 1141

Lista uzupełniająca

1. Uprościć wyrażenia:

a)

a

3

− 1

a

2

− 2a + 1

;

b)

4x

2

− y

2

4x

2

+ 4xy + y

2

;

c)

u

2

+ 3uv

u

2

v

+ 3uv

2

.

2. Pokazać indukcyjnie, że jeżeli

a) a

1

= 2 oraz a

n

=



1 −

1

n

2



a

n

−

1

dla n ­ 2, to a

n

=

n

+ 1

n

dla n ­ 1;

b) a

1

= 0 oraz a

n

= a

n

−

1

+ 2n − 3 dla n ­ 2, to a

n

= (n − 1)

2

dla n ­ 1.

3. Wyznaczyć równanie prostej w postaci parametrycznej, która zawiera podane punkty P , Q:

a) P = (4, 3), Q = (5, 6);

b) P = (−1, 0), Q = (2, −1);

c) P = (−2, 1), Q = (−2, 3); d) P = (3, 1), Q = (5, 1).

4. Wyznaczyć w postaci ogólnej równanie prostej przechodzącej przez punkt P = (2, −1) i równoległej do

prostej l, jeżeli:

a) l : y = 3x − 1; b) l : 2x − y + 11 = 0; c) l :

x

2

−

y
3

= 1;

d) l :

(

x

= −1 + 2t,

y

=

2 − t.

5. Wyznaczyć równania ogólne prostych zawierających punkt P = (1, 1) i prostopadłych do prostych z po-

przedniego zadania.

6. Wyznaczyć te wartości parametru α, dla których proste l

1

, l

2

są równoległe oraz te, dla których są prosto-

padałe:

a) l

1

: y =

αx

α

+ 1

+

α − 1
α

+ 3

, l

2

: y =

(α − 1)x

α

+ 1

+

α

α

+ 3

;

b) l

1

: αx − 2y + 3 = 0, l

2

: y = αx + 2αy − 1 = 0;

c) l

1

:

(

x

= 1 + αt,

y

= 3 + 4t,

l

2

:

(

x

= −2 + t,

y

=

1 − t;

d) l

1

:

(

x

= 2 + t,

y

= 3 − 2t,

l

2

: 2x − 3αy + 4 = 0.

Wyznaczyć te wartości parametru α, dla których proste z podpunktu a) przecinajaą się pod kątem

π

4

.

7. Dla podanych punktów P , Q napisać równanie symetralnej odcinka P Q:

a) P = (−2, 2), Q = (2, 10); b) P = (1, 3), Q = (5, 0).

8. Obliczyć odległość punktu P = (1, 2) od podanych prostych oraz wyznaczyć punkty symetryczne do punktu
P

względem tych prostych:

a) y = x − 1; b) y − 2x + 5 = 0; c)

(

x

= 6 + 3t,

y

= 3 − 2t.

9. Uzasadnić, że podane proste są równoległe, a następnie wyznaczyć odległości między nimi:

a) l

1

: y = −2(x + 1), l

2

: y = −2x − 1;

b) l

1

: y = 3 − 4x, l

2

: y = −4x + 2;

c) l

1

: 2x − 3y + 2 = 0, l

2

: 4x − 6y − 1 = 0; d) l

1

: 2x − 3y + 2 = 0, l

2

: −4x + 6y − 1 = 0;

e) l

1

:

(

x

= 1 + 2t,

y

= 2 − 3t,

l

2

:

(

x

= −3 + 4t,

y

=

1 − 6t;

f ) l

1

:

(

x

= 1 + 8t,

y

= 3 + 6t,

l

2

: 3x − 4y − 2 = 0.

10. Wyznaczyć pole kwadratu, którego jednym z wierzchołków jest punkt P = (1, −3), a jego przekątna leży

na prostej o równaniu y = 2x.

1

11. Wyznaczyć miarę kąta, jaki tworzą wersory ~

u

, ~

v

, jeżeli wektory ~

p

= 2~

u

+~

v

, ~

q

= −4~

u

+ 5~

v

są prostopadłe.

12. Wyznaczyć punkt P , który jest względem prostej l : x + 2y = 2 symetryczny do punktu Q = (−1, −3).

13. Dla jakiej wartości parametru a, prosta y = ax + 4 jest równoległa do prostej

l

:

(

x

= 1 + 3t,

y

= 2 − t, gdzie t ∈ R.

14. a) Znaleźć równanie krzywej zawierającej punkty, których suma odległości od punktów A =



2 − 2

√

3, 0



i B =



2 + 2

√

3, 0



jest stała i równa 8. Sporządzić rysunek.

b) Jaką krzywą stożkową opisuje równanie x

2

− 2x − y

2

+ 4y − 7 = 0? Narysować ją. Wyznaczyć współrzędne

ognisk.

15. Rozwiązać równanie macierzowe 2

"

2 −1
0

1

#

+ 2X =

"

4 1

−2 0

#

16. Które z iloczynów macierzy A

2

B

T

, BA

2

, B

2

A

, B

T

A

2

istnieją, jeżeli A jest macierzą stopnia 3, a B macierzą

wymiaru 3 × 2? Obliczyć te z podanych iloczynów, które istnieją, jeżeli

A

=






1

0 2

0 −1 3
2 −2 0






,

B

=






1 −1
0

1

−1

2






.

17. Rozwiązać ukad równań macierzowych























2X − Y =

"

1 1

−1 0

#

−4X + Y =

"

0 1
1 0

#

.

Następnie obliczyć XY.

18. Obliczyć wyznaczniki:

a)











4 1 1 1
1 3 1 1
1 1 2 1
1 1 1 1











;

b)











2 1 0 2
1 1 0 1
1 1 1 1
1 1 1 2











;

c)













1

2 0

0 0

0 −1 2

0 0

0

0 1

2 0

0

0 0 −1 2

2

0 0

0 1













.

19. Sprawdzić, że

a)









sin

2

a

cos

2

a

1

sin

2

b

cos

2

b

1

sin

2

c

cos

2

c

1









= 0 dla dowolnych a, b, c ∈ R; b)









1

a

b

1 a + x

b

1

a

b

+ y









= xy dla dowolnych a, b, x, y ∈ R.

20. Korzystając z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej, obliczyć macierz odwrotną do macierzy






−2 4 10

3 2

0

−1 1

3






.

21. Metodą bezwyznacznikową obliczyć macierz odwrotną do macierzy:

a)






1 1 1
1 1 2
1 2 3






;

b)






1 2 3
2 1 2
3 2 1






.

22. Dla jakich wartości parametru q, macierz








0 0

0 −2

q

0

1

1

q

1 −1

4

3 1

q

2








ma macierz odwrotną?

2

23. Znaleźć macierz A spełniającą równanie:

a) 2






1

0 0

−4

2 0

8 −4 1






−

1

A

=

1
2

A

+






3
4

−11






;

b)



0 −1

1

0



A





1 0 0

1 1 0

1 1 1





=



−1 0 0

2 2 1



.

24. Dla jakich wartości parametru p podany układ równań jest układem Cramera?

a)











px − 2y − z =

p

− y + 2z = −1

−x

+ pz =

1

;

b)























2x − y + z + 2t = 2
px

+ z

=

0

p

2

x

+ y + z

=

1

x

+ y + pz

= −1

.

25. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać podane układy równań:

a)



















2x + y − z + t = 5

x

+ y + z − 2t = −1

x − 2y + z + t =

2

x

+ z

=

3

;

b)



















2x + 7y + 3z + t = 5

x

+ 3y + 5z − 2t = 3

x

+ 5y − 9z + 8t = 1

5x + 18y + 4z + 5t = 12

;

c)



















3x + 2y + z = 5

x

+ y − z = 0

6x

+ 7z = 8

4x − y + 5z = 3

;

d)



















2x +

3z = 7

4x + y + 4z = 10

− 4y + 4z = 4

2x − 4y + 5z = 5

.

26. Dla jakich wartości paremtru m układ równań











x

+ my − 3z = 0

2x +

y

+ z = 0

3x + my − z = 0

ma niezerowe rozwiązanie?

27. Wyznaczyć te wartości parametru p, dla których układ równań











2x + y − z = p

x

+ py + z = 0

3x + y − az = p

ma jedno rozwiazanie.

28. Określić liczbę rozwiązań podanego układu równań liniowych w zależności od parametru p :

a)











px

+ 2y + 2z = 10

x

+ py + z = 4

x

+ y + z = 4

;

b)











x

+

4z = 6

2x + y + 10z = 14
3x + y + pz = 20

.

29. Niech ~

u

= (1, 0, −1), ~

v

= (0, −2, 1), ~

w

= (1, 1, −1) . Obliczyć:

a) (2~

u

− ~

v

) × ~

w

;

b) (~

u

◦ ~

w

) (~

u

× ~

w

);

c) (~

u

,

~

v

,

~

w

) ~

u

;

d) ~

u

× (~

v

× ~

w

) ;

e) ~

u

× ~

v

− ~

u

× ~

w

;

f ) ~

u

× ~

v

+ [~

w

× ~

v

◦ 2~

u

]~

v

.

30. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez:

a) punkt P = (3, −1, 2) i prostopadłej do wektora ~

n

= (3, −1, 2);

b) punkt P = (−4, −1, −2) i równoległej do płaszczyzny 2x − 3y + 4z = 0;
c) punkty P = (2, −1, 3), Q = (3, 1, 2) i równoległej do wektora ~

v

= (−3, 1, 4);

d) punkt P = (1, 5, 1) i równoległej do wektorów ~

u

= (2, 1, 6), ~

v

= (−3, 5, 6);

e) punkty P = (3, 1, 2), Q = (0, −1, 1), R = (1, 0, 2);
f ) punkt P = (−1, −2, −3) i prostopadłej do płaszczyzn x − 3y + 2z − 7 = 0, 2x − 2y − z + 3 = 0;
g) punkty P = (2, −1, 4), Q = (1, −1, 5) i prostopadłej do płaszczyzy x − 2y + z − 1 = 0.

31. Wyznaczyć te wartości parametru p, dla których płaszczyzny

π

1

: x + 2y − z − 1 = 0,

π

2

: px − y − z − p = 0,

π

3

: x − py + z − 1 = 0

przecinają się

a) w jedyn punkcie (wyznaczyć ten punkt);
b) wzdłuż jednej prostej (podać równanie tej prostej).

3

32. Dana jest prosta l :











x

=

t,

y

=

at,

z

= 2 −

t

oraz płaszczyzna π : 3a

2

x

+ ay + z − 4a = 0. Wyznaczyć wartości

parametru α, dla którego:

a) prosta l przecina płaszczyznę π;
b) prosta l jest równoległa do płaszczyzny π;

c) prosta l leży w płaszczyźnie π.

33. Prostą l zadaną w postaci krawędziowej (parametrycznej) zapisać w postaci parametrycznej (krawędziowej),

jeżeli:

a) l :

(

2x − 2y + 4z − 2 = 0,
3x + y − 5z − 1 = 0;

b) l :

(

4x

+ z − 1 = 0,

x − 2y

+ 3 = 0;

c) l :











x

=

2 + t,

y

= −3 − 2t,

z

=

1 + 3t;

d) l :











x

= −2 + 4t,

y

=

1 − 2t,

z

= −2 + 3t.

34. Wyznaczyć punkt przecięcia prostej l i płaszczyzny π: jeżeli:

a) l :











x

= −1 + 2t,

y

=

3 + 4t,

x

=

3t,

π

: 3x − 3y + 2z − 5 = 0;

b) l :

(

2x + y − 3z

= 0,

x

+ 2y + 3z + 1 = 0,

π

: x + y + z + 1 = 0.

35. Napisać równanie płaszczyzny zawierającej proste l

1

, l

2

, jeżeli:

a) l

1

:











x

=

2 + 4t,

y

=

− 5t,

z

= −1 + 8t,

l

2

:











x

=

2 − 6s,

y

=

9s,

z

= −1 + 12s;

b) l

1

:











x

= 3 − 2t,

y

= 1 + 3t,

z

= 2 + t,

l

2

:

(

3x + 2y

− 3 = 0,

− y + 3z − 9 = 0.

36. Napisać równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt P = (−1, 2, 2) oraz:

a) równoległej do wektora ~

v

= (−1, 2, 2);

b) punkt Q = (−2, 0, 3);
c) prostopadłej do płaszczyzny 3x − y + 2z − 5 = 0;
d) prostopadłej do wektorów ~

v

1

= (2, 0, −3), ~

v

2

= (−1, 2, 0);

e) prostopadłej do prostych l

1

:











x

=

1 + 2t,

y

= −1 + 4t,

z

=

t,

l

1

:

(

2x − y + z − 1 = 0,

x

+ z

= 0.

37. a) Sprawdzić, czy punkty P = (1, 2, −3), Q = (2, 5, −3) leżą po tej samej stronie płaszczyzny 2x−y−z+6 =

0.

b) Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu P = (4, −1, 6) względem płaszczyzny 2x − y + 3z − 7 = 0.
c) Wyznaczyć miejsce geometryczne punktów, które są w równej odległości od punktów P = (2, 1, 4), Q =
(−4, −3, 2).

d) Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu P = (6, 2, 9) względem prostej l :











x

= −7 + 5t,

y

= −7 + 2t,

z

= −6 + 4t.

38. Sprawdzić, że podane proste l

1

, l

2

oraz płaszczyzny π

1

, π

2

są równoległe i następnie obliczyć odległość

między nimi:

a) l

1

:











x

=

1 + t,

y

=

2 + 2t,

z

= −3 + 3t,

l

2

:











x

= 2s,

y

= 4s,

z

= 6s;

4

b) l

1

:

(

x − 5y + 6z − 3 = 0,

2x + y − z + 5 = 0,

l

2

:

(

13x + y

+ 1 = 0,

11x

+ z − 1 = 0;

c) l

1

:

(

x

+ y + z = 0,

2x − y + 2z = 0,

l

2

:











x

=

1 − 6t,

y

= −8,

z

=

2 + 6t;

d) π

1

: x − 2y + 3z − 8 = 0, π

2

: 2x − 4y + 6z + 21 = 0.

39. Niech A(−1, 0, 1), B(0, 0, 0), C(1, y, 0) będą wierzchołkami trójkata ABC. Wyznaczyć y, jeżeli pole trójkąta

ABC

wynosi

1
2

.

40. Obliczyć część rzeczywistą i urojoną liczb:

a) (2 + 5i)(−1 + 2i) − i; b)

4

2i − 1

;

c)

1 + 3i

1 −

√

2i

;

d)

2 + i

1 − 2i

−

3 + i
3 − i

.

41. Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowiete wielomianu 2x

3

− 9x

2

− 38x + 21.

42. Nie wykonując dzielenia wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu P (x) przez wielomian Q(x), jeżeli:

a) P (x) = x

3

− x

2

− x + 2, Q(x) = x − 5;

b) P (x) = x

4

+ x

3

+ x

2

+ x + 1, Q(x) = x −

√

2;

c) P (x) − x

8

− 16x

4

+ 3x

2

− x + 1, Q(x) = x

2

+ 3x + 2;

d) P (x) = x

5

+ 11x − 13, Q(x) = x

3

− 3x

2

− x + 3.

43.

a) Wielomian P (x) przy dzieleniu przez dwumiany x − 1 i x + 3 daje odpowiednio reszty 3 i −1. Wyznaczyć
resztę z dzielnia wielomianu P (x) przez trójmian x

2

+ 2x − 3.

b) Wielomian P (x) przy dzieleniu przez wielomian x

4

− x

3

+ x − 1 daje resztę x

3

+ 2. Wyznaczyć resztę z

dzielenia wielomianu P (x) przez x

2

− 1.

44. Liczba z

1

jest pierwiastkiem wielomianu W (z). Znaleźć pozostałe pierwiastki tego wielomianu, jeżeli:

a) W (z) = z

4

+ iz

3

− z − i, z

1

= −i;

b) W (z) = z

4

− z

3

+ 4z

2

+ 3z + 5, z

1

= −

1
2

+ i

√

3

2

;

c) W (z) = z

5

+ z

4

− 3z

3

+ 3z

2

− 18z, z

1

= i

√

3;

d) W (z) = z

4

+ z

3

+ 5z

2

+ 4z + 4, z

1

= −

1
2

−

√

3

2

i.

45. Wiemy, że liczba zespolona z

1

jest pierwiastkiem wielomianu W (z). Rozłożyć wielomian W (z) na nieroz-

kładalne czynniki rzeczywiste, jeżeli:

a) z

1

= −

1
2

+

i

√

3

2

, W (z) = z

4

− z

3

+ 4z

2

+ 3z + 5;

b) z

1

=

√

2i, W (z) = z

4

+ z

3

+ 3z

2

+ 2z + 2.

5