Algebra wyższa, lista 2

1. Które z podanych algebr są grupami (symbole
   i ⋅ oznaczają tu zwykłe dodawanie i mnożenie liczb z danego zbioru):

1. 
   , gdzie
   jest jednym ze zbiorów:
   ;

2. 
   , gdzie
   jest jednym ze zbiorów:
   ?

2. Sprawdź, czy dany zbiór macierzy tworzy grupę względem mnożenia macierzy:

1. 
   ; b)
   ; c)
   ; d)
   ;

e)
; f)
.

3. Sprawdź, czy zbiór funkcji
   (
   ) tworzy grupę względem składania funkcji jeśli:
   .

4. Sprawdź, czy zbiór funkcji
   (
   ) tworzy grupę względem składania funkcji jeśli:
   .

5. Niech
   . Sprawdzić, że zbiór
   pierwiastków zespolonych stopnia
   z liczby 1 jest grupą względem mnożenia liczb.

6. Niech
   . Udowodnić, że zbiór
   wszystkich bijekcji zbioru
   na siebie jest grupą względem składania odwzorowań.

7. Zbadać, czy zbiór tych bijekcji
   zbioru
   na siebie, które spełniają podany warunek, tworzy grupę przekształceń zbioru
   (tzn. jest podgrupą grupy
   ):

1. 
   b)
   , c)
   jest funkcją rosnącą, d)
   jest funkcją ściśle monotoniczną,

e)
jest funkcją nieparzystą, f)
dla prawie wszystkich
.

8. Wykazać, że w grupie
   zachodzi równość:
   dla dowolnych
   .

9. Wykazać, że w grupie
   zachodzi równość:
   dla dowolnego
   .

10. Wykazać, że w grupie
    dla dowolnych
    prawdziwe są następujące prawa skracania:
    oraz
    .

11. Wykazać, że jeśli w grupie
    dla każdego
    zachodzi równość
    , to
    jest grupą abelową.

12. Niech
    i
    będą grupami. Pokazać, że iloczyn kartezjański
    też jest grupą.

13. Które z następujących podzbiorów zbioru
    są podgrupami grupy
    :

1. 
   ; b)
   , c)
   ,

3. 
   jest wielokrotnością 4}, e)
   ? Przedstaw te podgrupy w postaci
   .

14. Czy zbiór
    jest podgrupą grupy
    ?

15. Wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy: a)
    , b)
    ?

16. Niech
    . Czy
    ?

17. Niech
    będzie zbiorem wszystkich ciągów arytmetycznych o wyrazach rzeczywistych. Czy
    ?

18. Niech
    i
    . Pokaż, że zbiór
    jest podgrupą grupy
    .

19. Niech
    i
    będą podgrupami grupy abelowej
    . Niech
    . Pokaż, że
    oraz że podgrupa ta jest najmniejszą (w sensie inkluzji) podgrupą grupy
    zawierającą każdą z podgrup
    i
    .

20. Niech
    i
    . Udowodnić, że
    .

21. Niech
    . Udowodnić, że jeśli
    dla każdego
    , to również
    .

22. Korzystając z poprzedniego zadania, wykazać, że jeżeli
    jest grupą oraz
    , to istnieje najmniejsza w sensie inkluzji podgrupa grupy
    zawierająca zbiór
    . (Podgrupę tę nazywamy podgrupą generowaną przez zbiór
    i oznaczamy przez
    ; jeżeli
    , to podgrupa
    zwie się cykliczną).

23. Niech
    będzie grupą i niech
    . Wykazać, że

.

24. Jeśli
    dla pewnego elementu
    grupy
    , to element
    nazywa się generatorem grupy
    Znajdź wszystkie generatory grupy: a)
    , b)
    .

25. Rzędem elementu
    grupy
    nazywamy liczbę elementów grupy
    i oznaczamy przez
    . Można pokazać, że
    jest równy najmniejszej dodatniej liczbie całkowitej
    dla której zachodzi:
    (jeśli taka liczba nie istnieje to piszemy
    ). Wyznaczyć rząd elementu grupy: a)
    , b)
    , c)
    , d)
    

5. 
   .

26. Niech
    . Udowodnij, że relacja
    określona w zbiorze
    wzorem:
    (
    jest relacją równoważności i dla dowolnego elementu
    klasą abstrakcji elementu
    jest warstwa
    .

27. Wyznaczyć warstwy grupy
    względem poniższej jej podgrupy: a) {0}; b) {0, 6}, c) {0, 4, 8}, d) {0, 3, 6, 9}, e) {0, 2, 4, 6, 8, 10}; f)
    .

28. Opisać warstwy grupy
    względem jej podgrupy
    .

29. Opisać warstwy grupy
    względem jej podgrupy R.

30. Wykaż, że dla każdego elementu
    grupy
    warstwa prawostronna
    składa się z odwrotności elementów warstwy lewostronnej
    .

31. Udowodnić, że jeśli
    , to zbiory
    i
    są równoliczne. (wskazówka: rozważ funkcję
    określoną wzorem
    )

32. Podaj przykład przekształcenia wzajemnie jednoznacznego podgrupy
    na jej warstwę
    w grupie
    .

33. Przedstaw grupę
    w postaci rozłącznej sumy pięciu warstw pewnej jej podgrupy.

34. Niech
    oraz
    . Pokaż, że
    . Czy grupa
    jest cykliczna?

35. Niech
    oraz
    . Pokaż, że
    .

36. Niech
    będzie grupą skończoną,
    oraz
    . Wykaż, że
    dla każdego elementu
    (tzn. podgrupa
    jest podgrupą normalną grupy
    ).

37. Opisać elementy grupy ilorazowej
    i zbudować tabelkę dodawania w tej grupie.

38. Niech
    ,
    ,
    . Udowodnić, że: zbiór
    z działaniem mnożenia macierzy tworzy grupę;
    , lecz
    nie jest podgrupą normalną grupy
    oraz
    .

39. Niech
    dla prawie wszystkich
    }. Sprawdzić, że
    .

40. Sprawdzić, że zbiór
    jest dzielnikiem normalnym grupy
    (symbol
    oznacza tu macierz jednostkową w
    ).

41. Niech
    . Udowodnić, że jeśli
    dla każdego
    , to również
    .

42. Wykazać, że jeśli
    i
    są podgrupami normalnymi grupy
    , to
    , gdzie
    jest podgrupą zdefiniowaną w zadaniu 18.

43. Sprawdź, że wzór
    nie określa funkcji o dziedzinie
    i przeciwdziedzinie
    .

44. Niech
    . Podać warunek konieczny i dostateczny na to, by wzór
    określał funkcję, której dziedziną jest zbiór
    , a przeciwdziedziną jest zbiór
    .

45. Niech
    . Udowodnić, że grupa ilorazowa
    jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:
    dla dowolnych
    .

46. Niech
    (zbiór
    nazywa się centrum grupy
    ). Sprawdź, że
    oraz grupa
    jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy
    .

47. Opisać centrum: a) iloczynu kartezjańskiego
    za pomocą centrum grupy
    i centrum grupy
    ; b) grupy
    ; c) grupy
    z zadania 38.
    

48. Udowodnić, że dla każdej podgrupy normalnej
    grupy
    relacja równoważności zdefiniowana w zadaniu 26 jest kongruencją grupy
    .

49. Udowodnić, że dla dowolnej kongruencji ∼ grupy
    istnieje podgrupa normalna
    taka, że dla dowolnych
    zachodzi związek:
    ∼
    
    
    . (wskazówka: rozpatrzyć klasę abstrakcji elementu neutralnego grupy
    )

50. Wskaż nieskończenie wiele grup
    takich, że
    składa się z dwóch elementów.

51. Które z następujących funkcji
    są homomorfizmami grupy
    w siebie?

1. 
   ; b)
   ; c)
   ; d)
   ; e)
   .

• Które z następujących funkcji
  są homomorfizmami grupy
  w grupę
  ? a)
  ; b)
  ; c)
  ; d)
  ; e)
  .

• Które z homomorfizmów z zadań 51 i 52 są izomorfizmami?

• Wykaż, że funkcja
  zadana wzorem:
  jest homomorfizmem grupy
  w grupę
  .

• Znajdź jądro każdego z następujących homomorfizmów
  : a)
  w
  dany wzorem
  ; b)
  w
  dany wzorem
  dla wszystkich
  ;

c)
w
dany wzorem
; d)
w
dany wzorem
.

• Dla każdego z homomorfizmów z zadania 55 znajdź tę warstwę jego jądra, do której należy liczba 73.

• Niech
  będzie pewnym homomorfizmem określonym na grupie
  ,
  oraz
  .

1. znajdź
   ; b) ile elementów grupy
   homomorfizm
   przeprowadza na każdy z elementów grupy
   ?; c) ile wynosi
   ?

• Niech
  i
  będą grupami. Sprawdź, że przekształcenie:
  zdefiniowane wzorem
  =
  jest homomorfizmem. Znajdź jądro tego homomorfizmu. Znajdź dzielnik normalny grupy
  , który jest izomorficzny z grupą
  .

• Udowodnij, że jeżeli w grupie
  istnieje element o rzędzie równym
  , natomiast w grupie
  nie ma elementu o rzędzie równym
  , to grupy
  i
  nie są izomorficzne.

• Zdefiniujmy funkcję
  grupy
  w grupę
  wzorem:
  . Sprawdź, że: a)
  jest homomorfizmem grupy
  w grupę
  ; b)
  jest podgrupą grupy
  ; c) znajdź jądro tego homomorfizmu; d) czy grupa
  jest izomorficzna z grupą
  ?

• Niech
  będzie grupą z zadania 38. Pokaż, że przekształcenie grupy
  w grupę
  zdefiniowane wzorem
  jest homomorfizmem. Znajdź jądro tego homomorfizmu. Wykaż, że grupa
  , gdzie podgrupa normalna
  jest określona w zad. 38, jest izomorficzna z grupą
  .

• Znajdź
  .

• Udowodnij, że następujące pary grup nie są izomorficzne: a)
  i
  ; b)
  i
  ; c)
  i
  ;

d)
i
; e)
i

• Udowodnić, że funkcja: a)
  ; b)
  jest elementem
  wtedy i tylko wtedy, gdy
  jest abelowa.

---