Formuły równoważne, równania i nierówności

Definicja 2..1 Mówimy, że formuły i są równoważne, gdy formuła

jest tautologią.

Uwaga 2..2 Formuły i są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same tabelki wartości

logicznych.

Następujące tautologie opisują własności spójników i . Zwróćmy uwagę, że tautologie te mówią o
równoważności pewnych formuł zdaniowych.

i

(przemienność i )

1.

i

(łączność i )

2.

(rozdzielność względem )

3.

(rozdzielność względem )

4.

i

5.

i

6.

i

7.

Zauważmy, że gdy w wyliczonych wyżej tautologiach zastąpimy zmienne zdaniowe przez zmienne
liczbowe, symbol

przez znak równości, zaś spójniki i przez symbole mnożenia i dodawania

,

to wówczas otrzymamy wyrażenia algebraiczne, które w wielu przypadkach będą tożsamościami. Na
przykład tautologie z punktu 2. odpowiadają w ten sposób prawom łączności mnożenia i dodawania:

Dzięki łączności w wyrażeniach tego typu w algebrze możemy opuszczać nawiasy. Podobnie w rachunku
zdań możemy opuszczać nawiasy w wielokrotnych koniunkcjach i alternatywach.

Dotychczas rozważaliśmy spójniki logiczne odpowiadające spójnikom występującym w mowie potocznej.
Możemy również definiować abstrakcyjne spójniki logiczne poprzez zadanie tabelki wartości logicznych.
Na przykład, by zdefiniować abstrakcyjny dwuargumentowy spójnik logiczny , wystarczy wypełnić
tabelkę

zastępując znaki przez lub . Można to uczynić na

sposobów. Dlatego jest

nierównoważnych dwuargumentowych spójników logicznych.

Podobnie określamy -argumentowe spójniki logiczne dla

Przy pomocy

-argumentowego spójnika ze zdań

tworzymy nowe zdanie

. Oczywiście jest

nierównoważnych -argumentowych spójników logicznych. Zazwyczaj rozważamy jednak spójniki

jedno i dwuargumentowe.

Definicja 2..3 Mówimy, że spójnik dwuargumentowy jest definiowalny przez formułę

, gdy

formuła

jest równoważna formule

.

W przypadku, gdy spójnik jest definiowalny przez formułę , w każdej formule możemy zastąpić

wystąpienia spójnika przez odpowiednie podstawienie formuły , otrzymując równoważną formułę

.

Przykłady. Z prawa de Morgana dla koniunkcji dostajemy, że

jest równoważne

.

Dlatego

jest równoważne

. Na mocy prawa podwójnej negacji

jest

równoważne formule

. Widzimy więc, że

jest równoważne

,

tzn. formuła

jest tautologią. Możemy więc powiedzieć, że spójnik koniunkcji jest definiowalny przy pomocy
spójników negacji i alternatywy. Używając spójników i możemy w dowolnej formule wyeliminować
wystąpienia spójnika , dostając formułę równoważną.

Podobnie dostajemy, że

jest równoważne

, czyli spójnik alternatywy jest definiowalny

przy pomocy i .

Korzystając z równoważności

i

dostajemy, że formuła

jest równoważna każdej z

formuł

i

.

Uwaga 2..4 Każdy spójnik dwuargumentowy (ogólniej: k-argumentowy) można zdefiniować przy
pomocy negacji i dowolnego spójnika spośród

.

Wniosek 2..5 Każda formuła jest równoważna formule zbudowanej przy pomocy i dowolnego
spójnika spośród

.

Przykład. Znajdziemy formułę równoważną formule

, zbudowaną przy pomocy i . W

ciągu napisów poniżej znak oznacza skrót: ``jest równoważne''. Korzystając z tego, że

jest

równoważne

, mamy więc:

Dlatego formuła

jest równoważna formule

.

Definicja 2..6 (1) Formuła jest w postaci alternatywno-koniunkcyjnej, gdy jest postaci

gdzie

oraz dla

dla pewnego

, gdzie każde

jest zmienną zdaniową lub negacją zmiennej zdaniowej.

(2) Formuła jest w postaci koniunkcyjno-alternatywnej, gdy jest postaci

gdzie

oraz dla

dla pewnego

, gdzie każde

jest zmienną zdaniową lub negacją zmiennej zdaniowej.

Na przykład formuła

jest postaci alternatywno-koniunkcyjnej, zaś formuła

jest postaci koniuncyjno-alternatywnej.

Uwaga 2..7 (1) Każda formuła zdaniowa jest równoważna formule w postaci alternatywno-
koniunkcyjnej.
(2) Każda formuła zdaniowa jest równoważna formule w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.

Dowód. Dowód przeprowadzimy na przykładzie.
(1) Załóżmy, że tabelka wartości logicznych formuły

wygląda następująco:

Z tabelki tej odczytujemy, że formuła

jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy

Zatem formuła

jest równoważna formule

która jest w postaci alternatywno-koniunkcyjnej.

(2) Rozważmy formułę

. Stosujemy punkt (1) do formuły

, znajdując równoważną jej

formułę w postaci alternatywno-koniunkcyjnej. Przypuśćmy dla przykładu, że formuła

jest

równoważna formule

Wówczas wyjściowa formuła

jest równoważna formule

Stosując prawa de Morgana dla koniunkcji i alternatywy oraz zastępując wyrażenia

równoważnymi im wyrażeniami

(prawo podwójnego przeczenia) dostajemy:

Ostatnia formuła jest już w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.

Rachunek zdań możemy stosować przy rozwiązywaniu równań i nierówności.

Przykład 1. Rozwiązać równanie

w dziedzinie liczb rzeczywistych.

Niech oznacza dowolną liczbę rzeczywistą. Wówczas równość

staje się zdaniem

(prawdziwym lub nie) i dostajemy następujący ciąg zdań równoważnych:

Ostatnie zdanie jest fałszywe dla każdej liczby , zatem również wyjściowe zdanie jest fałszywe dla
każdej liczby . Znaczy to, ze równanie nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych.

Przykład 2. Rozwiązać nierówność

w dziedzinie liczb rzeczywistych.

Niech oznacza dowolną liczbę rzeczywistą. Wtedy korzystając z własności działań na liczbach
rzeczywistych dostajemy następujący ciąg zdań równoważnych:

Skorzystaliśmy tu z faktu, że iloczyn dwóch liczb rzeczywistych jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy
bądź obie są ujemne, bądź obie są dodatnie. Widzimy więc, że wyjściowa nierówność jest prawdziwa
dokładnie dla tych liczb rzeczywistych , które są większe od

lub mniejsze od

.

Przykład 3. Rozwiązać nierówność

w dziedzinie liczb rzeczywistych.

Niech będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Korzystając z faktu, że iloczyn dwóch liczb rzeczywistych
jest ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z nich jest dodatnia, a druga ujemna, mamy:

Jednak

jest zdaniem fałszywym, więc korzystając z tautologii

dostajemy, że

powyższe zdanie jest równoważne zdaniu

, co skrótowo zapisujemy jako warunek

. Zatem liczby spełniające wyjściowe równanie to dokładnie te liczby , dla których

.

Przykład 4. Rozwiązać w dziedzinie liczb rzeczywistych równanie

Sposób 1 (metoda przekształceń równoważnych). Niech będzie dowolną liczbą rzeczywistą.
Korzystając z tego, że

, gdy

, oraz

, gdy

, wnioskujemy, że nasze równanie

jest równoważne następującej alternatywie:

Pierwszy i trzeci człon tej alternatywy jest fałszywy dla dowolnego , dostajemy więc następujący ciąg
zdań równoważnych:

Metoda przekształceń równoważnych bywa kłopotliwa. Zamiast niej można zastosować metodę
implikacji, opisaną niżej.

Sposób 2 (metoda implikacji). W tej metodzie w ciągu przekształcanych zdań niekiedy zdanie
następujące po zdaniu

nie jest równoważne zdaniu

, lecz jedynie z niego wynika, tzn. implikacja

jest prawdziwa. Fakt ten zapisujemy stosując skrót .

Niech więc będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Będziemy korzystali z tego, że

oraz

że

. Mamy następujący ciąg zdań.

W tym ciągu przekształceń nie możemy zastąpić przez , gdyż implikacja odwrotna do

nie zawsze zachodzi. Powyższy ciąg przekształceń informuje nas jednak, że jeśli jest

rozwiązaniem wyjściowego równania, to

lub

(na mocy przechodniości implikacji). Inaczej

mówiąc, dla wszystkich liczb rzeczywistych prawdziwa jest implikacja

Znaczy to, że każde rozwiązanie równania

musi spełniać następnik tej implikacji,

tzn.

. Nie wynika stąd jeszcze, że obie liczby

spełniają wyjściowe równanie.

Wymaga to sprawdzenia. W naszym przypadku liczba jest rozwiązaniem wyjściowego równania, zaś

liczba

nie. Nie przeczy to jednak prawdziwości implikacji

dla

, gdyż wtedy jej

poprzednik jest fałszywy.