Model wyboru

międzyokresowego

konsumenta

oraz wybór między

konsumpcją i czasem wolnym

1. Model wyboru konsumpcji w czasie

1.1. Założenia modelu

1.2. Rozwiązanie modelu

1.3. Przykład

2. Wybór między konsumpcją i czasem wolnym

2.1. Założenia modelu

2.2. Rozwiązanie modelu

2.3. Przykład

Bibliografia

2

1. Model wyboru konsumpcji

w czasie

1.1. Założenia modelu

Warunkiem brzegowym dla konsumenta dokonującego alokacji konsumpcji w czasie

jest

międzyokresowa linia ograniczenia budżetowego

. Jest ona zbiorem wszystkich

kombinacji konsumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej, które są osiągalne dla konsumen-

ta przy danych warunkach brzegowych (czyli dochodach bieżących i przyszłych oraz sto-

pie procentowej).

Równanie międzyokresowej linii ograniczenia budżetowego wyprowadzamy przy

następujących założeniach:

1) przedmiotem wyboru konsumenta jest struktura konsumpcji w okresie bieżącym

(będziemy ją oznaczać symbolem C

1

, gdzie: C

1

≥ 0) oraz konsumpcji w okresie przy-

szłym (którą będziemy oznaczać symbolem C

2

,

gdzie: C

2

≥ 0);

2) zakładamy, że konsument „żyje” w dwóch okresach: w okresie bieżącym i w okresie

przyszłym; w każdym z tych okresów dysponuje on dochodem (dla naszej analizy nie

ma znaczenia źródło jego dochodów), który może przeznaczać na konsumpcję; jego

dochód w okresie bieżącym wynosi m

1

> 0, a w okresie przyszłym m

2

> 0;

3) dochody z obu okresów muszą być w całości wydane na konsumpcję w obu okresach

(czyli konsument nic nie przekazuje swoim spadkobiercom);

4) w odróżnieniu od modelu przedstawionego w module 1 przyjmujemy, że konsument

ma dostęp do rynku kredytowego, na którym może zaciągać pożyczki na sfinansowa-

nie swojej bieżącej konsumpcji lub zakładać depozyty w celu sfinansowania swojej

konsumpcji przyszłej.

Przy powyższych założeniach możemy wyprowadzić równanie międzyokresowej li-

nii ograniczenia budżetowego. Oszczędności (S) (przy założeniu, że konsument „żyje”

w dwóch okresach) to różnica między dochodem bieżącym i konsumpcją bieżącą:

S m

C

=

−

1

1

.

(1)

W odróżnieniu od większości wielkości ekonomicznych oszczędności są określone

w zbiorze liczb rzeczywistych. Jeśli S > 0, to konsument ma oszczędności sensu stricto. Je-

śli S < 0, to konsument wydaje więcej w okresie bieżącym niż zarabia, czyli zaciąga kre-

dyt w celu sfinansowania bieżącej konsumpcji. Natomiast S = 0 oznacza, że wartość kon-

sumpcji bieżącej jest równa dochodom bieżącym.

Konsumpcja w okresie przyszłym będzie zatem równa sumie dochodów przyszłych

oraz oszczędności powiększonych o odsetki:

3

C

m

S

r

2

2

1

=

+

+

(

).

(2)

Po podstawieniu równania 1 do równania 2 i przekształceniach otrzymujemy równa-

nie międzyokresowej linii ograniczenia budżetowego:

C

m

m

r

C

r

2

2

1

1

1

1

=

+

+

−

+

(

)

(

).

(3)

A zatem nachylenie międzyokresowej linii ograniczenia budżetowego wynosi:

dC

dC

C C

r

2

1

2

1

1

=

′

= − +

( )

(

).

(4)

Z równania 4 wynika, że międzyokresowa linia ograniczenia budżetowego ma ujem-

ne nachylenie.

Nachylenie międzyokresowej linii ograniczenia budżetowego zależy od wysokości

stopy procentowej. Im wyższa stopa procentowa, tym mniejszy współczynnik nachyle-

nia, a zatem międzyokresowa linia ograniczenia budżetowego będzie bardziej stroma.

Wyrażenie (1 + r) to cena konsumpcji bieżącej. Jeśli konsument wyda jednostkę pie-

niężną w bieżącym okresie, to ponosi również koszt alternatywny w postaci utraconych

odsetek.

Położenie międzyokresowej linii ograniczenia budżetowego zależy od poziomu do-

chodu w okresie bieżącym i w okresie przyszłym. Wzrost (spadek) m

1

lub m

2

powodu-

je przesunięcie międzyokresowej linii ograniczenia budżetowego równolegle w prawo

(w lewo).

Ilustrację graficzną międzyokresowej linii ograniczenia budżetowego przedstawia

rysunek 1.

Współrzędne punktów brzegowych:

1) m

2

+ m

1

(1 + r) to poziom konsumpcji w okresie przyszłym w sytuacji, gdy C

2

= 0,

2)

m

r

m

2

1

1 +

+

to poziom konsumpcji w okresie bieżącym, gdy C

2

= 0.

Punkt Z o współrzędnych (m

1

, m

2

) to zasób początkowy. W punkcie tym poziom

oszczędności wynosi 0. W każdym punkcie na międzyokresowej linii ograniczenia bu-

dżetowego na prawo od punktu Z konsumpcja w okresie bieżącym przewyższa do-

chód w okresie bieżącym, co oznacza, że konsument jest pożyczkobiorcą (kredytobior-

cą). W każdym punkcie na międzyokresowej linii ograniczenia budżetowego na lewo od

punktu Z konsumpcja w okresie bieżącym jest mniejsza od dochodu w okresie bieżącym,

co oznacza, że konsument jest pożyczkodawcą (kredytodawcą).

4

Rysunek 1. Międzyokresowa linia ograniczenia budżetowego

Celem konsumenta w modelu alokacji konsumpcji w czasie jest maksymalizacja uży-

teczności całkowitej z konsumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej. Tak samo jak w modu-

le 1 zakładamy, że preferencje konsumenta są opisane przez funkcję użyteczności całko-

witej z konsumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej według wzoru:

U C C

( , ).

1

2

(5)

Zakładamy, że funkcja U(C

1

, C

2

) ma te same własności matematyczne co funkcja uży-

teczności całkowitej u(x

1

, x

2

)

1

. Konsument ma zatem dobrze zachowujące się preferencje

dotyczące konsumpcji w okresie bieżącym i przyszłym.

Krzywa obojętności

, będąca ilu-

stracją graficzną preferencji dobrze zachowujących się, jest ujemnie nachylona i wypukła

do początku układu współrzędnych (zob. rys. 2).

Krzywa obojętności

w modelu aloka-

cji konsumpcji w czasie jest zbiorem różnych kombinacji konsumpcji bieżącej i konsump-

cji przyszłej, które zapewniają konsumentowi taki sam poziom użyteczności całkowitej.

1 

Chodzi tutaj o warunki 1–4 w module 1, podtemat 1.2.

5

Rysunek 2. Krzywa obojętności w modelu alokacji konsumpcji w czasie

Funkcja użyteczności całkowitej z konsumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej — 

U(C

1

, C

2

) — opisuje zależność między poziomem konsumpcji w okresie bieżącym i okre-

sie przyszłym a poziomem użyteczności całkowitej. Użyteczność krańcowa konsumpcji

bieżącej (mu

1

) to stosunek przyrostu użyteczności całkowitej do przyrostu konsumpcji

bieżącej

2

. Użyteczność krańcowa konsumpcji przyszłej (mu

2

) to stosunek przyrostu uży-

teczności całkowitej do przyrostu konsumpcji przyszłej

3

.

1.2. Rozwiązanie modelu

Przyjmujemy, że konsument dokonujący alokacji konsumpcji w czasie postępuje racjo-

nalnie. Dąży on do maksymalizacji użyteczności całkowitej U(C

1

, C

2

) przy danej między-

okresowej linii ograniczenia budżetowego. Wyznaczamy zatem maksimum warunkowe:

U C C

C

( , )

max

1

2

,C

1

→

2

(6)

przy międzyokresowej linii ograniczenia budżetowego:

C

m

m

r

C

r

2

2

1

1

1

1

=

+

+

−

+

(

)

(

).

(7)

2 

Jeśli przyrosty konsumpcji bieżącej i użyteczności całkowitej są zbieżne do 0, to

mu

U C , C

C

1

1

=

∂

∂

.

3 

Jeśli przyrosty konsumpcji przyszłej i użyteczności całkowitej są zbieżne do 0, to

mu

U C , C

C

2

2

=

∂

∂

.

6

Tak samo jak w module 1, warunki konieczne i dostateczne istnienia maksimum

warunkowego uzyskamy przez wykorzystanie wielomianu Lagrange’a. Wielomian

Lagrange’a jest postaci:

Φ

= ( , )

(

(1

)

(1

)).

1

2

2

1

2

1

U C C

C

C

r

m

m

r

+

+

+

−

−

+

λ

(8)

Parametr λ ∈ ℜ w równaniu 8 to nieoznaczony mnożnik wielomianu Lagrange’a. Nie

nadajemy mu interpretacji ekonomicznej.

Maksymalizacja wielomianu Lagrange’a jest tożsama z maksymalizacją funkcji uży-

teczności U(C

1

, C

2

). Wielomian Lagrange’a będzie osiągał maksimum warunkowe, gdy speł-

nione będą następujące warunki konieczne i dostateczne (zob. Tokarski, 2011: 59–60):

∂

∂

∂

∂

+

+

Φ

C

U C C

C

r

1

1

2

1

=

( , )

(

) = 0

λ

1

(8.1)

∂

∂

∂

∂

+

Φ

C

U C C

C

2

1

2

2

=

( , )

= 0

λ

(8.2)

∂

∂

+

+

−

−

+

=

Φ

λ

=

(1

)

(1

) 0

2

1

2

1

C

C

r

m

m

r

(8.3)

H

C

C C

C

C C

C

C

∧

=

∂
∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂
∂

∂

∂ ∂

∂

∂

( )

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

2

2

λ

λ

λλ

λ

λ

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

>

C

C

1

2

1

2

2

0

Φ

Φ

(8.4)

Równania 8.1–8.3 to warunki konieczne istnienia maksimum warunkowego, a nie-

równość 8.4 to warunek dostateczny

4

.

Warunek 8.3 jest spełniony dla każdego C

1

, C

2

≥ 0. Z warunku tego wynika, że opty-

malna struktura konsumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej musi znajdować się na mię-

dzyokresowej linii ograniczenia budżetowego.

Po przekształceniu równania 8.1–8.2 przyjmują postać:

mu

r

1

1

+

+

λ

(

) = 0

(8.5a)

mu

2

= 0

+ λ

(8.5b)

4 

Warunkiem dostatecznym istnienia maksimum warunkowego jest, aby wyznacznik hesjanu obrze-

żonego

H

∧

( )

Φ

był dodatnio określony w punkcie stacjonarnym, w którym są spełnione warunki koniecz-

ne

(por. Tokarski, 2011: 59–60).

7

Z równań 8.5a i 8.5b otrzymujemy warunek maksymalizacji użyteczności całkowitej

z konsumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej:

−

= − +

mu

mu

r

1

2

1

(

).

(9)

Równanie 8.3 oraz równanie 9 to warunki konieczne maksymalizacji użyteczności

całkowitej z konsumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej. Jak wynika z równania 9, aby

konsument maksymalizował użyteczność całkowitą, stosunek użyteczności krańcowej

konsumpcji bieżącej do użyteczności krańcowej konsumpcji przyszłej musi być równy

stosunkowi ceny konsumpcji bieżącej do ceny konsumpcji przyszłej

5

.

Lewa strona równania 9:

− mu

mu

1

2

to

krańcowa stopa substytucji C

1

i C

2

. Określa ona,

w jakiej relacji konsument będzie skłonny zamieniać konsumpcję przyszłą (C

2

) na kon-

sumpcję bieżącą (C

1

) przy zachowaniu tego samego poziomu użyteczności całkowitej.

W naszym modelu zakładamy, że konsument ma dobrze zachowujące się preferencje,

a zatem krańcowa stopa substytucji ma wartość ujemną.

Rysunek 3. Optimum konsumenta w modelu alokacji konsumpcji w czasie

Prawa strona równania 9 to współczynnik nachylenia międzyokresowej linii ogra-

niczenia budżetowego. Z równania 9 wynika zatem, że konsument maksymalizuje uży-

teczność całkowitą z konsumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej w punkcie, w którym

nachylenie krzywej obojętności jest równe nachyleniu linii ograniczenia budżetowego.

Oznacza to, że punktem optimum jest punkt styczności krzywej obojętności z między-

5 

Cena konsumpcji przyszłej wynosi 1.

8

okresową linią ograniczenia budżetowego

6

. Ilustrację graficzną optimum konsumenta

w modelu alokacji konsumpcji w czasie przedstawiono na rysunku 3.

W punkcie E (na rys. 4) konsument maksymalizuje użyteczność całkowitą z konsump-

cji bieżącej i konsumpcji przyszłej. Współrzędne tego punktu — 

C C

E

E

1

2

,

(

)

 — to optymal-

na struktura konsumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej. Ponieważ punkt optimum znaj-

duje się na prawo od punktu Z, konsument maksymalizuje użyteczność całkowitą, będąc

pożyczkobiorcą (kredytobiorcą). Odcinek zaznaczony na rysunku 3 klamrą (między m

1

a

C

E

1

) to poziom oszczędności (wielkość zaciągniętych pożyczek lub kredytów) w anali-

zowanym przypadku.

Punkt E może znajdować się w dowolnym miejscu na międzyokresowej linii ogra-

niczenia budżetowego (oprócz punktów brzegowych znajdujących się na osiach współ-

rzędnych).

Aby wyznaczyć optymalną strukturę konsumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej, mu-

simy rozwiązać układ równań składający się z warunków koniecznych 8.3 i 9:

−

= − +

+

+

−

−

+

=








mu

mu

r

C

C

r

m

m

r

1

2

1

(

)

(1

)

(1

) 0

2

1

2

1

(10)

Optymalna struktura konsumpcji bieżącej i przyszłej zależy od poziomu stopy pro-

centowej oraz dochodów bieżących i dochodów przyszłych. Zmiana którejkolwiek z tych

wielkości wpłynie na położenie punktu optimum.

1.3. Przykład

Załóżmy, że preferencje konsumenta są opisane przez funkcję użyteczności całkowi-

tej postaci:

U C C

C

C

( , ) = ln( )

ln( ).

1

2

1

2

2

+

Dochód w okresie bieżącym wynosi m

1

> 0, a dochód w okresie przyszłym m

2

> 0. Sto-

pa procentowa wynosi r > 0.

Problem maksymalizacji użyteczności całkowitej możemy zatem opisać w następują-

cy sposób:

U C C

C

C

C C

( , ) ln( ) + 2ln( )

max

1

2

,

1

=

→

1

2

2

(11)

przy danej międzyokresowej linii ograniczenia budżetowego:

C

m

m

r

C

r

2

2

1

1

1

1

=

+

+

−

+

(

)

(

).

(12)

6 

Współczynniki nachylenia obu krzywych są sobie równe tylko w punkcie styczności.

9

Wielomian Lagrange’a ma zatem następującą postać:

Φ

= ln( )

ln( )

(

(1

)

(1 )).

2

1

2

1

C

C

C

C

r

m

m

r

1

2

2

+

+

+

+

−

−

+

λ

(13)

Aby równanie 13 osiągało maksimum warunkowe, muszą być spełnione następujące

warunki konieczne

7

:

∂

∂

+

+

Φ

C

C

r

1

=

(

) = 0

1

1

1

λ

(14a)

∂

∂

+

Φ

C

C

2

=

= 0

2

2

λ

(14b)

∂

∂

+

+

−

−

+

=

Φ

λ

=

(1

)

(1

) 0

2

1

2

1

C

C

r

m

m

r

(14c)

Z równań 14a–14b po przekształceniach otrzymujemy:

λ

=

(

)

,

−

+

1

1

1

C

r

(15a)

λ

=

−

2

2

C

.

(15b)

Z porównania stronami równań 15a i 15b otrzymujemy:

1

1

1

C

r

c

(

)

2

2

+

=

.

(16)

Po przekształceniach równanie 16 przyjmuje postać:

2

1

C

r

C

(1

)

0.

2

+

−

=

(17)

Aby wyznaczyć optymalną strukturę konsumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej, mu-

simy rozwiązać następujący układ równań:

2

1

2

C

r

C

C

r

C

m

r

m

(1

)

0

(1

)

(1

)

2

1

2

1

+

−

=

+

+

=

+

+







(18)

Wyznaczniki Cramera dla powyższego układu równań są postaci:

W

r

r

r

r

r

=

+

−

+

=

+

+

+

=

+

>

2 1

1

1

1

2 1

1

3 1

0

(

) ( )

(

)

(

) (

)

(

)

(19a)

7 

Przyjmujemy, że spełnienie warunków koniecznych oznacza, że warunek dostateczny jest również

spełniony.

10

W

m

r

m

m

r

m

1

1

2

1

2

0

1

1

1

1

0

=

−

+

+

(

)

=

+

+

>

( )

(

)

(

)

(19b)

W

r

r

m

r

m

m

r

m

r

2

1

2

1

2

2 1

0

1

1

1

1

0

=

+

+

+

+

(

)

=

+

+

(

)

+

(

)

>

(

)

(

)

(

)

2

(

)

(19c)

Wyznacznik W układu równań 19 jest dodatnio określony, a zatem ten układ rów-

nań ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązaniem tego układu równań jest optymalna

struktura konsumpcji bieżącej i przyszłej

8

:

C

W

W

m

r

m

r

m

m

r

E

1

1

1

2

1

2

1

3 1

3

3 1

=

=

+

+

+

=

+

+

(

)

(

)

(

)

(20a)

C

W

W

m

r

m

r

r

m

r

m

E

2

2

1

2

1

2

1

1

3 1

2 1

3

2

3

=

=

+

+

(

)

+

(

)

+

=

+

+

2

(

)

(

)

(

)

(20b)

Ponieważ S = m

1

 – C

1

, to w punkcie E poziom oszczędności wyniesie:

S

m

C

m

m

m

r

E

E

=

−

=

−

−

+

1

1

1

1

2

3

3 1

(

)

.

(21)

Poziom oszczędności (a zarazem funkcja oszczędności) jest opisany wzorem:

1

2

2

3

3(1 )

E

m

m

S

.

r

=

−

+

(22)

Z równania 20a wynika, że optymalny poziom konsumpcji bieżącej zależy od m

1

, m

2

oraz r. Aby określić kierunek zależności między konsumpcją bieżącą i poszczególnymi

zmiennymi wpływającymi na konsumpcję bieżącą, musimy zbadać monotoniczność

C

E

1

względem wszystkich zmiennych. Różniczkując

C

E

1

względem m

1

, otrzymujemy:

∂

∂

= >

C

m

E

1

1

1

3

0.

(23a)

A zatem wzrost dochodu bieżącego powoduje (przy założeniu ceteris paribus) wzrost

konsumpcji bieżącej.

Pochodna

C

E

1

względem m

2

wynosi:

∂

∂

=

+

>

C

m

r

E

1

2

1

3 1

0

(

)

.

(23b)

8 

Rozwiązanie na wzorach ogólnych pozwala na wyznaczenie zarówno poziomu, jak i funkcji kon-

sumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej.

11

Dodatni znak pochodnej 23b oznacza, że (przy założeniu ceteris paribus) wzrost do-

chodów przyszłych powoduje wzrost konsumpcji bieżącej.

Pochodna

C

E

1

względem stopy procentowej wynosi:

∂

∂

=

−

+

<

C

r

m

r

E

1

2

2

3 1

0

(

)

.

(23c)

Ujemny znak pochodnej 23c oznacza, że (przy założeniu ceteris paribus) wzrost stopy

procentowej powoduje spadek konsumpcji bieżącej.

Z równania 20b wynika, że optymalny poziom konsumpcji przyszłej zależy od m

1

, m

2

oraz r. Wartości pochodnych

C

E

2

względem poszczególnych zmiennych wynoszą odpo-

wiednio:

∂

∂

=

+

>

C

m

r

E

2

1

2 1

3

0

(

)

(24a)

∂

∂

=

>

C

m

E

2

2

2
3

0

(24b)

∂

∂

=

>

C

r

m

E

2

1

2

3

0

(24c)

Dodatnie wartości pochodnych

C

E

2

względem wszystkich zmiennych oznaczają, że

wzrost m

1

lub/i m

2

lub/i r powoduje wzrost konsumpcji w okresie przyszłym (

C

E

2

).

Z równania 22 wynika, że poziom oszczędności S

E

zależy od tego samego zestawu

zmiennych co

C

E

1

oraz

C

E

2

. Wartości pochodnych S

E

względem tych zmiennych wynoszą

odpowiednio:

∂

∂

=

>

S

m

E

1

2
3

0

(25a)

∂
∂

= −

+

<

S
m

r

E

2

1

3 1

0

(

)

(25b)

∂

∂

=

+

>

S

r

m

r

E

2

2

3 1

0

(

)

(25c)

Poziom oszczędności odpowiadający punktowi optimum jest zatem rosnącą funkcją

dochodów bieżących i stopy procentowej oraz malejącą funkcją dochodów przyszłych.

Ponieważ

∂

∂

=

−

+

<

2

2

2

3

2

3 1

0

S

r

m

r

E

(

)

, to wraz ze wzrostem stopy procentowej oszczędno-

ści rosną coraz szybciej.

12

2. Wybór między konsumpcją

i czasem wolnym

2.1. Założenia modelu

Przedmiotem wyboru konsumenta w tym modelu jest konsumpcja i czas wolny. W na-

szej analizie wielkość konsumpcji oznaczać będziemy symbolem C, a czas wolny symbo-

lem R. Przyjmujemy, że w każdym okresie konsument może na pracę i wypoczynek prze-

znaczyć N jednostek czasu (czyli N = R + L, gdzie L — podaż pracy jednostki). Zakładamy

ponadto, że:

1) konsument dysponuje dochodem pozapłacowym M > 0,

2) nominalna stawka płac wynosi w > 0,

3) cena konsumpcji wynosi p > 0,

4) dochody z pracy i dochody pozapłacowe są w całości przeznaczane na konsumpcję.

Przy powyższych założeniach możemy zapisać następujące równanie linii ogranicze-

nia budżetowego w tym modelu:

pC wL M

=

+

.

(26)

Ponieważ przedmiotem wyboru jest czas wolny, z równania 26 musimy wyelimino-

wać czas pracy (L). Wiemy, że N = R + L, a zatem L = N – R. Po podstawieniu do równania

26 i po przekształceniach otrzymujemy postać analityczną linii ograniczenia budżetowe-

go w tym modelu

9

:

C

w

p

R w

p

N

M

p

= −

+

+

,

(27)

gdzie:

w

p

 — płaca realna (realna stawka płac),

M

p

 — realny dochód pozapłacowy

10

.

Linia ograniczenia budżetowego (będąca wykresem równania 27) jest zbiorem

wszystkich kombinacji konsumpcji i czasu wolnego, które są osiągalne dla konsumen-

ta przy danych warunkach brzegowych, tzn. dochodach pozapłacowych, zasobie czasu

9 

Równania 26 i 27 są równoważne.

10 

Realny dochód pozapłacowy mierzy siłę nabywczą dochodu pozapłacowego w ujęciu nominalnym.

13

przeznaczanego na pracę i wypoczynek (N) oraz nominalnej stawce płac. Z równania 27

wynika, że nachylenie linii ograniczenia budżetowego wynosi:

dC

dR

C R

w

p

=

= −

'

.

( )

(28)

Wyrażenie

w

p

to

płaca realna (realna stawka płac)

. Płaca realna mierzy siłę na-

bywczą płacy nominalnej. Z równania 28 wynika, że wykresem równania 27 jest ujemnie

nachylona linia prosta. Jej ilustrację graficzną przedstawiono na rysunku 4.

Rysunek 4. Linia ograniczenia budżetowego w modelu wyboru między konsumpcją i czasem wolnym

Z równania 27 wynika, że jeśli R = 0, czyli N = L, to maksymalna wartość konsumpcji

wyniesie

w

p

N

M

p

+

. Jeśli natomiast L = 0, czyli R = N, to wartość konsumpcji wyniesie

m

p

.

Jak wynika z równania 27, nachylenie linii ograniczenia budżetowego zależy od nomi-

nalnej i realnej stawki płac. Wzrost (spadek) nominalnej (realnej) stawki płac powoduje

spadek (wzrost) nachylenia linii ograniczenia budżetowego, a linia ograniczenia budże-

towego stanie się bardziej stroma (płaska).

Położenie linii ograniczenia budżetowego zależy od dochodów pozapłacowych oraz

zasobu czasu, który konsument może przeznaczyć na pracę i wypoczynek. Z równania

27 wynika, że wzrost dochodów pozapłacowych przesuwa linię ograniczenia budżeto-

wego równolegle w lewo. Wzrost parametru N powoduje przesunięcie linii ograniczenia

budżetowego równolegle w prawo.

14

Celem konsumenta jest maksymalizacja użyteczności całkowitej z konsumpcji bieżą-

cej i konsumpcji przyszłej. Przyjmujemy, że funkcja użyteczności całkowitej z konsump-

cji i czasu wolnego — U(C, R) — opisuje preferencje dobrze zachowujące się

11

. Krzywa

obojętności będąca jej warstwicą jest zatem ujemnie nachylona i wypukła do początku

układu współrzędnych. Ma ona taki sam kształt jak krzywa obojętności przedstawiona

na rysunku 3.

2.2. Rozwiązanie modelu

Jak wspomniano w podtemacie 2.1, celem konsumenta jest maksymalizacja użytecz-

ności całkowitej z konsumpcji i czasu wolnego. Przy podejmowaniu decyzji dotyczącej

wyboru struktury konsumpcji i czasu wolnego konsument musi brać pod uwagę waru-

nek brzegowy, czyli linię ograniczenia budżetowego. A zatem również w tym modelu szu-

kamy maksimum warunkowego.

Problem wyboru w tym modelu możemy zapisać w następujący sposób:

U C R

C R

( , )

max

,

→

(29)

przy warunku brzegowym:

C

w

p

R w

p

N

M

p

= −

+

+

.

(30)

Wielomian Lagrange’a w prezentowanym modelu ma następującą postać:

Ω

= ( , )

,

U C R

C

w

p

R w

p

N

M

p

+

+

−

−











γ

(31)

gdzie:

γ — mnożnik Lagrange’a określony w zbiorze liczb rzeczywistych (nieposiadający inter-

pretacji ekonomicznej).

Aby wielomian Lagrange’a (31) osiągał maksimum warunkowe, muszą być spełnione

następujące warunki konieczne

12

:

∂

∂

∂

∂

+

Ω

C

U C R

C

=

( , )

= 0

γ

(32a)

∂

∂

∂

∂

+

Ω

R

=

( , )

= 0

U C R

R

w

p

γ

(32b)

11 

Oznacza to, że funkcja U(C, R) ma te same własności matematyczne co funkcje użyteczności w oma-

wianych wcześniej modelach. Więcej informacji na temat tego modelu studenci mogą znaleźć w: Tokarski,

2011: 103–111.

12 

Przyjmujemy, że spełnienie warunków koniecznych oznacza, że warunek dostateczny jest również

spełniony.

15

∂

∂

+

−

−

Ω

R

C

w

p

R w

p

N

M

p

=

= 0

(32c)

Warunek konieczny 32c to równanie linii ograniczenia budżetowego. Jest on spełnio-

ny dla każdego C, R ≥ 0. Z tego warunku wynika, że optymalna struktura konsumpcji

i czasu wolnego musi znajdować się na linii ograniczenia budżetowego.

Pochodne cząstkowe funkcji U(C, R) względem C oraz R są równe użytecznoś-

ciom krańcowym konsumpcji i czasu wolnego. Użyteczność krańcowa czasu wolnego 
— 

mu

U C R

R

R

=

∂

∂

( , )

, a użyteczność krańcowa konsumpcji — 

mu

U C R

C

C

=

∂

∂

( , )

. Po podsta-

wieniu do równań 32a–32b otrzymujemy:

mu

C

+ γ

= 0

(33a)

mu

w

p

R

+ γ

= 0

(33b)

Po przekształceniach równań 33a–33b otrzymujemy warunek konieczny maksymali-

zacji użyteczności całkowitej z konsumpcji i czasu wolnego:

−

= −

mu
mu

w

p

R

C

.

(34)

Lewa strona równania 34 to nachylenie krzywej obojętności, czyli krańcowa stopa

substytucji między konsumpcją i czasem wolnym (jest ona miarą nachylenia krzywej

obojętności). Prawa strona to nachylenie linii ograniczenia budżetowego. A zatem opti-

mum konsumenta w tym modelu znajduje się w punkcie styczności obu krzywych.

Oba warunki konieczne maksymalizacji użyteczności całkowitej z konsumpcji i czasu

wolnego (równania 32c i 34

)

są spełnione w punkcie E na rysunku 5. Współrzędne tego

punktu (C

E

, R

E

) to optymalna struktura konsumpcji i czasu wolnego.

16

Rysunek 5. Optymalna struktura konsumpcji i czasu wolnego

Odcinek

R N

E

to wielkość podaży pracy odpowiadająca punktowi E. Optymalna wiel-

kość konsumpcji, czasu wolnego oraz podaży pracy zależy od poziomu nominalnej stawki

płac oraz nominalnego i realnego poziomu dochodów pozapłacowych. Kierunki zależno-

ści zbadamy w przykładowym zadaniu w następnym podtemacie.

2.3. Przykład

Załóżmy, że preferencje konsumenta są opisane przez funkcję użyteczności całkowi-

tej z konsumpcji i czasu wolnego następującej postaci:

U C R

C R

( , ) =

2 3

.

Dochody pozapłacowe konsumenta wynoszą M > 0, stawka płac w > 0, cena konsump-

cji p > 0, a czas przeznaczany na pracę i wypoczynek N > 0 (gdzie: N = L + R).

Konsument dąży do maksymalizacji użyteczności całkowitej z konsumpcji i czasu

wolnego:

U C R

C R

C C

( , )

max

1

,

=

→

2 3

2

(35)

przy danej linii ograniczenia budżetowego:

C

w

p

R w

p

N

M

p

= −

+

+

.

(36)

17

Aby wyznaczyć optymalny poziom konsumpcji i czasu wolnego, musimy zbudować

wielomian Lagrange’a. Przy danej funkcji użyteczności ma on następującą postać:

Ω

= C R

C

w

p

R w

p

N

M

p

2 3

+

+

−

−











γ

.

(37)

Aby wielomian Lagrange’a osiągał maksimum warunkowe, muszą być spełnione na-

stępujące warunki konieczne:

∂

∂

+

Ω

C

CR

=

= 0

2

3

γ

(38a)

∂

∂

+

Ω

R

C R

w

p

=

= 0

3

2 2

γ

(38b)

∂

∂

+

−

−

Ω

R

=

= 0

C

w

p

R w

p

N

M

p

(38c)

oraz warunek dostateczny:

H

∧

>

( )

Φ

0.

(39)

Sprawdzenie warunku dostatecznego pomijamy. Z równań 38a–38b po przekształce-

niach otrzymujemy:

γ

= − 2

3

CR

(40a)

γ

= − 3

2 2

C R

w

p

(40b)

Porównując stronami równania 40a–40b oraz dokonując pewnych przekształceń,

otrzymujemy:

2

3

R

C

w

p

=

.

(41)

Ostatecznie równanie 41 przyjmuje postać:

C

w

p

R

= 2

3

.

(42)

18

Podstawiając równanie 42 do równania 36, otrzymujemy:

2
3

w

p

R

w

p

R w

p

N

M

p

= −

+

+

.

(43)

Po przekształceniach równania 43 otrzymujemy optymalny poziom czasu wolnego:

R R

N

M

w

E

=

=

+

3
5

3

5

.

(44)

Po podstawieniu równania 44 do równania 36 otrzymujemy optymalny poziom kon-

sumpcji:

C C

w

p

N

M

w

E

=

=

+

2
5

2

5

.

(45)

Wiadomo, że N = L + R, a zatem w punkcie optimum również zachodzi ta zależność.

Optymalna wielkość podaży pracy L

E

wynosi zatem:

L

N

R

N

N

M

w

E

E

=

−

=

−

+

3
5

3

5

.

(46)

Po przekształceniach równania 46 otrzymujemy optymalną wielkość podaży pracy:

L

N

M

w

E

=

−

2
5

3

5

.

(46)

Z równania 44 wynika, że optymalna ilość czasu wolnego jest rosnącą funkcją zasobu

czasu N i dochodów pozapłacowych oraz malejącą funkcją stawki płac nominalnych. Po-

twierdzeniem tych zależności są dodatnie wartości pochodnych R

E

względem N i M oraz

ujemna wartość pochodnej R

E

względem w:

∂

∂

= >

R

N

E

3
5

0

(47a)

∂

∂

=

>

R

M

w

E

3

5

0

(47b)

∂

∂

= −

<

R

w

M

w

E

3

5

0

2

(47c)

Z równania 45 wynika, że optymalna wielkość konsumpcji zależy od parametrów N, M

oraz w. Monotoniczność C

E

względem poszczególnych wielkości opisują równania 48a–48c.

∂

∂

=

>

C

N

w

p

E

2
5

0

(48a)

19

∂

∂

=

>

C

M

w

E

2

5

0

(48b)

∂

∂

=

−

>

>

C

w

N

p

M

w

N

p

E

2

5

2

5

0

2

dla

M

w

2

(48c)

Różniczkując równanie 46 względem N, M oraz w otrzymujemy:

∂

∂

=

>

L

N

E

2
5

0

(49a)

∂
∂

=

−

<

L
M

w

E

3

5

0

(49b)

∂

∂

=

>

L

w

M

w

E

3

5

0

2

(49c)

Dodatni znak pochodnej 49a oznacza, że wzrost (spadek) N powoduje wzrost (spadek)

podaży pracy. Ujemny znak pochodnej 49b oznacza z kolei, że wzrost dochodów pozapła-

cowych prowadzi do spadku podaży pracy. Z równania 49c wynika, że podaż pracy jest

rosnącą funkcją stawki płac nominalnych.

Elastyczność funkcji podaży pracy względem stawki płac nominalnych

możemy

obliczyć ze wzoru

13

:

E

L

w

w

L

L w

E

E

E

,

.

=

∂

∂

(50)

Dla funkcji

L

N

M

w

E

=

−

2
5

3

5

elastyczność podaży pracy względem stawki płac wynosi:

E

M

w N

M

w

L w

E

,

0.

=

−











≥

3

2

3

(51)

13 

Elastyczność podaży pracy względem stawki płac nominalnych to stosunek procentowej zmiany

podaży pracy do procentowej zmiany płac. Informuje ona, o ile procent wzrośnie podaż pracy, jeśli staw-

ka płac nominalnych wzrośnie np. o 1%.

20

Bibliografia

Tokarski T., 2011, Ekonomia matematyczna. Modele mikroekonomiczne, rozdz. 2 i 3, PTE, Warszawa.