Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 24

24. Drgania elektromagnetyczne

24.1 Wstęp

Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu

kx

t

x

M

−

=

2

2

d

d

Rozwiązania

x = Acos

ωt

v

= dx/dt = A

ωsinωt

a = d

2

x/dt

2

= – A

ω

2

cos

ωt

przy warunku

ω = (k/M)

1/2

.

24.2 Obwód LC

Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L i pojemności

C. Opór omowy jest równy zeru (R = 0). Załóżmy, że w chwili początkowej na
kondensatorze C jest nagromadzony ładunek q

m

, a prąd przez cewkę jest równy zeru.

Energia zawarta w kondensatorze

W

C

= q

m

2

/(2C)

(24.1)

jest maksymalna, a energia w cewce

W

L

= LI

2

/2

(24.2)

jest równa zeru.
Po zamknięciu obwodu, kondensator rozładowuje się przez cewkę. W obwodzie płynie
prąd I = dq/dt. W miarę jak maleje ładunek na kondensatorze maleje też energia zawarta
w polu elektrycznym kondensatora, a rośnie energia pola magnetycznego, które pojawia
się w cewce w miarę narastania w niej prądu.
Wreszcie gdy ładunek spadnie do zera cała energia jest przekazana do pola
magnetycznego cewki. Prąd w cewce indukcyjnej ma maksymalną wartość. Ten prąd
ładuje kondensator (przeciwnie) więc energia jest ponownie przekazywana do
kondensatora. Stan końcowy jest taki jak początkowy tylko kondensator jest
naładowany odwrotnie. Sytuacja powtarza się. Mamy więc do czynienia z oscylacjami
ładunku (prądu).

24-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Opis ilościowy
Z prawa Kirchoffa

U

L

+ U

C

= 0

0

d

d

=

+

C

q

t

I

L

(24.3)

Ponieważ I = dq/dt więc

C

q

t

q

L

−

=

2

2

d

d

(24.4)

To jest równanie analogiczne do przypomnianego równania dla sprężyny, przy czym
następujące wielkości są analogiczne

q

↔ x, L ↔ M, 1/C ↔ k

Tak więc możemy napisać rozwiązanie tego równania

q = q

m

cos

ωt

I = dq/dt = q

m

ωsinωt = I

m

sin

ωt

ω = (1/LC)

1/2

(24.5)

gdzie I

m

= q

m

ω

U

L

= - LdI/dt = – LI

m

ωcosωt

U

C

= q/c = (q

m

/C)cos

ωt

Ponieważ

LI

m

ω = Lq

m

ω

2

= Lq

m

(1/LC) = q

m

/C

widać, że

amplitudy napięć są takie same

.

24.3 Obwód szeregowy RLC

Dotychczas rozważaliśmy obwód zwierający indukcyjność L oraz pojemność C.

Tymczasem każdy obwód ma pewien opór R, przykładowo jest to opór drutu z którego
nawinięto cewkę. Obecność oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci
wydzielającego się ciepła. Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania
tłumione analogiczne do drgań tłumionych sprężyny opisanych w wykładzie 12, przy
czym współczynnik tłumienia 1/2

τ jest równy R/2L.

Drgania w obwodzie RLC można podtrzymać jeżeli obwód będziemy zasilać

napięciem sinusoidalnie zmiennym

t

U

t

U

ω

sin

)

(

0

=

24-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Prawo Kirchhoffa dla obwodu zawierającego elementy R, L, C oraz źródło SEM ma
postać

t

U

C

q

RI

t

I

L

ω

sin

d

d

0

=

+

+

(24.6)

różniczkując po dt

t

U

C

I

t

I

R

t

I

L

ω

ω

cos

d

d

d

d

0

2

2

=

+

+

(24.7)

albo

t

L

U

LC

I

t

I

L

R

t

I

ω

ω

cos

d

d

d

d

0

2

2

=

+

+

(24.8)

To jest równanie analogiczne do omawianego dla oscylatora wymuszonego przy R/L

↔

1/

τ, 1/LC ↔ ω

0

2

oraz

ωU

0

/L

↔

α

0

.

Rozwiązanie ma więc analogiczną postać

.

)

sin(

0

ϕ

ω −

=

t

I

I

Amplituda wynosi więc

2

2

0

0

1













−

+

=

C

L

R

V

I

ω

ω

(24.9)

a między napięciem i natężeniem prądu istnieje różnica faz, dana równaniem

R

C

L

ω

ω

ϕ

1

−

=

tg

(24.10)

Wyrażenie (24.9) ma postać prawa Ohma przy czym stała proporcjonalności pomiędzy
U

0

i I

0

2

2

1













−

+

=

C

L

R

Z

ω

ω

(24.11)

pełni analogiczną rolę jak opór R w prawie Ohma. Wielkość Z nazywamy

impedancją

(

zawadą

) obwodu.

Gdy zmienne sinusoidalne napięcie przyłożymy do kondensatora to

C

q

=

U

Stąd

C

I

t

U =

d

d

24-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

co dla U=U

0

sin

ωt daje

C

I

t

U

=

ω

ω

cos

0

Stąd

)

90

sin(

cos

0

0

o

+

=

=

t

CU

t

CU

I

ω

ω

ω

ω

Widać, że

prąd wyprzedza napięcie

na kondensatorze o 90

°.

Maksymalny prąd I

0

= U

0

/(

ωC) a stała proporcjonalności 1/ωC pełniąca rolę

analogiczną do oporu w obwodzie prądu stałego nazywamy

reaktancją pojemnościową

.

X

C

= 1/

ωC

(24.12)

Jeżeli generator prądu zmiennego podłączymy do cewki indukcyjnej to analogicznie
można pokazać, że

)

90

sin(

cos

0

0

o

−

=

−

=

t

L

U

t

L

U

I

ω

ω

ω

ω

Prąd

pozostaje za napięciem

o 90

°, a

reaktancja indukcyjna

ma wartość

X

L

=

ωL

(24.12)

Zauważmy, że w obwodzie RLC, pomimo połączenia szeregowego oporów omowego,
pojemnościowego i indukcyjnego ich opór zastępczy (zawada) nie jest prostą sumą tych
oporów. Wynika to właśnie z

przesunięć fazowych

.

Trzeba je uwzględnić przy dodawaniu napięć.

U = U

R

+ U

C

+ U

L

czyli

U = I

0

Rsin

ωt - X

C

I

0

cos

ωt + X

L

I

0

cos

ωt

(na kondensatorze U pozostaje za I, na cewce U wyprzedza I)
Stąd

t

X

X

t

R

I

U

C

L

ω

ω

cos

)

(

sin

0

0

−

+

=

Mamy teraz dodać sinus i cosinus graficznie tak jak na rysunku.
Możemy przy tym skorzystać z wyrażenia (24.10) według, którego tg

ϕ = (X

L

- X

C

)/R

.Relacja ta jest pokazana na rysunku poniżej
Zauważmy, ze przeciwprostokątna trójkąta na rysunku jest równa zawadzie

Z = (R

2

+ (X

L

- X

C

)

2

)

1/2

.

24-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

R

(X

L

- X

C

)

Z

ϕ

24.3.1 Rezonans

Drgania ładunku, prądu i napięcia w obwodzie odbywają się z częstością zasilania

ω. Amplituda tych drgań zależy od ω i osiąga maksimum dla pewnej charakterystycznej
wartości tej częstości. Przypomnijmy, że zjawisko to nazywamy

rezonansem

. Dla

małego oporu R czyli dla małego tłumienia warunek rezonansu jest spełniony gdy

LC

1

0

=

=

ω

ω

(24.13)

Natężenie prądu osiąga wtedy wartość maksymalną równą

R

U

I

0

0

=

(24.14)

Widzimy, że natężenie prądu w obwodzie jest takie, jak gdyby nie było w nim ani
pojemności ani indukcyjności, a zawada wynosiła R.

Przykład

Drgania wymuszone w obwodzie można także wywołać bez włączania bezpośredniego
źródła SEM w postaci generatora. Przykładem może być układ RLC w obwodzie
wejściowym radioodbiornika (telewizora) pokazany na rysunku poniżej. Układ ten jest
zasilany sygnałem z anteny.

W układzie dostrojenie do częstotliwości danej radiostacji jest osiągane przez dobranie
pojemności. W ten sposób jest spełniony warunek rezonansu dla tej częstotliwości.

24-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Przyjmijmy, że w pokazanym układzie R = 10

Ω, a L = 1 µH. Sprawdźmy, jaka

powinna być pojemność C aby uzyskać dostrojenie odbiornika (rezonans) do stacji
"Jazz Radio", która w Krakowie nadaje na częstotliwości 101 MHz?
Korzystając z warunku (24.13) otrzymujemy C = 2.48 pF.

W warunkach rezonansu napięcie na kondensatorze (w obwodzie RLC) jest równe

C

L

R

U

C

R

U

X

I

U

C

rez

C

0

0

0

0

,

1 =

=

=

ω

Jeżeli sygnał wejściowy z anteny ma amplitudę 100

µV to napięcie na kondensatorze

przy częstotliwości rezonansowej ma wartość 6.35 mV. Dla porównania napięcie na
kondensatorze przy tych samych ustawieniach R, L, C i sygnale o tej samej amplitudzie
ale o częstotliwości 96.0 MHz (radio "RMF") wynosi 1 mV.

24.3.2 Moc w obwodzie prądu zmiennego

W obwodzie prądu przemiennego moc dana analogicznym wyrażeniem jak dla

prądu stałego

)

(

)

(

)

(

t

I

t

U

t

P

=

(24.15)

ale wartość jej zmienia się bo zmienne jest napięcie i natężenie prądu. Dlatego też w
przypadku prądu zmiennego posługujemy się

wartościami średnimi

. Zgodnie z naszymi

obliczeniami moc w obwodzie RLC w dowolnej chwili t wynosi

)

sin(

sin

)

(

)

(

)

(

0

0

ϕ

ω

ω

−

=

=

t

t

I

U

t

I

t

U

t

P

Korzystając ze wzoru na sinus różnicy kątów otrzymujemy

)

sin

2

sin

2

1

cos

(sin

)

sin

cos

cos

(sin

sin

)

(

2

0

0

0

0

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ω

t

t

I

U

t

t

t

I

U

t

P

−

=

−

=

gdzie skorzystaliśmy z relacji

2

2 t

t

t

ω

ω

ω

sin

cos

=

sin

. Moc średnia jest więc dana

wyrażeniem

)

sin

2

sin

2

1

cos

sin

(

2

0

0

ϕ

ω

ϕ

ω

t

t

I

U

P

−

=

Ponieważ

to

1

2

2

=

+

t

t

ω

ω

cos

sin

2

1

2

2

=

=

t

t

ω

ω

cos

sin

(wykresy sinus i cosinus są

takie same, jedynie przesunięte o

π/2). Ponadto

0

=

2 t

ω

sin

bo funkcja sinus jest na

przemian dodatnia i ujemna. Uwzględniając, ponadto że U

0

= ZI

0

oraz, że (zgodnie z

rysunkiem na stronie 24-4)

Z

R

=

ϕ

cos

otrzymujemy wyrażenie na moc średnią

2

2

)

(

cos

2

2

0

0

0

0

0

R

I

Z

R

I

ZI

I

U

P

=

=

=

ϕ

(24.16)

24-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Jak widzimy, średnia moc zależy od przesunięcia faz. Przypomnijmy, że dla prądu
stałego P = I

2

R. Z porównania tych dwóch wyrażeń dochodzimy do wniosku, że moc

średnia wydzielana przy przepływie prądu zmiennego o amplitudzie I

0

jest taka sama

jak prądu stałego o natężeniu

2

0

I

I

sk

=

(24.17)

Tę wielkość nazywamy

wartością skuteczną prądu zmiennego

. Analogicznie

definiujemy

skuteczną wartością napięcia prądu zmiennego

2

0

U

U

sk

=

(24.18)

Mierniki prądu zmiennego (np. amperomierze i woltomierze) odczytują właśnie
wartości skuteczne. Wartość napięcia 220 V w naszej sieci domowej to wartość
skuteczna.
Obliczyliśmy moc średnią wydzielaną w całym obwodzie. Porównajmy ją teraz ze
średnią mocą traconą na oporze R

2

2

0

2

2

0

2

R

I

R

t

I

R

t

I

P

R

=

=

=

ω

sin

)

(

Widzimy, że

cała moc wydziela się na oporze R

, a to oznacza, że

na kondensatorze i

cewce nie ma strat mocy

. Zwróćmy uwagę, że ten wniosek pozostaje w zgodności

z naszymi wcześniejszymi obliczeniami. Gdy w obwodzie znajduje się tylko pojemność
lub indukcyjność (nie ma oporu omowego) to przesuniecie fazowe jest równe

π/2, a

ponieważ cos(

π/2) = 0 to zgodnie z równaniem (24.16) średnia moc jest równa zeru.

Jednocześnie zauważmy, że moc chwilowa zmienia się z czasem; raz jest dodatnia
(energia jest gromadzona w polu elektrycznym kondensatora lub magnetycznym
cewki), a raz ujemna (zgromadzona moc jest oddawana do układu).

Omawiane obwody, w których elementy R, L, C stanowiły odrębne części

nazywamy

obwodami o elementach skupionych

. W praktyce jednak mamy do czynienia

z elementami, które mają złożone własności. Przykładem może tu być cewka, która
oprócz indukcyjności L ma zawsze opór R oraz pojemność międzyzwojową C. Mamy
wtedy do czynienia z

obwodami o elementach rozłożonych

.

24-7