background image

Politechnika Łódzka

Elementy algebry liniowej

i geometrii analitycznej

– rozszerzony konspekt

Elżbieta Kotlicka

Bożenna Szkopińska

Witold Walas

Łódź 2009

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

2

1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała,

ciało liczb zespolonych

1.1. Działania wewnętrzne, grupy

Zbiory oznaczamy zwykle dużyli literami np. A, X, K. Fakt, że jest elementem zbioru zapisujemy jako

a ∈ A. Jeżeli a ∈ A b ∈ B, to parą uporządkowaną o poprzedniku i następniku nazywamy zbiór

(a, b)

def

{{a}, {a, b}}.

Dwie pary (a, b) i (x, y) są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy y. Zbiór wszystkich par
uporządkowanych o poprzedniku z i następniku z nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów i
i oznaczamy przez A × B. Mamy więc

A × B

def

{(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}.

Definicja 1.1.

Niech będzie niepustym zbiorem.

• Każdą funkcję

◦ A × A → A

nazywamy działaniem (wewnętrznym) w zbiorze A.

• Jeżeli ◦ jest działaniem wewnętrznym w A, to uporządkowaną parę (A, ◦) nazywamy strukturą alge-

braiczną.

Definicja 1.2.

Zbiór wraz z działaniem ◦ G × G → G i wyróżnionym elementem e ∈ G nazywamy grupą,

jeżeli spełnione są warunki:

a) działanie ◦ jest łączne, czyli

V

a,b,c ∈G

a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b◦ c,

b) dla dowolnego a ∈ G zachodzi

a ◦ e a,

c) dla dowolnego a ∈ G istnieje b ∈ G takie, że

a ◦ b e.

Jeżeli jest grupą, to istnieje dokładnie jeden element mający własność (b) — nazywamy go elementem
neutralnym 
grupy G. Zachodzi przy tym równość

a ◦ e e ◦ a.

Wykazuje się również, że dla każdego a ∈ G istnieje dokładnie jeden element b ∈ G taki, że zachodzi warunek
c) — nazywamy go elementem odwrotnym do i oznaczamy przez a

1

. Wówczas

a ◦ a

1

a

1

◦ a e.

Definicja 1.3.

Grupę nazywamy grupą abelową (przemienną), jeżeli dla dowolnych a, b ∈ G mamy

a ◦ b b ◦ a.

Uwaga 1.4. Można łatwo pokazać, że zbiór liczb naturalnych z dodawaniem i zerem (jak również zbiór liczb
całkowitych z mnożeniem i jedynką) nie stanowi grupy.

Definicja 1.5.

Niech będzie grupą z działaniem . Niepusty podzbiór H ⊂ G nazywamy podgrupą grupy

G, jeżeli z działaniem ◦ też jest grupą.

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

3

Twierdzenie 1.6.

Niepusty podzbiór H ⊂ G jest podgrupą grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są

warunki:

a)

V

a,b∈H

a ◦ b ∈ H,

b)

V

a∈H

a

1

∈ H.

1.2. Ciała

Definicja 1.7.

Ciałem nazywamy dowolny zbiór z działaniami wewnętrznymi

⊕ K × K → K,

 K × K → K,

zwanymi odpowiednio dodawaniem i mnożeniem, oraz wyróżnionymi elementami 0∈ K takimi, że spełnione
są warunki:

a) zbiór z działaniem ⊕ i elementem 0 jest grupą abelową,

b) zbiór K \ {0z działaniem   i elementem 1 jest grupą abelową,

c) działanie   jest rozdzielne względem , tzn.

V

a,b,c ∈K

a   (b ⊕ c) = (a   b⊕ (a   c.

Formalnie ciało zapisujemy jako uporządkowaną trójkę postaci (K, ⊕,  ). Jeżeli a ∈ K, to element taki,
że a ⊕ b = 0 nazywamy elementem przeciwnym do a. Jeśli natomiast a ∈ K \ {0}, to to element taki, że
a   b = 1 nazywamy elementem odwrotnym do a.

Definicja 1.8.

Podzbiór L ⊂ K nazywamy podciałem ciała (K, ⊕,  ), jeżeli (L, ⊕,  ) wraz z wyróżnionymi

elementami 0, 1 ∈ L jest też ciałem.

Twierdzenie 1.9.

Niech (K, ⊕,  będzie dowolnym ciałem. Wówczas

1) 0 6= 1;

2)

V

a,b ∈K

[a   b = 0 ⇔ (= 0 ∨ b = 0)];

3)

V

a ∈K

a   0 = 0.

Uwaga 1.10. Zbiór Z

4

{0123z działaniami zdefiniowanymi w poniższych tabelkach nie jest ciałem.

Mamy bowiem 2   2 = 0, co stanowi sprzeczność z tw. 1.9.

0

1

2

3

0

0

1

2

3

1

1

2

3

0

2

2

3

0

1

3

3

0

1

2

0

1

2

3

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

2

0

2

0

2

3

0

3

2

1

1.3. Ciało liczb zespolonych

Definicja 1.11.

Ciałem liczb zespolonych nazywamy zbiór C = R

2

wraz z wyróżnionymi elementami

= (00) i = (10) oraz działaniami + i · zdefiniowanymi jak poniżej:

(a, b) + (x, y)

def

= (x, b y,

(a, b· (x, y)

def

= (ax − by, ay bx)

dla (a, b)(x, y∈ R

2

.

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

4

Bez trudu można sprawdzić łączność i przemienność dodawania i mnożenia oraz rozdzielność mnożenia

względem dodawania. Liczbą przeciwną do (x, y) jest

− (x, y) = (−x, −y,

zaś odwrotną do (x, y6jest

(x, y)

1

=



x

x

2

y

2

, −

y

x

2

y

2



.

Ciało liczb zespolonych spełnia warunki a) – c) w definicji 1.7, stanowi zatem przykład kolejnego ciała. W
dalszym ciągu zero i jedynkę zespoloną będziemy oznaczać po prostu przez 0 i 1. Przyjmujemy też
oznaczenie:

i

def

= (01) .

Uwaga 1.12. Zauważmy, że

i

2

= (01) · (01) = (0 − 10 + 0) = (10) = − (10) = 1,

co oznacza, że w zbiorze liczb zespolonych równanie z

2

1 posiada rozwiązanie — jest nim liczba (łatwo

sprawdzić, że drugim jest liczba −i).

Uwaga 1.13. Liczbę zespoloną (x, 0) będziemy utożsamiać z liczbą rzeczywistą x. W konsekwencji ciało
(R+, ·) można traktować jako podciało ciała (C+, ·). Dodajmy, że ciało liczb zespolonych jest najmniejszym
(w sensie inkluzji) ciałem zawierającym ciało liczb rzeczywistych oraz liczbę urojoną i.

Definicja 1.14.

Ciałem liczbowym nazywamy ciało (C+, ·) oraz każde jego podciało. Najmniejszym

(w sensie inkluzji) podciałem ciała (C+, ·) jest ciało (Q+, ·).

Jeśli = (x, y) jest liczbą zespoloną, to

(x, y)

=

(x, 0) + (0, y) =

=

(x, 0) + (01) · (y, 0) =

=

iy.

A zatem każdą liczbę zespoloną = (x, y), gdzie x, y ∈ R, można jednoznacznie przedstawić w postaci x+iy,
zwanej postacią kartezjańską liczby zespolonej.

Liczbę zespoloną iy, gdzie x, y ∈ R, można graficznie traktować jako punkt (x, y) lub jako

wektor [x, y] zaczepiony w punkcie (00). Stąd zbiór liczb zespolonych nazywamy też płaszczyzną zespoloną
(płaszczyzną Gaussa, płaszczyzną Arganda)
. Z tego również powodu dodawanie (odejmowanie) liczb
zespolonych można interpretować jako dodawanie (odejmowanie) wektorów.

Uwaga 1.15. Liczb zespolonych nie porównujemy ze sobą w relacji mniejszości <. Mówiąc dokładniej, nie
istnieje taka relacja w zbiorze C, która by zachowywała własności relacji ze zbioru R.

Definicja 1.16.

Niech iy, gdzie x, y ∈ R. Wówczas

• liczbę nazywamy częścią rzeczywistą liczby i oznaczamy przez Re z, a zatem

Re z

def

x;

• liczbę nazywamy częścią urojoną liczby i oznaczamy przez Im z, czyli

Im z

def

y.

Liczbę postaci iyy ∈ R, nazywamy liczbą czysto urojoną.

Uwaga 1.17. Niech z, w ∈ C. Wówczas

w

(Re = Re w ∧ Im = Im w.

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

5

1.4. Sprzężenie i moduł liczby zespolonej

Definicja 1.18.

Sprzężeniem liczby zespolonej iy, gdzie x, y ∈ R, nazywamy liczbę

z

def

x − iy.

Twierdzenie 1.19.

Niech z, w ∈ C. Wówczas

1) z ± w z ± w;

2) z · w z · w;

3)

z

w



=

z

w

, o ile w 6= 0;

4) (z) = z;

5) = 2 Re z;

6) z − z = 2Im z.

Definicja 1.20.

Modułem liczby zespolonej iy, gdzie x, y ∈ R, nazywamy liczbę rzeczywistą

|z|

def

=

q

x

2

y

2

.

Geometrycznie moduł liczby x+iy oznacza odległość punktu (x, y) od początku układu współrzędnych.
Zauważmy, że jeżeli jest liczbą rzeczywistą, to

|z| |x + 0 · i| =

x

2

|x| ,

gdzie |x| oznacza wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x.

Twierdzenie 1.21.

Niech z, w ∈ C. Wówczas

1) |z| |−z| |z| ;

2) |z · w| |z| · |w| ;

3)


z

w


=

|z|

|w|

, o ile w 6= 0;

4) |z w| ¬ |z| |w|

(tzw. nierówność trójkąta);

5) ||z| − |w|| ¬ |z − w| ;

6) |Re z| ¬ |z| , |Im z| ¬ |z| ;

7) z · z |z|

2

.

1.5. Argument i postać trygonometryczna liczby zespolonej

Niech iy, gdzie x, y ∈ R i z 6= 0. Zauważmy, że

(

x

|z|

)

2

+ (

y

|z|

)

2

=

x

2

|z|

2

+

y

2

|z|

2

=

x

2

+y

2

x

2

+y

2

= 1.

To oznacza, że punkt o współrzędnych



x

|z|

,

y

|z|



leży na okręgu o promieniu 1 o środku w początku układu

współrzędnych. Istnieje zatem nieskończenie wiele liczb ϕ ∈ R takich, że

(

cos ϕ =

x

|z|

,

sin ϕ =

y

|z|

.

()

Definicja 1.22.

• Jeżeli iy, gdzie x, y ∈ R i z 6= 0, to każdą liczbę ϕ ∈ R spełniającą równości (nazywamy

argumentem liczby zespolonej z. Zbiór wszystkich argumentów liczby oznaczamy przez arg z.

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

6

• Spośród wszystkich argumentów liczby z 6= 0 dokładnie jeden należy do przedziału [02π) — nazywamy go

argumentem głównym liczby i oznaczamy symbolem Arg z. (Wybór przedziału jest kwestią umowną
— czasami przyjmuje się, że Arg z ∈ (−π, π]).

• Przyjmujemy dodatkowo, że argumentem liczby 0 jest każda liczba ϕ ∈ R oraz że Arg 0 = 0.

Łatwo widać, że

arg {Arg + 2kπ k ∈ Z}.

Jeżeli iy jest dowolną liczbą zespoloną, to z (wynika, że

|z| cos ϕ,

|z| sin ϕ,

gdzie ϕ ∈ R jest argumentem liczby z. Stąd dostajemy

z

=

iy |z| cos ϕ i |z| sin ϕ =

=

|z| (cos ϕ sin ϕ.

A zatem każdą liczbę zespoloną można przedstawić w postaci:

|z| (cos ϕ sin ϕ,

gdzie ϕ ∈ arg z,

zwanej postacią trygonometryczną liczby zespolonej.

Twierdzenie 1.23.

Jeżeli z |z| (cos ϕ sin ϕoraz w |w| (cos ψ sin ψ), to

1) z · w |z| |w| (cos (ϕ ψ) + sin (ϕ ψ)) ;

2)

z

w

=

|z|

|w|

(cos (ϕ − ψ) + sin (ϕ − ψ)) ,

o ile w 6= 0.

Wniosek 1.24. Jeżeli z |z| (cos ϕ sin ϕoraz n ∈ Z, to

z

n

|z|

n

(cos () + sin ()) .

W szczególności, jeśli |z| = 1 oraz n ∈ , to

z

n

= cos () + sin (.

(wzór de Moivre’a)

Definicja 1.25.

Niech z ∈ C i n ∈ N. Mówimy, że liczba zespolona jest pierwiastkiem stopnia z liczby z,

gdy w

n

z. Zbiór pierwiastków stopnia z liczby oznaczamy przez

n

z.

Twierdzenie 1.26.

Jeżeli z |z| (cos ϕ sin ϕjest liczbą zespoloną różną od zera, to dla każdego n ∈ N

istnieje dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n z liczby z. Pierwiastki te mają postać

w

k

=

n

q

|z|



cos

ϕ + 2

n

sin

ϕ + 2

n



,

= 01, . . . , n − 1.

1.6. Postać wykładnicza liczby zespolonej

Wprowadźmy oznaczenie

e

iϕ def

= cos ϕ sin ϕ,

gdzie jest liczbą niewymierną równą granicy ciągu



1 +

1

n



n

(w przybliżeniu 272). Wówczas dowolną liczbę

zespoloną można zapisać w postaci

|z| e

,

gdzie ϕ ∈ arg z,

zwanej postacią wykładniczą liczby zespolonej z.

Twierdzenie 1.27.

Jeżeli z |z| e

oraz w |w| e

, to

1) −z |z| e

i(ϕ+π)

;

2)

|z| e

−iϕ

;

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

7

3)

1
z

=

1

|z|

e

−iϕ

, o ile z 6= 0;

4) z · w |z| |w| e

i(ϕ+ψ)

;

5) z

n

|z|

n

e

inϕ

dla n ∈ N;

6)

z

w

=

|z|

|w|

e

i(ϕ−ψ)

, o ile w 6= 0.

Twierdzenie 1.28.

Dla dowolnego x ∈ zachodzą równości:

sin =

1

2i



e

ix

− e

−ix



,

cos =

1

2



e

ix

e

−ix



.

(wzory Eulera)

1.7. Zasadnicze twierdzenie algebry

Twierdzenie 1.29 (Zasadnicze twierdzenie algebry).

Każdy wielomian stopnia dodatniego n o współ-

czynnikach zespolonych ma w ciele dokładnie n (niekoniecznie różnych) pierwiastków.

Wniosek 1.30. Każdy wielomian W stopnia dodatniego n o współczynnikach zespolonych można rozłożyć na
czynniki liniowe, tzn.

(z) = a

n

(z − z

1

) (z − z

2

... (z − z

n

,

gdzie a

n

, z

1

, ..., z

n

∈ C.

Uwaga 1.31. Jeżeli jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych i z

0

∈ C jest jego pierwiastkiem, to

liczba z

0

jest również pierwiastkiem wielomianu , przy czym krotności pierwiastków z

0

z

0

są sobie równe.

Wniosek 1.32. Każdy wielomian stopnia dodatniego o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na
czynniki liniowe postaci: 
(x − a), bądź kwadratowe postaci: x

2

px q



, gdzie ∆ = p

2

− 4q < 0.

Wniosek 1.33. Każdy wielomian stopnia nieparzystego o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastek rzeczy-
wisty.

2. Macierze i wyznaczniki

2.1. Macierze i ich rodzaje

Definicja 2.1.

Niech będzie dowolnym niepustym zbiorem oraz m, n ∈ N. Macierzą wierszach i n

kolumnach (m × n-macierzą, macierzą wymiaru m × n) o wyrazach w zbiorze nazywamy dowolną funkcję

{1, . . . , m} × {1, . . . , n} → X.

Jeżeli = R (= C), to mówimy wtedy o macierzy rzeczywistej (zespolonej). Liczby nazywamy
wymiarami macierzy A. Zbiór wszystkich macierzy wymiaru m × n o wyrazach ze zbioru oznaczamy
symbolem M

m,n

(X) (w szczególności M

m,n

(R) oznacza zbiór wszystkich m × n macierzy rzeczywistych). Jeśli

zbiór jest ustalony, to dla skrócenia zapisu będziemy używać notacji M

m,n

.

Przyjmujemy następujące oznaczenie

a

ij

def

(i, j.

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

8

Wówczas macierz reprezentujemy w postaci tablicy

=










a

11

a

12

. . .

a

1j

. . .

a

1n

a

21

a

22

. . .

a

2j

. . .

a

2n

..

.

..

.

..

.

..

.

a

i1

a

i2

. . .

a

ij

. . .

a

in

..

.

..

.

..

.

..

.

a

m1

a

m2

. . .

a

mj

. . .

a

mn










← i-ty wiersz

j-ta kolumna

i zapisujemy krótko

= [a

ij

]

i=1,...,m

j=1,...,n

lub

= [a

ij

.

Uwaga 2.2. Mówimy, że macierze = [a

ij

, B = [b

ij

∈ M

m,n

(X) są równe, gdy

a

ij

b

ij

dla = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

Piszemy wtedy B.

Definicja 2.3 (Rodzaje macierzy).

• Macierz = [a

ij

∈ M

m,n

(X), gdzie = R (= C) nazywamy macierzą zerową, jeżeli a

ij

= 0

dla wszystkich = 1, . . . , m= 1, . . . , n. Oznaczamy ją przez 0

m,n

lub po prostu przez 0, gdy wymiary

macierzy są ustalone.

• Jeżeli = [a

ij

∈ M

m,n

(X) i n, to nazywamy macierzą kwadratową. Ciąg wyrazów a

11

, a

22

, . . . , a

nn

nazywamy główną przekątną macierzy A.

Zakładamy dalej, że = [a

ij

] jest rzeczywistą (zespoloną) macierzą kwadratową stopnia n.

• Macierz An ­ 2, nazywamy macierzą trójkątną górną (dolną), gdy

a

ij

= 0 dla i > j (i < j),

czyli gdy pod (nad) główną przekątną są same zera, tzn.

=







a

11

a

12

a

13

. . .

a

1n

0

a

22

a

23

. . .

a

2n

0

0

a

33

. . .

a

3n

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

0

0

0

0

a

nn







lub

=







a

11

0

0

. . .

0

a

21

a

22

0

. . .

0

a

31

a

32

a

33

. . .

0

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

a

n1

a

n2

a

n3

. . .

a

nn







.

• Macierz nazywamy macierzą diagonalną, gdy

a

ij

= 0 dla i 6j,

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

9

czyli gdy poza główną przekątną są same zera

=







a

11

0

0

. . .

0

0

a

22

0

. . .

0

0

0

a

33

. . .

0

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

0

0

0

0

a

nn







.

Jeśli przy tym a

ii

= 1 dla = 12, . . . , n, to nazywamy macierzą jednostkową stopnia i oznaczamy

symbolem I

n

I

n

def

=







1

0

0

. . .

0

0

1

0

. . .

0

0

0

1

. . .

0

..

.

..

.

..

.

. .. ...

0

0

0

. . .

1







.

• Macierz nazywamy macierzą symetryczną, gdy

a

ij

a

ji

dla i > j,

czyli gdy wyrazy macierzy leżą symetrycznie względem głównej przekątnej

=







a

11

a

12

a

13

. . .

a

1n

a

12

a

22

a

23

. . .

a

2n

a

13

a

23

a

33

. . .

a

3n

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

a

1n

a

2n

a

3n

. . .

a

nn







.

• Macierz nazywamy macierzą antysymetryczną, gdy

a

ii

= 0 dla = 1, . . . , n

oraz

a

ij

−a

ji

dla i > j

=







0

a

12

a

13

. . .

a

1n

−a

12

0

a

23

. . .

a

2n

−a

13

−a

23

0

. . .

a

3n

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

−a

1n

−a

2n

−a

3n

. . .

0







.

2.2. Operacje na macierzach

W tym paragrafie zajmiemy się jedynie macierzami nad ciałem K, gdzie = R lub = C.

Definicja 2.4.

Niech A, B ∈ M

m,n

(K), = [a

ij

], = [b

ij

].

• Sumą macierzy nazywamy macierz B ∈ M

m,n

(K) taką, że

B

def

= [a

ij

b

ij

.

• Jeśli α ∈ K, to iloczynem macierzy przez liczbę α nazywamy macierz αA ∈ M

m,n

(K) taką, że

αA

def

= [αa

ij

.

Twierdzenie 2.5.

Jeśli A, B, C są macierzami rzeczywistymi (zespolonymitego samego wymiaru, zaś α, β

dowolnymi liczbami rzeczywistymi (zespolonymi), to

1) A;

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

10

2) + (C) = (B) + C;

3) + 0 = A;

4) + (−A) = 0, gdzie −A = [−a

ij

], jeśli A = [a

ij

] ;

5) (α βαA βA;

6) α (B) = αA αB;

7) α (βB) = (αβB;

8) 1A.

Definicja 2.6.

Jeżeli A ∈ M

m,r

B ∈ M

r,n

= [a

ij

], = [b

ij

], to iloczynem macierzy nazywamy

macierz AB = [c

ij

∈ M

m,n

, gdzie

c

ij

=

r

X

k=1

a

ik

b

kj

a

i1

b

1j

a

i2

b

2j

... a

ir

b

rj

dla = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

Uwaga 2.7. Zauważmy, że iloczyn macierzy powstaje w ten sposób, że wyraz c

ij

jest równy iloczynowi

skalarnemu (patrz def. 4.10) wektora [a

i1

, . . . , a

ir

] przez wektor [b

1j

, . . . , b

rj

].

Uwaga 2.8. Zamiast A · . . . · A

|

{z

}

razy

piszemy A

n

.

Twierdzenie 2.9.

Dla dowolnych macierzy A, B, C rzeczywistych (zespolonych), przy założeniu że poniższe

działania na macierzach są wykonalne, zachodzą równości:

1) (C) = AB AC;

2) (BAC BC;

3) α (AB) = (αA(αBdla dowolnej liczby α;

4) (BC) = (ABC;

5) I

m

AI

n

A, gdy A ∈ M

m,n

.

Uwaga 2.10. Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne!

Definicja 2.11.

Jeżeli A ∈ M

m,n

, to macierzą transponowaną do nazywamy macierz A

T

= [b

ij

∈ M

n,m

,

gdzie

b

ij

a

ji

,

= 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.

Transponowanie macierzy polega na zamianie kolejnych wierszy na kolumny.

Twierdzenie 2.12.

Jeśli A, B są dowolnymi macierzami rzeczywistymi (zespolonymioraz poniższe działania

są wykonalne, to

1) (B)

T

A

T

B

T

;

2) (αA)

T

αA

T

dla dowolnej liczby α;

3)



A

T



T

A;

4) (AB)

T

B

T

A

T

;

5) macierz kwadratowa A jest symetryczna (antysymetrycznawtedy i tylko wtedy, gdy A

T

(A

T

−A).

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

11

2.3. Wyznacznik macierzy

Definicja 2.13.

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej stopnia n, rzeczywistej lub zespolonej, nazywamy

liczbę det określoną następująco:

• gdy = 1, = [a

11

],

det A

def

a

11

;

• gdy = 2, =



a

11

a

12

a

21

a

22



,

det A

def

a

11

a

22

− a

12

a

21

;

• gdy n ­ 3, to

det A

def

= (1)

1+1

a

11

W

11

+ (1)

1+2

a

12

W

12

. . . + (1)

1+n

a

1n

W

1n

,

gdzie W

1j

oznacza wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia n−1, powstałej z przez skreślenie pierwszego

wiersza i j-tej kolumny.

Jeżeli = [a

ij

], to zapisujemy

det =









a

11

a

12

. . .

a

1n

a

21

a

22

. . .

a

2n

..

.

..

.

. ..

..

.

a

n1

a

n2

. . .

a

nn









.

Uwaga 2.14. Do obliczania wyznacznika macierzy

stopnia 3 (!)

można użyć tzw. metody Sarrusa:










a

11

a

12

a

13

&

.

a

21

a

22

a

23

&

.

&

.

a

31

a

32

a

33










.

&

.

&

.

&

a

11

a

12

a

13

+

.

&

.

&

.

&

a

21

a

22

a

23

+

.

&

+

=

(a

11

a

22

a

33

a

21

a

32

a

13

a

31

a

12

a

23

)

− (a

13

a

22

a

31

a

23

a

32

a

11

a

33

a

12

a

21

)

Twierdzenie 2.15 (Geometryczna interpretacja wyznacznika).

1) Jeżeli A ∈ M

2,2

(R), to |det A| jest równe polu powierzchni równoległoboku D rozpiętego na wierszach (ko-

lumnachmacierzy A. W szczególności, jeśli det = 0, to wiersze (kolumnysą równoległe.

|D| =




det



a

11

a

12

a

21

a

22





2) Jeżeli A ∈ M

3,3

(R), to |det A| jest równe objętości równoległościanu V rozpiętego na wierszach (kolumnach)

macierzy A. W szczególności, jeśli det = 0, to wiersze (kolumnyleżą w jednej płaszczyźnie.

|V | =






det

a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33






background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

12

Twierdzenie 2.16 (Własności wyznacznika macierzy).

1) det = det A

T

, tzn.









a

11

a

12

. . .

a

1n

a

21

a

22

. . .

a

2n

..

.

..

.

. ..

..

.

a

n1

a

n2

. . .

a

nn









=









a

11

a

21

. . .

a

n1

a

12

a

22

. . .

a

n2

..

.

..

.

. ..

..

.

a

1n

a

2n

. . .

a

nn









.

2) Jeżeli pewien wiersz (kolumnamacierzy A składa się z samych zer, to det = 0.









a

11

a

12

. . .

0

. . .

a

1n

a

21

a

22

. . .

0

. . .

a

2n

..

.

..

.

..

.

..

.

a

n1

a

n2

. . .

0

. . .

a

nn









= 0

3) Jeżeli macierz A ma dwa takie same wiersze (kolumny), to det = 0.












. . .

. . .

. . .

. . .

α

1

α

2

. . .

α

n

..

.

..

.

..

.

α

1

α

2

. . .

α

n

. . .

. . .

. . .

. . .












= 0

4) Jeżeli macierz A ma dwa proporcjonalne wiersze (kolumny), to det = 0.












. . .

. . .

. . .

. . .

α

1

α

2

. . .

α

n

..

.

..

.

..

.

βα

1

βα

2

. . .

βα

n

. . .

. . .

. . .

. . .












= 0

5) Jeżeli macierz A jest trójkątna (dolna lub górna), to wyznacznik A jest równy iloczynowi elementów

z głównej przekątnej, czyli

det a

11

· . . . · a

nn

.

W szczególności det I

n

= 1.












a

11

0

0

. . .

0

a

21

a

22

0

. . .

0

a

31

a

32

a

33

. . .

0

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

a

n1

a

n2

a

n3

. . .

a

nn












a

11

· a

22

· . . . · a

nn

,









1

0

. . .

0

0

1

. . .

0

..

.

..

.

. .. ...

0

0

. . .

1









= 1

6) Jeżeli macierz B powstaje z A przez przestawienie dwóch dowolnych wierszy (kolumn), to

det − det A.












. . .

. . .

. . .

. . .

α

1

α

2

. . .

α

n

..

.

..

.

..

.

β

1

β

2

. . .

β

n

. . .

. . .

. . .

. . .























. . .

. . .

. . .

. . .

β

1

β

2

. . .

β

n

..

.

..

.

..

.

α

1

α

2

. . .

α

n

. . .

. . .

. . .

. . .












background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

13

7) Jeżeli macierz B powstaje z A przez przemnożenie pewnego wiersza (kolumnymacierzy A przez liczbę α,

to

det α det A.

W szczególności, jeśli A ma stopień n, to

det (αA) = α

n

det A.















a

11

a

12

. . .

a

1n

a

21

a

22

. . .

a

2n

..

.

..

.

..

.

αa

i1

αa

i2

. . .

αa

in

..

.

..

.

..

.

a

n1

a

n2

. . .

a

nn















α















a

11

a

12

. . .

a

1n

a

21

a

22

. . .

a

2n

..

.

..

.

..

.

a

i1

a

i2

. . .

a

in

..

.

..

.

..

.

a

n1

a

n2

. . .

a

nn























αa

11

αa

12

. . .

αa

1n

αa

21

αa

22

. . .

αa

2n

..

.

..

.

..

.

αa

n1

αa

n2

. . .

αa

nn









α

n









a

11

a

12

. . .

a

1n

a

21

a

22

. . .

a

2n

..

.

..

.

..

.

a

n1

a

n2

. . .

a

nn









8) Wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie, jeśli do pewnego wiersza (kolumnydodamy inny wiersz (kolumnę)

pomnożony przez dowolną liczbę α.









a

11

. . .

a

1i

. . .

a

1j

. . .

a

1n

a

21

. . .

a

2i

. . .

a

2j

. . .

a

2n

..

.

..

.

..

.

..

.

a

n1

. . .

a

ni

. . .

a

nj

. . .

a

nn









=









a

11

. . .

a

1i

. . .

αa

1i

a

1j

. . .

a

1n

a

21

. . .

a

2i

. . .

αa

2i

a

2j

. . .

a

2n

..

.

..

.

..

.

..

.

a

n1

. . .

a

ni

. . .

αa

ni

a

nj

. . .

a

nn









Definicja 2.17.

Niech = [a

ij

] będzie macierzą kwadratową stopnia n ­ 2. Dopełnieniem algebraicznym

elementu a

ij

nazywamy liczbę

a


ij

= (1)

i+j

W

ij

,

gdzie W

ij

jest wyznacznikiem macierzy powstałej z przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Twierdzenie 2.18 (Laplace’a o rozwijaniu wyznacznika względem wiersza lub kolumny).

Jeżeli A

jest macierzą kwadratową stopnia n, n ­ 2, to dla dowolnych i

0

, j

0

∈ {1, . . . , n} zachodzą równości:

det =

n

X

j=1

a

i

0

j

a


i

0

j

a

i

0

1

a


i

0

1

a

i

0

2

a


i

0

2

. . . a

i

0

n

a


i

0

n

(rozwinięcie względem wiersza i

0

)

det =

n

X

i=1

a

ij

0

a


ij

0

a

1j

0

a


1j

0

a

2j

0

a


2j

0

. . . a

nj

0

a


nj

0

(rozwinięcie względem kolumny j

0

)

Twierdzenie 2.19 (Cauchy’ego).

Jeżeli A i B są macierzami kwadratowymi tego samego stopnia, to

det (AB) = det A · det B.

2.4. Macierz odwrotna

Definicja 2.20.

Mówimy, że macierz kwadratowa stopnia jest odwracalna, jeżeli istnieje taka macierz

B, że

AB BA I

n

.

Taka macierz jest jednoznacznie wyznaczona. Nazywamy ją macierzą odwrotną do i oznaczamy symbolem
A

1

. Zatem

AA

1

A

1

I

n

.

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

14

Definicja 2.21.

Macierz kwadratową nazywamy nieosobliwą, jeżeli

det A 6= 0;

w przeciwnym wypadku nazywamy macierzą osobliwą.

Zauważmy, że jeśli jest odwracalna, to jest nieosobliwa, przy czym det A

1

=

1

det A

. Istotnie

1 = det I

n

= det



AA

1



= det A · det A

1

i stąd

det A

1

=

1

det A

.

Zachodzi też fakt odwrotny: jeśli macierz jest nieosobliwa, to jest odwracalna. Dostajemy więc

Twierdzenie 2.22.

Macierz kwadratowa A jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy jest odwracalna. Ponadto

jeśli det A 6= 0, to

A

1

=

1

det A

h

a


ij

i

T

,

gdzie

h

a

ij

i

oznacza macierz dopełnień algebraicznych wyrazów macierzy A.

Twierdzenie 2.23 (Własności macierzy odwrotnej).

Jeżeli A i B są macierzami nieosobliwymi tego

samego stopnia, to

1) det A

1



= (det A)

1

;

2)



A

T



1

A

1



T

;

3) (AB)

1

B

1

A

1

;

4) A

1



1

A;

5) (αA)

1

=

1

α

A

1

dla dowolnej liczby α 6= 0.

Niech GL (n, R) oznacza zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy nieosobliwych stopnia n. Z własności

podanych w twierdzeniach 2.9 2.23 łatwo wynika, że zbiór ten wraz z mnożeniem macierzy i macierzą
jednostkową I

n

jest grupą. Nazywamy ją pełną grupą liniową. Jeżeli n ­ 2, to jest to grupa nieabelowa.

Analogicznie określamy grupę GL (n, C).

2.5. Równoważna definicja wyznacznika

Na koniec tego rozdziału przedstawiamy inną definicję wyznacznika, równoważną definicji 2.13. Przypo-

mnijmy, że definicja 2.13 ma charakter rekurencyjny — podaje ona prostą metodę obliczania wyznaczników
opartą na rozwinięciu Laplace’a. Natomiast definicja 2.24 wprowadza pojęcie wyznacznika za pomocą permutacji.
Przy dużym stopniu macierzy jest ona mało przydatna do obliczeń; głównie wykorzystywana jest do przepro-
wadzania dowodów własności wyznaczników.

Definicja 2.24.

Niech (n) = {1, . . . , n}, gdzie n ∈ N. n-elementową permutacją nazywamy każde wzajemnie

jednoznaczne odwozorowanie σ (n→ P (n). Permutację σ zapisujemy w postaci

σ =



1

2

. . .

n

σ

1

σ

2

. . .

σ

n



.

Zbiór wszystkich n-elementowych permutacji oznaczamy symbolem (n).

Twierdzenie 2.25.

Jest nn-elementowych permutacji. Zbiór S (nwraz ze składaniem odwzorowań i permutacją

identycznościową jest grupą (dla n > jest to grupa nieabelowa).

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

15

Definicja 2.26.

Niech dana będzie permutacja σ.

• Mówimy, że para (i, j) tworzy inwersję (nieporządek) permutacji σ, gdy

i < j oraz σ (i> σ (j.

• Znakiem permutacji σ nazywamy liczbę (1)

k

, gdzie oznacza liczbę inwersji permutacji σ. Znak σ

oznaczamy symbolem sgn σ.

Twierdzenie 2.27.

Jeżeli σ i τ są permutacjami n-elementowymi, to

sgn (τ ◦ σ) = sgn τ · sgn σ

(◦ oznacza tutaj złożenie odwzorowań).

Definicja 2.28.

Niech będzie kwadratową macierzą rzeczywistą (zespoloną) stopnia nWyznacznikiem

macierzy nazywamy liczbę

det A

def

=

X

σ∈S(n)

sgn σ · a

1σ

1

a

2σ

2

· . . . · a

n

.

3. Układy równań liniowych

3.1. Podstawowe definicje

Definicja 3.1.

Niech m, n ∈ N.

• Układem równań liniowych niewiadomymi x

1

, ..., x

n

nazywamy każdy układ równań postaci

a

11

x

1

a

12

x

2

... a

1n

x

n

=

b

1

a

21

x

1

a

22

x

2

... a

2n

x

n

=

b

2

..

.

..

.

a

m1

x

1

a

m2

x

2

... a

mn

x

n

=

b

m

()

gdzie współczynniki a

ij

b

i

= 1, ..., m, j = 1, ..., n, są ustalonymi liczbami rzeczywistymi (zespolonymi).

• Rozwiązaniem układu równań liniowych (nazywamy każdy ciąg (x

1

, ..., x

n

) liczb rzeczywistych

(zespolonych) spełniający ten układ.

Definicja 3.2.

Mówimy, że układ równań (jest

• sprzeczny, gdy nie ma rozwiązań,
• oznaczony, gdy ma dokładnie jedno rozwiązanie,
• nieoznaczony, gdy ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Łatwo sprawdzić, że układ równań (można zapisać w tzw. postaci macierzowej

AX B,

(∗∗)

gdzie

=




a

11

a

12

...

a

1n

a

21

a

22

...

a

2n

..

.

..

.

..

.

a

m1

a

m2

...

a

mn




,

=




x

1

x

2

..

.

x

n




,

=




b

1

b

2

..

.

b

m




.

Macierz nazywamy macierzą układu (), zaś macierz — kolumną wyrazów wolnych.

Definicja 3.3.

Układ równań liniowych postaci

AX = 0

nazywamy układem jednorodnym.

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

16

Uwaga 3.4. Jednym z rozwiązań układu jednorodnego jest rozwiązanie zerowe postaci

=




0
0

..

.

0




.

3.2. Twierdzenie Cramera

Definicja 3.5.

Niech n ∈ N, A ∈ M

n,n

oraz B ∈ M

n,1

Układem równań Cramera nazywamy układ

AX B,

w którym jest macierzą nieosobliwą.

Twierdzenie 3.6 (Cramera).

Układ równań Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie

=

1

W




W

1

W

2

..

.

W

n




,

gdzie W = det A oraz W

j

, j = 1, . . . , n, oznacza wyznacznik macierzy, która powstaje przez zastąpienie j-tej

kolumny macierzy A kolumną wyrazów wolnych, tzn.

W

j

=









a

11

a

12

. . .

a

1j−1

b

1

a

1j+1

. . .

a

1n

a

12

a

22

. . .

a

2j−1

b

2

a

2j+1

. . .

a

2n

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

a

n1

a

n2

. . .

a

nj−1

b

n

a

nj+1

. . .









.

Wniosek 3.7. Jedynym rozwiązaniem jednorodnego układu Cramera jest rozwiązanie zerowe.

Uwaga 3.8. Jeżeli

AX B

jest układem Cramera, to

A

1

B.

3.3. Rząd macierzy i twierdzenie Kroneckera-Cappellego

Definicja 3.9.

Niech m, n, r ∈ N oraz r ¬ min{m, n}Minorem stopnia macierzy A ∈ M

m,n

nazywamy

wyznacznik macierzy powstałej z macierzy poprzez skreślenie pewnej ilości wierszy i/lub kolumn. W szczegól-
ności, jeśli jest macierzą kwadratową stopnia n, to det jest jej minorem stopnia n.

Definicja 3.10.

Rzędem macierzy A ∈ M

m,n

nazywamy najwyższy ze stopni niezerowych minorów macierzy A.

Rząd macierzy oznaczamy przez (A).

Twierdzenie 3.11 (Własności rzędu macierzy).

Niech A ∈ M

m,n

.

1) 0 ¬ R (A¬ min{m, n}, przy czym R (A) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A jest macierzą zerową.
2) Jeżeli A jest macierzą kwadratową stopnia n, to

(A) = n

det A 6= 0.

3) Jeżeli macierz D powstaje z macierzy A poprzez

• transponowanie,

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

17

• skreślenie zerowego wiersza (kolumny),
• skreślenie jednego z dwóch identycznych wierszy (kolumn),
• skreślenie jednego z dwóch proporcjonalnych wierszy (kolumn),
• zamianę dwóch dowolnych wierszy (kolumn),
• dodanie do pewnego wiersza (kolumny) macierzy A innego wiersza (kolumny) pomnożonego przez pewną

liczbę,

to R (D) = (A.

Definicja 3.12.

Macierzą uzupełnioną układu

AX B

nazywamy macierz

U

def

=




a

11

a

12

. . .

a

1n

b

1

a

21

a

22

. . .

a

2n

b

2

..

.

..

.

..

.

..

.

a

m1

a

m2

. . .

a

mn

b

m




,

którą też krótko zapisujemy w postaci = [A|B].

Twierdzenie 3.13 (Kroneckera-Cappellego).

Układ m równań z n niewiadomymi postaci

AX B

ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

(A) = (.

Wówczas rozwiązania układu zależą od n − r parametrów, gdzie r (A) = (). W szczególności, jeśli
n, to układ posiada jedno rozwiązanie.

4. Geometria analityczna w R

3

4.1. Wektory

Definicja 4.1.

Przestrzenią R

3

nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych trójek liczb rzeczywistych,

tzn.

R

3 def

{(x, y, z) : x ∈ ∧ y ∈ ∧ z ∈ R}.

Elementy przestrzeni R

3

będziemy, w zależności od potrzeby, geometrycznie traktować jako:

• punkty

(wówczas będziemy je oznaczać przez A, B, P, Q, (a

1

, a

2

, a

3

)(b

1

, b

2

, b

3

) itd.),

• wektory zaczepione w punkcie (000)

(w tym przypadku stosujemy oznaczenia ab, −

a ,

b , [a

1

, a

2

, a

3

][b

1

, b

2

, b

3

] itd.),

• wektory swobodne.

Elementy przestrzeni R będziemy nazywać skalarami.

Definicja 4.2.

• Wektor 0

def

= [000] nazywamy wektorem zerowym.

• Wektory:

i

def

= [100],

j

def

= [010],

k

def

= [001],

nazywamy wersorami odpowiednio na osiach Ox, Oy Oz.

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

18

Definicja 4.3.

Niech = [a

1

, a

2

, a

3

]Wówczas

• liczbę

|a|

def

=

q

a

2

1

a

2

2

a

2

3

nazywamy długością wektora a,

• wektor

a

def

= [−a

1

, −a

2

, −a

3

]

nazywamy wektorem przeciwnym do wektora a.

Uwaga 4.4. Mówimy, że wektory = [a

1

, a

2

, a

3

] i = [b

1

, b

2

, b

3

] są równe, gdy a

1

b

1

, a

2

b

2

oraz a

3

b

3

.

Definicja 4.5 (Działania na wektorach).

Niech = [a

1

, a

2

, a

3

]= [b

1

, b

2

, b

3

∈ R

3

oraz α ∈ R.

• Sumą wektorów a nazywamy wektor określony wzorem:

b

def

= [a

1

b

1

, a

2

b

2

, a

3

b

3

].

• Iloczynem wektora a przez skalar α nazywamy wektor określony wzorem:

αa

def

= [αa

1

, αa

2

, αa

3

].

W szczególności mamy: = (1)oraz − a+(b).

Definicja 4.6.

Mówimy, że wektory są równoległe (współliniowe)gdy istnieje liczba λ ∈ R taka, że

λb.

Uwaga 4.7. Każdy wektor = [a

1

, a

2

, a

3

] można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy wektorów

a

1

a

2

a

3

k.

Wektory te nazywamy składowymi wektora a.

Uwaga 4.8. Kątami kierunkowymi wektora = [a

1

, a

2

, a

3

6nazywamy kąty ϕ

1

, ϕ

2

, ϕ

3

jakie wektor a

tworzy odpowiednio z osiami Ox, Oy Oz. Kosinusy tych kątów określone wzorami:

cos ϕ

i

=

a

i

|a|

dla = 123,

nazywamy kosinusami kierunkowymi wektora a.

Łatwo sprawdzić, że

cos

2

ϕ

1

+ cos

2

ϕ

2

+ cos

2

ϕ

3

= 1.

Twierdzenie 4.9 (Własności działań na wektorach).

Dla dowolnych ab∈ R

3

oraz α, β ∈ mamy:

1) + (c) = (b) + c

(łączność);

2) a

(przemienność);

3) a

(wektor zerowy jest elementem neutralnym dodawania);

4) + (a) = 0

(istnienie elementu przeciwnego);

5) 1a;

6) (αβ)α(βa);

7) (α β)αβa;

8) α(b) = ααb.

Definicja 4.10.

Niech = [a

1

, a

2

, a

3

]= [b

1

, b

2

, b

3

∈ R

3

Iloczynem skalarnym wektorów nazywamy

liczbę ◦ określoną wzorem:

◦ b

def

a

1

b

1

a

2

b

2

a

3

b

3

.

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

19

Uwaga 4.11. W analogiczny sposób można wprowadzić pojęcie iloczynu skalarnego wektorów w przestrzeni

R

n

, gdzie n ∈ N.

[a

1

, ..., a

n

◦ [b

1

, ..., b

n

]

def

a

1

b

1

... a

n

b

n

.

Twierdzenie 4.12 (Własności iloczynu skalarnego).

Dla dowolnych ab∈ R

3

oraz α ∈ mamy:

1) ◦ ◦ a

(przemienność);

2) (αa◦ α(◦ b)

(b◦ ◦ ◦ c

(dwuliniowość);

3) ◦ |a|

2

, a stąd (◦ = 0 ⇔ 0);

4)

◦ |a| |bcos ] (ab,

gdzie

] (abjest kątem między wektorami (przyjmujemy dodatkowo, że kątem między wektorem

zerowym a dowolnym wektorem jest dowolna liczba z przedziału [0, π]);

5) |◦ b| ¬ |a| |b;

6) ◦ = 0

⊥ b.

Definicja 4.13.

Niech = [a

1

, a

2

, a

3

]= [b

1

, b

2

, b

3

∈ R

3

Iloczynem wektorowym wektorów b

nazywamy wektor × określony wzorem:

× b

def

=




a

2

a

3

b

2

b

3







a

1

a

3

b

1

b

3




+




a

1

a

2

b

1

b

2




k.

Uwaga 4.14. Lewą stronę powyższego wzoru można łatwo zapamiętać w postaci ”wyznacznika”:






i

j

k

a

1

a

2

a

3

b

1

b

2

b

3






.

Uwaga 4.15. Orientacja wektorów: a× jest zgodna z orientacją układu współrzędnych Oxyz.

Twierdzenie 4.16 (Własności iloczynu wektorowego).

Dla dowolnych ab∈ R

3

oraz α ∈ mamy:

1) × × a;

2) × ⊥ oraz × ⊥ b;

3) (αa× α(× b)

(b× × × c

(dwuliniowość);

4)

|× b|a| |bsin ] (ab,

tzn. długość wektora × jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach b;

5) × ⇔ b.

Definicja 4.17.

Niech ab∈ R

3

Iloczynem mieszanym wektorów anazywamy liczbę (abc)

określoną wzorem:

(abc)

def

= (× b◦ c.

Twierdzenie 4.18 (Własności iloczynu mieszanego).

Dla dowolnych ab∈ R

3

mamy:

1) (× b◦ ◦ (× c);

(× b◦ = (× c◦ = (× a◦ b;

2) jeśli = [a

1

, a

2

, a

3

]= [b

1

, b

2

, b

3

oraz = [c

1

, c

2

, c

3

], to

(× b◦ =






a

1

a

2

a

3

b

1

b

2

b

3

c

1

c

2

c

3






;

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

20

3) (interpretacja geometrycznaobjętość równoległościanu rozpiętego na wektorach arówna jest

modułowi iloczynu mieszanego (× b◦ (por. tw. 2.15).

4.2. Płaszczyzna

Równania parametryczne płaszczyzny

Niech π będzie płaszczyzną przechodzącą przez punkt P

0

= (x

0

, y

0

, z

0

) i rozpiętą na niewspółliniowych

wektorach = [a

1

, a

2

, a

3

] i = [b

1

, b

2

, b

3

]. Wówczas dowolny punkt = (x, y, z) należący do płaszczyzny π

można zapisać w postaci:

P

0

stb,

gdzie s, t ∈ R. W formie rozwiniętej otrzymujemy tzw. równania parametryczne płaszczyzny:

π :

x

0

sa

1

tb

1

,

y

0

sa

2

tb

2

,

z

0

sa

3

tb

3

,

s, t ∈ R.

Równanie ogólne płaszczyzny

Niech π będzie płaszczyzną przechodzącą przez punkt P

0

i rozpiętą na niewspółliniowych wektorach b.

Wówczas dla dowolnego (x, y, z∈ π mamy [x − x

0

, y − y

0

, z − z

0

⊥ × b, a zatem

[x − x

0

, y − y

0

, z − z

0

◦ (× b) = 0.

Wektor a×nazywamy wektorem normalnym płaszczyzny π. Jeśli przyjmiemy, że = [A, B, C60,
to powyższe równanie przyjmuje postać:

A(x − x

0

) + B(y − y

0

) + C(z − z

0

) = 0.

Dodatkowo przyjmując , że −Ax

0

− By

0

− Cz

0

otrzymujemy równanie ogólne płaszczyzny:

π :

Ax By Cz = 0.

Równanie odcinkowe płaszczyzny

Każdą płaszczyznę przecinającą osie układu Oxyz w punktach: (a, 00),

(0, b, 0),

(00, c), gdzie

a, b, c ∈ \ {0}, można opisać równaniem:

π :

x

a

+

y

b

+

z

c

= 1.

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty

Jeśli płaszczyzna π zawiera trzy niewspółliniowe punkty:

P

1

= (x

1

, y

1

, z

1

), P

2

= (x

2

, y

2

, z

2

), P

3

= (x

3

, y

3

, z

3

),

to równanie ją opisujące przyjmuje postać:

π :








x

y

z

1

x

1

y

1

z

1

1

x

2

y

2

z

2

1

x

3

y

3

z

3

1








= 0.

Twierdzenie 4.19.

Odległość punktu P

0

= (x

0

, y

0

, z

0

od płaszczyzny π opisanej równaniem Ax By Cz +

= 0 wyraża się wzorem:

d(P

0

, π) =

|Ax

0

By

0

Cz

0

D|

A

2

B

2

C

2

.

Definicja 4.20.

Pękiem plaszczyzn wyznaczonym przez dwie nierównoległe płaszczyzny π

1

π

2

nazywamy

zbiór wszystkich płaszczyzn zawierających prostą będącą cześcią wspólną π

1

π

2

.

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

21

Twierdzenie 4.21.

Niech π

1

i π

2

będą dowolnymi nierównoległymi płaszczyznami o równaniach:

π

1

A

1

B

1

C

1

D

1

= 0,

π

2

A

2

B

2

C

2

D

2

= 0.

Wówczas prosta π należy do pęku płaszczyzn wyznaczonego przez π

1

i π

2

wtedy i tylko wtedy, gdy płaszczyzna

π jest opisana równaniem:

π λ

1

(A

1

B

1

C

1

D

1

) + λ

2

(A

2

B

2

C

2

D

2

) = 0,

gdzie λ

1

, λ

2

są pewnymi liczbami rzeczywistymi takimi, że λ

2

1

λ

2

2

0.

4.3. Prosta

Równania parametryczne prostej

Niech będzie prostą przechodzącą przez punkt P

0

= (x

0

, y

0

, z

0

) i równoległą do wektora = [a, b, c60.

Wówczas dowolny punkt = (x, y, z) należący do prostej można zapisać w postaci:

P

0

tr,

gdzie t ∈ R. W formie rozwiniętej otrzymujemy tzw. równania parametryczne prostej:

:

x

0

ta,

y

0

tb,

z

0

tc,

t ∈ R.

Równania kierunkowe prostej

Równania prostej wyznaczonej przez punkt P

0

= (x

0

, y

0

, z

0

) i wektor = [a, b, c] taki, że a, b, c ∈ \ {0},

można przekształcić otrzymując równania kierunkowe prostej:

:

x − x

0

a

=

y − y

0

b

=

z − z

0

c

.

Równania krawędziowe prostej

Prostą będącą częścią wspólną dwóch nierównoległych płaszczyzn o równaniach:

π

1

A

1

B

1

C

1

D

1

= 0,

π

2

A

2

B

2

C

2

D

2

= 0,

będziemy opisywać w następujący sposób:

:



A

1

B

1

C

1

D

1

= 0,

A

2

B

2

C

2

D

2

= 0.

W tym przypadku prosta jest równoległa do wektora r, gdzie = [A

1

, B

1

, C

1

× [A

2

, B

2

, C

2

].

4.4. Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn

Wzajemne położenie dwóch płaszczyzn

Niech dane będą płaszczyzny π

1

π

2

opisane równaniami:

π

1

A

1

B

1

C

1

D

1

= 0,

π

2

A

2

B

2

C

2

D

2

= 0.

Wówczas mamy:

• π

1

k π

2

⇔ [A

1

, B

1

, C

1

[A

2

, B

2

, C

2

];

• π

1

⊥ π

2

⇔ [A

1

, B

1

, C

1

⊥ [A

2

, B

2

, C

2

].

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

22

Ponadto układ równań



A

1

B

1

C

1

D

1

= 0,

A

2

B

2

C

2

D

2

= 0

()

posiada następującą interpretację geometryczną:

układ równań ()

wzajemne położenie płaszyzn π

1

π

2

sprzeczny

π

1

k π

2

i

π

1

6π

2

nieoznaczony (rozwiązania zależą od jednego parametru)

płaszczyzny przecinają się wzdłuż pewnej prostej

nieoznaczony (rozwiązania zależą od dwóch parametrów)

π

1

π

2

Wzajemne położenie dwóch prostych

Niech dane będą proste l

1

l

2

opisane równaniami:

l

1

:

x

1

ta

1

,

y

1

tb

1

,

z

1

tc

1

,

t ∈ R,

l

2

:

x

2

sa

2

,

y

2

sb

2

,

z

2

sc

2

,

s ∈ R.

Wówczas mamy:

• l

1

k l

2

⇔ [a

1

, b

1

, c

1

[a

2

, b

2

, c

2

];

• l

1

⊥ l

2

⇔ [a

1

, b

1

, c

1

⊥ [a

2

, b

2

, c

2

].

Jeśli proste l

1

l

2

nie są równoległe i nie mają punktu wspólnego, to mówimy, że są to proste skośne.

Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny

Niech dane będą: płaszczyzna π i prosta l, opisane równaniami:

π Ax By Cz = 0,

:

x

0

ta,

y

0

tb,

z

0

tc,

t ∈ R.

Wówczas mamy:

• π k l ⇔ [A, B, C⊥ [a, b, c];
• π ⊥ l ⇔ [A, B, C[a, b, c].

5. Przestrzenie wektorowe i przekształcenia liniowe

5.1. Podstawowe definicje i własności

Definicja 5.1.

Przestrzenią wektorową (liniowąnad ciałem nazywamy zbiór taki, że

• X jest grupą abelową, tzn. dane jest działanie:

+ : X × X → X,

(xy7→ (y)

oraz wyróżniony element ∈ X takie, że

a)

V

x,y,z∈X

+ (z) = (y) + z,

b)

V

x,y∈X

x,

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

23

c)

V

x∈X

x,

d)

V

x∈X

W

y∈X

0,

• dane jest odwzorowanie

· K × X → X,

(λ, x7→ λx

takie, że

e)

V

α,β∈K

V

x∈X

(αβα (βx),

f)

V

α,β∈K

V

x∈X

(α βαβx,

g)

V

α∈K

V

x,y∈X

α (y) = ααy,

h)

V

x∈X

· x.

nazywamy ciałem współczynników przestrzeni X, a jego elementy nazywamy skalarami. Elementy

zbioru nazywamy wektorami.

Twierdzenie 5.2.

Jeżeli X jest przestrzenią wektorową nad ciałem K, to

1)

V

x∈X

· 0.

2)

V

α∈K

α · 0.

3)

V

x∈X

(1) · x.

4)

V

α,β∈K

V

x∈X

(α − βα− βα+ (−βx.

Uwaga 5.3. Jeśli w przestrzeni wektorowej nad ciałem oprócz dodawania, mamy dodatkowo określone
drugie działanie ◦ X ×X → X i działanie to jest łączne oraz rozdzielne względem dodawania, to nazywamy
algebrą nad ciałem K. Przykładem algebry nad ciałem R (C) jest zbiór rzeczywistych (zespolonych) macierzy
kwadratowych z dodawaniem i mnożeniem macierzy.

5.2. Liniowa zależność i liniowa niezależność

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K.

Definicja 5.4.

• Niech x

1

, . . . , x

n

będą wektorami z przestrzeni X. Wektor ∈ X nazywamy kombinacją liniową

wektorów x

1

, . . . , x

n

, jeżeli

=

n

X

i=1

α

i

x

i

α

1

x

1

α

2

x

2

. . . α

n

x

n

,

gdzie α

1

, . . . , α

n

∈ K. Skalary α

1

, . . . , α

n

nazywamy współczynnikami tej kombinacji liniowej.

Jeśli co najmniej jeden współczynnik kombinacji jest różny od zera, to mówimy, że jest to nietrywialna
kombinacja liniowa
; w przeciwnym wypadku nazywamy ją trywialną.

• Niech będzie dowolnym niepustym podzbiorem przestrzeni X. Mówimy, że wektor ∈ X jest kombinacją

liniową wektorów ze zbioru S, jeżeli istnieją wektory x

1

, . . . , x

n

∈ S takie, że jest kombinacją liniową

tych wektorów. Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektrów z oznaczamy przez lin(S). Podzbiór S
nazywamy układem generatorów (zbiorem generatorów) przestrzeni X, jeżeli = lin(S), tzn. każdy
wektor z przestrzeni jest kombinacją liniową wektorów ze zbioru S.

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

24

Definicja 5.5.

Niech x

1

, . . . , x

n

będą wektorami z przestrzeni X.

• Mówimy, że skończony zbiór wektorów {x

1

, . . . , x

n

jest liniowo zależny, jeżeli wektor zerowy jest

nietrywialną kombinacją liniową tych wektorów, tzn.

n

X

i=1

α

i

x

i

0,

gdzie α

1

, . . . , α

n

∈ K oraz co najmniej jeden ze współczynników kombinacji jest niezerowy.

• Mówimy, że skończony zbiór wektorów {x

1

, . . . , x

n

jest liniowo niezależny, jeżeli nie jest liniowo

zależny, tzn. z równości:

n

X

i=1

α

i

x

i

0,

gdzie α

1

, . . . , α

n

∈ K, wynika, że α

1

. . . α

n

= 0.

Definicja 5.6.

Niech będzie dowolnym niepustym podzbiorem przestrzeni wektorowej X. Mówimy, że

zbiór jest liniowo zależny, jeżeli ma skończony liniowo zależny podzbiór oraz, że zbiór jest liniowo
niezależny
, jeżeli nie jest liniowo zależny.

Twierdzenie 5.7 (Własności zbiorów liniowo zależnych i niezależnych).

Niech S będzie dowolnym

niepustym podzbiorem przestrzeni wektorowej X.

1) Jeżeli ∈ S, to S jest zbiorem liniowo zależnym.

2) Każdy podzbiór zbioru liniowo niezależnego jest liniowo niezależny.

3) Każdy nadzbiór zbioru liniowo zależnego jest liniowo zależny.

4) Zbiór S jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy pewien wektor ∈ S jest kombinacją liniową wektorów

ze zbioru S \ {x}.

5) Zbiór S jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wektor ∈ X można przedstawić w co

najwyżej jeden sposób jako kombinację liniową wektorów ze zbioru S.

Twierdzenie 5.8.

Rząd macierzy o wyrazach rzeczywistych (zespolonychjest równy maksymalnej ilości liniowo

niezależnych wierszy (kolumntej macierzy traktowanych jako wektory.

Wniosek 5.9. Wektory x

1

, . . . , x

k

, gdzie k ¬ n, są liniowo niezależne w przestrzeni R

n

wtedy i tylko wtedy,

gdy rząd macierzy, ktrórej wierszami (kolumnamisą wektory x

1

, . . . , x

k

, jest równy k.

5.3. Baza i wymiar

Definicja 5.10.

Zbiór B ⊂ X nazywamy bazą przestrzeni wektorowej X, jeżeli jest zbiorem liniowo

niezależnym i generuje przestrzeń X. Oznacza to, że dowolny wektor ∈ X można jednoznacznie przedstawić
w postaci

α

1

x

1

α

2

x

2

. . . α

n

x

n

dla pewnych skalarów α

1

, . . . , α

n

∈ K oraz wektorów x

1

, . . . , x

n

∈ B. Współczynniki α

1

, . . . , α

n

nazywamy

współrzędnymi wektora x względem bazy B.

Twierdzenie 5.11.

Każda nietrywialna przestrzeń wektorowa X ma bazę. Jeżeli przestrzeń X ma n-elementową

bazę, gdzie n ∈ N, to każda baza przestrzeni X składa się z n elementów. Jeżeli X ma nieskończoną bazę, to
każda baza X jest nieskończona.

Definicja 5.12.

Jeżeli ma skończoną n-elementową bazę, to liczbę nazywamy wymiarem przestrzeni X

i piszemy dim n. Dodatkowo przyjmujemy, że jeżeli {0jest przestrzenią trywialną, to dim = 0, a
jeśli nie ma skończonej bazy, to piszemy dim .

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

25

Twierdzenie 5.13.

Niech n ∈ N. Następujące warunki są sobie równoważne:

1) wektory x

1

, . . . , x

n

tworzą bazę przestrzeni R

n

;

2) wektory x

1

, . . . , x

n

są liniowo niezależne w przestrzeni R

n

;

3) det [x

ij

6= 0, gdzie x

i

= [x

i1

, x

i2,

. . . , x

in

, i = 12, . . . , n.

5.4. Podprzestrzenie

Definicja 5.14.

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem z ustalonym działaniem +. Niepusty

podzbiór X

1

⊂ X nazywamy podprzestrzenią przestrzeni X, jeżeli X

1

(z działaniem +) jest również

przestrzenią wektorową nad ciałem K.

Twierdzenie 5.15.

Niepusty podzbiór X

1

⊂ X jest podprzestrzenią przestrzeni X nad ciałem K, jeżeli

spełnione są warunki:

a)

V

x,y∈X

1

∈ X

1

,

b)

V

x∈X

1

V

α∈K

α∈ X

1

.

Twierdzenie 5.16.

Jeżeli X

1

jest podprzestrzenią przestrzeni X nad ciałem K, to

dim

K

X

1

¬ dim

K

X.

5.5. Przekształcenia liniowe

Definicja 5.17.

Niech będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem K. Odwzorowanie ϕ X → Y

nazywamy przekształceniem liniowym, jeżeli spełnione są warunki:

1)

V

x

1

,x

2

∈X

ϕ (x

1

x

2

) = ϕ (x

1

) + ϕ (x

2

)

(addytywność),

2)

V

x∈X

V

α∈K

ϕ (αx) = αϕ (x)

(jednorodność).

Jeżeli K, to odwzorowanie ϕ nazywamy funkcjonałem liniowym.

Twierdzenie 5.18.

Jeżeli ϕ X → Y jest przekształceniem liniowym, to

1) ϕ (0

X

) = 0

Y

, gdzie 0

X

0

Y

oznaczają odpowiednio wektory zerowe w przestrzeniach X i Y ;

2)

V

x∈X

ϕ (x) = −ϕ (x) ;

3)

V

x

1

,x

2

∈X

V

α

1

2

∈K

ϕ (α

1

x

1

α

2

x

2

) = α

1

ϕ (x

1

) + α

2

ϕ (x

2

.

Uwaga 5.19. Znana ze szkoły funkcja liniowa określona wzorem: (x) = ax dla x ∈ R, nie musi być
przekształceniem liniowym w sensie definicji 5.17. Jeśli bowiem b 6= 0, to (0) 6= 0, co pozostaje w sprzeczności
z twierdzeniem 5.18.1). Można łatwo wykazać, że funkcja liniowa jest przekształceniem liniowym (a dokładniej,
funkcjonałem liniowym) wtedy i tylko wtedy, gdy = 0.

Twierdzenie 5.20.

Niech X, Y, Z będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K.

1) Jeżeli ϕ

1

, ϕ

2

X → Y są przekształceniami liniowymi oraz α

1

, α

2

∈ K, to odwzorowanie α

1

ϕ

1

α

2

ϕ

2

jest przekształceniem liniowym.

2) Jeżeli ϕ X → Y , ψ Y → Z są przekształceniami liniowymi, to złożenie ψ ◦ ϕ X → Z jest

przekształceniem liniowym.

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

26

5.6. Macierz przekształcenia liniowego

Niech będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem R lub C. Załóżmy, że dim n, dim m

oraz {x

1

, . . . , x

n

jest bazą przestrzeni X, zaś {y

1

, . . . , y

m

— bazą przestrzeni . Niech ϕ X → Y będzie

przekształceniem liniowym. Wówczas dla każdego = 1, . . . , n istnieją współczynniki α

1j

, . . . , α

mj

takie, że

ϕ (x

j

) =

m

X

i=1

α

ij

y

i

.

W ten sposób odwzorowanie ϕ wyznacza macierz [α

ij

] wymiarów m × n. Będziemy ją oznaczać przez (ϕ).

Jest to tzw. macierz przekształcenia liniowego ϕ przy ustalonych bazach przestrzeni .

Odwrotnie, jeśli dana jest pewna macierz = [α

ij

] wymiarów m × n, to odwzorowanie

ϕ (x) =

m

X

i=1

n

X

j=1

α

ij

ξ

j

y

i

dla =

n

X

j=1

ξ

j

x

j

jest przekształceniem liniowym, przy czym (ϕ) = .

Twierdzenie 5.21.

Niech X, Y, Z będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem K,

gdzie K = R lub K = C, z ustalonymi bazami.

1) Jeśli ϕ

1

, ϕ

2

X → Y są przekształceniami liniowymi oraz α

1

, α

2

∈ K, to macierzą przekształcenia liniowego

α

1

ϕ

1

α

2

ϕ

2

jest macierz α

1

(ϕ

1

) + α

2

(ϕ

2

), tzn.

(α

1

ϕ

1

α

2

ϕ

2

) = α

1

(ϕ

1

) + α

2

(ϕ

2

.

2) Jeśli ϕ X → Y i ψ Y → Z są przekształceniami liniowymi, to macierzą złożenia ψ ◦ ϕ jest macierz

(ψ· M (ϕ), tzn.

(ψ ◦ ϕ) = (ψ· M (ϕ.

Załóżmy dalej, że dim i dane są dwie bazy przestrzeni X{x

1

, . . . , x

n

{x

0

1

, . . . , x

0

n

}. Wówczas

dowolny wektor x

0

j

= 1, . . . , n, można jednoznacznie zapisać w postaci

x

0
j

=

n

X

i=1

α

ij

x

i

.

Macierz kwadratową = [α

ij

] nazywamy macierzą przejścia od bazy {x

1

, . . . , x

n

do bazy {x

0

1

, . . . , x

0

n

}.

Twierdzenie 5.22.

1) Macierz przejścia A jest macierzą nieosobliwą.
2) Macierzą przejścia od bazy {x

0

1

, . . . , x

0

n

} do bazy {x

1

, . . . , x

n

} jest macierz A

1

.

Twierdzenie 5.23.

Dla ∈ X oznaczmy przez ξ

1

, . . . , ξ

n

współrzędne wektora w bazie {x

1

, . . . , x

n

} oraz

przez ξ

0

1

, . . . , ξ

0

n

współrzędne w bazie {x

0

1

, . . . , x

0

n

}, tzn. niech

=

n

X

i=1

ξ

i

x

i

oraz =

n

X

i=1

ξ

0

i

x

0
i

.

Wówczas dla i = 1, . . . , n mamy

ξ

i

=

n

X

j=1

α

ij

ξ

0

j

,

co w postaci macierzowej można zapisać następująco:




ξ

1

..

.

ξ

n




=




α

11

. . .

α

1n

..

.

..

.

α

n1

. . .

α

nn







ξ

0

1

..

.

ξ

0

n




.

background image

E. Kotlicka, B. Szkopińska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt

27

Niech dim i niech oznacza macierz przejścia od bazy {y

1

, . . . , y

m

do bazy {y

0

1

, . . . , y

0

m

przestrzeni

.

Twierdzenie 5.24.

Niech ϕ X → Y będzie przekształceniem liniowym i niech M (ϕoznacza macierz

przekształcenia ϕ w bazach {x

1

, . . . , x

n

}, {y

1

, . . . , y

m

} oraz M

0

(ϕ— macierz przekształcenia ϕ w bazach

{x

0

1

, . . . , x

0

n

}, {y

0

1

, . . . , y

0

m

}. Wówczas

M

0

(ϕ) = B

1

(ϕA.

5.7. Wektory własne i wartości własne przekształcenia liniowego

Niech będzie n-wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem K, gdzie = R lub = C.

Definicja 5.25.

Jeżeli ϕ X → X jest odprzekształceniem liniowym, to wektor ∈ X \ {0nazywamy

wektorem własnym przekształcenia ϕ, jeżeli istnieje skalar λ ∈ K taki, że

ϕ (x) = λx.

Skalar λ nazywamy wartością własną odwzorowania ϕ. W tym przypadku mówimy, że jest wektorem
własnym odpowiadającym wartości własnej λ.

Definicja 5.26.

Niech A ∈ M

n,n

(K). Wartością własną macierzy nazywamy liczbę λ ∈ K taką, że

det (A − λI) = 0.

Powyższe równanie nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy (det (A − λI) jest wielomianem
stopnia zmiennej λ).

Twierdzenie 5.27.

Każda macierz zespolona ma wartości własne.

Twierdzenie 5.28.

Liczba λ ∈ K jest wartością własną przekształcenia ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy λ jest

wartością własną macierzy M (ϕ).

Twierdzenie 5.29 (Cayleya-Hamiltona).

Każda macierz kwadratowa rzeczywista lub zespolona A jest

pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznego, tzn.

(A) = 0,

gdzie W (λ) = det (A − λI.


Document Outline