KOD

ZDAJÑCEGO

Miejsce na identyfikacj´ szko∏y

GRUDZIE¡

ROK 2007

Za rozwiàzanie

wszystkich zadaƒ

mo˝na otrzymaç

∏àcznie 50 punktów.

PESEL ZDAJÑCEGO

Wpisuje zdajàcy przed rozpocz´ciem pracy

ARKUSZ PRÓBNEJ

MATURY Z OPERONEM

MATEMATYKA

POZIOM ROZSZERZONY

Czas pracy 180 minut

Instrukcja dla zdajàcego

1. Sprawdê, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zada-

nia 1–11). Ewentualny brak zg∏oÊ przewodniczàcemu
zespo∏u nadzorujàcego egzamin.

2. Rozwiàzania zadaƒ i odpowiedzi zamieÊç w miejscu na to

przeznaczonym.

3. W rozwiàzaniach zadaƒ przedstaw tok rozumowania prowa-

dzàcy do ostatecznego wyniku.

4. Pisz czytelnie. U˝ywaj d∏ugopisu/pióra tylko z czarnym

tuszem/atramentem.

5. Nie u˝ywaj korektora, a b∏´dne zapisy przekreÊl.
6. Pami´taj, ˝e zapisy w brudnopisie nie podlegajà ocenie.
7. Obok ka˝dego zadania podana jest maksymalna liczba

punktów, którà mo˝esz uzyskaç za jego poprawne rozwià-
zanie.

8. Mo˝esz korzystaç z zestawu wzorów matematycznych, cyr-

kla i linijki oraz kalkulatora.

˚yczymy powodzenia!

Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON.

Kopiowanie w ca∏oÊci lub we fragmentach bez zgody wydawcy zabronione. Wydawca zezwala na kopiowanie zadaƒ

przez dyrektorów szkó∏ bioràcych udzia∏ w programie Próbna Matura z OPERONEM.

dysleksja

LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 1

2

LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 2

3

Zadanie 1. (5 pkt)

Dany jest rosnàcy ciàg geometryczny a

n

^ h

, w którym

,

a

a

6

24

1

3

=

=

.

a) Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciàgu a

n

^ h

.

b) Oblicz x, jeÊli wiadomo, ˝e liczby a

1

2

+

,

a

4

5

, x

3

2

+

tworzà ciàg arytmetyczny.

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 3

4

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Zadanie 2. (4 pkt)

W trójkàcie ABC sà dane: AC

10

=

, BC

10 2

=

. Promieƒ okr´gu opisanego na tym trójkàcie: R

10

=

.

Oblicz miar´ kàta

.

ACB

LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 4

5

Zadanie 3. (6 pkt)

Dana jest funkcja ( )

f x

x

x

x

x

x

2

2

2

2

3

2

=

+

-

+

-

- .

a) Przedstaw wzór funkcji f w najprostszej postaci.
b) Narysuj wykres funkcji f .
c) Narysuj wykres funkcji ( )

( )

( )

g x

f x

f x

=

-

i podaj jej zbiór wartoÊci.

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 5

6

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Zadanie 4. (4 pkt)

Funkcja kwadratowa ( )

f x

x

bx

c

2

2

=

+

+

jest malejàca w przedziale

, 4

3

-

^

h i rosnàca w przedziale

,

4

3

+

^

h, a iloczyn jej miejsc zerowych wynosi 12.

a) Wyznacz wspó∏czynniki b i c.
b) Nie wyznaczajàc miejsc zerowych x

1

oraz x

2

, oblicz wartoÊç wyra˝enia x

x

1

2

2

2

+

.

LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 6

7

Zadanie 5. (3 pkt)

Wyka˝, ˝e jeÊli d∏ugoÊci kolejnych boków czworokàta opisanego na okr´gu tworzà ciàg arytmetycz-
ny, to ten czworokàt jest rombem.

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 7

8

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Zadanie 6. (4 pkt)

Wyznacz wartoÊç parametru a, dla którego równanie: ax

a

x

49

7

2

+

=

-

ma nieskoƒczenie wiele roz-

wiàzaƒ.

LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 8

9

Zadanie 7. (4 pkt)

Dany jest trapez o podstawach , , >

a b a

b

. Wyznacz d∏ugoÊç odcinka ∏àczàcego Êrodki przekàtnych te-

go trapezu.

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 9

10

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Zadanie 8. (3 pkt)

Napisz równanie okr´gu o Êrodku

(

,

)

S

10

3

=

-

stycznego do prostej o równaniu: y

x

4

3

2

= -

+

.

LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 10

11

Zadanie 9. (6 pkt)

Rozwià˝ równanie

sin cos

cos

x

x

x

x

2

0

tg

+

=

^

h

w przedziale

, 2

r r .

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 11

12

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Zadanie 10. (5 pkt)

Ze zbioru

, , ,...,

Z

n

1 2 3

2

1

=

+

"

,, gdzie n N

!

+

wylosowano równoczeÊnie dwie liczby. Wyznacz n, tak

aby prawdopodobieƒstwo wylosowania liczb, których suma jest liczbà nieparzystà by∏o wi´ksze

od

13

7 .

LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 12

13

Zadanie 11. (6 pkt)

Kraw´dê podstawy i wysokoÊç Êciany bocznej poprowadzona z wierzcho∏ka ostros∏upa prawid∏owe-
go czworokàtnego majà d∏ugoÊci a

2

. Oblicz cosinus kàta dwuÊciennego mi´dzy sàsiednimi Êcianami

bocznymi. Sporzàdê rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymieniony w zadaniu kàt dwuÊcienny.

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 13

14

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 14

15

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 15

LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 16