1.
Wyznaczenie ilorazu ciàgu
a
n
^ h
:
q
2
=
i wzoru ogólnego:
a
6 2
n
n
1
$
=
-
.
1
Obliczenie drugiego i piàtego wyrazu ciàgu:
,
a
a
12
96
2
5
=
=
.
1
U∏o˝enie równaƒ wynikajàcych z treÊci zadania:
2
x
x
x
2
12
1
3
2
4
96
2
12
1
4
96
3
2
2
4
96
3
2
12
1
0
0
+
+
+
=
+
+
=
+
+
+
=
+
.
Rozwiàzanie równania:
,
x
x
x
11
5 5
0
0
0
=
=
=
.
1
2.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dok∏adnie opisanych
1
oznaczeƒ:
, ,
a b c
– kàty odpowiednio przy wierzcho∏kach
, ,
A B C
,
AC
10
=
,
BC
10 2
=
,
R
10
=
.
Obliczenie sinusów kàtów (np. z twierdzenia sinusów):
,
sin
sin
2
2
2
1
=
=
a
b
.
1
Wyznaczenie kàtów trójkàta:
,
45
135
30
150
0
0
c
c
c
c
=
=
=
=
a
a
b
b
.
1
Wyznaczenie szukanego kàta trójkàta:
105c
=
c
lub
15c
=
c
.
1
3.
Przekszta∏cenie wzoru funkcji do postaci:
( )
f x
x
x
x
x
x
2
1
1
1
2
=
+
-
-
+
+
^
^
^
^
^
h
h
h
h
h
.
1
Zapisanie wzoru funkcji w postaci:
( )
,
f x
x
x
R
1
2 1
/
[
!
=
+
-
"
,
.
1
Narysowanie wykresu funkcji
f
: prosta o równaniu
y
x
1
=
+
bez punktów
1
,
,
,
2
1
1 2
-
-
^
^
h
h
.
Wyznaczenie wzoru funkcji
g
:
( )
,
,
g x
x
x
x
0
1
1
2
2
1
2
dla
dla
3
3
[
[
!
!
=
-
+
+
-
-
-
^
h
h
"
"
(
,
,
.
1
Narysowanie wykresu funkcji
g
.
1
Podanie zbioru wartoÊci funkcji
:
g
,
D
0
2
1
3
[
= -
-
-
^
"
,
.
1
4.
Obliczenie wspó∏czynnika
b
:
b
16
= -
.
1
Obliczenie wspó∏czynnika
c
:
c
24
=
.
1
Przekszta∏cenie wyra˝enia
x
x
1
2
2
2
+
do postaci umo˝liwiajàcej zastosowanie
1
wzorów Vi¯te’a:
x
x
x x
2
1
2
2
1
2
+
-
^
h
.
Obliczenie wartoÊci wyra˝enia
x
x
1
2
2
2
+
:
x
x
40
1
2
2
2
+
=
.
1
1
w w w. o p e r o n . p l
Modele odpowiedzi do arkusza próbnej matury z OPERONEM
Matematyka
Poziom rozszerzony
Grudzieƒ 2007
Numer
Modelowe etapy rozwiàzywania zadania
Liczba
zadania
punktów
5.
Zapisanie d∏ugoÊci kolejnych boków czworokàta za pomocà wyrazów ciàgu
1
arytmetycznego:
,
,
,
a a
r a
r a
r
2
3
+
+
+
.
Wykorzystanie twierdzenia o czworokàcie opisanym na okr´gu do zapisania
1
równania:
a
a
r
a
r
a
r
2
3
+
+
=
+ +
+
.
Rozwiàzanie równania i zapisanie wniosku:
r
0
=
, wi´c boki majà równe d∏ugoÊci,
1
czyli czworokàt jest rombem.
6.
Przekszta∏cenie równania do postaci:
x a
a
7
49
2
+
=
-
^
h
.
1
Zapisanie warunków, które muszà byç spe∏nione, aby równanie mia∏o
1
nieskoƒczenie wiele rozwiàzaƒ:
a
a
7
0
49
0
2
/
+
=
-
=
.
Rozwiàzanie równania:
a
49
0
2
-
=
:
a
a
7
7
0
= -
=
.
1
Rozwiàzanie równania
a
7
0
+
=
i wyznaczenie wartoÊci parametru
a
, dla którego
1
równanie ma nieskoƒczenie wiele rozwiàzaƒ:
a
7
= -
.
7.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dok∏adnie opisanych
1
oznaczeƒ, np:
ABCD -
dany trapez,
,
, ,
AB
a CD
b K L
=
=
– Êrodki przekàtnych
odpowiednio
,
AC BD
,
,
M N
– punkty przeci´cia prostej
KL
odpowiednio
z ramionami
,
AD BC
.
Wyznaczenie d∏ugoÊci odcinka
KN
:
KN
a
2
=
.
1
Wyznaczenie d∏ugoÊci odcinka
LN
:
LN
b
2
=
.
1
Wyznaczenie d∏ugoÊci odcinka
KL
:
KL
a
b
2
=
-
.
1
8.
Obliczenie odleg∏oÊci
d
Êrodka okr´gu
S
od prostej
y
x
4
3
2
= -
+
:
d
2
=
.
1
Zapisanie warunku stycznoÊci prostej i okr´gu i podanie d∏ugoÊci promienia
okr´gu
r
:
d
r
=
,
r
2
=
.
1
Zapisanie równania okr´gu:
x
y
10
3
4
2
2
-
+
+
=
^
^
h
h
.
1
9.
Podanie dziedziny równania:
,
D
2
2
3
=
r r
r
&
0
.
1
Przekszta∏cenie równania trygonometrycznego do postaci:
1
x
tg
cos
sin
x
x
2
1
0
+
=
^
h
.
Zapisanie alternatywy równaƒ:
x
0
tg
0
=
cos
sin
x
x
0
2
1
0
0
=
+
=
.
1
Rozwiàzanie w wyznaczonej dziedzinie równania
:
,
x
x
0
2
tg
!
=
r r
"
,
i równania
1
:
cos x
x
0
Q
!
=
.
Rozwiàzanie w wyznaczonej dziedzinie równania
sin x
2
1
0
+
=
:
,
x
6
7
6
11
!
r
r
&
0
.
1
Zapisanie zbioru rozwiàzaƒ równania
sin cos
cos
x
x
x
x
2
0
tg
+
=
^
h
:
1
,
,
,
x
6
7
6
11
2
! r
r
r r
&
0
.
2
w w w. o p e r o n . p l
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
Numer
Modelowe etapy rozwiàzywania zadania
Liczba
zadania
punktów
10.
Wyznaczenie mocy zbioru
X
:
n
2
1
2
=
+
X c
m
.
1
Wyznaczenie liczby zdarzeƒ sprzyjajàcych zdarzeniu
A
– wylosowanie liczby
1
parzystej i nieparzystej:
A
n
n
1
1
1
=
+
c
c
m m
.
Obliczenie prawdopodobieƒstwa zajÊcia zdarzenia
A
:
( )
P A
n
n
2
1
1
=
+
+
.
1
Zapisanie nierównoÊci:
>
n
n
2
1
1
13
7
+
+
.
1
Rozwiàzanie nierównoÊci w
N
+
:
, , , ,
n
1 2 3 4 5
! "
,
.
1
11.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami i zaznaczenie na nim odpowiedniego kàta
1
dwuÊciennego (podstawa ostros∏upa –
ABCD
, kàt dwuÊcienny –
BED
).
Obliczenie d∏ugoÊci kraw´dzi bocznej:
b
a 5
=
.
1
Obliczenie d∏ugoÊci
h
:
h
a
5
4
5
=
.
1
Wyznaczenie d∏ugoÊci przekàtnej podstawy:
DB
a
2
2
=
.
1
Zastosowanie twierdzenia cosinusów dla trójkàta
DBE
:
1
cos
a
a
a
a
5
4
5
5
4
5
2
5
4
5
5
4
5
2
2
+
-
a
e
e
e
e
o
o
o
o
a
2
2
2
=
_
i
.
Obliczenie szukanego cosinusa:
cos
4
1
= -
a
.
1
3
w w w. o p e r o n . p l
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
Numer
Modelowe etapy rozwiàzywania zadania
Liczba
zadania
punktów