1.

Wyznaczenie ilorazu ciàgu

a

n

^ h

:

q

2

=

i wzoru ogólnego:

a

6 2

n

n

1

$

=

-

.

1

Obliczenie drugiego i piàtego wyrazu ciàgu:

,

a

a

12

96

2

5

=

=

.

1

U∏o˝enie równaƒ wynikajàcych z treÊci zadania:

2

x

x

x

2

12

1

3

2

4

96

2

12

1

4

96

3

2

2

4

96

3

2

12

1

0

0

+

+

+

=

+

+

=

+

+

+

=

+

.

Rozwiàzanie równania:

,

x

x

x

11

5 5

0

0

0

=

=

=

.

1

2.

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dok∏adnie opisanych

1

oznaczeƒ:

, ,

a b c

– kàty odpowiednio przy wierzcho∏kach

, ,

A B C

,

AC

10

=

,

BC

10 2

=

,

R

10

=

.

Obliczenie sinusów kàtów (np. z twierdzenia sinusów):

,

sin

sin

2

2

2

1

=

=

a

b

.

1

Wyznaczenie kàtów trójkàta:

,

45

135

30

150

0

0

c

c

c

c

=

=

=

=

a

a

b

b

.

1

Wyznaczenie szukanego kàta trójkàta:

105c

=

c

lub

15c

=

c

.

1

3.

Przekszta∏cenie wzoru funkcji do postaci:

( )

f x

x

x

x

x

x

2

1

1

1

2

=

+

-

-

+

+

^

^

^

^

^

h

h

h

h

h

.

1

Zapisanie wzoru funkcji w postaci:

( )

,

f x

x

x

R

1

2 1

/

[

!

=

+

-

"

,

.

1

Narysowanie wykresu funkcji

f

: prosta o równaniu

y

x

1

=

+

bez punktów

1

,

,

,

2

1

1 2

-

-

^

^

h

h

.

Wyznaczenie wzoru funkcji

g

:

( )

,

,

g x

x

x

x

0

1

1

2

2

1

2

dla

dla

3

3

[

[

!

!

=

-

+

+

-

-

-

^

h

h

"

"

(

,

,

.

1

Narysowanie wykresu funkcji

g

.

1

Podanie zbioru wartoÊci funkcji

:

g

,

D

0

2

1

3

[

= -

-

-

^

"

,

.

1

4.

Obliczenie wspó∏czynnika

b

:

b

16

= -

.

1

Obliczenie wspó∏czynnika

c

:

c

24

=

.

1

Przekszta∏cenie wyra˝enia

x

x

1

2

2

2

+

do postaci umo˝liwiajàcej zastosowanie

1

wzorów Vi¯te’a:

x

x

x x

2

1

2

2

1

2

+

-

^

h

.

Obliczenie wartoÊci wyra˝enia

x

x

1

2

2

2

+

:

x

x

40

1

2

2

2

+

=

.

1

1

w w w. o p e r o n . p l

Modele odpowiedzi do arkusza próbnej matury z OPERONEM

Matematyka

Poziom rozszerzony

Grudzieƒ 2007

Numer

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

Liczba

zadania

punktów

5.

Zapisanie d∏ugoÊci kolejnych boków czworokàta za pomocà wyrazów ciàgu

1

arytmetycznego:

,

,

,

a a

r a

r a

r

2

3

+

+

+

.

Wykorzystanie twierdzenia o czworokàcie opisanym na okr´gu do zapisania

1

równania:

a

a

r

a

r

a

r

2

3

+

+

=

+ +

+

.

Rozwiàzanie równania i zapisanie wniosku:

r

0

=

, wi´c boki majà równe d∏ugoÊci,

1

czyli czworokàt jest rombem.

6.

Przekszta∏cenie równania do postaci:

x a

a

7

49

2

+

=

-

^

h

.

1

Zapisanie warunków, które muszà byç spe∏nione, aby równanie mia∏o

1

nieskoƒczenie wiele rozwiàzaƒ:

a

a

7

0

49

0

2

/

+

=

-

=

.

Rozwiàzanie równania:

a

49

0

2

-

=

:

a

a

7

7

0

= -

=

.

1

Rozwiàzanie równania

a

7

0

+

=

i wyznaczenie wartoÊci parametru

a

, dla którego

1

równanie ma nieskoƒczenie wiele rozwiàzaƒ:

a

7

= -

.

7.

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dok∏adnie opisanych

1

oznaczeƒ, np:

ABCD -

dany trapez,

,

, ,

AB

a CD

b K L

=

=

– Êrodki przekàtnych

odpowiednio

,

AC BD

,

,

M N

– punkty przeci´cia prostej

KL

odpowiednio

z ramionami

,

AD BC

.

Wyznaczenie d∏ugoÊci odcinka

KN

:

KN

a

2

=

.

1

Wyznaczenie d∏ugoÊci odcinka

LN

:

LN

b

2

=

.

1

Wyznaczenie d∏ugoÊci odcinka

KL

:

KL

a

b

2

=

-

.

1

8.

Obliczenie odleg∏oÊci

d

Êrodka okr´gu

S

od prostej

y

x

4

3

2

= -

+

:

d

2

=

.

1

Zapisanie warunku stycznoÊci prostej i okr´gu i podanie d∏ugoÊci promienia
okr´gu

r

:

d

r

=

,

r

2

=

.

1

Zapisanie równania okr´gu:

x

y

10

3

4

2

2

-

+

+

=

^

^

h

h

.

1

9.

Podanie dziedziny równania:

,

D

2

2

3

=

r r

r

&

0

.

1

Przekszta∏cenie równania trygonometrycznego do postaci:

1

x

tg

cos

sin

x

x

2

1

0

+

=

^

h

.

Zapisanie alternatywy równaƒ:

x

0

tg

0

=

cos

sin

x

x

0

2

1

0

0

=

+

=

.

1

Rozwiàzanie w wyznaczonej dziedzinie równania

:

,

x

x

0

2

tg

!

=

r r

"

,

i równania

1

:

cos x

x

0

Q

!

=

.

Rozwiàzanie w wyznaczonej dziedzinie równania

sin x

2

1

0

+

=

:

,

x

6

7

6

11

!

r

r

&

0

.

1

Zapisanie zbioru rozwiàzaƒ równania

sin cos

cos

x

x

x

x

2

0

tg

+

=

^

h

:

1

,

,

,

x

6

7

6

11

2

! r

r

r r

&

0

.

2

w w w. o p e r o n . p l

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Numer

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

Liczba

zadania

punktów

10.

Wyznaczenie mocy zbioru

X

:

n

2

1

2

=

+

X c

m

.

1

Wyznaczenie liczby zdarzeƒ sprzyjajàcych zdarzeniu

A

– wylosowanie liczby

1

parzystej i nieparzystej:

A

n

n

1

1

1

=

+

c

c

m m

.

Obliczenie prawdopodobieƒstwa zajÊcia zdarzenia

A

:

( )

P A

n

n

2

1

1

=

+

+

.

1

Zapisanie nierównoÊci:

>

n

n

2

1

1

13

7

+

+

.

1

Rozwiàzanie nierównoÊci w

N

+

:

, , , ,

n

1 2 3 4 5

! "

,

.

1

11.

Wykonanie rysunku z oznaczeniami i zaznaczenie na nim odpowiedniego kàta

1

dwuÊciennego (podstawa ostros∏upa –

ABCD

, kàt dwuÊcienny –

BED

).

Obliczenie d∏ugoÊci kraw´dzi bocznej:

b

a 5

=

.

1

Obliczenie d∏ugoÊci

h

:

h

a

5

4

5

=

.

1

Wyznaczenie d∏ugoÊci przekàtnej podstawy:

DB

a

2

2

=

.

1

Zastosowanie twierdzenia cosinusów dla trójkàta

DBE

:

1

cos

a

a

a

a

5

4

5

5

4

5

2

5

4

5

5

4

5

2

2

+

-

a

e

e

e

e

o

o

o

o

a

2

2

2

=

_

i

.

Obliczenie szukanego cosinusa:

cos

4

1

= -

a

.

1

3

w w w. o p e r o n . p l

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Numer

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

Liczba

zadania

punktów