Mody TM: 1

Fale w falowodzie

Zakładamy, że falowód jest doskonałym przewodnikiem, tak że E = 0
i B = 0 wewnątrz samego przewodnika i dlatego warunki brzegowe
przy wewnętrznej ściance rury mają postać:

t

0

=

E

(1a)

n

0

B

= (1b)

Poszukujemy rozwiązania w postaci fal monochromatycznych propa-
gujących się w kierunku osi z w postaci:

j(

)

0

0

0

j(

)

0

0

0

ˆ

ˆ

ˆ

( , , , ) (

)

ˆ

ˆ

ˆ

( , , , ) (

)

kz

t

x

y

z

kz

t

x

y

z

x y z t

E

E

E

e

x y z t

B

B

B

e

−

−

=

+

+

=

+

+

E

x

y

z

B

x

y

z

ω

ω

Okazuje się, że wielkości E

0z

i B

0z

(w ogólności zespolone) spełniają

niesprzężone równania (wynikające z równań Maxwella)

2

2

2

2

0

2

2

0

z

k

E

x

y

c

⎡

⎤

∂

∂

⎛ ⎞

+

+

−

=

⎢

⎥

⎜ ⎟

∂

∂

⎝ ⎠

⎢

⎥

⎣

⎦

ω

(2a)

2

2

2

2

0

2

2

0

z

k

B

x

y

c

⎡

⎤

∂

∂

⎛ ⎞

+

+

−

=

⎢

⎥

⎜ ⎟

∂

∂

⎝ ⎠

⎢

⎥

⎣

⎦

ω

(2b)

Pozostałe składowe wyznaczamy z równań

(

)

0

0

0

2

2

j

z

z

x

E

B

E

k

x

y

c

k

⎛

⎞

∂

∂

=

+

⎜

⎟

∂

∂

−

⎝

⎠

ω

ω

(3a)

(

)

0

0

0

2

2

j

z

z

y

E

B

E

k

y

x

c

k

⎛

⎞

∂

∂

=

−

⎜

⎟

∂

∂

−

⎝

⎠

ω

ω

(3b)

(

)

0

0

0

2

2

2

j

z

z

x

B

E

B

k

x

c

y

c

k

⎛

⎞

∂

∂

=

−

⎜

⎟

∂

∂

−

⎝

⎠

ω

ω

(3c)

(

)

0

0

0

2

2

2

j

z

z

y

B

E

B

k

y

c

x

c

k

⎛

⎞

∂

∂

=

+

⎜

⎟

∂

∂

−

⎝

⎠

ω

ω

(3d)

Mody TM: 2

Fale TE i TM w falowodzie prostokątnym

Rozwiązując problem monochromatycznej fali biegnącej w falowo-
dzie (w szczególności w falowodzie o przekroju prostokątnym jak na
rysunku) rozpatruje się dwa typy fal wynikające z równań (2):

Fale TE (transverse electric): rozwiązujemy (2b) z warunkiem
(1b).

Fale TM (transverse magnetic): rozwiązujemy (2a) z warunkiem
(1a).

Rys. Falowód prostokątny

Pozostałe składowe wyznaczamy ze wzorów (3).

Mody TM: 3

Fale TM w falowodzie prostokątnym (ćwiczenia)

Dla modów (rozwiązań równań Maxwella) TM (poprzecznych

magnetycznych) składowa wzdłużna pola magnetycznego jest zerem
(

0

0

z

B

=

) więc rozwiązujemy równanie dla składowej wzdłużnej pola

elektrycznego

2

2

2

2

0

0

0

2

2

0

z

z

z

E

E

k

E

x

y

c

⎡

⎤

∂

∂

⎛ ⎞

+

+

−

=

⎢

⎥

⎜ ⎟

∂

∂

⎝ ⎠

⎢

⎥

⎣

⎦

ω

(2a)

z warunkiem brzegowym

t

0

=

E

(1a)

Warunek brzegowy oznacza, że składowa styczna natężenia pola elek-
trycznego na ściankach falowodu zeruje się.

Rozwiązanie metodą rozdzielenia zmiennych (Fouriera)

1. Zakładamy rozwiązanie w postaci iloczynu dwóch funkcji:

0

( , )

( )

( )

z

E

x y

X x Y y

=

⋅

(3)

Po podstawieniu do równania (2a) otrzymujemy

2

2

2

2

2

2

( )

( )

( )

( )

( )

( ) 0

X x

Y y

Y y

X x

k

X x Y y

x

y

c

⎡

⎤

∂

∂

⎛ ⎞

⋅

+

⋅

+

−

⋅

=

⎢

⎥

⎜ ⎟

∂

∂

⎝ ⎠

⎢

⎥

⎣

⎦

ω

2. Dzielimy obie strony równania przez

( )

( )

X x Y y

⋅

, co daje

2

2

2

2

2

2

( )

( )

0

( )

( )

Y y

X x

y

x

k

X x

Y y

c

∂

∂

∂

⎛ ⎞

∂

+

+

−

=

⎜ ⎟

⎝ ⎠

ω

(4)

Równanie przyjęło postać sumy trzech składników. Pierwszy zależy
wyłącznie od zmiennej x, drugi – wyłącznie od zmiennej y, a trzeci nie
zależy ani od x, ani od y (jest stały). Ich suma jest zerem. Aby to rów-
nanie było spełnione dla każdych x i y pierwszy i drugi składnik też
musi być równy jakiejś stałej. Stałe te moglibyśmy nazwać dowolnie
np. składnik pierwszy byłby równy A

x

a drugi A

y

.

Mody TM: 4

3. Dla wygody, oznaczmy je jak w poniższych wyrażeniach:

2

2

2

2

2

2

( )

( )

( )

( )

x

y

Y y

X x

y

x

k

k

X x

Y y

∂

∂

∂

∂

= −

= − (5)

Wielkości k

x

i k

y

nazywają się stałymi rozdziału. Uzyskujemy stąd

dwa równania (każde zależne wyłącznie od jednej zmiennej prze-
strzennej) które należy rozwiązać:

2

2

2

( )

( ) 0

x

d X x

k X x

dx

+

= (6a)

2

2

2

( )

( ) 0

y

d Y y

k Y y

dy

+

= (6b)

Ponadto z równania (4) uzyskujemy związek łączący k

x

i k

y

2

2

2

2

0

x

y

k

k

k

c

⎛ ⎞

− −

+

−

=

⎜ ⎟

⎝ ⎠

ω

(7)

4. Rozwiązaniem ogólnym równania (6a) jest

( )

sin(

)

cos(

)

x

x

X x

A

k x

B

k x

=

+

(8a)

Podobnie rozwiązaniem ogólnym równania (6b) jest

( )

sin(

)

cos(

)

y

y

Y y

C

k y

D

k y

=

+

(8a)

Dla wyznaczenia stałych A, B, C, D należy podstawić uzyskane roz-
wiązania do warunków brzegowych (1a).
5. Warunek (1a) oznacza, że składowa styczna natężenia pola elek-
trycznego na ściankach falowodu przyjmuje wartość zero. W naszym
przypadku jest to w szczególności składowa

0

( , )

( )

( )

z

E

x y

X x Y y

=

⋅

.

Mody TM: 5

Jeżeli przez S oznaczymy przekrój falowodu w płaszczyźnie xy to ma-
tematycznie warunki brzegowe można wyrazić w postaci

0

( , )

( )

( )

0

z

S

S

E

x y

X x Y y

=

⋅

=

gdzie

0

0,

dolny odcinek poziomy

0,

górny odcinek poziomy

0

0,

lewy odcinek pionowy

0,

prawy odcinek pionowy

x

y

b

x

a

y

b

S

y

x

a

y

b

x

a

⎧ =

∈

⎪ =

∈

⎪

= ⎨

=

∈

⎪

⎪ =

∈

⎩

Rozdzielając zmienne uzyskujemy warunki brzegowe dla funkcji X(x)

(0) 0,

( ) 0

X

X a

=

=

(9a)

oraz funkcji Y(y)

(0) 0,

( ) 0

Y

Y b

=

=

(9b)

6. Podstawiając rozwiązanie ogólne (8a) do pierwszego z warunków
brzegowych (9a) otrzymujemy

(0)

sin( 0)

cos( 0) 0

x

x

X

A

k

B

k

=

+

=

stąd stała 0

B

= .Wstawiając do drugiego otrzymujemy

( )

sin(

) 0

x

X a

A

k a

=

=

Jest to możliwe wtedy gdy

0,1,2,

x

k a

m

m

= π,

=

… (10a)

Analogicznie z analizy Y(y) otrzymujemy, że 0

D

= oraz

0,1,2,

y

k b

n

n

= π,

=

…

(10b)

Ostatecznie

0

0

( , )

sin

sin

z

m

n

E

x y

E

x

y

a

b

π

π

⎛

⎞

⎛

⎞

=

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

(11)

gdzie wprowadziliśmy stałą

0

E

AC

=

.

Otrzymane rozwiązanie nazywa się modem TM

mn

.

UMOWA: Pierwszy wskaźnik dotyczy większego wymiaru przekroju
falowodu, czyli zakładamy, że

a

b

≥

, przy czym

,

0

m n

≠

.

Mody TM: 6

Wyznaczanie częstości obcięcia

Wykorzystaliśmy dwa równania powstałe po rozdzieleniu zmiennych.
Z trzeciego z nich

2

2

2

2

0

x

y

k

k

k

c

⎛ ⎞

− −

+

−

=

⎜ ⎟

⎝ ⎠

ω

po wstawieniu

x

y

m

n

k

k

a

b

π

π

=

,

=

(12)

wyznaczamy liczbę falową k:

2

2

2

2

0

m

n

k

a

b

c

π

π

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛ ⎞

−

−

+

−

=

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜ ⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝ ⎠

ω

Stąd

2

2

2

m

n

k

c

a

b

2

⎡

⎤

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

=

− π

+

⎢

⎥

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎢

⎥

⎣

⎦

ω

(13)

Aby fala rozchodziła się w falowodzie bez tłumienia, liczba falowa
musi być rzeczywista. Zachodzi to wtedy, gdy wyrażenie pod pier-
wiastkiem w równaniu (13) jest dodatnie:

2

2

2

0

m

n

c

a

b

2

⎡

⎤

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

− π

+

>

⎢

⎥

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎢

⎥

⎣

⎦

ω

Z tej nierówności wyznaczamy warunek na częstość kołową fali ω

2

2

mn

m

n

c

a

b

⎛ ⎞

⎛ ⎞

> π

+

=

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎝ ⎠

ω

ω (14)

Wyrażenie

mn

ω nazywa się częstością obcięcia dla danego modu.

Najniższa częstość obcięcia występuje dla modu TM

11

:

2

2

11

1

1

c

a

b

⎛ ⎞

⎛ ⎞

= π

+

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎝ ⎠

ω

(15)

Częstości mniejsze od niej (dla modów TM) nie propagują się.

Mody TM: 7

Wyznaczanie prędkości fazowej i grupowej

Wykorzystując wyrażenie (14) na częstość obcięcia

mn

ω , liczbę falo-

wą można wyrazić w postaci

2

2

1

mn

k

c

=

−

ω

ω (16)

Stąd prędkość fazowa wynosi

2

2

1

mn

c

k

=

=

−

ω

υ

ω

ω

(17)

i jest większa od prędkości światła w ośrodku swobodnym c. Energia
jest przenoszona z prędkością grupową

2

2

1

1

mn

g

d

c

dk

dk

d

=

=

=

− ω

ω

υ

ω

ω

(18)

i jest mniejsza od c.