WDMNM Lab 2: rozwiązywanie równań liniowych. Zadania przykładowe

1. Napisać M-plik, który tworzy w pętli układy równań liniowych o liczbie zmiennych n=2,4,8,12,16

i następujących własnościach:

∑

=

=

=

⋅

n

m

m

k

k

A

b

1

.

b

x

A

A jest macierzą Hilberta (funkcja hilb). Znaleźć rozwiązanie każdego z tych układów za pomocą:
• metody wbudowanej (operator \ programu MATLAB)

• rozkładu LU macierzy A (funkcja lu programu MATLAB)

• rozkładu QR macierzy A (funkcja qr programu MATLAB)

2. Dla wszystkich układów równań i metod rozwiązywania z zadania 1 obliczyć i wykreślić (semi-

logy) zależność miary niedokładności rozwiązania

norm(x-x0)/norm(x0)

od liczby zmiennych n. x0 oznacza wektor z rozwiązaniem dokładnym.

3. Dla wybranej metody rozwiązywania zaburzyć losowo składowe wektora b na poziomie 0.001%.

Znaleźć rozwiązania dla zaburzonych wektorów b. Wykreślić zależność miary niedokładności
rozwiązania

norm(x1-x0)/norm(x0)

gdzie x1 jest rozwiązaniem układu zaburzonego, od liczby zmiennych n. Na tym samym wykresie
przedstawić również oszacowanie błędu (w funkcji n):

b

b

b1

A

x0

x0

x1

−

≤

−

)

(

cond

,

gdzie b1 jest zaburzonym wektorem prawych stron

4. Obliczenia z zadań 2 i 3 powtórzyć zastępując macierz Hilberta przez macierz losową (rand(n)).

Porównać wyniki z uzyskanymi dla macierzy Hilberta, umieszczając wyniki dla obydwóch macie-
rzy na jednym rysunku.

5. Wyznaczyć wartości prądów dla sieci elektrycznej z

rysunku obok. Zbadać wpływ 1% rozrzutu wartości
poszczególnych rezystorów na wartość prądu i

1

(płynącego przez rezystor R1).
Do obliczeń przyjąć R1=R2=R3=R4=R5=1k

Ω.

6. Rozwiązać iteracyjnie metodą SOR układ równań A*x=b, przy czym A jest macierzą symetryczną

diagonalnie dominująca, a b - wektorem utworzonym tak jak w zadaniu 1. Należy wykreślić (semi-
logy) normę błędu rozwiązania norm(x-x0) w kolejnych iteracjach. Obliczenia wykonać dla liczby
zmiennych n = 5,10,20 i współczynników nadrelaksacji ω równych kolejno 1 i 1.95.

7. Dla układu RC z rysunku obok wyznaczyć numerycznie (rozwią-

zując odpowiedni układ równań liniowych o współczynnikach ze-
spolonych) przebieg modułu i fazy transmitancji napięciowej

, dla

. Do obliczeń przyjąć:

,

,

)

(

/

)

(

)

(

2

ω

ω

ω

j

E

j

U

j

T

=

]

10

,

1

.

0

[

5

∈

ω

Ω

= k

1

1

R

Ω

= M

1

2

R

F

µ

1

2

1

=

= C

C

1

R

2

R

1

C

2

C

)

(

2

t

u

)

(t

e