1
Małgorzata Rucińska−Wrzesińska
Funkcja liniowa
Zadania o równaniach funkcji liniowej oraz o jej dziedzinie i zbiorze wartości
Zadanie 1.
Napisz równania, określ dziedzinę i zbiór wartości funkcji opisanych następująco:
a) każdej liczbie całkowitej o wartości bezwzględnej mniejszej od 4
przyporządkowujemy liczbę o 7 mniejszą,
b) każdej liczbie naturalnej przyporządkowujemy liczbę o 2 większą od podwojonej
wartości argumentu,
c) każdej liczbie rzeczywistej mniejszej lub równej –5 przyporządkowujemy liczbę
będącą iloczynem liczby 3 przez sumę argumentu i liczby 3,
d) każdej liczbie naturalnej większej lub równej 3 przyporządkowujemy liczbę o 5
mniejszą od iloczynu argumentu przez liczbę –3.
Zadanie 2.
Uporządkuj wzory funkcji liniowych według malejących wartości współczynników
kierunkowych:
y = (2x – 1)
2
– 4 (x – 2)(x + 2),
y = (
3x + 2)
2
– 3x
2
+ 2x,
y = –2x
2
+ (
2x – 1)
2
,
y = (3x + 2)
2
– (3x + 1)(3x – 1).
Zadanie 3.
Dla jakich wartości odciętych podane poniżej punkty należą do wykresu funkcji o równaniu
f(x) =
2
2
x:
a) A (x, −3
2),
b) B (x, −2),
c) C (x,
3 6
2
),
d) D (x,
1
2
),
e) E (x, 1 −
2),
f) F (x,
4+ 2
2
)?
2
Zadanie 4.
Oblicz wartości funkcji f(x) = −4x + 1 dla podanych argumentów:
a) x = −
3
4
,
b) x = 1,12,
c) x =
3,
d) x =
2
2
,
e) x = m + 1,
f) x =
5
2
k.
Zadanie 5.
Podaj przykłady wzorów trzech funkcji liniowych, których wykresy przechodzą przez
podane punkty:
a) A (4, –2),
b) B (–3, 4),
c) C (–1, – 1),
d) D (
3 , 3).
Zadanie 6.
Znajdź równanie prostej, której wykres przechodzi przez punkty:
a) A (2, –1), B (–1, –10)
b) C (–5, 4), D (9, –3)
c) E (–9, 4), F (5, –10)
d) G (–2, 1), H (–3, –6)
e) I (–9, 3), J (12, 10)
f) K (
1
2
, 1), L (–
1
2
, 5)
g) M (–2
3, –8), N ( 3, 1)
h) O (–
2, 4), P (2 2, 1)
Zadanie 7.
Narysuj na płaszczyźnie prostokątny układ współrzędnych, zaznacz w nim trzy dowolne
niewspółliniowe punkty i wyznacz równania prostych przechodzących przez każde dwa
zaznaczone punkty.
Zadanie 8.
3
Zaznacz w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie cztery dowolne punkty w
taki sposób, aby były one wierzchołkami pewnego czworokąta. Wyznacz równania prostych
zawierających boki tego czworokąta oraz równania prostych zawierających jego przekątne.
Zadanie 9.
Sprawdź, które z poniższych punktów należą do wykresu funkcji f(x) = –4,5x + 7,25:
A (–3; 20,75), B (4; 11,5), C (–2; 16,25), D (5; 15,25), E (2,5; –4), F (–1,5; 13)
Zadanie 10.
W wyznaczonych miejscach wpisz dowolne liczby i rozwiąż zadanie:
Znajdź równanie takiej funkcji liniowej, której współczynnikiem kierunkowym jest liczba
i do wykresu tej funkcji należy punkt A ( ,,
).
Zadanie 11.
(R)
Dla jakiej wartości parametru m punkty o podanych współrzędnych należą do wykresu
funkcji o równaniu f(x) = (2m + 1)x – 2:
a) A (2, −5),
b) B (2, 0),
c) C (−1, −1),
d) D (
2, 2)?
Zadanie 12.
(R)
Dla jakich wartości parametrów m i n wykres funkcji o równaniu f(x) = m
2
x + n − 3 przecina
osie układu współrzędnych w podanych punktach:
a) A (0, 5), B (−2, 0),
b) A (0, −3), B (3, 0),
c) A (0, 1), B (−10, 0),
d) A (0,
3), B (− 3, 0)?
Zadanie 13.
(R)
Dla jakich wartości parametrów m i n wykresy funkcji liniowych o wzorach ogólnych: y –
mx + 3 = 0 i y – nx + 8 = 0 przecinają się punkcie A (−1, −5)?
Zadanie 14.
(R)
Zbadaj dla jakiej wartości parametru a pole figury ograniczonej wykresem funkcji o
równaniu y = ax – 2a i osiami układu współrzędnych jest równe 6?
Zadanie 15.
Podaj wzory trzech funkcji liniowych, które przyjmują wartości dodatnie dla podanych
argumentów:
4
a) x > –5,
b) x >
3,
c) x < –7,
d) x < 2
2.
Zadanie 16.
Podaj wzory trzech funkcji liniowych, które przyjmują wartości niedodatnie dla podanych
argumentów:
a) x ≥ –7,
b) x ≥
2 3,
c) x ≤
2
5
,
d) x ≤ –
2.
Zadanie 17.
Podaj przykłady wzorów trzech funkcji liniowych, których wykresy są nachylone do osi Ox
pod kątem:
a)
1
6
π radianów,
b)
2
3
π radianów,
c)
3
4
π radianów.
Zadanie 18.
Dla jakich argumentów funkcja liniowa y = – 4x + 12 przybiera wartości należące do
podanego przedziału:
a) (0, +∞),
b) (–3, +∞),
c) <–
1
8
, +∞),
d) <4, +∞),
e) (–∞, 0>,
f) (–∞, 10>,
g) (–∞, 2),
h) (–∞,
1
2
)?
Zadanie 19.
Dla jakich argumentów funkcja f(x) przybiera wartości większe lub równe –5, jeżeli:
a) f(x) = 7x – 12,
b) f(x) = 7x + 12,
c) f(x) = –7x – 12,
5
d) f(x) = –7x + 12,
e) f(x) = 12x – 7,
f) f(x) = 12x + 7,
g) f(x) = –12x – 7,
h) f(x) = –12x + 7?
Zadanie 20.
Podaj zbiory wartości funkcji dla następujących funkcji i ich dziedzin:
a) y = –4x + 12 dla x > 4,
b) y = –x – 12 dla x < 2,
c) y =
1
2
x + 2,5 dla x ≥ 3,
d) y = –4,5x – 1,5 dla x
<–2, 5>,
e) y =
3x – 3 dla x
(–
3, 3),
f) y = 7x + 3 dla x
<–2, 7).
Zadanie 21.
(R)
Dla jakich argumentów funkcja f(x) = 4x – 7 przyjmuje wartości:
a) większe niż funkcja g(x) = 2x + 9,
b) mniejsze niż funkcja h(x) = −3x – 2,
c) takie same, jak funkcja k(x) =
5x − 5 ?
Zadanie 22.
(R)
Dla jakich wartości parametru k funkcja f(x) = (2k – 4)x + 3 przyjmuje dla argumentów
dodatnich wartości większe niż funkcja:
a) f(x) = 3x – 2,
b) f(x) = −2x + 4,
c) f(x) = kx – 3?
Zadania o miejscach zerowych funkcji liniowej
Zadanie 23.
Wyznacz miejsca zerowe funkcji liniowych o podanych równaniach:
a) y =
3
3
x –
3
b) y = – x + 12,5
c) y = –
3x + 1 – 3
d) y = –
3
3
x – 17
6
Zadanie 24.
Zapisz wzór funkcji liniowej, wiedząc że:
a) jej miejscem zerowym jest –2 oraz f(3) = –15,
b) jej miejscem zerowym jest –8 oraz f(–4) = 2,
c) jej miejscem zerowym jest 1 oraz f(
3) = –3 + 3,
d) jej miejscem zerowym jest –
2 oraz f(–2) = 4(1 – 2).
Zadanie 25.
Zapisz wzór funkcji liniowej, wiedząc że :
a) jej wykres przecina oś odciętych w punkcie (4, 0), a oś rzędnych w punkcie (0, –2),
b) jej wykres przechodzi przez punkt (0, 4), a miejscem zerowym jest liczba
2
3
,
c) jej wykres przechodzi przez punkty (0, –
5), (1, 0),
d) jej miejscem zerowym jest liczba
2 7, a wykres przecina oś rzędnych w punkcie
(0,
7).
Zadanie 26.
Napisz przykłady trzech funkcji liniowych spełniających podane warunki:
a) miejsce zerowe funkcji ma taka samą wartość, jak rzędna punktu przecięcia wykresu
funkcji z osią Oy,
b) wartość bezwzględna miejsca zerowego funkcji jest taka sama, jak wartość
bezwzględna rzędnej punktu przecięcia wykresu funkcji z osią Oy,
c) miejsce zerowe funkcji przyjmuje wartość o 3 większą od rzędnej punktu przecięcia
wykresu funkcji z osią Oy,
d) miejsce zerowe funkcji przyjmuje wartość trzykrotnie mniejszą od rzędnej punktu
przecięcia wykresu funkcji z osią Oy.
Zadanie 27.
(R)
Zbadaj, dla jakich wartości parametru k funkcje o podanych równaniach i argumentach
rzeczywistych mają dokładnie jedno miejsce zerowe:
a) f(x) = (3k – 2)x – 7,
b) f(x) = (k
2
– 2k + 1 )x + k,
c) f(x) =
𝑘+1
𝑘−1
x – 2k,
d) f(x) = x
𝑘 + 2 – 3.
Zadanie 28.
(R)
Znajdź równanie prostej, której:
a) miejscem zerowym jest
3 i wykres jest nachylony do osi Ox pod kątem
5
6
π radianów,
7
b) miejscem zerowym jest –2 i wykres jest nachylony do osi Ox pod kątem
1
4
π radianów,
c) miejscem zerowym jest
– 2 3 i wykres jest nachylony do osi Ox pod kątem
1
3
π
radianów,
d) miejscem zerowym jest
3 + 1 i wykres jest nachylony do osi Ox pod kątem
1
6
π
radianów,
e) miejscem zerowym jest –7 i wykres jest nachylony do osi Ox pod kątem
3
4
π radianów,
f) miejscem zerowym jest
2 – 3 i wykres jest nachylony do osi Ox pod kątem
1
4
π
radianów,
g) miejscem zerowym jest
4 3 i wykres jest nachylony do osi Ox pod kątem
2
3
π
radianów,
h) miejscem zerowym jest
1
2
2 i wykres jest nachylony do osi Ox pod kątem
1
3
π
radianów.
Zadanie 29.
(R)
Dla jakich wartości parametru m miejsce zerowe funkcji o równaniu f(x) = (m – 1)x – 3m
spełnia podane warunki:
a) x
0
= 4,
b) x
0
> −3,
c) x
0
≤ 0,
d) x
0
<0, 5>?
Zadanie 30.
(R)
Dla jakich wartości parametru k miejscem zerowym funkcji f(x) jest liczba –1,5, jeżeli:
a) f(x) = (–4k + 2 )x + k,
b) f(x) = –6kx + 5x – 2k,
c) f(x) = –
2 7x + k – 1,
d) f(x) = (
5 + k )x + 1,5?
Zadanie 31.
(R)
Dla jakich wartości parametru m miejscem zerowym funkcji f(x) = (2m – 3)x + 7 jest liczba
większa od miejsca zerowego funkcji g(x), jeżeli:
a) g(x) = 3x – 7,
b) g(x) = −4x + 5,
c) g(x) = x +
7,
d) g(x) =
5
11
x – 10?
8
Zadania o prostych prostopadłych i równoległych w układzie współrzędnych
Zadanie 32.
Narysuj na płaszczyźnie prostokątny układ współrzędnych i zaznacz w nim trzy dowolne
niewspółliniowe punkty. Niech będą one wierzchołkami równoległoboku. Wyznacz
algebraicznie współrzędne czwartego wierzchołka tego równoległoboku.
Zadanie 33.
Wykaż, że czworokąt o wierzchołkach S (–2, 13), O (3, –12), W (1, –9), A (–1, 1) jest
trapezem.
Zadanie 34.
Wykaż, że czworokąt o wierzchołkach P (–1, 4), U (2, 5), M (1, –4), A (–2, –5) jest
równoległobokiem.
Zadanie 35.
Czy czworokąt, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: y
1
= −3x + 5, y
2
=
1
2
x +
4, y
3
= −2x – 7, y
4
=
1
2
x – 5, jest równoległobokiem? A może jest trapezem?
Zadanie 36.
Wykresy których funkcji są do siebie prostopadłe, a których równoległe, jeżeli:
f(x) = (3x – 1)(x + 2) – 3x
2
,
g(x) = −(2x + 4)
2
+ 4x
2
+ 11x,
h(x) = (3x – 1)
2
– (3x + 2)(3x – 2) + x,
p(x) = (x – 2)
2
– x
2
+ 4,2x?
Zadanie 37.
Pod jakim kątem do osi Ox jest nachylony wykres prostej prostopadłej do podanej prostej:
a) y =
3
3
x –
3,
b) y = –x + 12,5,
c) y = –
3x + 1 – 3,
d) y = –
3
3
x – 17?
Zadanie 38.
Zapisz wzór funkcji f(x), której wykres jest:
a) równoległy do wykresu funkcji p(x) = 3x – 7 i przechodzi przez punkt A (−3, 2),
b) prostopadły do wykresu funkcji k(x) = −3x + 7 i przecina oś Ox w punkcie B (2, 0),
9
c) prostopadły do wykresu funkcji q(x) = 2x − 101 i przecina oś Oy w punkcie C (0,
7),
d) równoległy do wykresu funkcji r(x) = px + 3 i przechodzi przez punkt D (0, p + 1).
Zadanie 39.
(R)
Dla jakich wartości parametru n wykresy funkcji f(x) i g(x) są równoległe:
a) f(x) = nx – 3, g(x) = (2n + 1 )x + 1,
b) f(x) = n
2
x – 6, g(x) = (–2n – 1)x + 2,
c) f(x) = (4n – 9)x – 8, g(x) = (–3n + 5)x + 8,
d) f(x) =
2 3nx – 6, g(x) = (–2n – 3)x + 3?
Zadanie 40.
(R)
Dla jakich wartości parametru m wykresy funkcji f(x) i g(x) są równoległe:
a) f(x) = │m + 3│x – 7, g(x) = 5x + m,
b) f(x) = │2m – 7│x + 12, g(x) =
1
2
x – 12,
c) f(x) =
1
2
x + │4m – 1│x – 10, g(x) = 4x,
d) f(x) = 12mx – 3x – 12, g(x) =7mx – 14,
e) f(x) = (
3m – 3) x + 4 3 , g(x) = ( 5m + 1)x – 5 5,
f) f(x) = │
3 – m│x + 7, g(x) = 3x – 77?
Zadanie 41.
(R)
Zbadaj, jakie muszą być wartości parametrów m i n, aby wykresy funkcji o wzorach: y = (m
+ 1)x – n oraz y = 2mx + (n + 2) spełniały poniższe warunki:
a) były równoległe,
b) były prostopadłe,
c) przechodziły przez ten sam punkt na osi Oy,
d) przechodziły przez punkt A (1, 2).
Zadania o wielokątach w układzie współrzędnych
Zadanie 42.
Znajdź równania prostych zawierających boki trójkąta o wierzchołkach: A (–2, 5), B (5, 2),
C (2, – 5).
Zadanie 43.
Boki trójkąta zawierają się w prostych o równaniach: y = –4x + 6, y = 2x – 3, y = 3x + 1.
Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.
10
Zadanie 44.
(R)
Na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych narysowano trójkąt o
wierzchołkach w punktach: A (−4, 2), B (0, 3), C (4 , −4). Wyznacz równania prostych
zawierających boki tego trójkąta oraz równania prostych zawierających jego wysokości.
Zadanie 45.
Oblicz pole figury ograniczonej wykresami funkcji o wzorach y =
1
2
x + 3 i y =
1
6
x – 1 oraz
osią Oy.
Zadanie 46.
Oblicz pole figury ograniczonej wykresami funkcji o wzorach y = 3x i y = − 3x + 6 oraz osią:
a) odciętych,
b) rzędnych.
Zadanie 47.
(R)
Udowodnij, że pole figury ograniczonej wykresami funkcji y = ax i y = −ax + 2a oraz osią
Ox jest równe polu figury ograniczonej wykresami tych funkcji i osią Oy.
Zadanie 48.
(R)
Dana jest prosta o równaniu y = −4x. Napisz równanie drugiej prostej tak, aby figury
ograniczone wykresami obydwu funkcji oraz osią Ox i osią Oy miały jednakowe pola.
Zadanie 49.
(R)
Dana jest prosta o równaniu y + x – 2 = 0.
a) Oblicz pole figury ograniczonej wykresem tej funkcji i osiami układu współrzędnych.
b) Napisz równanie prostej równoległej do tej prostej tak, aby pole figury ograniczonej tą
prostą i osiami układu współrzędnych było dwukrotnie większe od pola pierwszej
figury.
Zadanie 50.
(R)
Podaj przykłady wzorów trzech różnych funkcji liniowych takich, aby pola figur
ograniczonych wykresami tych funkcji i osiami układu współrzędnych były dwukrotnie
mniejsze od pola figury ograniczonej prostą o równaniu y =
2
3
x + 2 i osiami układu
współrzędnych.
Zadanie 51.
(R)
Napisz równania czterech prostych, które zawierają boki rombu o polu 16.
Zadanie 52.
(R)
11
Czy równania y = mx + n, y = −mx + n, y = mx − n, y = −mx – n mogą zawierać boki rombu?
Odpowiedź uzasadnij.
Zadania o własnościach i wykresach funkcji liniowej
Zadanie 53.
Wykaż, ze funkcje opisane poniższymi wzorami są różnowartościowe:
a) f(x) = −11x + 9, x
(−∞, 1),
b) f(x) =
4
5
x −
1
5
, x
(−∞, 0>,
c) f(x) = −7 – 3x, x
<−5, 5>,
d) f(x) = −
5 − 3x, x
(3, +∞),
e) f(x) = (
2 + 1)x − 2 – 2, x
<−2, +∞),
f) f(x) = 3
3x + 2 2, x
(−∞, −2)
∪ (2, +∞).
Zadanie 54.
Udowodnij, że każda funkcja liniowa opisana równaniem y = ax + b, gdzie a
0, jest
różnowartościowa, gdy jest określona w zbiorze liczb rzeczywistych.
Zadanie 55.
Wykaż, że funkcje liniowe opisane poniższymi wzorami są różnowartościowe dla każdej
liczby rzeczywistej:
a) f(x) = –12x + 5,5,
b) f(x) =
7x – 2 7,
c) f(x) =
2
3
x – 3
3
4
,
d) f(x) = –
5
7
x –
2
7
,
e) f(x) = (
2 + 1)x – 15,
f) f(x) = –9x + 27.
Zadanie 56.
Narysuj wykresy funkcji o podanych przedziałach monotoniczności:
a) rosnąca dla x
(−∞, 4>, malejąca dla x
<4, +∞),
b) rosnąca dla x
(−∞, −2>
∪ <5, +∞), malejąca dla x
<−2, 5>,
c) malejąca dla x
(−∞, −4>, stała dla x
<4, +∞), rosnąca dla x
<−4, 4>,
d) stała dla x
(−∞, −5>
∪ <5, +∞), malejąca dla x
<−5, 0>, rosnąca dla x
<0, 5>.
Zadanie 57.
12
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji o wykresach:
a)
b)
c)
d)
Zadanie 58.
Dla jakich wartości parametru k funkcje opisane poniższymi równaniami są rosnące:
a) f(x) = (2k + 1)x – 7,
b) f(x) = (k
2
– 1)x +44,
c) f(x) = (
7k – 1)x – k,
d) f(x) = k
2
x + 0,123?
Zadanie 59.
Czy znajdziesz taką wartość parametru m, dla której f(x) = │2m + 1│x – m jest malejąca w
zbiorze liczb rzeczywistych? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 60.
Zapisz trzy wzory funkcji liniowych malejących, których:
a) miejscem zerowym jest liczba 4,
b) wartości są ujemne dla x
<−2, +∞).
y
x
1
1
y
x
1
1
y
x
1
1
y
x
1
1
13
Zadanie 61.
(R)
Dla jakich wartości parametru m wykres funkcji f(x) przechodzi przez punkt E (–7, 7), jeżeli:
a) f(x) = (–4m + 3)x + 2m,
b) f(x) = –3mx + 7x – 5m,
c) f(x) = –
7x + m – 3,
d) f(x) = (
3 + m)x + 7?
Zadanie 62.
(R)
Wyznacz takie wartości parametrów m i n, dla których wykresy funkcji f(x) i g(x) przecinają
się w punkcie A (–2, 1).
a) f(x) = mx + 2, g(x) = 3nx – 2,
b) f(x) = │m + 1│x + 3, g(x) = │4n│x + 1
1
2
,
c) f(x) = (m + 2)x – 3 , g(x) = (n – 2)x + 3,
d) f(x) = (
1
2
m – 3)x – 4, g(x) = (
3 – n)x + 3.
Zadanie 63.
Narysuj wykresy funkcji o podanych równaniach i dziedzinach:
a) y = 3x – 2 , x
R,
b) y = −3x + 1, x
<− 1, 2>,
c) y =
1
2
x – 4, x
(−∞, 4>,
d) y =
2
3
x + 3, x
(−3, +∞).
Zadanie 64.
Na podstawie poniższych wykresów określ dziedzinę i zbiór wartości każdej z funkcji:
a)
b)
y
x
5
5
y
x
2
2
14
c)
d)
Zadanie 65.
Narysuj wykresy poniższych funkcji i określ zbiór wartości każdej z nich:
a) f(x) =
3𝑥 – 1 dla 𝑥 ϵ ( − ∞, 2 )
5 dla 𝑥 ϵ < 2, + ∞)
,
b) f(x) =
│𝑥│ dla 𝑥 ϵ < − 4, 4 >
4 dla 𝑥 ϵ ( − ∞, − 4 ) ∪ ( 4, + ∞ )
,
c) f(x) =
− 2𝑥 + 1 dla 𝑥 ϵ ( − ∞, 2)
𝑥 − 5 dla 𝑥 ϵ < 2, + ∞ )
.
Zadanie 66.
Narysuj wykresy funkcji określonych w zbiorze liczb rzeczywistych o równaniach:
a) y = │x – 3│,
b) y = │2x + 1│,
c) y = │3x – 6│,
d) y = │2 – x│.
Zadania o równaniach, nierównościach i układach równań liniowych
oraz zadania tekstowe
Zadanie 67.
Wyznacz rozwiązania równań:
a) (x – 4)
2
– (x – 3)(x + 3) = 4x – 5,
b) (x – 4)(x + 3) – (x – 2)
2
= 5x – 7,
c) 2(3x – 1)
2
– 3x = 2(3x – 2)(3x + 2) – 7x + 2,
d) (2x + 3)
2
– 5x – 4x
2
= 3x – 7,
y
x
1
1
y
x
4
4
15
e) 3(2x + 1)
2
– 2(
6x)
2
+ 4x – 7 = 4,
f)
( 𝑥−2 )
2
2
–
1,5𝑥
2
3
=
3𝑥−2
6
.
Zadanie 68.
Podaj przykłady trzech równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, których rozwiązania
zawierają się w zbiorze rozwiązań nierówności:
3𝑥−1
2
–
𝑥−2
3
≤ x.
Zadanie 69.
Podaj przykłady trzech równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, których
rozwiązaniem jest liczba –3.
Zadanie 70.
W poniższych równaniach wpisz w wyznaczonym miejscu takie wyrażenia, aby
rozwiązaniem każdego równania była liczba 2:
a) –2(x – 7) − = 4x – 5,
b) (x – 2)
2
– (x – 3)(x + 3) = 4x − ,
c) –4x – (2x + 1)
2
= (2x – 3)
2
− ,
d)
2𝑥+1
5
−
3𝑥
2
= 2x − .
Zadanie 71.
Rozwiąż równania:
a) │x – 2│= 3,
b) │3x – 1│= 2,
c) │x + 5│= 1,
d) │2x + 1│= 4,
e) │−x + 3│= 5,
f) │−3x + 1│= 7.
Zadanie 72.
Rozwiąż równania:
a) ││x – 5│ + 1│ = 3,
b) ││x│ − 1│ = │−3│,
c) ││x│– 5│ = 7,
d) ││3x + 1│ − 4│ = 1,
e) ││2x – 1│ − 3│ = 5,
f) │││x – 2│ + 1│ − 1│ = 1.
Zadanie 73.
16
Zapisz wzór dowolnej funkcji liniowej dla dziedziny, która pokrywa się ze zbiorem
rozwiązań nierówności:
a) │x│ ≤ 3,
b) │x + 2│ > 4,
c) 3│2x − 1│ < 6,
d) │3x − 1│ ≤ 5,
e) │2x −
1
2
│ ≥ 3,
f) │
1
4
x + 1│ > 4.
Zadanie 74.
(R)
Dane jest równanie z parametrem m: m(x – 1) – 4x = −2. Zbadaj, dla jakich wartości
parametru m rozwiązaniem równania jest:
a) liczba 3,
b) dowolna liczba dodatnia,
c) liczba rzeczywista mniejsza lub równa 2,
d) liczba rzeczywista większa od –1.
Zadanie 75.
(R)
Wyznacz taką wartość parametru m, dla której miejsce zerowe funkcji f(x) = (m + 1 )x – 3
należy do zbioru rozwiązań równania (m – 2 )x + 3x – 5m = 0.
Zadanie 76.
(R)
Dana jest nierówność z parametrem m: mx –3x – 7m – 1 < −4m. Korzystając z tej
nierówności, odpowiedz na pytania:
a) Do jakiego przedziału należy x, jeżeli m
(−∞, 2)?
b) Dla jakiej wartości parametru m rozwiązaniem nierówności jest zbiór liczb
rzeczywistych?
c) Dla jakiej wartości parametru m rozwiązanie nierówności należy do przedziału (−∞,
−5)?
Zadanie 77.
(R)
Zbadaj, dla jakich wartości parametru k rozwiązaniem nierówności
𝑘𝑥 −1
3
+
𝑥−3
2
< (k + 1)x
jest:
a) (2, +∞),
b) (−2, +∞),
c) (−∞, 2),
d) R.
17
Zadanie 78.
Rozwiąż układy równań:
a) (x – 2)
2
– (x – 1)(x + 1) + 4x = 2y + 1
(3x – 1)
2
– (3x + 2)(3x – 1) = 2x – 4y
b) (x – 2)(2x – 3) – 2(x – 3)(x + 3) – 4y = −3x + 4y
(5y – 1)(y + 1) – 5(y + 1)
2
– 3x = −5y – 4y
c)
𝑥−1
3
+
𝑦 +2
2
− 2x = 7y + 4
( 𝑥−1 )
2
2
−
𝑥
2
2
+ 2y =
𝑥
4
− y + 3
d) (2x – y)(x + y) – 2x
2
– yx + (y – 3)(y + 3) = 2y + 3x
5x – 2y =
𝑥−2
3
+
𝑦 +1
2
+ 3
Zadanie 79.
(R)
Zbadaj dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań
y – mx – 2 = 0
my + x + 1 = 0
jest:
a) para liczb o różnych znakach,
b) para liczb o takich samych znakach,
c) para liczb spełniających nierówność: x + y > 0.
Zadanie 80.
(R)
Wyznacz takie wartości parametru m, dla których układ równań
mx – y = 2
4x + 3y = m
jest:
a) oznaczony,
b) nieoznaczony,
c) sprzeczny.
Zadanie 81.
Dane jest równanie 5x – 2(x + y) – 3y = x – 2. W równaniu: ax + by + c = 0 dobierz
współczynniki a, b, c tak, aby obydwa równania tworzyły układ:
a) oznaczony,
b) nieoznaczony,
c) sprzeczny.
Zadanie 82.
18
Dane jest równanie 4(x – 2) – 5y + 7 = x. Znajdź takie drugie równanie, aby otrzymany układ
był:
a) oznaczony,
b) nieoznaczony,
c) sprzeczny.
Zadanie 83.
Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej jest równa osiem. Wyznacz tę liczbę, jeżeli:
a) cyfra dziesiątek jest o 40% mniejsza od cyfry jedności,
b) po przestawieniu cyfr tej liczby otrzymasz liczbę o 18 mniejszą,
c) dopisując zero na jej końcu otrzymasz liczbę o 558 większą,
d) suma tej liczby i liczby trzycyfrowej otrzymanej po dopisaniu zera pomiędzy cyfrą
dziesiątek i jedności jest równa 772.
Zadanie 84.
Suma kwadratu pewnej liczby, podwojonej tej samej liczby oraz liczby jeden wynosi 2,25.
Znajdź tę liczbę. Wymyśl podobne zadanie i daj do rozwiązania koledze.
Zadanie 85.
Suma cyfr pewnej liczby trzycyfrowej jest najmniejszą dwucyfrową liczbą pierwszą.
Różnica pomiędzy cyfrą jedności i cyfrą setek jest równa podwojonej cyfrze dziesiątek.
Jeżeli zamienimy miejscami cyfrę setek z cyfrą jedności, to otrzymana liczba będzie o 594
większa. Znajdź tę liczbę.
Zadanie 86.
Kolejne cyfry w pewnej liczbie trzycyfrowej są kolejnymi liczbami naturalnymi. Jeżeli cyfrę
setek zwiększymy o 4, cyfrę dziesiątek podwoimy, a cyfrę jedności zwiększymy o 2, to
otrzymamy sumę naszej liczby i liczby z przestawionymi cyframi setek i jedności. Znajdź tę
liczbę.
Zadanie 87.
Cyfra dziesiątek pewnej liczby trzycyfrowej jest sumą cyfry setek i jedności tej liczby. Jeżeli
zamienimy miejscami cyfrę dziesiątek z cyfrą setek, to otrzymamy liczbę o 90 większą od
początkowej. Wyznacz początkową liczbę,
Zadanie 88.
Adam napisał pewną liczbę dwucyfrową o kolejnych cyfrach. Dodał do niej liczbę z
przestawionymi cyframi oraz iloczyn pierwszej liczby przez liczbę cztery i iloczyn liczby
lustrzanej przez liczbę osiem. W rezultacie otrzymał 1019. Jaką liczbę napisał Adam?
19
Zadanie 89.
Kasia napisała ułamek
2
3
i powiększała licznik i mianownik tego ułamka o taką samą liczbę,
otrzymując inny ułamek. Jaką liczbę dodała do licznika i mianownika ułamka
2
3
, jeżeli
otrzymała:
a)
1
4
,
b)
4
5
,
c)
5
7
?
Zadanie 90.
Suma dwóch liczb naturalnych jest równa 104, a suma ich odwrotności jest równa
13
336
. Jakie
to liczby?
Zadanie 91.
Zapisano sześć kolejnych liczb pierwszych, których średnia arytmetyczna wynosi 18
2
3
. Jeżeli
zostanie dopisana następna liczba pierwsza, to wtedy średnia arytmetyczna wzrośnie o 1
16
21
.
Jaką liczbę dopisano? Jakie liczby zapisano wcześniej?
Zadanie 92.
Tomek jest siedmiokrotnie młodszy od swojej mamy. Za ile lat Tomek będzie cztery razy
młodszy od mamy, skoro rok temu mieli razem 30 lat?
Zadanie 93.
Paweł zauważył, że jego wiek i wiek jego wujka są liczbami lustrzanymi o sumie 55. Pięć lat
temu Paweł był czterokrotnie młodszy od tego samego wujka. Za ile lat Paweł będzie
obchodził swoje osiemnaste urodziny?
Zadanie 94.
Pan Jan przejechał
1
3
trasy ze średnią prędkością o 10 km/h mniejszą niż pozostałą część
trasy. Prędkość średnia na całej trasie była równa 86,4 km/h. Wyznacz wartości prędkości
średnich na pierwszym i drugim odcinku trasy.
Zadanie 95.
Rowerzysta i motocyklista wyruszyli z dwóch różnych miejscowości i minęli się dokładnie
w połowie drogi po 50 minutach wspólnej jazdy. Prędkość średnia, z jaką jechał
motocyklista, była o 150% większa od wartości prędkości średniej rowerzysty. O ile
wcześniej przed motocyklistą musiał wyruszyć rowerzysta?
20
Zadanie 96.
Ile gramów roztworu soli o stężeniu 22% i roztworu tej samej soli o stężeniu 14% należy
zmieszać, aby otrzymać 600 g roztworu o stężeniu 16
2
3
%?
Zadanie 97.
W naczyniu jest dokładnie 400 g roztworu soli kuchennej o stężeniu 15%. Odpowiedz na
pytania:
a) Ile należy dolać do tego roztworu wody, aby stężenie zmniejszyło się o 5%?
b) Ile należy odparować z tego roztworu wody, aby stężenie zwiększyło się o 5%?
c) Ile należy dodać do tego roztworu soli, aby stężenie zwiększyło się o 5%?
Zadanie 98.
Długości boków prostokąta są kolejnymi liczbami pierwszymi. Różnica długości tych boków
jest równa 6. Jeżeli krótszy bok tego prostokąta skrócimy o 4, a dłuższy wydłużymy o 2, to
długości boków też będą liczbami pierwszymi, a pole prostokąta zmniejszy się o 78.
Wyznacz długości boków wyjściowego prostokąta.
Zadanie 99.
Tomek narysował trójkąt równoramienny o podstawie 4, a Łukasz narysował trójkąt
równoramienny, którego boki są o 50% dłuższe od boków trójkąta Tomka. Chłopcy obliczyli
pola swoich figur i okazało się, ze różnica tych pól jest równa 10 2. Wyznacz długość
ramienia trójkąta narysowanego przez Tomka.
Zadanie 100.
Dany jest trapez równoramienny o kącie 60
o
i polu 20
3. W trapezie tym krótsza podstawa
jest dwukrotnie dłuższa od ramienia. Wyznacz długości podstaw i ramion tego trapezu.
Zadanie 101.
Pole kwadratu zbudowanego na dłuższym boku prostokąta jest o 60 większe od pola
prostokąta, a pole kwadratu zbudowanego na krótszym boku prostokąta jest o 35 mniejsze
od pola prostokąta. Wyznacz długości boków prostokąta.