1.

Stosując algorytm Herona wyznaczania pierwiastka kwadratowego z liczby nieujemnej a
wykonać trzy iteracje obliczające przbliżoną wartość

√

5. Oszacować błąd otrzymanego

przybliżenia.

2.

Obliczyć: e, e

1

/2

, sin

(1), cos(1), ln(1.01) z dokładnością 10

−4

.

3.

Stosując metodę bisekcji wykonać trzy iteracje obliczjące przybliżoną wartość jednego z pier-
wiastków równania x

3

+ x − 1 = 0 z przedziału: [0; 2]. Oszacować błąd otrzymanego przy-

bliżenia.

4.

Stosując metodę Newtona (stycznych) wykonać trzy iteracje obliczjące przybliżoną wartość
jednego z pierwiastków równania x

3

+ x − 1 = 0 z przedziału: [1/2; 2]. Czy iteracje Newtona

dla tego równania są zbieżne? Oszacować błąd otrzymanego przybliżenia.
Uwaga.

Można posłużyć się następującym twierdzeniem: Jeśli funkcja f jest dukrotnie róż-

niczkowalna na przedziale [a; b], f (a) f (b) < 0 oraz funkcje f

0

(x), f

00

(x) mają stały znak

dla x ∈ [a; b], to metoda Newtona startująca z takiego punktu x

0

= a lub x

0

= b, dla którego

spełniony jest warunek: f

(x

0

) f

00

(x

0

) > 0, jest zbieżna. Ponadto błąd przybliżenia można

oszacować w następujący sposób: |x

n

− p| ≤

| f (x

n

)|

m

, gdzie m = min

x ∈[a;b]

| f

0

(x)|, x

n

jest n-tym

wyrazem ciągu otrzymanego w metodzie Newtona, a p jest dokładną wartością pierwiastka
równania f

(x) = 0, czyli p ∈ [a; b] oraz f (p) = 0.

5.

Stosując metodę siecznych wykonać trzy iteracje obliczjące przybliżoną wartość jednego
z pierwiastków równania x

3

+ x − 1 = 0 z przedziału: [1/2; 2]. Oszacować błąd otrzy-

manego przybliżenia.

Uwaga.

Błąd przybliżenia można oszacować w następujący sposób: |x

n

− p| ≤

| f (x

n

)|

m

, gdzie

m = min

x ∈[a;b]

| f

0

(x)|, x

n

jest n-tym wyrazem ciągu otrzymanego w metodzie siecznych, a p

jest dokładną wartością pierwiastka równania f

(x) = 0, czyli p ∈ [a; b] oraz f (p) = 0.

6.

Dany jest układ rówań:






x + 2y − z = 3

2x + y − 2z = 3

−3x + y + z = −6.

a)

Stosując metodę eliminacji Gaussa rozwiązać podany układ równań.

b)

Wyznaczyć rozkład LU dla macierzy podanego układu równań.

c)

Stosując rozkład LU uzyskany w punkcie b) rozwiązać podany układ równań.

7.

Dany jest układ rówań:






x + 2y − z = 3

2x + y − 2z = 3

−3x + y + z = −6.

a)

Stosując metodę eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego rozwią-

zać podany układ równań.
b)

Stosując częściowy wybór elementu głównego wyznaczyć rozkład LU dla macierzy po-

danego układu równań.
c)

Stosując rozkład LU uzyskany w punkcie b) rozwiązać podany układ równań.

8.

Dany jest układ rówań:






3x + y − z = 4

2x + 4y + z = 1

−x + 2y + 5z = 1.

a)

Stosując metodę Jacobiego wyznaczyć dwie iteracje uzyskując przybliżenie rozwiązania

podanego układu równań. b) Czy metoda Jacobiego dla podanego układu równań jest zbieżna
do rozwiazania danego układu równań? Odpowiedź uzasadnić.

9.

Dany jest układ rówań:






3x + y − z = 4

2x + 4y + z = 1

−x + 2y + 5z = 1.

a)

Stosując metodę Gauss–Seidela wyznaczyć dwie iteracje uzyskując przybliżenie rozwiąza-

nia podanego układu równań.
b)

Czy metoda Gauss–Seidela dla podanego układu równań jest zbieżna do rozwiazania da-

nego układu równań? Odpowiedź uzasadnić.

10.

Dany jest układ rówań:
 3x + y = 5

x + 2y = 5.

a)

Stosując metodę Jacobiego wykonać dwie iteracje uzyskując przybliżenie rozwiązania

podanego układu równań. b) Czy metoda Jacobiego dla podanego układu równań jest zbieżna
do rozwiazania danego układu równań? Odpowiedź uzasadnić.

11.

Dany jest układ rówań:
 3x + y = 5

x + 2y = 5.

a)

Stosując metodę Gauss–Seidela wykonać dwie iteracje uzyskując przybliżenie rozwiązania

podanego układu równań.
b)

Czy metoda Gauss–Seidela dla podanego układu równań jest zbieżna do rozwiazania

danego układu równań? Odpowiedź uzasadnić.

12.

Stosując metodę Newtona wyznaczyć dwie iteracje uzyskując przybliżenie rozwiązania na-

stępującego układu równań:



x − y

3

= 0

x

2

+ y

2

= 1.

Przyjąć punkt startowy np.

(1, 2).