8. Zasada względności Einsteina. Transformacja Lorentza i jej

właściwości. Dylatacja czasu, skrócenie długości.

Zasada względności Einsteina.

Zgodnie z tą zasadą, wszystkie prawa przyrody są takie same we wszystkich inercjalnych

układach odniesienia. Nie istnieje żaden wyróżniony inercjalny układ odniesienia.
Wszystkich obserwatorów inercjalnych poruszający się względem siebie obowiązują te same
prawa fizyki, które są niezmienne przy zamianie współrzędnych czasoprzestrzennych jednego
układu odniesienia na współrzędne drugiego układu. Przy zmianie współrzędnych, aby prawa
fizyki pozostawały niezmienne, stosujemy transformację Lorentza.

Zasadę względności można sformułować w następujący sposób:

Równania wyrażające prawa przyrody są niezmiennicze względem przekształceń
współrzędnych i czasu, wynikających z przejścia z jednego inercjalnego układu
odniesienia do drugiego.

W ogólnej teorii względności Einstein rozszerzył zasadę względności na wszystkie

układy odniesienia, czyli nieinercjalne także.

Transformacja Lorentza i jej właściwości.

20 lat przed teorią Einsteina, Maxwell sformował prawa elektrodynamiki, jednakże

sprawiały one kłopot przy ich transformacji do układu poruszającego się. H.A. Lorentz
zaobserwował że, gdy dokonał w równaniach Maxwella poniższego podstawienia to postać
tych równań nie uległa zmianie.

2

2

1

'

c

v

vt

x

x

−

−

=

2

2

2

1

'

c

v

x

c

v

t

t

−

−

=

y

y

=

'

z

z

=

'

W równaniach tych x, y oraz z oznaczają współrzędne przestrzenne, natomiast t oznacza

współrzędną czasową, Wartości primowane oznaczają, że jesteśmy w nowym układzie
współrzędnych, v jest prędkością układu, do którego transformujemy, c jest prędkością
światła w próżni. Układy odniesienia – przed transformacją (nieruchomy) i po transformacji
(poruszający się z prędkością v) poruszają się względem siebie wzdłuż osi X.

Równania te znane są pod nazwą przekształcenia Lorentza.

Skrócenie (kontrakcja) długości.

Rozważmy pręt usytuowany wzdłuż osi

x'

i spoczywający w układzie

K'

. Długość pręta w

tym układzie odniesienia wynosi

l

0

= x

2

’– x

1

’

, gdzie

x

1

’

oraz

x

2

’

są stałymi w układzie

K'

współrzędnymi końców pręta. W układzie

K

pręt porusza się z prędkością

v

0

= v

. Aby

określić jego długość w tym układzie należy odłożyć współrzędne końców pręta

x

1

i

x

2

w tej

samej chwili

t

1

= t

2

= b

. Różnica

l = x

2

- x

1

jest długością pręta w układzie

K

. Do znalezienia

stosunku

lo

i

l

trzeba skorzystac z przekształceń Lorentza.

Więc:

2

2

1

1

1

'

c

v

vb

x

x

−

−

=

2

2

2

2

1

'

c

v

vb

x

x

−

−

=

Skąd mamy:

Przechodząc do oznaczeń

l, l

0

, otrzymujemy następujący wzór:

Długość

l

pręta, mierzona w układzie, względem którego pręt porusza się, jest mniejsza

od długości

l

0

mierzonej w układzie, w którym pręt spoczywa. Zauważmy, że w kierunkach Y

i Z rozmiary pręta są takie same we wszystkich układach odniesienia.

Widzimy, że poruszające się ciała skracają swe rozmiary w kierunku ruchu, przy czym skrócenie jest tym

większe, im większa jest prędkość tego ruchu. Zjawisko to nazywamy skróceniem Fitzgeralda-Lorentza.
Wizualnie (lub na fotografii) nie można stwierdzić zmiany kształtu ciał, nawet przy prędkościach
porównywalnych z c. Obserwując lub fotografując pewne ciało, rejestrujemy impulsy światła docierające do
siatkówki oka lub błony fotograficznej. Impulsy te pochodzą z różnych fragmentów ciała. Nie mogą one
pochodzić z tego samego momentu czasu emisji. Światło pochodzące od dalszych fragmentów ciała zostało
wysłane wcześniej. Zatem, jeśli ciało porusza się, to na siatkówce oka lub błonie fotograficznej otrzymuje się
zafałszowany obraz tego ciała. Wynikiem tego zafałszowania jest dokładna kompensacja skrócenia Fitzgeralda-
Lorentza; wydaje się, że ciało nie jest odkształcone, a jedynie obrócone. Występowanie skrócenia długości
sprawdzono na przykład na projekcie liniowego akceleratora elektronów uniwersytetu w Stanford. Na wyjściu
prędkość wynosi v

= 0,999975c i każdy metr długości rury akceleratora dla obserwatora poruszającego się z

elektronem wygląda jak 7,1 mm. Teoria względności stwierdza więc, że ruch wpływa na wyniki pomiaru.

2

2

1

2

1

2

1

'

'

c

v

x

x

x

x

−

−

=

−

2

0

)

/

(

1

c

v

l

l

−

=

Dylatacja czasu.

Niech obserwator pierwszy obserwuje dwa zdarzenia, które zachodzą w tym samym

miejscu w jego układzie odniesienia. Mogą to być dwa kolejne położenia wskazówki zegara
umieszczonego w ustalonym miejscu

x'

. Niech zmierzony przez obserwator pierwszego

odstęp czasu między tymi zdarzeniami wynosi

t'

. Obserwator drugi, względem którego zegar

się porusza, widzi te same dwa zdarzenia i na podstawie pomiaru otrzymuje inny odstęp
czasu dany wzorem (otrzymany analogicznie jak wzór na skrócenie długości, ale przy
wykorzystaniu transformacji Lorentza dla współrzędnych czasowych):

Fakt, że

t > t'

, nazywany jest dylatacją (wydłużeniem) czasu; często wyrażamy to

słowami: „poruszający się zegar chodzi wolniej”. Obserwator drugi rejestruje dłuższy
przedział czasu niż ten, który jest pokazywany przez poruszający się zegar. Można więc
powiedzieć, że poruszający się zegar chodzi wolniej od zegara spoczywającego (zakłada się,
że - oprócz prędkości - zegary te niczym, się od siebie nie różnią). Równanie zostało
sprawdzone doświadczalnie i przekonano się, że jest poprawne. Czas mierzony na zegarze
poruszającym się wraz z ciałem nazywamy czasem własnym tego ciała. Czas własny jest
zawsze mniejszy od czasu zmierzonego zegarem, który porusza się względem danego ciała.

Wzór został bezpośrednio potwierdzony eksperymentalnie. Średni czas życia

nieruchomych (lub poruszających się z małymi prędkościami) mionów wynosi 2 · 10

-6

s.

Wydawałoby się, że - poruszając się nawet z prędkością światła - miony mogłyby przebywać
drogę rzędu 600 m. Jednak z pomiarów wynika, że miony powstają w promieniowaniu
kosmicznym na wysokościach 20-30 km i w większości docierają do powierzchni Ziemi.
Wynika to stąd, że czas 2 · 10

-6

s jest własnym czasem życia mionu. Czas życia mierzony

przez zegary z układu laboratoryjnego jest znacznie większy. Nic więc dziwnego w tym, że
droga przebywana przez mion jest znacznie dłuższa od 600 m. Zauważmy, że z punktu
widzenia obserwatora związanego z mionem, przebyta droga do powierzchni Ziemi jest
skrócona do 600 m - mion zdąży ją przebyć w czasie 2 · 10

-6

s.

( )

2

/

1

'

c

v

t

t

−

∆

=

∆