CHARAKTERYSTYKI CZASOWE PODSTAWOWYCH CZŁONÓW
LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI

Przy analizie elementów układów automatyki spotyka si

ę elementy o różnej naturze fizycznej

(elementy elektryczne, mechaniczne, pneumatyczne, hydrauliczne, itp.), ale s

ą one opisane

takimi samymi typami równa

ń różniczkowych lub algebraicznych. Takie elementy nazywa

si

ę członami automatyki. Jeżeli opis matematyczny takiego członu jest na tyle prosty, że nie

mo

żna lub nie ma potrzeby przedstawiać go w postaci prostszej, to takie człony nazywamy

członami podstawowymi. Wprowadzenie członów podstawowych znacznie ułatwia analiz

ę

b

ądź syntezę układów automatyki, bez względu na ich naturę fizyczną. Opis matematyczny

takich członów sprowadza si

ę bowiem do kilku typów prostych równań (algorytmów

działania członów).

W dalszej kolejno

ści zostaną omówione poszczególne rodzaje podstawowych członów

automatyki z podaniem ich równa

ń czasowych, transmitancji, i charakterystyk czasowych w

odpowiedzi na skok jednostkowy (wymuszenie stałe u(t) =1(t)).

I. Człon proporcjonalny

Równanie dynamiki członu ma nast

ępującą postać:

)

(

)

(

t

ku

t

y

=

,

(I.1)

gdzie k jest współczynnikiem wzmocnienia (proporcjonalno

ś

ci).

Transmitancja operatorowa wyra

ż

a si

ę

zale

ż

no

ś

ci

ą

:

k

s

K

=

)

(

.

(I.2)

Równanie statyki (dla stanów ustalonych - wszystkie pochodne przyjmujemy jako zero) ma

posta

ć

:

kU

Y

=

(I.3)

Y

α

= arctgk

U

Rys. I.1. Charakterystyka statyczna członu proporcjonalnego

2

Odpowied

ź

skokowa dla wymuszenia

u(t) =

1

(t) wyra

ż

a si

ę

wzorem:

k

t

h

=

)

(

.

(I.4)

h(t)

k1(t)

k

t

Rys. I.2. Odpowied

ź skokowa członu proporcjonalnego

Przykłady członów proporcjonalnych to mi

ę

dzy innymi d

ź

wignia dwuramienna (rys. I.3).

F

1

F

2

l

1

l

2

Rys. I.3. Człon proporcjonalny – d

źwignia dwuramienna

Zale

ż

no

ść

pomi

ę

dzy siłami oddziałuj

ą

cymi na ko

ń

cach pr

ę

ta, wyznaczona z równania

momentów, ma posta

ć

:

1

2

1

2

F

l

l

F

=

,

(I.4)

gdzie l

1

, l

2

– ramiona d

ź

wigni.

Transmitancja operatorowa tego członu, okre

ś

lona jako stosunek transformaty siły F

2

do

transformaty siły F

1

:

k

s

K

=

)

(

,

(I.5)

gdzie

2

1

l

l

k

=

.

II. Człon inercyjny pierwszego rz

ędu

Równanie dynamiki członu inercyjnego pierwszego rz

ę

du:

ku

y

dt

dy

T

=

+

,

(II.1)

gdzie: k – współczynnik wzmocnienia,

T – stała czasowa.

Równanie dynamiki w postaci operatorowej ma posta

ć

:

)

(

)

1

)(

(

s

kU

Ts

s

Y

=

+

,

(II.2)

3

czyli

)

(

1

)

(

s

U

Ts

k

s

Y

+

=

.

(II.3)

Transmitancja operatorowa opisana jest wzorem:

K(s) =

1

+

Ts

k

.

(II.4)

Równanie statyki:

kU

Y

=

.

(II.5)

Charakterystyka statyczna jest analogiczna, jak dla członu proporcjonalnego (rys. I.1).

W celu uzyskania odpowiedzi skokowej wstawiamy do równania (II.4) zale

ż

no

ść

U(s)=1/s:

)

1

(

)

(

T

s

Ts

k

s

Y

+

=

.

(II.6)

Odpowied

ź

skokow

ą

członu inercyjnego pierwszego rz

ę

du otrzymujemy korzystaj

ą

c

z odwrotnego przekształcenia Laplace’a

=

)

(t

h

L

-1

)]

(

[

s

Y

:

)

1

(

)

(

T

t

e

k

t

h

−

−

=

.

(II.7)

Charakterystyk

ę

skokow

ą

członu inercyjnego pierwszego rz

ę

du pokazano na rys. 3.7.

h(t)

T

t

0

,6

3

k

k

Rys. II.1. Charakterystyka skokowa członu inercyjnego pierwszego rz

ędu

Wstawiaj

ą

c do równania (II.7)

t=T otrzymujemy:

k

y

T

632

,

0

=

.

(II.8)

Stała czasowa T okre

ś

la czas dochodzenia do nowego stanu ustalonego po zakłóceniu

spowodowanym sygnałem skokowym. W praktyce przyjmuje si

ę

,

ż

e nast

ę

puje to po około

pi

ę

ciu stałych czasowych T. Graficzny sposób wyznaczania warto

ś

ci stałej czasowej T,

polega na wykre

ś

leniu stycznej do krzywej, przechodz

ą

cej przez pocz

ą

tek układu i

odczytaniu odcinka, jaki ta styczna wyznacza na poziomie stanu ustalonego k

(rys. II.1).

4

Rys. II.2. Charakterystyka skokowa członu inercyjnego pierwszego rz

ędu (T=var)

Na rys. II.2 przedstawiono odpowiedzi na skok jednostkowy członu inercyjnego I-rz

ę

du dla

trzech ró

ż

nych stałych czasowych: T1=0,1; T2=1; T3=5.

Przykładem inercyjnego członu pierwszego rz

ę

du jest silnik obcowzbudny pr

ą

du stałego. Na

rys. II.3 przedstawiono uproszczony schemat silnika obcowzbudnego pr

ą

du stałego.

W układzie tym sterujemy pr

ę

dko

ś

ci

ą

k

ą

towa

w

(t) za pomoc

ą

napi

ę

cia twornika

U(t).

Zale

ż

no

ść

wi

ążą

c

ą

te wielko

ś

ci mo

ż

na wyznaczy

ć

korzystaj

ą

c z równa

ń

, opisuj

ą

cych obwód

elektryczny i mechaniczny maszyny.

U

w

=const

ω

U

i

e

R

J

φ

Rys. II.3. Człon inercyjny pierwszego rz

ędu - obcowzbudny silnik prądu stałego

5

U

e

R

i

Rys. II.4. Schemat obwodu elektrycznego twornika

Na rys. II.4 przedstawiono schemat obwodu elektrycznego twornika, uwzgl

ę

dniaj

ą

cy

oporno

ść

R twornika oraz sił

ę

elektromotoryczn

ą

indukcji e. Siła elektromotoryczna jest

równa:

ϕω

c

e

=

,

(II.9)

gdzie: c – stała konstrukcyjna maszyny,

φ

– strumie

ń

wzbudzenia,

ω

– pr

ę

dko

ść

obrotowa silnika.

Poniewa

ż

napi

ę

cie U

w

w obwodzie wzbudzenia jest stałe, stały jest tak

ż

e strumie

ń

wzbudzenia

φ

. Mo

ż

emy zatem napisa

ć

:

ω

e

k

e

=

,

(II.10)

gdzie k

e

– stała elektromechaniczna maszyny.

Stosuj

ą

c drugie prawo Kirchhoffa do obwodu twornika otrzymujemy równanie:

e

k

U

iR

e

=

=

−

ω

.

(II.11)

Równanie równowagi momentów na wale silnika ma posta

ć

:

o

e

M

M

dt

d

J

−

=

ω

,

(II.12)

gdzie: J – całkowity moment bezwładno

ś

ci,

M

e

– moment elektromagnetyczny silnika,

M

o

– moment obci

ąż

enia.

Zachodzi tak

ż

e zale

ż

no

ść

(II.13):

M

c

i

k i

e

m

m

=

=

φ

,

(II.13)

gdzie k

m

– stała mechaniczna.

Wobec tego podstawiaj

ą

c do równania (II.12) zale

ż

no

ś

ci (II.11) i (II.13), otrzymujemy

równanie dynamiki silnika:

o

m

e

e

e

m

M

k

k

R

U

k

dt

d

k

k

JR

−

=

+

1

ω

ω

(II.14)

6

oraz

o

o

u

M

k

U

k

dt

d

T

−

=

+ ω

ω

,

(II.15)

gdzie:

e

m

k

k

JR

T

=

- stała czasowa obiektu,

k

k

u

e

=

1

;

m

e

o

k

k

R

k

=

– wzmocnienia statyczne.

III. Człon oscylacyjny

Równanie dynamiki członu oscylacyjnego ma posta

ć

:

u

k

y

dt

dy

dt

y

d

n

n

n

2

2

2

2

2

ω

ω

ξω

=

+

+

,

(III.1)

gdzie: k – współczynnik wzmocnienia,

n

ω

– współczynnik drga

ń

nietłumionych (pulsacja drga

ń

nietłumionych),

ξ

– współczynnik tłumienia.

Posta

ć

operatorowa powy

ż

szych równa

ń

:

)

(

2

)

(

2

2

2

s

U

s

s

k

s

Y

n

n

n

ω

ξω

ω

+

+

=

.

(III.2)

Transmitancja operatorowa przedstawia si

ę

nast

ę

puj

ą

co:

2

2

2

2

)

(

n

n

n

s

s

k

s

K

ω

ξω

ω

+

+

=

.

(III.3)

Równanie w mianowniku transmitancji operatorowej (III.3) jest wielomianem drugiego rz

ędu

i w zale

żności od wyróżnika ∆ może mieć różne pierwiastki. Dla układu oscylacyjnego

zachodzi warunek

∆<0.

0

2

2

2

=

+

+

n

n

s

s

ω

ξω

,

(III.4)

)

1

(

4

4

4

2

2

2

2

2

−

=

−

=

∆

ξ

ω

ω

ω

ξ

n

n

n

.

(III.5)

Aby wyró

ż

nik powy

ż

szych równa

ń

był mniejszy od zera, współczynnik tłumienia musi

spełnia

ć

zale

ż

no

ść

0 <

ξ

< 1 (ograniczenie dolne zwi

ą

zane jest z warunkiem stabilno

ś

ci).

Wtedy, na przykład równanie (3.73), ma dwa pierwiastki sprz

ęż

one:

)

1

(

2

1

ξ

ξ

ω

−

−

−

=

j

s

n

,

(III.6)

)

1

(

2

2

ξ

ξ

ω

−

+

−

=

j

s

n

.

Posta

ć

transmitancji operatorowej (III.3) mo

ż

na przedstawi

ć

nast

ę

puj

ą

co:

7

))

1

(

))(

1

(

(

)

(

2

2

2

ξ

ξ

ω

ξ

ξ

ω

ω

−

+

+

−

−

+

=

j

s

j

s

k

s

K

n

n

n

.

(III.7)

Równanie statyki członu oscylacyjnego, tak jak dla wcze

ś

niej omawianych przypadków, ma

posta

ć

:

kU

Y

=

.

(III.8)

Charakterystyka statyczna jest analogiczna, jak dla układu proporcjonalnego ( rys. I.1).

W celu uzyskania odpowiedzi skokowej, nale

ż

y skorzysta

ć

z odwrotnego przekształcenia

Laplace’a, wyznaczaj

ą

c wyra

ż

enie:

L

-1

=

)]

(

[

s

Y

L

-1

]

1

2

[

2

2

2

s

s

s

k

n

n

n

ω

ξω

ω

+

+

.

(III.9)

Odpowied

ź

skokowa członu oscylacyjnego

=

)

(t

h

L

-1

)]

(

[

s

Y

ma posta

ć

:

)]

sin(

1

1

1

[

)

(

2

ϕ

ω

ξ

ξω

+

−

−

=

−

t

e

k

t

h

w

t

n

,

(III.10)

gdzie

ω

ω

ξ

w

n

=

−

1

2

pulsacja drga

ń

własnych.

Charakterystyk

ę

skokow

ą

członu oscylacyjnego przedstawiono na rys. III.1.

h(t)

t

n

e

ξω

−

k

T

t

t

a

b

Rys. III.1. Charakterystyka skokowa członu oscylacyjnego

Parametry k,

w

n

,

x

mo

ż

na wyznaczy

ć

korzystaj

ą

c z wła

ś

ciwo

ś

ci charakterystyki skokowej

członu oscylacyjnego (III.10).

Współczynnik wzmocnienia k mo

ż

na wyznaczy

ć

na podstawie charakterystyki skokowej dla

warto

ś

ci ustalonej

h(t)

, czyli:

k

t

h

t

=

∞

>

−

)

(

lim

.

(III.11)

8

Przyjmuj

ą

c za T

t

czas (rys. III.1) pomi

ę

dzy dwoma kolejnymi maksimami (T

t

=t

b

- t

a

) oraz

wyznaczaj

ą

c warto

ś

ci funkcji dla czasów t

a

oraz t

b

, otrzymujemy nast

ę

puj

ą

ce zale

ż

no

ś

ci:

)]

1

sin(

1

1

1

[

)

(

2

2

ϕ

ξ

ω

ξ

ξω

+

−

−

−

=

−

a

n

t

a

t

e

k

t

h

a

n

,

(III.12)

)]

1

sin(

1

1

1

[

)

(

2

2

ϕ

ξ

ω

ξ

ξω

+

−

−

−

=

−

b

n

t

b

t

e

k

t

h

b

n

,

(III.13)

t

n

a

b

n

b

n

a

n

T

t

t

t

t

b

a

e

e

e

e

b

a

k

t

h

k

t

h

ξω

ξω

ξω

ξω

=

=

=

=

−

−

−

−

−

)

(

)

(

)

(

.

(III.14)

Poniewa

ż

dla funkcji sinusoidalnej zachodzi zale

ż

no

ść

:

π

ξ

ω

ω

2

1

2

=

−

=

t

n

t

w

T

T

,

(III.15)

czyli

t

n

T

2

1

2

ξ

π

ω

−

=

.

(III.16)

Podstawiaj

ą

c zale

ż

no

ść

(III.16) do wyra

ż

enia (III.14) otrzymujemy:

2

1

2

)

ln(

ξ

π

ξ

ξω

−

=

=

t

n

T

b

a

,

(III.17)

st

ą

d

)

(

ln

4

)

ln(

2

2

b

a

b

a

+

=

π

ξ

.

(III.18)

Tak wi

ęc dokonując pomiarów a, b, T

t

na charakterystyce skokowej, otrzymanej np. na

drodze do

świadczalnej, można wyznaczyć parametry ξ i w

n

, czyli zidentyfikowa

ć parametry

modelu obiektu.

9

Rys. III.2. Charakterystyka skokowa członu oscylacyjnego (

ξ =var)

Na rys. III.2 przedstawiono odpowiedzi układu oscylacyjnego dla trzech ró

żnych wartości

parametru

ξ : ξ 1=0,125; ξ 2=0,5; ξ 3=0,85.

Rys. III.3. Charakterystyka skokowa członu oscylacyjnego (

n

ω =var)

Na rys. III.3 przedstawiono odpowiedzi układu oscylacyjnego dla trzech ró

żnych wartości

parametru

n

ω :

1

n

ω =2;

2

n

ω =4;

3

n

ω =8.

10

Przykładem

członu

oscylacyjnego

jest

układ

elektryczny

RLC

(rys.

III.3).

W układzie tym sygnałem wej

ściowym jest napięcie u

we

, natomiast sygnałem wyj

ściowym

napi

ęcie na kondensatorze u

wy

.

R

L

C

u

we

u

wy

Rys. III.4. Człon oscylacyjny – układ elektryczny RLC

Równanie ró

żniczkowe, opisujące układ, wyznaczamy z drugiego prawa Kirchhoffa,

uwzgl

ędniając zależność pomiędzy prądem i napięciem na kondensatorze:

we

wy

u

u

dt

di

L

Ri

=

+

+

,

(III.19)

dt

du

C

i

wy

=

,

(III.20)

zatem

we

wy

wy

wy

u

u

dt

du

RC

dt

u

d

LC

=

+

+

2

2

.

(III.21)

Transmitancja operatorowa układu ma posta

ć:

2

n

n

2

2

n

2

we

wy

s

2

s

)

LC

1

s

L

R

s

(

LC

1

U

U

)

s

(

K

ω

ξ

ω

ω

+

+

=

+

+

=

=

,

(III.22)

gdzie:

LC

1

n

=

ω

,

L

C

R

2

=

ξ

.

Rozpatrywany czwórnik RLC jest członem oscylacyjnym je

ż

eli

ξ

<1, czyli

C

L

R

2

<

.

IV. Człon całkuj

ący

Równanie dynamiki członu całkuj

ą

cego:

∫

=

t

d

u

k

t

y

0

)

(

)

(

τ

τ

.

(IV.1)

11

Zapisuj

ą

c powy

ż

sze równanie w postaci operatorowej:

)

(

)

(

s

U

s

k

s

Y

=

.

(IV.2)

Transmitancja operatorowa członu wynosi:

s

k

s

K

=

)

(

,

(IV.3)

a równanie statyki członu ma posta

ć

:

U = 0.

(IV.4)

Na podstawie wyra

ż

enia (

)

(

lim

s

sY

y

s

u

∞

>

−

=

) mo

ż

emy stwierdzi

ć

,

ż

e wzmocnienie członu

całkuj

ą

cego w stanie ustalonym przyjmuje (dla wymuszenia stałego) warto

ść

równ

ą

niesko

ń

czono

ś

ci:

∞

=

u

u

u

y

.

(IV.5)

Oznacza to,

ż

e dla zerowego sygnału wej

ś

ciowego sygnał na wyj

ś

ciu mo

ż

e przyjmowa

ć

dowoln

ą

stał

ą

warto

ść

.

Odpowied

ź

skokow

ą

członu całkuj

ą

cego wyznaczamy dokonuj

ą

c transformacji Laplace’a

równania (IV.1):

s

s

k

s

Y

1

)

(

=

,

(IV.6)

a nast

ę

pnie wyznaczaj

ą

c oryginał równania (IV.6):

kt

t

h

=

)

(

.

(IV.7)

Charakterystyka skokowa członu przedstawiona jest na rys. IV.1.

h(t)






kt

t

Rys. IV.1. Charakterystyka skokowa członu całkuj

ącego

Przykładem członu całkuj

ą

cego jest zbiornik z wod

ą

(rys. IV.1). Wysoko

ść

zbiornika h jest

wielko

ś

ci

ą

wyj

ś

ciow

ą

, natomiast przepływ Q wielko

ś

ci

ą

wej

ś

ciow

ą

.

12

Q

A

h

Rys. 4.2. Człon całkuj

ący - zbiornik z cieczą

Zakładaj

ą

c,

ż

e lustro wody ma pole powierzchni A, wysoko

ść

zbiornika mo

ż

na okre

ś

li

ć

z zale

ż

no

ś

ci:

∫

=

t

Qdt

A

h

0

1

.

(IV.8)

Transmitancja operatorowa układu ma posta

ć

:

s

k

As

s

Q

s

H

s

K

=

=

=

1

)

(

)

(

)

(

,

(IV.9)

gdzie

A

k

1

=

.

V. Człon ró

żniczkujący rzeczywisty

Równanie dynamiki rzeczywistego członu ró

ż

niczkuj

ą

cego ma posta

ć

:

dt

du

k

y

dt

dy

T

=

+

,

(V.1)

W postaci operatorowej:

)

(

)

(

)

1

(

s

ksU

s

Y

Ts

=

+

,

(V.2)

sk

ą

d otrzymujemy:

)

(

1

)

(

s

U

Ts

ks

s

Y

+

=

.

(V.3)

Transmitancja operatorowa rzeczywistego członu ró

ż

niczkuj

ą

cego:

1

)

(

+

=

Ts

ks

s

K

.

(V.4)

Równanie statyki członu ró

ż

niczkuj

ą

cego rzeczywistego:

0

=

Y

.

(V.5)

Charakterystyka statyczna jest analogiczna, jak dla idealnego członu ró

ż

niczkuj

ą

cego.

13

Odpowied

ź

skokow

ą

członu wyznaczamy przekształcaj

ą

c równanie (V.3):











 +

=

T

s

T

k

s

Y

1

1

)

(

(V.6)

i wyznaczaj

ą

c oryginał

=

)

(t

h

L

-1

)]

(

[

s

Y

:

T

t

e

T

k

t

h

−

=

)

(

.

(V.7)

Charakterystyk

ę

skokow

ą

rzeczywistego członu ró

ż

niczkuj

ą

cego przedstawiono na rys. V.1.

h(t)

k/T

t

0,

368k/

T

T

Rys. V.1. Charakterystyka skokowa rzeczywistego członu ró

żniczkującego

Rys. V.2. Charakterystyka skokowa członu ró

żniczkującego rzeczywistego (T=var)

Na rys. V.2 przedstawiono odpowiedzi układu ró

ż

niczkuj

ą

cego dla trzech ró

ż

nych stałych

czasowych: T1=0,1; T2=0,5; T3=1.

Przykładem rzeczywistego członu ró

ż

niczkuj

ą

cego jest czwórnik CR (rys. V.2), gdzie

wielko

ś

ci

ą

wyj

ś

ciow

ą

jest napi

ę

cie na rezystancji u

wy

, natomiast wielko

ś

ci

ą

wej

ś

ciow

ą

napi

ę

cie zasilania u

we

. Równania opisuj

ą

ce układ s

ą

nast

ę

puj

ą

ce:

14

.

,

1

R

u

i

u

idt

C

u

wy

wy

t

we

=

+

=

∫

(V.8)

Po prostych przekształceniach i zró

żniczkowaniu pierwszego równania otrzymujemy:

dt

du

CR

u

dt

du

CR

we

wy

wy

=

+

.

(V.9)

R

u

we

C

u

wy

i

Rys. V.3. Człon ró

żniczkujący rzeczywisty – czwórnik CR

Transmitancja operatorowa:

1

)

(

)

(

)

(

+

=

=

Ts

ks

s

U

s

U

s

K

we

wy

,

(V.10)

gdzie:

RC

k

=

,

RC

T

=

.