CHARAKTERYSTYKI CZASOWE PODSTAWOWYCH CZŁONÓW
LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI
Przy analizie elementów układów automatyki spotyka si
ę elementy o różnej naturze fizycznej
(elementy elektryczne, mechaniczne, pneumatyczne, hydrauliczne, itp.), ale s
ą one opisane
takimi samymi typami równa
ń różniczkowych lub algebraicznych. Takie elementy nazywa
si
ę członami automatyki. Jeżeli opis matematyczny takiego członu jest na tyle prosty, że nie
mo
żna lub nie ma potrzeby przedstawiać go w postaci prostszej, to takie człony nazywamy
członami podstawowymi. Wprowadzenie członów podstawowych znacznie ułatwia analiz
ę
b
ądź syntezę układów automatyki, bez względu na ich naturę fizyczną. Opis matematyczny
takich członów sprowadza si
ę bowiem do kilku typów prostych równań (algorytmów
działania członów).
W dalszej kolejno
ści zostaną omówione poszczególne rodzaje podstawowych członów
automatyki z podaniem ich równa
ń czasowych, transmitancji, i charakterystyk czasowych w
odpowiedzi na skok jednostkowy (wymuszenie stałe u(t) =1(t)).
I. Człon proporcjonalny
Równanie dynamiki członu ma nast
ępującą postać:
)
(
)
(
t
ku
t
y
=
,
(I.1)
gdzie k jest współczynnikiem wzmocnienia (proporcjonalno
ś
ci).
Transmitancja operatorowa wyra
ż
a si
ę
zale
ż
no
ś
ci
ą
:
k
s
K
=
)
(
.
(I.2)
Równanie statyki (dla stanów ustalonych - wszystkie pochodne przyjmujemy jako zero) ma
posta
ć
:
kU
Y
=
(I.3)
Y
α
= arctgk
U
Rys. I.1. Charakterystyka statyczna członu proporcjonalnego
2
Odpowied
ź
skokowa dla wymuszenia
u(t) =
1
(t) wyra
ż
a si
ę
wzorem:
k
t
h
=
)
(
.
(I.4)
h(t)
k1(t)
k
t
Rys. I.2. Odpowied
ź skokowa członu proporcjonalnego
Przykłady członów proporcjonalnych to mi
ę
dzy innymi d
ź
wignia dwuramienna (rys. I.3).
F
1
F
2
l
1
l
2
Rys. I.3. Człon proporcjonalny – d
źwignia dwuramienna
Zale
ż
no
ść
pomi
ę
dzy siłami oddziałuj
ą
cymi na ko
ń
cach pr
ę
ta, wyznaczona z równania
momentów, ma posta
ć
:
1
2
1
2
F
l
l
F
=
,
(I.4)
gdzie l
1
, l
2
– ramiona d
ź
wigni.
Transmitancja operatorowa tego członu, okre
ś
lona jako stosunek transformaty siły F
2
do
transformaty siły F
1
:
k
s
K
=
)
(
,
(I.5)
gdzie
2
1
l
l
k
=
.
II. Człon inercyjny pierwszego rz
ędu
Równanie dynamiki członu inercyjnego pierwszego rz
ę
du:
ku
y
dt
dy
T
=
+
,
(II.1)
gdzie: k – współczynnik wzmocnienia,
T – stała czasowa.
Równanie dynamiki w postaci operatorowej ma posta
ć
:
)
(
)
1
)(
(
s
kU
Ts
s
Y
=
+
,
(II.2)
3
czyli
)
(
1
)
(
s
U
Ts
k
s
Y
+
=
.
(II.3)
Transmitancja operatorowa opisana jest wzorem:
K(s) =
1
+
Ts
k
.
(II.4)
Równanie statyki:
kU
Y
=
.
(II.5)
Charakterystyka statyczna jest analogiczna, jak dla członu proporcjonalnego (rys. I.1).
W celu uzyskania odpowiedzi skokowej wstawiamy do równania (II.4) zale
ż
no
ść
U(s)=1/s:
)
1
(
)
(
T
s
Ts
k
s
Y
+
=
.
(II.6)
Odpowied
ź
skokow
ą
członu inercyjnego pierwszego rz
ę
du otrzymujemy korzystaj
ą
c
z odwrotnego przekształcenia Laplace’a
=
)
(t
h
L
-1
)]
(
[
s
Y
:
)
1
(
)
(
T
t
e
k
t
h
−
−
=
.
(II.7)
Charakterystyk
ę
skokow
ą
członu inercyjnego pierwszego rz
ę
du pokazano na rys. 3.7.
h(t)
T
t
0
,6
3
k
k
Rys. II.1. Charakterystyka skokowa członu inercyjnego pierwszego rz
ędu
Wstawiaj
ą
c do równania (II.7)
t=T otrzymujemy:
k
y
T
632
,
0
=
.
(II.8)
Stała czasowa T okre
ś
la czas dochodzenia do nowego stanu ustalonego po zakłóceniu
spowodowanym sygnałem skokowym. W praktyce przyjmuje si
ę
,
ż
e nast
ę
puje to po około
pi
ę
ciu stałych czasowych T. Graficzny sposób wyznaczania warto
ś
ci stałej czasowej T,
polega na wykre
ś
leniu stycznej do krzywej, przechodz
ą
cej przez pocz
ą
tek układu i
odczytaniu odcinka, jaki ta styczna wyznacza na poziomie stanu ustalonego k
(rys. II.1).
4
Rys. II.2. Charakterystyka skokowa członu inercyjnego pierwszego rz
ędu (T=var)
Na rys. II.2 przedstawiono odpowiedzi na skok jednostkowy członu inercyjnego I-rz
ę
du dla
trzech ró
ż
nych stałych czasowych: T1=0,1; T2=1; T3=5.
Przykładem inercyjnego członu pierwszego rz
ę
du jest silnik obcowzbudny pr
ą
du stałego. Na
rys. II.3 przedstawiono uproszczony schemat silnika obcowzbudnego pr
ą
du stałego.
W układzie tym sterujemy pr
ę
dko
ś
ci
ą
k
ą
towa
w
(t) za pomoc
ą
napi
ę
cia twornika
U(t).
Zale
ż
no
ść
wi
ążą
c
ą
te wielko
ś
ci mo
ż
na wyznaczy
ć
korzystaj
ą
c z równa
ń
, opisuj
ą
cych obwód
elektryczny i mechaniczny maszyny.
U
w
=const
ω
U
i
e
R
J
φ
Rys. II.3. Człon inercyjny pierwszego rz
ędu - obcowzbudny silnik prądu stałego
5
U
e
R
i
Rys. II.4. Schemat obwodu elektrycznego twornika
Na rys. II.4 przedstawiono schemat obwodu elektrycznego twornika, uwzgl
ę
dniaj
ą
cy
oporno
ść
R twornika oraz sił
ę
elektromotoryczn
ą
indukcji e. Siła elektromotoryczna jest
równa:
ϕω
c
e
=
,
(II.9)
gdzie: c – stała konstrukcyjna maszyny,
φ
– strumie
ń
wzbudzenia,
ω
– pr
ę
dko
ść
obrotowa silnika.
Poniewa
ż
napi
ę
cie U
w
w obwodzie wzbudzenia jest stałe, stały jest tak
ż
e strumie
ń
wzbudzenia
φ
. Mo
ż
emy zatem napisa
ć
:
ω
e
k
e
=
,
(II.10)
gdzie k
e
– stała elektromechaniczna maszyny.
Stosuj
ą
c drugie prawo Kirchhoffa do obwodu twornika otrzymujemy równanie:
e
k
U
iR
e
=
=
−
ω
.
(II.11)
Równanie równowagi momentów na wale silnika ma posta
ć
:
o
e
M
M
dt
d
J
−
=
ω
,
(II.12)
gdzie: J – całkowity moment bezwładno
ś
ci,
M
e
– moment elektromagnetyczny silnika,
M
o
– moment obci
ąż
enia.
Zachodzi tak
ż
e zale
ż
no
ść
(II.13):
M
c
i
k i
e
m
m
=
=
φ
,
(II.13)
gdzie k
m
– stała mechaniczna.
Wobec tego podstawiaj
ą
c do równania (II.12) zale
ż
no
ś
ci (II.11) i (II.13), otrzymujemy
równanie dynamiki silnika:
o
m
e
e
e
m
M
k
k
R
U
k
dt
d
k
k
JR
−
=
+
1
ω
ω
(II.14)
6
oraz
o
o
u
M
k
U
k
dt
d
T
−
=
+ ω
ω
,
(II.15)
gdzie:
e
m
k
k
JR
T
=
- stała czasowa obiektu,
k
k
u
e
=
1
;
m
e
o
k
k
R
k
=
– wzmocnienia statyczne.
III. Człon oscylacyjny
Równanie dynamiki członu oscylacyjnego ma posta
ć
:
u
k
y
dt
dy
dt
y
d
n
n
n
2
2
2
2
2
ω
ω
ξω
=
+
+
,
(III.1)
gdzie: k – współczynnik wzmocnienia,
n
ω
– współczynnik drga
ń
nietłumionych (pulsacja drga
ń
nietłumionych),
ξ
– współczynnik tłumienia.
Posta
ć
operatorowa powy
ż
szych równa
ń
:
)
(
2
)
(
2
2
2
s
U
s
s
k
s
Y
n
n
n
ω
ξω
ω
+
+
=
.
(III.2)
Transmitancja operatorowa przedstawia si
ę
nast
ę
puj
ą
co:
2
2
2
2
)
(
n
n
n
s
s
k
s
K
ω
ξω
ω
+
+
=
.
(III.3)
Równanie w mianowniku transmitancji operatorowej (III.3) jest wielomianem drugiego rz
ędu
i w zale
żności od wyróżnika ∆ może mieć różne pierwiastki. Dla układu oscylacyjnego
zachodzi warunek
∆<0.
0
2
2
2
=
+
+
n
n
s
s
ω
ξω
,
(III.4)
)
1
(
4
4
4
2
2
2
2
2
−
=
−
=
∆
ξ
ω
ω
ω
ξ
n
n
n
.
(III.5)
Aby wyró
ż
nik powy
ż
szych równa
ń
był mniejszy od zera, współczynnik tłumienia musi
spełnia
ć
zale
ż
no
ść
0 <
ξ
< 1 (ograniczenie dolne zwi
ą
zane jest z warunkiem stabilno
ś
ci).
Wtedy, na przykład równanie (3.73), ma dwa pierwiastki sprz
ęż
one:
)
1
(
2
1
ξ
ξ
ω
−
−
−
=
j
s
n
,
(III.6)
)
1
(
2
2
ξ
ξ
ω
−
+
−
=
j
s
n
.
Posta
ć
transmitancji operatorowej (III.3) mo
ż
na przedstawi
ć
nast
ę
puj
ą
co:
7
))
1
(
))(
1
(
(
)
(
2
2
2
ξ
ξ
ω
ξ
ξ
ω
ω
−
+
+
−
−
+
=
j
s
j
s
k
s
K
n
n
n
.
(III.7)
Równanie statyki członu oscylacyjnego, tak jak dla wcze
ś
niej omawianych przypadków, ma
posta
ć
:
kU
Y
=
.
(III.8)
Charakterystyka statyczna jest analogiczna, jak dla układu proporcjonalnego ( rys. I.1).
W celu uzyskania odpowiedzi skokowej, nale
ż
y skorzysta
ć
z odwrotnego przekształcenia
Laplace’a, wyznaczaj
ą
c wyra
ż
enie:
L
-1
=
)]
(
[
s
Y
L
-1
]
1
2
[
2
2
2
s
s
s
k
n
n
n
ω
ξω
ω
+
+
.
(III.9)
Odpowied
ź
skokowa członu oscylacyjnego
=
)
(t
h
L
-1
)]
(
[
s
Y
ma posta
ć
:
)]
sin(
1
1
1
[
)
(
2
ϕ
ω
ξ
ξω
+
−
−
=
−
t
e
k
t
h
w
t
n
,
(III.10)
gdzie
ω
ω
ξ
w
n
=
−
1
2
pulsacja drga
ń
własnych.
Charakterystyk
ę
skokow
ą
członu oscylacyjnego przedstawiono na rys. III.1.
h(t)
t
n
e
ξω
−
k
T
t
t
a
b
Rys. III.1. Charakterystyka skokowa członu oscylacyjnego
Parametry k,
w
n
,
x
mo
ż
na wyznaczy
ć
korzystaj
ą
c z wła
ś
ciwo
ś
ci charakterystyki skokowej
członu oscylacyjnego (III.10).
Współczynnik wzmocnienia k mo
ż
na wyznaczy
ć
na podstawie charakterystyki skokowej dla
warto
ś
ci ustalonej
h(t)
, czyli:
k
t
h
t
=
∞
>
−
)
(
lim
.
(III.11)
8
Przyjmuj
ą
c za T
t
czas (rys. III.1) pomi
ę
dzy dwoma kolejnymi maksimami (T
t
=t
b
- t
a
) oraz
wyznaczaj
ą
c warto
ś
ci funkcji dla czasów t
a
oraz t
b
, otrzymujemy nast
ę
puj
ą
ce zale
ż
no
ś
ci:
)]
1
sin(
1
1
1
[
)
(
2
2
ϕ
ξ
ω
ξ
ξω
+
−
−
−
=
−
a
n
t
a
t
e
k
t
h
a
n
,
(III.12)
)]
1
sin(
1
1
1
[
)
(
2
2
ϕ
ξ
ω
ξ
ξω
+
−
−
−
=
−
b
n
t
b
t
e
k
t
h
b
n
,
(III.13)
t
n
a
b
n
b
n
a
n
T
t
t
t
t
b
a
e
e
e
e
b
a
k
t
h
k
t
h
ξω
ξω
ξω
ξω
=
=
=
=
−
−
−
−
−
)
(
)
(
)
(
.
(III.14)
Poniewa
ż
dla funkcji sinusoidalnej zachodzi zale
ż
no
ść
:
π
ξ
ω
ω
2
1
2
=
−
=
t
n
t
w
T
T
,
(III.15)
czyli
t
n
T
2
1
2
ξ
π
ω
−
=
.
(III.16)
Podstawiaj
ą
c zale
ż
no
ść
(III.16) do wyra
ż
enia (III.14) otrzymujemy:
2
1
2
)
ln(
ξ
π
ξ
ξω
−
=
=
t
n
T
b
a
,
(III.17)
st
ą
d
)
(
ln
4
)
ln(
2
2
b
a
b
a
+
=
π
ξ
.
(III.18)
Tak wi
ęc dokonując pomiarów a, b, T
t
na charakterystyce skokowej, otrzymanej np. na
drodze do
świadczalnej, można wyznaczyć parametry ξ i w
n
, czyli zidentyfikowa
ć parametry
modelu obiektu.
9
Rys. III.2. Charakterystyka skokowa członu oscylacyjnego (
ξ =var)
Na rys. III.2 przedstawiono odpowiedzi układu oscylacyjnego dla trzech ró
żnych wartości
parametru
ξ : ξ 1=0,125; ξ 2=0,5; ξ 3=0,85.
Rys. III.3. Charakterystyka skokowa członu oscylacyjnego (
n
ω =var)
Na rys. III.3 przedstawiono odpowiedzi układu oscylacyjnego dla trzech ró
żnych wartości
parametru
n
ω :
1
n
ω =2;
2
n
ω =4;
3
n
ω =8.
10
Przykładem
członu
oscylacyjnego
jest
układ
elektryczny
RLC
(rys.
III.3).
W układzie tym sygnałem wej
ściowym jest napięcie u
we
, natomiast sygnałem wyj
ściowym
napi
ęcie na kondensatorze u
wy
.
R
L
C
u
we
u
wy
Rys. III.4. Człon oscylacyjny – układ elektryczny RLC
Równanie ró
żniczkowe, opisujące układ, wyznaczamy z drugiego prawa Kirchhoffa,
uwzgl
ędniając zależność pomiędzy prądem i napięciem na kondensatorze:
we
wy
u
u
dt
di
L
Ri
=
+
+
,
(III.19)
dt
du
C
i
wy
=
,
(III.20)
zatem
we
wy
wy
wy
u
u
dt
du
RC
dt
u
d
LC
=
+
+
2
2
.
(III.21)
Transmitancja operatorowa układu ma posta
ć:
2
n
n
2
2
n
2
we
wy
s
2
s
)
LC
1
s
L
R
s
(
LC
1
U
U
)
s
(
K
ω
ξ
ω
ω
+
+
=
+
+
=
=
,
(III.22)
gdzie:
LC
1
n
=
ω
,
L
C
R
2
=
ξ
.
Rozpatrywany czwórnik RLC jest członem oscylacyjnym je
ż
eli
ξ
<1, czyli
C
L
R
2
<
.
IV. Człon całkuj
ący
Równanie dynamiki członu całkuj
ą
cego:
∫
=
t
d
u
k
t
y
0
)
(
)
(
τ
τ
.
(IV.1)
11
Zapisuj
ą
c powy
ż
sze równanie w postaci operatorowej:
)
(
)
(
s
U
s
k
s
Y
=
.
(IV.2)
Transmitancja operatorowa członu wynosi:
s
k
s
K
=
)
(
,
(IV.3)
a równanie statyki członu ma posta
ć
:
U = 0.
(IV.4)
Na podstawie wyra
ż
enia (
)
(
lim
s
sY
y
s
u
∞
>
−
=
) mo
ż
emy stwierdzi
ć
,
ż
e wzmocnienie członu
całkuj
ą
cego w stanie ustalonym przyjmuje (dla wymuszenia stałego) warto
ść
równ
ą
niesko
ń
czono
ś
ci:
∞
=
u
u
u
y
.
(IV.5)
Oznacza to,
ż
e dla zerowego sygnału wej
ś
ciowego sygnał na wyj
ś
ciu mo
ż
e przyjmowa
ć
dowoln
ą
stał
ą
warto
ść
.
Odpowied
ź
skokow
ą
członu całkuj
ą
cego wyznaczamy dokonuj
ą
c transformacji Laplace’a
równania (IV.1):
s
s
k
s
Y
1
)
(
=
,
(IV.6)
a nast
ę
pnie wyznaczaj
ą
c oryginał równania (IV.6):
kt
t
h
=
)
(
.
(IV.7)
Charakterystyka skokowa członu przedstawiona jest na rys. IV.1.
h(t)
kt
t
Rys. IV.1. Charakterystyka skokowa członu całkuj
ącego
Przykładem członu całkuj
ą
cego jest zbiornik z wod
ą
(rys. IV.1). Wysoko
ść
zbiornika h jest
wielko
ś
ci
ą
wyj
ś
ciow
ą
, natomiast przepływ Q wielko
ś
ci
ą
wej
ś
ciow
ą
.
12
Q
A
h
Rys. 4.2. Człon całkuj
ący - zbiornik z cieczą
Zakładaj
ą
c,
ż
e lustro wody ma pole powierzchni A, wysoko
ść
zbiornika mo
ż
na okre
ś
li
ć
z zale
ż
no
ś
ci:
∫
=
t
Qdt
A
h
0
1
.
(IV.8)
Transmitancja operatorowa układu ma posta
ć
:
s
k
As
s
Q
s
H
s
K
=
=
=
1
)
(
)
(
)
(
,
(IV.9)
gdzie
A
k
1
=
.
V. Człon ró
żniczkujący rzeczywisty
Równanie dynamiki rzeczywistego członu ró
ż
niczkuj
ą
cego ma posta
ć
:
dt
du
k
y
dt
dy
T
=
+
,
(V.1)
W postaci operatorowej:
)
(
)
(
)
1
(
s
ksU
s
Y
Ts
=
+
,
(V.2)
sk
ą
d otrzymujemy:
)
(
1
)
(
s
U
Ts
ks
s
Y
+
=
.
(V.3)
Transmitancja operatorowa rzeczywistego członu ró
ż
niczkuj
ą
cego:
1
)
(
+
=
Ts
ks
s
K
.
(V.4)
Równanie statyki członu ró
ż
niczkuj
ą
cego rzeczywistego:
0
=
Y
.
(V.5)
Charakterystyka statyczna jest analogiczna, jak dla idealnego członu ró
ż
niczkuj
ą
cego.
13
Odpowied
ź
skokow
ą
członu wyznaczamy przekształcaj
ą
c równanie (V.3):
+
=
T
s
T
k
s
Y
1
1
)
(
(V.6)
i wyznaczaj
ą
c oryginał
=
)
(t
h
L
-1
)]
(
[
s
Y
:
T
t
e
T
k
t
h
−
=
)
(
.
(V.7)
Charakterystyk
ę
skokow
ą
rzeczywistego członu ró
ż
niczkuj
ą
cego przedstawiono na rys. V.1.
h(t)
k/T
t
0,
368k/
T
T
Rys. V.1. Charakterystyka skokowa rzeczywistego członu ró
żniczkującego
Rys. V.2. Charakterystyka skokowa członu ró
żniczkującego rzeczywistego (T=var)
Na rys. V.2 przedstawiono odpowiedzi układu ró
ż
niczkuj
ą
cego dla trzech ró
ż
nych stałych
czasowych: T1=0,1; T2=0,5; T3=1.
Przykładem rzeczywistego członu ró
ż
niczkuj
ą
cego jest czwórnik CR (rys. V.2), gdzie
wielko
ś
ci
ą
wyj
ś
ciow
ą
jest napi
ę
cie na rezystancji u
wy
, natomiast wielko
ś
ci
ą
wej
ś
ciow
ą
napi
ę
cie zasilania u
we
. Równania opisuj
ą
ce układ s
ą
nast
ę
puj
ą
ce:
14
.
,
1
R
u
i
u
idt
C
u
wy
wy
t
we
=
+
=
∫
(V.8)
Po prostych przekształceniach i zró
żniczkowaniu pierwszego równania otrzymujemy:
dt
du
CR
u
dt
du
CR
we
wy
wy
=
+
.
(V.9)
R
u
we
C
u
wy
i
Rys. V.3. Człon ró
żniczkujący rzeczywisty – czwórnik CR
Transmitancja operatorowa:
1
)
(
)
(
)
(
+
=
=
Ts
ks
s
U
s
U
s
K
we
wy
,
(V.10)
gdzie:
RC
k
=
,
RC
T
=
.