Podstawowe elementy dynamiczne – charakterystyki czasowe.

=DNáDG7HRULL6WHURZDQLD(±

1

P

P

o

o

l

l

i

i

t

t

e

e

c

c

h

h

n

n

i

i

k

k

a

a

K

K

r

r

a

a

k

k

o

o

w

w

s

s

k

k

a

a

:\G]LDá,Q*\QLHULL(OHNWU\F]QHML.RPSXWHUowej

=DNáDG7HRULL6WHURZDQLD

Podstawowe obiekty dynamiczne –

charakterystyki czasowe.

Kraków, 2002

Podstawowe elementy dynamiczne – charakterystyki czasowe.

=DNáDG7HRULL6WHURZDQLD(±

2

1.

Terminy i podstawowe obiekty dynamiczne.

'RDQDOL]\LV\QWH]\XNáDGyZVWHURZDQLDNRQLHF]QDMHVW]QDMRPRüPRGHOLPDWHPDW\Fz-

Q\FK RELHNWyZ G\QDPLF]Q\FK ZFKRG]F\FK Z VNáDG GDQ\FK XNáDGyZ 0RGHO PDWHPDW\F]Q\

PR*QDRWU]\PDüQDGURG]HREUyENLLQIRUPDFML]GRE\WHMZWUDNFLHGRZLDGF]HQDRELHNFLH0o-

GHORELHNWXMHVWW\POHSV]\LPGRNáDGQLHMRG]ZLHUFLHGODSURFHV\]DFKRG]FHZRELHNFLHZVHn-

VLHMDNRFLRZ\PLLORFLRZ\P:RSLVLHEUDQHVSRGXZDJ RELHNW\NWyUHPR*QDRSLVDü]D

SRPRFOLQLRZ\FKUyZQDUy*QLF]NRZ\FK]Z\F]DMQ\FKRVWDá\FKZVSyáF]\QQLNDFK

( )

( )

( )

( )

( )

( )



E

G

G

E

G

G

E

D

G

G

D

G

G

D













t

x

t

t

x

t

t

x

t

y

t

t

y

t

t

y

+

+

+

=

+

+

+





(1)

przy czym x(t

MHVWZHMFLHPQDRELHNWDy(tMHVWZ\MFLHPRELHNWXQDWRPLDVWQ

≥

m.

Jest to model stacjonarny (parametry a

n

, a

n-1

, ..., a

0

i b

m

, b

m-1

, ..., b

0

QLH]PLHQLDMVZRLFK

ZDUWRFLZF]DVLHRUD]OLQLRZ\QLHZ\VW SXMIXQNFMHQSSLHUZLDVWNRZHOXENZDGUDWRZH

:RSLVLHE GEUDQHSRGXZDJ W\ONRRELHNW\RMHGQ\PZHMFLXLMHGQ\PZ\MFLXWDNMDN

WR]RVWDáRSU]HGVWDZLRQHQDU\VXQNXSRQL*HM

Rys. 1

2ELHNWRMHGQ\PZHMFLXLMHGQ\PZ\MFLX

Transmitancja operatorowa jest stosunkiem transformaty

/DSODFH¶DV\JQDáXZ\MFLRZHJR

do transformaty

/DSODFH¶DV\JQDáXZHMFLRZHJRSU]\]HURZ\FKZDUXQNDFKSRF]WNRZ\FK

( )

( )

( )

( )

{ }

( )

{ }

(

)

(

)



D

D

D

E

E

E









+

+

+

+

+

+

=

=

=

s

s

s

s

t

x

L

t

y

L

s

X

s

Y

s

G





(2)

przy czym L{

⋅

`R]QDF]DWUDQVIRUPDW Laplace’a, y(tMHVWV\JQDáHPZ\MFLRZ\PRELHNWXZG]Le-

dzinie czasu t, natomiast x(t

MHVWV\JQDáHPZHMFLRZ\PRELHNWXZG]LHG]LQLHF]DVXt. X(s) i Y(s)

R]QDF]DMV\JQDá\ZHMFLDLZ\MFLDDOHSRGGDQHMX*WUDQVIRUPDFLHLaplace’a.

'REDGDQLDRELHNWyZE G]LHX*\ZDQ\V\JQDáVNRNXMHGQRVWNRZHJR1(t), który jest zdefi-

niowany w sposób

( ) ( )







<

≥

=

=



GOD

GOD





0

0

0

1

1

t

t

t

t

u

(3)

1.1.

Obiekt proporcjonalny

2ELHNWSURSRUFMRQDOQ\RSLVDQ\MHVWUyZQDQLHPUy*QLF]NRZ\P

( )

( )



N t

x

t

y

=

(4)

przy czym y(t

MHVWZ\MFLHP]RELHNWXDx(tZHMFLHPQDRELHNWZG]LHG]LQLHF]DVX3DUDPHWUN

jest wzmocnieniem obiektu proporcjonalnego.

7UDQVPLWDQFMDRELHNWXSURSRUFMRQDOQHJRPDSRVWDü

( )



N

=

s

G

(5)

2GSRZLHG(QDVNRNMHGQRVWNRZ\PR*QD]DSLVDüMDNR

( )

( )





N t

t

y

⋅

=

(6)

5\VXQHN]DPLHV]F]RQ\SRQL*HM]DZLHUDZ\NUHV\VNRNXMHGQRVWNRZHJR1(t), który jest po-

GDZDQ\QDZHMFLHRELHNWXRUD]RGSRZLHG]LRELHNWXSURSRUFMRQDOQHJRQDWHJRW\SXZ\PXV]enie.

Podstawowe elementy dynamiczne – charakterystyki czasowe.

=DNáDG7HRULL6WHURZDQLD(±

3





























































 































!



"





#

$

%

&

'

( )

*

+

,

-

.

,

.

-

/0

.

1



2

1

3

4

*

.

*

0

)

5

1

.



+

*

.

6

3

&

5

,

.

6

()

5

7

.

'

( )

* +

8

9

:

;



Rys. 2

2GSRZLHG(RELHNWXSURSRUFMRQDOQHJRQDVNRNMHGQRVWNRZ\1(t).

1.2.

2ELHNWLQHUF\MQ\,U] GX

2ELHNWLQHUF\MQ\RSLVDQ\MHVWUyZQDQLHPUy*QLF]NRZ\P

( ) ( )

( )

,

k

T

t

x

t

y

t

y

=

+



(7)

SU]\F]\P7WRVWDáDF]DVRZDQDWRPLDVWNWRZ]PRFQLHQLHRELHNWX

7UDQVPLWDQFM RELHNWXLQHUF\MQHJRPR*QD]DSLVDüMDNR

( )

,

1

T

k

+

=

s

s

G

(8)

QDWRPLDVWZ]yURGSRZLHG]LQDVNRNMHGQRVWNRZ\PDSRVWDü

( )



H



N

<















−

=

−

t

t

y

(9)

Teraz zostanie przedstawiony sposób obliczania odpowiedzi obiektu na skok jednostkowy. Ze

Z]RUXZ\QLND*H

( ) ( ) ( )



s

X

s

G

s

Y

=

(10)

-H*HOLQDZHMFLHSRGDZDQ\MHVWVNRNMHGQRVWNRZ\1(tWRNRU]\VWDMF]WDEOLFWUDQVIRUPDWLa-

SODFH¶DPR*QD]DSLVDü*H

( )

.

1

s

s

X

=

(11)

:VWDZLDMFZ]RU\LGRZ]RUXPR*QDRWU]\PDüUyZQRü

( ) ( )



7



N

N



7

N7

N



7

N

+

−

=

+

−

=

+

=

s

s

s

s

s

s

s

Y

1

(12)

6WRVXMFRGZURWQWUDQVIRUPDW /DSODFH¶DF]\OLSU]HFKRG]F]G]LHG]LQ\RSHUDWRUDs do dzie-
dziny czasu t

RWU]\PXMHVL Z]yU

5\VSU]HGVWDZLDRGSRZLHG(RELHNWXLQHUF\MQHJR,U] GXQDVNRNMHGQRVWNRZ\1(t). Wy-

NUHVRGSRZLHG]LGRFKRG]LGRZDUWRFLXVWDORQHMSU]\F]\PSU]\MPXMHVL *HSU]HELHJRGSRZLe-
dzi na skok jednostkowy 1(t

XVWDOLáVL JG\Uy*QLFDPL G]\ZDUWRFLFKZLORZDXVWDORQPLe-

FLVL ZJUDQLFDFK

÷

=QDMFZDUWRüXVWDORQRUD]ZDUWRüVNRNXMHGQRVWNRZHJRPR*QD

wyli

F]\üZ]PRFQLHQLHRELHNWXNRU]\VWDMF]HZ]RUX

( ) ( ) ( ) ( )

t

y

x

y

1

k

∞

=

∞

∞

=

.

Podstawowe elementy dynamiczne – charakterystyki czasowe.

=DNáDG7HRULL6WHURZDQLD(±

4





























































 































!



"





#

$

%

&

'

( )

*

+

( ,

)

-

.

/ 0

,

/

1

-

2

3

4

5

*

6

*

0

)

3

,

6



+

*

6

7

/

&

3

8

6

7

()

3

9

6

'

( )

*

+

4

:

;

<

=



>

<

= 

Rys. 3

2GSRZLHG(RELHNWXLQHUF\MQHJR,U] GXQDVNRNMHGQRVWNRZ\1(t).

6WDáDF]DVRZDMHVWWRF]DVSRNWyU\PSURFHVRVLJQáE\ZDUWRüXVWDORQJG\E\RGSo-

ZLHG(QDUDVWDáD]HVWDáLPDNV\PDOQSU GNRFLUyZQSU GNRFLSRF]WNRZHM6WDáF]DVRZ

PR*QDRGF]\WDü]Z\NUHVXQDGZDVSosoby:
1.

3U]H] QDU\VRZDQLH VW\F]QHM Z SXQNFLH SRF]WNRZ\P SU]HELHJX RGSRZLHG]L QD VNRN MHd-

QRVWNRZ\3XQNWSU]HFL FLDVW\F]QHM]OLQLR]QDF]DMFZDUWRüXVWDORQZ\]QDF]DVWDáF]DVo-

Z77HQVSRVyE]RVWDáSU]HGVWDZLRQ\QDU\V
2.

3U]H]]QDOH]LHQLHSXQNWXZNWyU\PRGSRZLHG(RELHNWXLQHUF\MQHJR,U] GXRVLJQLHZDr-

WRüZDUWRFLXVWDORQHM3U]\MPXMFt 7ZZ]RU]HRWU]\PXMHVL *H

( )

(

)

?

H



N

7

−

−

=

y

z czego wynika y(T) = 0,632k.

1.3.

2ELHNWUy*QLF]NXMF\LGHDOQ\

2ELHNWUy*QLF]NXMF\LGHDOQ\RSLVDQ\MHVWUyZQDQLHPUy*QLF]NRZ\P

( )

( )



G

G

t

t

x

t

y

=

(13)

7UDQVPLWDQFM RELHNWXUy*QLF]NXMFHJRLGHDOQHJRPR*QD]DSLVDüMDNR

( )

.

s

s

G

=

(14)





























































 































!



"





#

$

%

&

'

( )

*

+

-

@

A

,

(.

*

40

B

.

/

(3

)



C ,

/

5

*

6

*

0

)

3

,

6



+

*

6

7

/

&

3

8

6

7

()

3

9

6

'

( )

* +

4

Rys. 4

2GSRZLHG(RELHNWXUy*QLF]NXMFHJRLGHDOQHJRQDVNRNMHGQRVWNRZ\1(t).

Podstawowe elementy dynamiczne – charakterystyki czasowe.

=DNáDG7HRULL6WHURZDQLD(±

5

2GSRZLHG]LRELHNWXUy*QLF]NXMFHJRLGHDOQHJRQDVNRNMHGQRVWNRZ\1(t) jest impuls jednost-
kowy

δ

(t)

( ) ( )



t

t

y

δ

=

(15)

NWyU\SRVLDGDGZLHZáDVQRFL

( )







>

=

∞

=

δ

,

0

dla

0

0

dla

df

t

t

t

(16)

oraz

( )

.

1

d

=

δ

∫

+∞

∞

−

t

t

(17)

1.4.

2ELHNWUy*QLF]NXMF\]LQHUFM,U] GX

2ELHNWUy*QLF]NXMF\]LQHUFM,U] GXRSLVDQ\MHVWUyZQDQLHPUy*QLF]NRZ\P

( ) ( )

( )



N

7

t

x

t

y

t

y





=

+

(18)

SU]\F]\PNMHVWZVSyáF]\QQLNLHPZ]PRFQLHQLDD7VWDáF]DVRZ

7UDQVPLWDQFM RELHNWXUy*QLF]NXMFHJR]LQHUFM,U] GXPR*QD]DSLVDüMDNR

( )



7

N

1

+

=

s

s

s

G

(19)

2GSRZLHG(RELHNWXUy*QLF]NXMFHJR]LQHUFM,U] GXQDVNRNMHGQRVWNRZ\1(tPDSRVWDü

( )



H

7

N

t

t

y

−

=

(20)

3RQL*HM]RVWDQLHSU]HGVWDZLRQ\ VSRVyE REOLF]DQLD RGSRZLHG]L QD VNRN MHGQRVWNRZ\ 1(t)

GOD RELHNWX Uy*QLF]NXMFHJR ] LQHUFM , U] GX : SU]\SDGNX WHJR W\SX V\JQDáX ZHMFLRZHJR
transformata X(s

PDSRVWDüSU]HGVWDZLRQZHZ]RU]H3RGVWDZLDMFZ]RU\QDWUDQVPLWDn-

FM GODRELHNWXUy*QLF]NXMFHJR]LQHUFM,U] GXRUD]GODVNRNXMHGQRVWNRZHJRZ\j-

FLHZG]LHG]LQLHRSHUDWRUDsSU]\MPXMHSRVWDü

( )



7

N

7

N

1

1

1

+

=

+

=

s

s

s

s

s

Y

(21)

.RU]\VWDMFWHUD]]WUDQVIRUPDW\RGZURWQHM/DSODFH¶DPR*QD]DSLVDüZ]yUNWyU\MHVWRd-
powie

G]LZG]LHG]LQLHF]DVXQDVNRNMHGQRVWNRZ\1(t).







































































 



















!









"



#





$

%

&

'

(

) *

+

,

-

.

/

0

)

1



+

23

4

1

5



) 0

*

-

1

3

4

6

-

 7

8

2

9

+

:

+

3

*

8

0

:



,

+

:

;

5

'

8

<

:

;

)*

8

=

:

(

) *

+ ,

2

>

?

@

>

A

B



C

B



Rys. 5

2GSRZLHG(RELHNWXUy*QLF]NXMFHJR]LQHUFM,U] GXQDVNRNMHGQRVWNRZ\1(t).

Podstawowe elementy dynamiczne – charakterystyki czasowe.

=DNáDG7HRULL6WHURZDQLD(±

6

:\NRU]\VWXMFZ\NUHVRGSRZLHG]LQDVNRNMHGQRVWNRZ\GODWHJRRELHNWXPR*QDZ\]Qa-

F]\üZDUWRFLNL7:\]QDF]HQLHVWDáHMF]DVRZHM7UR]SRF]\QDVL RGSU]HSURZDG]HQLDVW\F]QHM

ZSXQNFLHSRF]WNRZ\PRGSRZLHG]LWDNMDNWR]RVWDáRSRND]DQHQDU\V3U]HFL FLHVW\F]QHML

ZDUWRFLXVWDORQHMZ\]QDF]DZDUWRüVWDáHMF]DVRZHM7ZSU]\NáDG]LH]U\V7 1DVW SQLH

PR*QDZ\]QDF]\ü]Z\NUHVXZDUWRüRGSRZLHG]LZFKZLOLSRF]WNRZHMZSU]\NáDG]LHZ\QRVL
ona 2) i ze wzoru



7

N

=

PR*QDZ\OLF]\üZDUWRüNZSU]\NáDG]LH]U\VN 

1.5.

2ELHNWFDáNXMF\LGHDOQ\

2ELHNWFDáNXMF\LGHDOQ\RSLVDQ\MHVWUyZQDQLHPUy*QLF]NRZ\P

( ) ( )

,

T

i

t

x

t

y

=



(22)

przy czym T

i

MHVWVWDáFDáNRZDQLD

7UDQVPLWDQFM RELHNWXFDáNXMFHJRLGHDOQHJRPR*QD]DSLVDüMDNR

( )

.

T

1

i

s

s

G

=

(23)

2GSRZLHG(RELHNWXFDáNXMFHJRLGHDOQHJRQDVNRNMHGQRVWNRZ\1(tPDSRVWDü

( )



7

t

t

y

=

(24)







































































 



















!









"



#





$

%

&

'

(

) *

+

,

-



.

+

/0

1

-

2

) 3

*



4 5

2

6

+

7

+

0

*

3

5

7



,

+

7

8

2

'

3

9

7

8

)*

3

:

7

(

) *

+ ,

/

;

<

=

>

?



Rys. 6

2GSRZLHG(RELHNWXFDáNXMFHJRLGHDOQHJRQDVNRNMHGQRVWNRZ\1(t).

1.6.

2ELHNWFDáNXMF\]LQHUFM,U] GX

2ELHNWFDáNXMF\]LQHUFM,U] GXRSLVDQ\MHVWUyZQDQLHPUy*QLF]NRZ\P

( )

( ) ( )

,

T

T

T

i

i

t

x

t

y

t

y

=

+







(25)

przy czym T

i

MHVWF]DVHP]GZRMHQLDD7VWDáF]DVRZXNáDGX

7UDQVPLWDQFM RELHNWXFDáNXMFHJR]LQHUFM,U] GXPR*QD]DSLVDüMDNR

( )

(

)

.

1

T

T

1

i

+

=

s

s

s

G

(26)

2GSRZLHG(RELHNWXFDáNXMFHJR]LQHUFM,U] GXQDVNRNMHGQRVWNRZ\1(tPDSRVWDü

( )



H



7

7

@





























−

−

=

−

t

t

t

y

1

(27)

Podstawowe elementy dynamiczne – charakterystyki czasowe.

=DNáDG7HRULL6WHURZDQLD(±

7





























































 































!



"





#

$

%

&

'

( )

*

+

,



-

*

./

0

,

1

( 2

)

3

,/

0

4

3

5

6

.

7

*

8

*

/

)

6

2

8



+

*

8

9

1

&

6

:

8

9

()

6

;

8

'

( )

* +

.

<

=

<

>

?

@



A



>

@

Rys. 7

2GSRZLHG(RELHNWXFDáNXMFeJR]LQHUFM,U] GXQDVNRNMHGQRVWNRZ\1(t).

1.7.

2ELHNWLQHUF\MQ\,,U] GX

2ELHNWLQHUF\MQ\,,U] GXRSLVDQ\MHVWUyZQDQLHPUy*QLF]NRZ\P

( ) (

) ( ) ( )

( )

,

k

T

T

T

T

2

1

2

1

t

x

t

y

t

y

t

y

=

+

+

+







(28)

przy czym T

1

, T

2

WRVWDáHF]DVRZHDNMHVWZ]PRFQLHQLHP

7UDQVPLWDQFM RELHNWXLQHUF\MQHJR,,U] GXPR*QD]DSLVDüMDNR

( )

(

)

.

1

T

T

T

T

k

2

1

2

2

1

+

+

+

=

s

s

s

G

(29)

2GSRZLHG(RELHNWXLQHUF\MQHJR,,U] GXQDVNRNMHGQRVWNRZ\1(tPDSRVWDü

( )



H

7

7

7

H

7

7

7



N

B

C

D

E

F

E

D

E

F

F















−

+

−

−

=

−

−

t

t

t

y

(30)

1DZ\NUHVLHSU]HGVWDZLRQ\PSRQL*HM]DPLHV]F]RQD]RVWDáDRGSRZLHG(RELHNWXLQHUF\MQHJR,,

U] GXQDVNRNMHGQRVWNRZ\1(t).





































































































!



"





#

$

%

&

'

( )

*

+

( 2

)

3

,

1 /

2

1

44

3

5

6

.

7

*

8

*

/

)

6

2

8



+

*

8

9

1

&

6

:

8

9

()

6

;

8

'

( )

*

+

.

G

H

<

I

<

J

K

@

A



>

@

> 

@



Rys. 8

2GSRZLHG(RELHNWXLQHUF\MQHJR,,U] GXQDVNRNMHGQRVWNRZ\1(t).

Podstawowe elementy dynamiczne – charakterystyki czasowe.

=DNáDG7HRULL6WHURZDQLD(±

8

Czas t

1

MHVWF]DVHPZNWyU\P]QDMGXMHVL SXQNWSU]HJL FLD0R*QDJRREOLF]\üSRGZu-

NURWQ\P]Uy*QLF]NRZDQLXZ]RUXLQDVW SQLHSU]\UyZQDQLXJRGR]HUD]HZ]RUX

.

T

T

ln

T

T

T

T

t

1

2

1

2

2

1

1









−

=

(31)

Natomiast T

s

Z\OLF]DVL ]HZ]RUX

2

1

s

T

T

T

+

=

, a T

a

ze wzoru

(

)

1

T

2

T

2

T

1

2

1

a

T

T

T

T

−

=

.RU]\VWDMF]

W\FKGZyFKUyZQDPR*QDREOLF]\üVWDáHF]DVRZHRELHNWX7

1

i T

2

=HZ]JO GXMHGQDNL*MHVWWR

GRüXFL*OLZHNoU]\VWDVL ]W]ZNU]\Z\FKOldenburga – Sartoriusa.
1.8.

Obiekt oscylacyjny

2ELHNWRVF\ODF\MQ\RSLVDQ\MHVWUyZQDQLHPUy*QLF]NRZ\P

( )

( ) ( )

( )

,

k

7

2

T

O

2

O

t

x

t

y

t

y

t

y

=

+

+







(32)

przy czym k jest wzmocnieniem obiektu, T

O

RNUHVHPGUJDZáDVQ\FKQLHWáXPLRQ\FKQDWRPLDVW

ξ

ZVSyáF]\QQLNLHPWáumienia, 0

≤ξ

<1.

Transmitancja obiektu jest równa

( )

.

1

7

2

T

k

O

2

2

O

+

+

=

s

s

s

G

(33)

7UDQVPLWDQFM   PR*QD ]DSLVDü Z LQQHM SRVWDFL SR SRGVWDZLHQLX R]QDF]H

O

O

T

1

&

=

 ± F] VWRWOLZRü GUJD ZáDVQ\FK QLHWáXPLRQ\FK

7

&



/

=

=

 ± VWDáD WáXPLHQLD

2WU]\PDQDZWHG\WUDQVPLWDQFMDPDSRVWDü

( )



N

&

&

2

&

2

+

+

=

s

s

s

G

(34)

2GSRZLHG(QDVNRNMHGQRVWNRZ\ZG]LHG]LQLHF]DVXPR*QD]DSLVDüMDNR

( )

(

)



VLQ

FRV

H



N









+

−

=

−

t

t

t

y

t

&

/

&

&

&



(35)

gdzie

2

2

O

/

&

&

−

=

MHVWF] VWRWOLZRFLGUJDZáDVQ\FKWáXPLRQ\FK



































































 









!





!

"

#

!





"

$

!

%



&

'

(

)

*

+ ,

-

.

/



0 1

2 

0

1 3

4

1

5

-

/

-

3

,

6

4

/



.

-

/

7

1

)

6

8

/

7

+,

6

9

/

*

+ ,

- .

:

;

 3

/

<



4

.



;

+

4

/

<



4

.



=

>

?

@

A

@

?

B

C



D

E

F

C



D 

ξ

C



D



Rys. 9

2GSRZLHG(RELHNWXRVF\ODF\jnego na skok jednostkowy 1(t).

Podstawowe elementy dynamiczne – charakterystyki czasowe.

=DNáDG7HRULL6WHURZDQLD(±

9

:]yUPR*QD]DSLVDüZQLHFRRGPLHQQHMSRVWDFL

( )

(

)



VLQ

H



N















ϕ

+

ξ

−

ξ

−

−

=

−

t

t

y

t

2

2





1

&

1

(36)

przy czym

¤

¹

DUFWJ

=

ϕ

.

Kroki obliczania parametrów obiektu oscylacyjnego:
1.

=Z\NUHVXRGSRZLHG]LRELHNWX]QDMGXMHVL ZDUWRü7RUD]DPSOLWXG\SLHUZV]\FKHNVWUe-

mów x

1

, x

2

.

2.

Ze wzoru

T

2

Œ

&

=

Z\OLF]DVL F] VWRWOLZRü

ω

.

3.

Ze wzoru

2

2

1

2

2

1

x

x

ln

Œ

x

x

ln











+

=

PR*QDZ\OLF]\üZVSyáF]\QQLNWáXPLHQLD

4.

0DMFSROLF]RQHZDUWRFL

ω

i

ξ

PR*QDQDSRGVWDZLHZ]RUX

2



1

&

/

−

=

REOLF]\üVWDá

WáXPLHQLD

δ

.

5.

&] VWRWOLZRüGUJDZáDVQ\FKQLHWáXPLRQ\FKPR*QDREOLF]\ü ]H Z]RUX

2

2

O

/

&

&

+

=

, a

VWGVWDáF]DVRZ7

O

.

3RQL*HM]RVWDQLHSU]HGVWDZLRQ\ZSá\ZZVSyáF]\QQLNDWáXPLHQLD

ξ

QD]PLDQ NV]WDáWXRGSRZLe-

dzi obiektu oscylacyjnego na skok jednostkowy 1(t).













 





 





 



















































































!





"

#

$

%

&

' (

)

*

+



, -

.

,

- /

0

-

ξ

1



2

ξξ

1



2



ξ

1



2

3

ξ

1



2

4

ξ

1



2



Rys. 10

2GSRZLHG(RELHNWXQDVNRNMHGQRVWNRZ\1(tSU]\Uy*Q\FKZDUWRFLDFKWáXPLHQLD

ξ

.

W przypadku granicznym, gdy

ξ

 FRRGSRZLDGD]DáR*HQLX*HZXNáDG]LHQLHPDUR]SUDV]a-

QLDHQHUJLLUyZQDQLHUHGXNXMHVL GRSRVWDFL

( ) ( )

( )



N

7

5

t

x

t

y

t

y

=

+





(37)

2VF\ODFMHMDNLHZWHG\SRZVWDMQDZ\MFLXXNáDGXVQLHJDVQFH±RVWDáHMDPSOLWXG]LH
Dla przypadku, gdy

ξ

≥

  RGSRZLHG( QD VNRN MHGQRVWNRZ\ 1(t) ma charakter aperiodyczny.

2ELHNW SU]HVWDMH E\ü RVF\ODF\MQ\ D SU]HFKRG]L Z LQHUF\MQ\ ,, U] GX NWyU\ ]RVWDá ZF]HQLHM
omówiony.

Podstawowe elementy dynamiczne – charakterystyki czasowe.

=DNáDG7HRULL6WHURZDQLD(±

10

2.

5R]ZL]\ZDQLHUyZQDUy*QLF]NRZ\FKPHWRGRSHUDWRURZ

1DOH*\UR]ZL]DüUyZQDQLHUy*QLF]NRZH

( )

( )

( )

,

e

2

2

3

3t

t

y

t

y

t

y

=

+

−







(38)

]QDVW SXMF\PLZDUXQNDPLSRF]WNRZ\PL

( ) ( )

.

0

0

0

=

=

y

y



(39)

3URFHVREOLF]DQLDUR]SRF]\QDVL RGSROLF]HQLDWUDQVIRUPDW\Laplace’a dla równania (36)

( )

( )

( )

{

}

{ }

,

e

2

2

3

3t

L

t

y

t

y

t

y

L

=

+

−







(40)

( ) ( ) ( )

( )

{ }

( ) ( )

(

)

( )

{ }

( )

( )

{ }

,

{ }

,

.

3

2

2

0

3

0

0

3

e

2

2

t

L

t

y

L

t

y

L

t

y

L

s

s

Y

y

s

sY

y

sy

s

Y

s

−

=

+

−

−

−

−



 





















(41)

3RGVWDZLDMFQDVW SQLHZDUWRFLSRF]WNRZH]HZ]RUXGRZ]RUXRWU]\PXMHP\

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

.

1

1

2

1

3

2

2

3

1

3

2

,

3

2

2

3

,

3

2

2

3

2

2

2

−

−

−

=

+

−

−

=

−

=

+

−

−

=

+

−

s

s

s

s

s

s

s

Y

s

s

s

s

Y

s

s

Y

s

Y

s

s

Y

s

(42)

7HUD]QDOH*\UR]ELüUyZQDQLHQDF]\QQLNSLHUZV]H

( )(

)(

) ( ) (

) (

)

( )(

)(

) ( ) (

) (

)

.

3

1

2

2

1

1

3

2

1

2

1

C

2

B

1

A

3

C

2

B

1

A

3

2

1

2

−

+

−

−

−

=

−

−

−

⇒









=

−

=

=

⇒

−

+

−

+

−

=

−

−

−

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

(43)

7HUD]VWRVXMFRGZURWQWUDQVIRUPDW /DSODFH¶DRWU]\PXMHVL UR]ZL]DQLHUyZQDQLDUy*-

QLF]NRZHJR]ZDUXQNDPLSRF]WNRZ\PL

( )

{ }

( ) (

) (

)

( )

(

)

(

)

( )

.

e

e

2

e

,

3

1

2

1

2

1

1

3

1

2

2

1

1

3

2

t

t

t

t

y

s

L

s

L

s

L

s

s

s

L

s

Y

L

+

−

=













−

+













−

−













−

=













−

+

−

−

−

=

(44)

=DGDQLDGRVDPRG]LHOQHJRUR]ZL]DQLD

( )

( )

( )

( )

,

y

,

y

t

t

y

t

y

1

0

0

0

cos

2

2

−

=

=

=

+







(45)

( )

( )

( )

( )

( )

,

y

,

y

t

y

t

y

t

y

t

2

0

4

0

8e

2

2

2

=

−

=

=

+

+









(46)

( )

( )

( )

( )

( )

,

y

,

y

t

t

y

t

y

t

y

t

2

0

1

0

e

2

4

2

3

=

=

=

+

+









(47)

( )

( )

( )

( )

( )

,

y

,

y

t

t

y

t

y

t

y

t

6

0

2

0

e

9

6

2

2

=

=

=

+

−









(48)

( )

( )

( )

( ) ( )

,

y

y

t

y

t

y

t

y

t

0

0

0

e

1

6

4

=

=

+

=

+

+

−









(49)

Podstawowe elementy dynamiczne – charakterystyki czasowe.

=DNáDG7HRULL6WHURZDQLD(±

11

3.

=HVWDZLHQLHSRGVWDZRZ\FKZáDVQRFLWUDQVIRUPDW\Laplace’a

3.1.

$GG\W\ZQRü

( )

( )

{

}

( )

( )

.

2

1

2

1

s

F

s

F

t

f

t

f

L

+

=

+

(50)

3.2.

0QR*HQLHSU]H]VWDá

( )

{ }

( )

,

a

a

s

F

t

f

L

=

(51)

SU]\F]\PDMHVWOLF]EU]HF]\ZLVW

3.3.

5y*QLF]NRZDQLHZ]JO GHPF]DVX

( )

{ }

( )

( )

( )

( )

( )

( )

.

0

0

0

1

n

1

2

-

n

1

-

n

n

n

−

−

−

−

−

=

f

f

s

f

s

s

F

s

t

f

L



(52)

3.4.

&DáNRZDQLHZ]JO GHPF]DVX

( )

( )

.

1

d

0

s

F

s

f

L

t

=













τ

τ

∫

(53)

3.5.

3U]HVXQL FLHZ]JO GHPF]DVXZSáDV]F]\(QLHU]HF]\ZLVWHM

( )

{

}

( )

0.

2

e

2

-s

≥

=

−

s

F

t

f

L

(54)

3.6.

3U]HVXQL FLHZ]JO GHPsZSáDV]F]\(QLH]PLHQQHM]HVSRORQHM

( )

{

}

(

)

,

a

e

a

+

=

−

s

F

t

f

L

t

(55)

SU]\F]\PDMHVWOLF]E]HVSRORQ

3.7.

Zmiana skali czasu

( )

,

a

a

a

s

F

t

f

L

=

























(56)

SU]\F]\PDMHVWOLF]EU]HF]\ZLVWUy*QRG]HUD

3.8.

Splot funkcji czasu

( ) ( )

( ) ( )

.

d

2

1

0

2

1

s

F

s

F

2

f

2

t

f

L

t

∗

=













τ

−

∫

(57)

3.9.

7ZLHUG]HQLHRZDUWRFLSRF]WNRZHM

( )

( )

( )

.

lim

lim

0

0

s

sF

t

f

f

s

t

∞

→

→

=

=

(58)

3RZ\*V]HWZLHUG]HQLHMHVWSUDZG]LZHJG\RELHJUDQLFHLVWQLHM

3.10.

7ZLHUG]HQLHRZDUWRFLNRFRZHM

( )

( )

( )

.

lim

lim

0

s

sF

t

f

f

s

t

→

∞

→

=

=

∞

(59)

3RZ\*V]HWZLHUG]HQLHMHVWSUDZG]LZHJG\RELHJUDQLFHLVWQLHM

Podstawowe elementy dynamiczne – charakterystyki czasowe.

=DNáDG7HRULL6WHURZDQLD(±

12

4.

Zestawienie podstawowych transformat Laplace’a.

F(s)

f(t)

1

impuls jednostkowy

δ

(t)

(60)

s

1

( )

t

1

(61)

2

1

s

t

(62)

n

1

s

(

)





Q

−

−

t

(63)

D

+

s

1

t



H

−

(64)



7

+

s

1



H

7



t

−

(65)

(

)

1

1

+

s

s

7



H

t

−

−

1

(66)

(

)

D

D

+

s

s

t



H



−

−

(67)

(

)

7 1

1

+

s

(

)

T

1

n

n

e

!

1

n

T

1

t

t

−

−

−

(68)

(

)

D

+

s

1

(

)

t

t



H





Q



−

−

−

(69)

2

2

&

+

s

s

t

cos

&

(70)

2

2

&

&

+

s

t

sin

&

(71)

(

)(

)

2

1

T

1

T

1

1

s

s

+

+









−

−

−

−

2

T

1

T

2

1

e

e

T

T

1

t

t

(72)

Podstawowe elementy dynamiczne – charakterystyki czasowe.

=DNáDG7HRULL6WHURZDQLD(±

13

5.

&HOüZLF]HQLD

=DSR]QDQLHVL ]SRGVWDZRZ\PLRELHNWDPLG\QDPLF]Q\PLL]LFKRGSRZLHG]LDPLQDVNRN

jednostkowy 1(t).

6.

3RGáF]HQLHVWDQRZLVNDLVSRVyESRPLDUX

6.1.

6FKHPDWSRáF]HHOHNWU\F]Q\FK

Rys. 11

6FKHPDWSRáF]HQLDJHQHUDWRU±RELHNW±RVF\ORVNRS

1D U\V  ]RVWDá SU]HGVWDZLRQ\ VFKHPDW ZHGáXJ NWyUHJR QDOH*\ SRáF]\ü JHQHUDWRU

RELHNWLRVF\ORVNRSFHOHPSU]HSURZDG]HQLDüZLF]HQLD*HQHUDWRUNV]WDáWXMHV\JQDá ]DGDQ\ Z

SU]\SDGNXEDGDQLDXNáDGXQDVNRNMHGQRVWNRZ\1(tMHVWWRV\JQDáSURVWRNWQ\6\JQDá]JHQe-

UDWRUDSRGDZDQ\MHVWQDRELHNWLQDMHGQR]ZHMüRVF\ORVNRSX1DGUXJLHZHMFLHRVF\ORVNRSX

SRGDZDQ\MHVWV\JQDáZ\MFLRZ\]RELHNWX
6.2.

3RPLDUV\JQDáyZ

3R SRGáF]HQLX ZV]\VWNLFK RELHNWyZ QDOH*\ RGSRZLHGQLR XVWDZLü QD RVF\ORVNRSLH SRd-

VWDZ F]DVXLSRG]LDáN QDSL FLDWDNDE\REDV\JQDá\]JHQHUDWRUDL]RELHNWXE\á\SRND]\ZDQH

MHGQRF]HQLH3U]\áF]HQLXXNáDGXDWDN*HSU]\QDVWDZLDQLXZDUWRFLF] VWRWOLZRFLV\JQDáX]
generatora, oraz ustawianiu oscylosko

SXPRJRND]DüVL SRPRFQHU\VL

Rys. 12. Generator.

1DU\V]RVWDáSU]HGVWDZLRQ\JHQHUDWRU]]D]QDF]RQ\PLQDMZD*QLHMV]\PLJQLD]GNDPL

SRWHQFMRPHWUDPL L SU]HáF]QLNDPL 3U]HáF]QLNL  VáX* GR ]PLDQ\ PQR*QLND F] VWRWOLZRFL

V\JQDáXZ\MFLRZHJR'RVW SQHVPQR*QLNLHz, 10 Hz, 100 Hz, 1 kHz, 10 kHz, 100 kHz. Do

QDVWDZLDQLDGRNáDGQHJRVáX*\SRWHQFMRPHWU*HQHUDWRU]DáF]DVL SU]\FLVNLHP:\MFLH

MHVWZ\MFLHPV\JQDáRZ\PQDWRPLDVWZ\MFLHÄ]HUHP´3RWHQFMRPHWUVáX*\GRQDVWa-

ZLDQLDQDSL FLDV\JQDáXZ\MFLRZHJR'RXVWDZLDQLDQDSL FLDVáX*UyZQLH*SU]HáF]QLNL=

LFKSRPRFPR*QDXVWDZLDüPQR*QLNQDSL FLD9OXE9=DSRPRFSU]HáF]QLNyZ

Z\ELHUDVL NV]WDáWV\JQDáXZ\MFLRZHJR0R*HWRE\üV\JQDáSURVWRNWQ\OXEVLQXVRLGDOQ\

Podstawowe elementy dynamiczne – charakterystyki czasowe.

=DNáDG7HRULL6WHURZDQLD(±

14

Rys. 13. Oscyloskop.

1DU\V]RVWDáSU]HGVWDZLRQ\RVF\ORVNRS=DSRPRFSU]\FLVNXPR*QD]DáF]\ü

RVF\ORVNRS6\JQDá\ZHMFLRZHSRGDMHVL QDZHMFLHOXEQDZHMFLH:\NUHV\Vy-

JQDáyZZHMFLRZ\FKPR*QDSU]HVXQüZSLRQLH]DSRPRFSRWHQFMRPHWUX±GODNDQDáXOXE

SRWHQFMRPHWUX  ± GOD NDQDáX  3RG]LDáN  QDSL FLRZ XVWDZLD VL  GOD NDQDáX  ]D SRPRF

SU]HáF]QLNDDGODNDQDáX]DSRPRFSU]HáF]QLND3RGVWDZ F]DVXNWyUDMHVWWDNDVa-

PDGODREXNDQDáyZXVWDZLDVL ]DSRPRFSU]HáF]QLND'RSU]HVXQL FLXZ\NUHVyZZRVL

2;VáX*\SRWHncjometr (9).
6.3.

2EOLF]HQLDLVSUDZR]GDQLHNRFRZH

3RGRNRQDQLXSRPLDUyZQDOH*\REOLF]\üSDUDPHWU\RELHNWyZZ\EUDQ\FKSU]H]SURZDG]-

FHJR ]DM FLD 3U]\ REOLF]DQLX PR*QD Z\NRU]\VWDü RSLV SRGVWDZRZ\FK HOHPHQWyZ G\QDPLFz-

Q\FKNWyU\]QDMGXMHVL ZGDOV]HMF] FLRSLVXüZLF]HQLD:VSUDZR]GDQLXSRZLQLHQ]RVWDü]a-

ZDUW\RSLVZV]\VWNLFKRELHNWyZMDNLH]RVWDá\SU]HEDGDQH1DOH*\UyZQLH*GRáF]\üZ\OLF]RQH

SDUDPHWU\ RELHNWyZ Z\EUDQ\FK SU]H] SURZDG]FHJR =DOHFDQH MHVW UyZQLH* XPLHV]F]HQLH Vy-
mulacji odpowiedzi na skok jednostkowy 1(t

GODRELHNWX]Z\OLF]RQ\PLSDUDPHWUDPL0R*QD

WHJRGRNRQDüZ\NRU]\VWXMFGRZROQ\ SURJUDP GR REOLF]H PDWHPDW\F]Q\FK QS Mathcad lub
Matlab.

6.4.

Kolokwium

:F]DVLHNRORNZLXPE G Z\PDJDQH SRGVWDZRZH SRM FLD ZV]\VWNLH Z]RU\ L Z\NUHV\

'RGDWNRZRE G]LH]DGDQHSROLF]HQLHRGSRZLHG]LQDVNRNMHGQRVWNRZ\GODZ\EUDQHJRRELHNWX

QSGODRELHNWXFDáNXMFHJR]LQHUFM,U] GX6WXGHQFL:\G]LDáX,QIRUPDW\NLL,Q*\QLHULL(OHk-

WU\F]QHM E G PLHOL UyZQLH* GR SROLF]HQLD OLQLRZH UyZQDQLH Uy*QLF]NRZH ] Z\NRU]\VWDQLHP
transformaty Laplace’a.