Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej
Sprawozdanie z
ć
wiczenia nr 45
Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej .
I. Zagadnienia teoretyczne:
1) Dyfrakcja i interferencja
ś
wiatła .
Zjawisko dyfrakcji (ugi
ę
cia) odkrył Grimaldi (XVII w). Polega ono na uginaniu si
ę
promieni
ś
wietlnych przechodz
ą
cych w pobli
Ŝ
u przeszkody (np. brzeg szczeliny). Dyfrakcji
ulega
ś
wiatło tylkona takich przeszkodach (szczelinach), których rozmiary s
ą
porownywalne z długo
ś
ci
ą
fali
ś
wietlnej.
Gdy
d
≫ λ
– dyfrakcja nie wyst
ę
puje.
Jasne pr
ąŜ
ki (maksima) powstaj
ą
w miejscach, dla których spełniony jest warunek:
∆r
=nλ
lub w innej postaci:
d
・
sinα
=nλ (n=0,1, 2... – rząd widma)
gdzie:
d
– stała siatki (odległość między dwoma sąsiednimi
szczelinami).
Ciemne pr
ąŜ
ki (minima) powstaj
ą
w miejscach, dla których spełniony jest warunek:
d
⋅sin
α
=(2n1)
λ
2
(n=0, 1, 2, ...)
Je
Ŝ
eli na siatk
ę
pada
ś
wiatło białe, to jasnymi pr
ąŜ
kami staj
ą
si
ę
pełne widma
ś
wiatła białego (w
ą
skie t
ę
cze), co zostało przedstawione na rys. 01.
Rys. 01. - Dyfrakcja światła białego.
1/9
Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej
Interferencja jest to zjawisko nakładania si
ę
fal prowadz
ą
ce do zwi
ę
kszania lub
zmniejszania amplitudy fali wypadkowej. Interferencja zachodzi dla wszystkich rodzajów
fal, we wszystkich o
ś
rodkach, w których mog
ą
rozchodzi
ć
si
ę
dane fale.
Siatka dyfrakcyjna to układ równoległych i równo oddalonych od siebie szczelin
(lub otworów), przepuszczaj
ą
cych
ś
wiatło. Je
Ŝ
eli na siatk
ę
pada monochromatyczna fala
ś
wietlna, to na ekranie, po drugiej stronie siatki, otrzymujemy obraz dyfrakcyjny w postaci
jasnych i ciemnych pr
ąŜ
ków.
Rys. 02. - Siatka dyfrakcyjna.
Je
Ŝ
eli
ś
wiatło o długo
ś
ci fali l pada prostopadle na siatk
ę
dyfrakcyjn
ą
o stałej d to
pod okre
ś
lonymi k
ą
tami obserwowa
ć
b
ę
dziemy pr
ąŜ
ki interferencyjne. K
ą
ty a pod którymi
mo
Ŝ
na obserwowa
ć
wzmocnienia spełniaj
ą
zale
Ŝ
no
ść
:
dsin
α
=k
λ
Rys. 03. - Światło padające na siatkę dyfrakcyjną, tworzące prążki interferencyjne,
gdzie k jest rzędem wzmocnienia.
2/9
Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej
Dodatnie warto
ś
ci k odpowiadaj
ą
pr
ąŜ
kom widocznym po prawej a ujemne po lewej
stronie od pr
ąŜ
ka zerowego, który ma barw
ę
ś
wiatła białego. K
ą
t a musi spełnia
ć
zale
Ŝ
no
ść
:
π
2
< a
k
<
π
2
czyli
k
λ
d
< 1
Oznacza to,
Ŝ
e istnieje maksymalne k
max
, które musi spełnia
ć
zale
Ŝ
no
ść
:
k
max
<
d
λ
Nie jest mo
Ŝ
liwe uzyskanie na ekranie niesko
ń
czonej ilo
ś
ci pr
ąŜ
ków.
Obliczmy ile pr
ąŜ
ków zobaczymy na ekranie je
ś
li stała siatki 2*10 -3 a długo
ść
fali
ś
wiatła,
którym o
ś
wietlili
ś
my siatk
ę
wynosi 400 nm
→
k
max
< 5. Zatem zaobserwujemy 5 pr
ąŜ
ków z
prawej, 5 z lewej strony i jeden zerowy w
ś
rodku > razem 11 pr
ąŜ
ków.
2) Dyfrakcja typu Fraunhofera na szczelinie .
Gdy dyfrakcji ulega fala płaska, a wynik obserwujemy w niesko
ń
czono
ś
ci jest to tzw.
dyfrakcja Fraunhofera (por. interferencja dalekiego pola).
Rys. 04. - dyfrakcja Fraunhofera
Dzielimy nasz
ą
szczelin
ę
o szeroko
ś
ci a na n niesko
ń
czenie małych odcinków o
długo
ś
ci
a
∆
. Dodajemy przyczynki pochodz
ą
ce od ka
Ŝ
dej fali składowej. Poniewa
Ŝ
3/9
Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej
obserwacja zachodzi w niesko
ń
czono
ś
ci, traktujemy fale składowe jako płaskie (dalekie
pole), o takiej samej fazie pocz
ą
tkowej (płaska fala padaj
ą
ca), dla uproszczenia równej
zeru.
Znajdziemy sum
ę
interferencyjn
ą
:
(
)
∑
∆
+
−
∆
=
j
j
l
l
t
E
E
0
2
cos
λ
π
ω
gdzie
0
l
oznacza drog
ę
(optyczn
ą
) przebyt
ą
przez pierwsz
ą
, skrajn
ą
fal
ę
. Ka
Ŝ
da kolejna
fala przebywa drog
ę
dłu
Ŝ
sz
ą
o wielko
ść
:
( )
α
sin
a
j
l
j
l
j
∆
=
∆
=
∆
Wypadkow
ą
fal
ę
mo
Ŝ
emy znale
źć
korzystaj
ą
c z wzorów na (niesko
ń
czone...) szeregi
funkcji trygonometrycznych albo stosuj
ą
c metod
ę
wykresu wskazowego.
Jak wida
ć
,
ś
wiatło rozchodzi si
ę
za szczelin
ą
nie tylko wzdłu
Ŝ
osi OZ, ale tak
Ŝ
e
ugina si
ę
na boki – lepiej wida
ć
to w biegunowym układzie współrz
ę
dnych:
Rys. 05. - Rozchodzenie się światła za szczeliną, w biegunowym układzie współrzędnych.
4/9
Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej
Zamiast wi
ą
zki równoległej otrzymujemy wi
ą
zk
ę
rozbie
Ŝ
n
ą
– jej rozwarto
ść
k
ą
towa
mo
Ŝ
e by
ć
okre
ś
lona jako kierunek, pod którym wida
ć
pierwsze minimum dyfrakcyjne:
( )
π
λ
π
=
Θ
1
sin
a
Dla niewielkich k
ą
tów obserwacji maksima i minima dyfrakcyjne widziane s
ą
pod k
ą
tami:
a
m
m
λ
=
Θ
II. Metodologia pomiarów:
Układ pomiarowy składa się z ławy optycznej, na której zamocowane są: laser – dający
skolimowaną wiązkę światła monochromatycznego (
nm
632
=
λ
), siatka dyfrakcyjna S, soczewka
skupiająca L o ogniskowej f oraz ekran E.
Obraz wytworzony przez siatk
ę
dyfrakcyjn
ą
obserwujemy na ekranie umieszczonym
w tylnej płaszczy
ź
nie ogniskowej soczewki L . Spełniony jest wi
ę
c warunek:
b
k
f
x
x
k
k
k
λ
ϕ
=
=
+
sin
2
2
.
Z tej równo
ś
ci otrzymujemy warto
ść
stałej siatki b równ
ą
:
k
k
x
f
x
k
b
2
2
+
⋅
=
λ
W obrazie powstaj
ą
cym w tylnej płaszczy
ź
nie ogniskowej soczewki L policzy
ć
ile
maksimów głównych (n) mie
ś
ci si
ę
w głównym maksimum obrazu dyfrakcyjnego. Z
zale
Ŝ
no
ś
ci:
5/9
Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej
n
a
b
=
−
1
2
0
wyliczy
ć
przybli
Ŝ
on
ą
szeroko
ść
szczelin a
0
siatki dyfrakcyjnej.
Gdyby w miejsce soczewki sferycznej u
Ŝ
y
ć
soczewki cylindrycznej na ekranie E
zamiast punktów uzyskaliby
ś
my odcinki o wysoko
ś
ci równej długo
ś
ci rys siatki
dyfrakcyjnej.
Tabela pomiarów
k
x
k
f
n
[cm]
[cm]
[-]
1.
2.
3.
-1.
-2.
4,3
9,3
15,0
4,3
9,3
27
5
III. Obliczenia:
1. Z podanego poniŜej wzoru obliczam wartość stałej siatki:
b
k
=
k
λ
⋅
√
x
k
2
+ f
2
x
k
λ
= 632
µ
m = 0,0632 cm
Przykładowe obliczenia:
dla k=1
x
1
=4,3 cm
b
=
1
⋅0,0632 cm⋅
√
(4,3 cm)
2
+(27 cm)
2
4,3
b
=
0,0632 cm
⋅
√
18,49 cm
2
+729 cm
2
4,3 cm
b
=
0,0632 cm
⋅27,3403 cm
4,3 cm
b
=0,4018 cm
[4018
µ
m
]
6/9
Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej
k
λ
x
k
f
b
k
[-]
[cm]
[cm]
[cm]
[cm]
1
2
3
-1
-2
0,0632
4,3
9,3
15
4,3
9,3
27
0,4018
0,3881
0,3904
0,4018
0,3881
2. Wyliczam szeroko
ść
szczeliny a
0
oraz
b
a
0
, korzystaj
ą
c z wzoru:
2b
a
0
1=n
Z tej zale
Ŝ
no
ś
ci wyprowadzam:
a
0
=
2b
n
+1
n = 5
Przykładowe obliczenia:
k=1
b=0,4018 cm
a
0
=
2
⋅0,4018 cm
5
+1
a
0
=0,1339 cm
b
a
0
=
0,4018
0,1339
b
a
0
≈3
k
n
b
k
a
0
b
a
0
[-]
[-]
[cm]
[cm]
[-]
1
2
3
-1
-2
5
0,4018
0,3881
0,3904
0,4018
0,3881
0,1339
0,1294
0,1301
0,1339
0,1294
3
7/9
Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej
3. Ze wzoru poni
Ŝ
ej na niepewno
ść
standardow
ą
typu B obliczam u(x
k
)
u
(x
k
)=
∆
x
√
3
∆
x
=1 mm → 0,1 cm
u
(x
k
)=
0,1 cm
√
3
u
(x
k
)=0,05774
co po zaokr
ą
gleniu daje:
u
(x
k
)=0,058
4. Nast
ę
pnie ze wzoru na niepewno
ść
zło
Ŝ
on
ą
, zapisanego poni
Ŝ
ej, obliczam u(b):
u
(b)=
√
[
δ
b
δ
f
⋅u ( f )
]
2
+
[
δ
b
δ
x
k
⋅u (x
k
)
]
2
Obliczam poszczególne składowe:
b
=
k
λ
√
x
k
2
+ f
2
x
k
δ
b
δ
f
=
k
λ
x
k
⋅2f
√
x
k
2
+ f
2
δ
b
δ
x
k
=
k
λ
⋅(2f
2
)
x
k
3
⋅
√
1
+
f
2
x
k
2
k
x
k
f
δ
b
δ
f
δ
b
δ
x
k
u(b)
[-]
[cm]
[cm]
[cm]
[cm]
[cm]
1
2
3
-1
-2
4,3
9,3
15
4,3
9,3
27
0,02903
0,02570
0,02210
0,02903
0,02570
–0,1823
- 0,0746
-0,0398
-0,1823
-0,0746
0,011
0,005
0,003
0,011
0,005
8/9
Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej
Tabela pomiarów i wyników obliczeń:
k
x
k
f
b ± u(b)
n
b/a
0
a
0
[cm]
[cm]
[µm]
[-]
[-]
[µm]
1.
2.
3.
-1.
-2.
4,3
9,3
15
4,3
9,3
27
4018
± 110
3881
± 50
3904
± 30
4018
± 110
3881
± 50
5
3
1339
1294
1301
1339
1294
Wnioski:
Wyznaczona wartość stałej siatki dyfrakcyjnej b jest obarczona dosyć
małą niepewnością pomiarową , mieszczącą się w przedziale 1 – 3 %, więc
możemy stwierdzić, że ćwiczenie zostało wykonane dosyć dokładnie.
Średnia arytmetyczna wyznaczonej wartości stałej siatki dyfrakcyjnej i
błędu wynosi 3940,4
±70 µm. Jest to jedna z wielkości, charakteryzujących
użytą siatkę.
9/9