„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

 
 

 
 

 

MINISTERSTWO EDUKACJI 

NARODOWEJ 

 
 
 
 
 
 

Leszek Wiatr 

 
 
 
 
 
 
 
 

Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania 
pomiarów geodezyjnych 311[10].Z1.07 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Poradnik dla ucznia 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Wydawca 

Instytut Technologii Eksploatacji – Państwowy Instytut Badawczy 
Radom 2007   

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

1 

Recenzenci: 
dr inŜ. BoŜena Wasielewska 
mgr inŜ. Sylwia Mikulska 
 
 
 
Opracowanie redakcyjne: 
mgr inŜ. Barbara Kapruziak 
 
 
 
Konsultacja: 
mgr Małgorzata Sienna 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Poradnik  stanowi  obudowę  dydaktyczną  programu  jednostki  modułowej  311[10].Z1.07 
„Wykorzystywanie  teorii  błędów  do  opracowywania  wyników  pomiarów  geodezyjnych”, 
zawartej w modułowym programie nauczania dla zawodu technik geodeta. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Wydawca 

Instytut Technologii Eksploatacji – Państwowy Instytut Badawczy, Radom 2007 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

2 

SPIS TREŚCI

  

 

1.

 

Wprowadzenie 

3 

2.

 

Wymagania wstępne 

5 

3.

 

Cele kształcenia 

6 

4.

 

Materiał nauczania 

7 

4.1. Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania wyników pomiarów 

7 

4.1.1.

 

Materiał nauczania 

7 

4.1.2. Pytania sprawdzające 

27 

4.1.3. Ćwiczenia 

27 

4.1.4. Sprawdzian postępów 

28 

4.2. Wyrównanie metodą pośredniczącą  

29 

4.2.1.

 

Materiał nauczania 

29 

4.2.2. Pytania sprawdzające 

50 

4.2.3. Ćwiczenia 

50 

4.2.4. Sprawdzian postępów 

51 

4.3. Wyrównanie spostrzeŜeń metodą warunkową  

52 

4.3.1.

 

Materiał nauczania 

52 

4.3.2. Pytania sprawdzające 

60 

4.3.3. Ćwiczenia 

61 

4.3.4. Sprawdzian postępów 

62 

5.

 

Sprawdzian osiągnięć 

63 

6.  Literatura 

68 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

3 

1.  WPROWADZENIE

  

 

 

Poradnik będzie Ci pomocny w przyswajaniu wiedzy o wykorzystaniu teorii błędów do 

opracowywania wyników pomiarów geodezyjnych. 

W poradniku znajdziesz: 

−

 

wymagania wstępne, czyli wykaz umiejętności jakie powinieneś mieć juŜ ukształtowane, 
abyś bez problemów mógł korzystać z poradnika, 

−

 

cele  kształcenia,  czyli  wykaz  umiejętności,  jakie  ukształtujesz  podczas  pracy 
z poradnikiem, 

−

 

materiał  nauczania,  czyli  wiadomości  teoretyczne  niezbędne  do  opanowania  treści 
jednostki modułowej, 

−

 

zestaw pytań, abyś mógł sprawdzić, czy juŜ opanowałeś określone treści, 

−

 

ćwiczenia,  które  pomogą  Ci  zweryfikować  wiadomości  teoretyczne  oraz  ukształtować 
umiejętności praktyczne, 

−

 

sprawdzian  postępów  i  osiągnięć  -  przykładowy  zestaw  zadań.  Zaliczenie  testu 
potwierdzi opanowanie materiału całej jednostki modułowej. 

 
 

Wykorzystanie  teorii  błędów  jest  zagadnieniem  sprawiającym  trudności  w zrozumieniu 

i opanowaniu  materiału  przez  przyszłych  geodetów.  W  związku  z  tym,  przy  omawianiu 
poszczególnych  zagadnień,  w  poradniku  zastosowano  szereg  róŜnorodnych  przykładów,  aby 
wprowadzić Cię na właściwy tok myślenia. 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

4 

 

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Schemat układu jednostek modułowych 

311[10].Z1.02 

Opracowywanie mapy sytuacyjnej  

311[10].Z1.03 

Aktualizacja mapy sytuacyjnej na podstawie 

pomiarów terenowych  

311[10].Z1.04 

Opracowywanie przekrojów podłuŜnych 

i poprzecznych 

311[10].Z1.05 

Wykonywanie mapy warstwicowej 

311[10].Z1.06 

Stosowanie rachunku współrzędnych 

w obliczeniach geodezyjnych 

311[10].Z1.07 

Wykorzystywanie teorii błędów do 

opracowywania pomiarów geodezyjnych 

311[10].Z1.10 

Sporządzenie mapy  

sytuacyjno-wysokościowej na podstawie 

pomiarów terenowych

 

311[10].Z1.09 

Wykonywanie pomiarów sytuacyjnych 

i sytuacyjno-wysokościowych  

311[10].Z1.08 

Projektowanie, pomiar i wyrównanie 

szczegółowej osnowy geodezyjnej 

311[10].Z1.11 

Stosowanie technologii GPS w pomiarach 

geodezyjnych 

311[10].Z1.01 

Stosowanie instrumentów geodezyjnych 

311[10].Z1 

Mapa sytuacyjno-wysokościowa 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

5 

2.  WYMAGANIA WSTĘPNE 
 

Przystępując do realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć: 

−

 

posługiwać się podstawowymi pojęciami z zakresu pomiarów geodezyjnych, 

−

 

stosować podstawowe zasady rachunku prawdopodobieństwa, 

−

 

stosować zasady zaokrąglania i zapisu liczb, 

−

 

stosować działania na liczbach przybliŜonych (reguły Kryłowa-Bradisa), 

−

 

obliczać pochodne funkcji najczęściej występujących w zadaniach geodezyjnych, 

−

 

przeliczać kąty wyraŜone w stopniach, gradach lub radianach, 

−

 

korzystać z róŜnych źródeł informacji, 

−

 

obsługiwać komputer, 

−

 

współpracować w grupie. 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

6 

3.  CELE KSZTAŁCENIA 

 

W wyniku realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć: 

−

 

rozróŜnić źródła błędów i dokonać ich podziału, 

−

 

scharakteryzować rodzaje błędów występujących w pomiarach geodezyjnych, 

−

 

określić zadania rachunku wyrównawczego, 

−

 

posłuŜyć się podstawową wiedzą z zakresu rachunku wyrównawczego, 

−

 

określić miary charakteryzujące dokładność pomiarów, 

−

 

zastosować prawo przenoszenia się błędów średnich Gaussa, 

−

 

wyrównać spostrzeŜenia bezpośrednie jednakowo dokładne, 

−

 

wyrównać spostrzeŜenia bezpośrednie niejednakowo dokładne, 

−

 

wyrównać pary spostrzeŜeń, 

−

 

wyrównać spostrzeŜenia pośredniczące, 

−

 

zastosować metodę warunkową, 

−

 

wyrównać spostrzeŜenia zawarunkowane, 

−

 

wyrównać  spostrzeŜenia  metodami  ścisłymi  z  wykorzystaniem  komputerowych, 
programów obliczeniowych. 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

7 

4.  MATERIAŁ NAUCZANIA

 

 
4.1. 

Wykorzystywanie 

teorii 

błędów 

do 

opracowywania 

wyników pomiarów 

 
4.1.1.  Materiał nauczania  

 

 

Źródła błędów spostrzeŜeń 
 

Wyniki pomiarów geodezyjnych zwane takŜe obserwacjami lub częściej spostrzeŜeniami 

(L

1

,  L

2

,  …L

n

)  nigdy  nie  są  bezbłędne,  lecz  stanowią  jedynie  wartości  przybliŜone  pewnych 

nieznanych  wartości  prawdziwych  wielkości  mierzonych.  SpostrzeŜenia  obarczone  są 
licznymi  błędami  wynikającymi  z  niedoskonałości  przyrządów  pomiarowych,  zmysłów 
obserwatora  oraz  zmienności  warunków  atmosferycznych  i  środowiskowych  podczas 
wykonywania pomiarów. 
 

W zaleŜności od źródeł powstawania i charakteru ich wpływu na rezultat pomiaru moŜna 

dokonać podziału błędów na trzy grupy: 
a)

 

błędy  grube  tzw.  omyłki,  które  spowodowane  są  niedyspozycją  lub  nieuwagą 
obserwatora.  Typowym  przykładem  błędu  grubego  jest  zapisanie  błędnej  ilości  pełnych 
przyłoŜeń  taśmy.  Zastąpienie  ręcznego  notowania  obserwacji  w  dziennikach 
pomiarowych  przez  elektroniczny  zapis  danych  pomiarowych  znacznie  zmniejsza 
prawdopodobieństwo popełnienia błędów grubych. 
Błędy grube muszą być bezwzględnie wyeliminowane z materiału obserwacyjnego przed 
przystąpieniem do wyrównania. 

b)

 

błędy  systematyczne,  które  powstają  wskutek  działania  ustalonych  prawidłowości 
w określonych warunkach pomiaru.  
Źródła tych błędów mogą wynikać z następujących przyczyn: 
–

 

instrumentalnych, 

spowodowanych 

wadami 

instrumentów 

(przymiarów, 

niwelatorów, teodolitów, dalmierzy itp.) 

–

 

osobowych, związanymi ze stałymi nawykami obserwatora np. błędu celowania 

–

 

środowiskowych, wynikających z działania znanych praw związanych z określonymi 
warunkami  pomiaru  np.  nieuwzględnienie  temperatury,  ciśnienia  atmosferycznego 
czyrefrakcji atmosferycznej. 

Błędy  systematyczne  są  przewaŜnie  stałe  co  do  znaku  i  wartości  liczbowej  np.  błąd 
miejsca  zera  podczas  pomiaru  kątów  pionowych.  Błędy  systematyczne  usuwamy 
z wyników obserwacji w miarę ich ujawniania 

c)

 

błędy przypadkowe, które mają charakter losowy i w przeciwieństwie do błędów grubych 
i  systematycznych  są  niemoŜliwe  do  wyznaczenia  i  wyeliminowania  ze  względu  na  ich 
losową zmienność co do wartości liczbowej jak i znaku. 
Błędy te występują w róŜnym nasileniu i wynikają z mniej lub bardziej znanych przyczyn 
trudnych  do  ścisłego  określenia  takich  jak:  niedoskonałość  instrumentu  i  wzroku 
obserwatora  zmienne  warunki  atmosferyczne  czy  oświetleniowe.  Podczas  pomiarów 
prawdopodobieństwo  popełnienia  błędów  przypadkowych  ze  znakami  plus  i  minus  jest 
jednakowe. 

 
Rodzaje błędów

: 

 

Błąd  prawdziwy  „ε”  jest  to  róŜnica  między  wartością  pomierzoną  „L

0

”  i  wartością 

prawdziwą spostrzeŜenia „X”: 
 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

8 

ε = L

o

 – X  

czyli 

X = L

o

 – ε  

 

W  równaniu  tym  znana  jest  tylko  wartość  pomierzona,  poniewaŜ  wartość  prawdziwa 

wielkości  mierzonej  jest  z  reguły  nieznana,  zatem  nie  jest  takŜe  znany  błąd  prawdziwy 
spostrzeŜenia. W praktyce  geodezyjnej dąŜymy  do uzyskania wartości najbliŜszych wartości 
prawdziwej.  Będzie  to  wartość  najbardziej  prawdopodobna,  otrzymana  z  wyrównania 
spostrzeŜeń. 

Błąd  pozorny  spostrzeŜenia  „-v”  jest  to  róŜnica  pomiędzy  wartością  pomierzoną 

i wartością wyrównaną spostrzeŜenia „L

w

”. 

-v = L

w

 – L

o

  

 

Poprawka  wyrównawcza  „v”  jest  to  wielkość  równa  błędowi  pozornemu,  lecz 

z przeciwnym  znakiem.  Wartość  poprawki  „v”  naleŜy  dodać  do  spostrzeŜenia  „L

o

”  aby 

otrzymać jego wartość wyrównaną „L

w

” 

L

o

 + v = L

w 

 

 

Zadania rachunku wyrównawczego 

KaŜdy pomiar jakiejkolwiek wielkości niewiadomej zawsze jest obciąŜony większym lub 

mniejszym  błędem  przypadkowym.  Dlatego  teŜ,  jeŜeli  do  wyznaczenia  jakiejkolwiek 
wielkości pojedynczej czy większej liczby niewiadomych, związanych znanymi funkcyjnymi 
zaleŜnościami  z  pośrednio  mierzonymi  wielkościami,  wykonamy  więcej  spostrzeŜeń  niŜ  to 
jest  niezbędne  dla  jednoznacznego  wyznaczenia  niewiadomych,  to  na  ogół  nie  otrzymamy 
jednoznacznego  rozwiązania  zadania.  Wykorzystując  wyniki  bezpośrednich  pomiarów 
kaŜdorazowo otrzymamy inny wynik dla szukanej wielkości, wyniki będą jednak zbliŜone do 
siebie.  W  związku  z  tym  powstaje  zagadnienie  ustalenia  na  podstawie  wyników 
bezpośrednich  spostrzeŜeń,  takich  wartości  niewiadomych,  które  byłyby  najbardziej 
prawdopodobne.  W  tym  celu  naleŜy  wyniki  obserwacji  tak  między  sobą  uzgodnić,  aby 
dawały  jednoznacznie  najbardziej  prawdopodobne  rozwiązanie.  Uzgodnienie  to  nosi  ogólną 
nazwę rachunku wyrównawczego i polega na tym, Ŝe do wyników bezpośrednich spostrzeŜeń 
naleŜy  obliczyć  takŜe  poprawki  „v”,  aby  wielkości  poprawione  dały  jednoznaczny  układ 
wartości niewiadomych. 
 
Podstawy rachunku wyrównawczego. 

Błędy  przypadkowe  moŜna  uznać  za  zdarzenia  losowe,  do  których  stosuje  się  zasady 

rachunku  prawdopodobieństwa  i  teorii  błędów.  Prawdopodobieństwo  wystąpienia  błędów 
przypadkowych  zostało  ustalone  przez  niemieckiego  matematyka  i  geodetę  C.  F.  Gaussa 
(1777–1855)  w  postaci  prawa  błędów  Gaussa-Laplace’a,  a  wykresem  jest  krzywa 
prawdopodobieństwa  popełnienia  błędu  przypadkowego  zwana  krzywą  de  Moivre’a-Gaussa 
(rys. 1), gdzie φ(ε) jest funkcją określającą zmiany prawdopodobieństwa pojawienia się błędu 
„ε

i

”. 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

9 

 

 

Rys. 1

. 

Krzywa prawdopodobieństwa popełnienia błędu przypadkowego ε

 [

opracowanie własne] 

 

Z krzywej prawdopodobieństwa wynikają następujące wnioski: 

−

 

najbardziej prawdopodobne jest pojawienie się błędu przypadkowego „ε” równego zero, 

−

 

prawdopodobieństwo błędów o tej samej wartości bezwzględnej, lecz z róŜnymi znakami 
jest jednakowe, 

−

 

prawdopodobieństwo  błędu  mniejszego  jest  większe  niŜ  prawdopodobieństwo  błędu 
większego, 

−

 

zwiększenie  dokładności  pomiaru  powoduje  zmniejszenie  prawdopodobieństwa 
pojawienia się błędów o duŜych wartościach liczbowych, 

−

 

przy zwiększeniu liczby spostrzeŜeń „n” suma błędów przypadkowych [ε] dąŜy do zera. 
 
Zgodnie  z  załoŜeniami  Gaussa  funkcja  rozkładu  błędów  przypadkowych  osiąga 

maksimum (największą wiarygodność) przy spełnieniu warunku 
 

[εε] = minimum 

 
Najbardziej  wiarygodne  byłoby,  gdyby  poprawki  „v

i

”  były  równe  błędom  prawdziwym  „ε

i

” 

z przeciwnym znakiem 

[vv] = minimum 

 

Miary dokładności spostrzeŜeń 

Błędy  za  pomocą,  których  charakteryzuje  się  dokładność  obserwacji  mogą  być 

następujące: 

−

 

błąd absolutny „m

a

” przypadający na całą nieznaną wielkość 

−

 

błąd  względny  „m

w

”  przypadający  na  jednostkę  mierzonej  wielkości,  czyli  stosunek 

błędu  absolutnego  do  mierzonej  wielkości  „d”.  Błąd  ten  wyraŜamy  za  pomocą  ułamka 
z jednością  w  liczniku  i  stosujemy  tylko  przy  charakteryzowaniu  dokładności  pomiaru 
długości lub powierzchni 

m

w 

=

a

m

d   

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

10 

−

 

błąd  średni  pojedynczego  spostrzeŜenia  „m”  obliczony  na  podstawie  błędów 
prawdziwych 

m = 

[ ]

n

εε

 

 

gdzie  „n”  jest  liczbą  błędów  prawdziwych,  a  więc  i  liczbą  spostrzeŜeń.  Wobec  braku 

moŜliwości określenia błędów prawdziwych wzór ten jest rzadko stosowany. 

 
W przypadku,  gdy  błędy  prawdziwe  nie  są  znane,  średni  błąd  pojedynczego 

spostrzeŜenia, obliczamy na podstawie błędów pozornych „v” 

m = 

[

]

n 1

vv

−

 

 

−

 

błąd  graniczny  „g”,  którego  nazwa  pochodzi  stąd,  Ŝe  jego  przekroczenie  jest  mało 
prawdopodobne.  Błąd  ten  wyznacza  największą  wartość  błędu  dopuszczalnego  dla 
danego pomiaru i przyjmowany jest zwykle, jako trzykrotna wartość błędu średniego 

g = 3 m 

 

W praktyce przyjmuje się , Ŝe „g” znajduje się w przedziale 

2m ≤ g ≤ 3 m 

 
Przykład 1 

Długość boku poligonowego zmierzono 4-krotnie taśmą stalową uzyskując wyniki: 

 

L

1

 = 195,46 m 

 

L

2

 = 195,48 m 

 

L

3

 = 193,50 m 

 

L

4

 = 195,45 m 

Oblicz  błąd  średni  i  graniczny,  jeŜeli  za  długość  prawdziwą  przyjmiemy  długość 

zmierzoną tachimetrem elektronicznym, wynoszącą L = 195,456 m 
 

ε

i

 = L

i

 – L  

 

ε

1

 =L

1

 – L = 195,46 – 195, 456 = 0,004 m 

 

ε

2

 =L

2

 – L = 195,48 – 195, 456 = 0,024 m 

 

ε

3

 =L

3

 – L = 195,50 – 195, 456 = 0,044 m 

 

ε

4

 =L

4

 – L = 195,45 – 195, 456 = –0,006 m 

 

m = 

[ ]

n

εε

 

 

(

)

4

006

,

0

044

,

0

024

,

0

004

,

0

2

2

2

2

−

+

+

+

±

=

m

 

024

,

0

±

=

m

 [m] 

g = 3 

. 

m 

g = ±0,075 [m] 

 

JeŜeli błędy prawdziwe poszczególnych spostrzeŜeń nie przekraczają błędu granicznego, 

to  wówczas  spostrzeŜenia  te  bierzemy  do  wyrównania.  JeŜeli  błąd  dowolnego  spostrzeŜenia 
jest  większy  od  błędu  granicznego  to  wówczas  spostrzeŜenia  tego  nie  uwzględniamy  przy 
wyrównaniu. 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

11 

Przykład 2 

Pomierzyliśmy długość L = 200 m ze średnim błędem m = 

±

2 cm. Oblicz błąd względny 

tej długości. 

w

m

m

L

=

 

 

w

2cm

2cm

1

m

0, 0001

200m

20000cm

10000

±

±

=

=

= ±

= ±

 

 

w

m

100ppm

=

 (parts per million

)

 

 
Własności średniej arytmetycznej i błędów pozornych

 

Obserwacje L

1

, L

2

, …L

n

 otrzymane w wyniku pomiarów tej samej wielkości, stanowiącej 

niewiadomą,  nazywamy  spostrzeŜeniami  bezpośrednimi.  NiezaleŜnie  od  zwiększania  liczby 
pomiarów  „n”,  nieznana  wartość  prawidłowa  „X”  tej  wielkości  nie  daje  się  określić. 
Poszukujemy, zatem jej najbardziej prawdopodobną wartość „x” spełniającą związek:  

x = L

i

 + v

i

 

 

Uwzględniając zasadę, Ŝe [vv] = min., otrzymujemy: 
 

[vv] = (x–L

1

)

2

+(x–L

2

)

2

+…+(x–L

n

)

2

 = n

.

x

2

–2x

.

[L]+[LL]  

 

Otrzymana  funkcja  przedstawia  funkcję  typu  y  =  ax²+bx+c,  minimum  tej  funkcji  występuje 

dla wartości 

a

b

x

2

min

−

=

. PoniewaŜ a = n, b 

= −

2

. 

[L], więc 

[ ]

n

L

x

=

. 

Najbardziej prawdopodobną wartością dla spostrzeŜeń L

1

, L

2

, …L

n

 jest średnia arytmetyczna, 

czyli  suma  spostrzeŜeń  podzielona  przez  liczbę  pomiarów.  Dla  uniknięcia  duŜych  liczb 
średnią arytmetyczną moŜemy obliczać za pomocą wartości przybliŜonej „x

o

” 

x = x

o 

+ 

[ L]

n

∆

 

 

Wielkość  „x

o

”  moŜe  mieć  dowolną  wartość,  jednak  dla  wygody  obliczeń  najprościej  jest 

przyjąć  jako  „x

o

”  najmniejsze  ze  spostrzeŜeń.  Wielkości  ∆L  stanowią  róŜnicę  pomiędzy 

kolejnymi spostrzeŜeniami a wartością „x

o

” 

∆L

i

 = L

i 

– x

o 

 

 

Po wyznaczeniu średniej arytmetycznej obliczamy poprawki poszczególnych spostrzeŜeń 

v

i

 = x – L

i 

 

PoniewaŜ  suma  poprawek  spełnia  zaleŜność  [v]  =  n

.

x  –  [L],  to  podstawiając  do  równania 

wartość 

[ ]

n

L

x

=

, otrzymamy [v] = 0. 

Oceny  dokładności  pomiaru  i  wielkości  wyrównanych  dokonujemy  przez  obliczenie 
średniego błędu pojedynczego spostrzeŜenia 

m = ± 

[vv]

n 1

−

 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

12 

oraz średniego błędu średniej arytmetycznej „m

x

” 

m

x

 = ± 

[vv]

n (n-1)

⋅

 

 

Przykład 3 

Długość  boku  zmierzono  siedmiokrotnie.  Oblicz  wartość  najprawdopodobniejszą 

zmierzonej 

długości, 

średni 

błąd 

pojedynczego 

pomiaru 

oraz 

średni 

błąd 

najprawdopodobniejszej długości.  
 
Dane z pomiaru: 
  

L

1

 = 195,45 m 

 

L

2

 = 195,42 m 

 

L

3

 = 193,47 m 

 

L

4

 = 195,40 m 

 

L

5

 = 195,39 m 

 

L

6

 = 195,50 m 

 

L

7

 = 193,46 m 

 
Przyjmujemy wartość przybliŜoną (najlepiej przyjąć najmniejszą z wartości)  L

0

 = 195,39 m. 

Wartość najprawdopodobniejszą obliczymy ze wzoru: 

i

w

0

L

L

L

n

∆

=

+

 

 

i

L

∆

i

0

L

L

= −

 

 

w

0.36

L

195.39

195, 44m

7

=

+

=

 

 

Obliczenie wartości poprawek do spostrzeŜeń: 
 

v

1

 = L

w

 – L

1

 = 195,44 – 194,45 = –0,01  

 

v

2

 = L

w

 – L

2

 = 195,44 – 194,42 = + 0,02  

 

v

3

 = L

w

 – L

3

 = 195,44 – 194,47 = –0,03  

 

v

4

 = L

w

 – L

4

 = 195,44 – 194,40 = + 0,04  

 

v

5

 = L

w

 – L

5

 = 195,44 – 194,39 = + 0,05  

 

v

6

 = L

w

 – L

6

 = 195,44 – 194,50 = –0,06 

 

v

7

 = L

w

 – L

7

 = 195,44 – 194,46 = –0,02 

 
Teoretyczna suma poprawek powinna równać się zero. 

[v] = –0,01 

Na skutek zaokrąglenia wartości najprawdopodobniejszej suma [v] 

≠

 0, ale jest zbliŜona do zera.  

 
Średni błąd pojedynczego pomiaru 

m = ± 

[vv]

n-1

 

 

[vv] = 0,0095 

 

n = 7 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

13 

0, 0095

m

0, 04m

6

= ±

= ±

 

 
Średni błąd najprawdopodobniejszej długości 

m

L

 = ± 

[vv]

n (n-1)

⋅

 

 

m

L

 = ± 

0, 0095

7 (7 1)

⋅ −

0, 015m

= ±

 

 

Wyrównana długość boku wyniesie 

L

w

 = 195,44m 

±

 0,015 m 

 

lub  

 

L

w

 = 195,44m 

±

 15 mm 

 
Prawo przenoszenia się błędów 

 

PoniewaŜ wielkości obserwowane nie są bezbłędne, więc funkcje tych wielkości są takŜe 

obarczone  błędami.  Przy  rozwiązywaniu  zadań  geodezyjnych  często  zachodzi  potrzeba 
określenia dokładności funkcji wielkości obserwowanych.  
Do  wyznaczenia  średniego  błędu  funkcji  wielkości  obserwowanych,  niezaleŜnych  od  siebie, 
których  błędy  średnie  są  znane,  stosuje  się  sformułowane  przez  C.F.  Gaussa  prawo 
przenoszenia się błędów średnich 

 

m

F 

= 

2

2

2

1

2

1

2

n

n

F

F

F

m

m

m

L

L

L

⋅⋅⋅













∂

∂

∂

⋅

+

⋅

+ +

⋅













∂

∂

∂













 

 

gdzie: 

 

 

m

F 

– błąd średni funkcji, 

 

L

i

 – wielkość obserwowana, 

 

m

i

 – średni błąd wielkości obserwowanej, 

 

L

F

∂

∂

 – pochodna cząstkowa funkcji względem ustalonej wielkości obserwowanej. 

 

Błąd średni funkcji obserwacji jest równy pierwiastkowi z sumy kwadratów pochodnych 

cząstkowych  pomnoŜonych  przez  odpowiadające  im  średnie  błędy  zmiennych  niezaleŜnych. 
Wagę funkcji wyraŜa się wzorem 
 

2

2

2

...

1

1

2

2

1

1

1

1

F

n

n

F

F

F

p

L

p

L

p

L

p













∂

∂

∂

=

⋅

+

⋅

+ +

⋅













∂

∂

∂













 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

14 

Tabela 1. Zestawienie pochodnych funkcji najczęściej występujących w zadaniach geodezyjnych 

[

opracowanie 

własne] 

Lp. 

Nazwa funkcji 

Funkcja 

Pochodna 

1 

Stała 

y = c 

y’ = 0 

2 

Niewiadoma 

y = x 

y’ = 1 

3 

Potęga 

y = x

n 

y’ = n 

.

 x

n-1 

4 

Iloczyn liczby i potęgi 

y = ax

n

 

y

’

 = n

.

a

.

x

n-1 

5 

Pierwiastek 

y

x

=

 

y

’

1

2 x

=

 

6 

Suma lub róŜnica 

y = f(x)

±

g(x) 

y

’

 = f

 ’

(x)±g

’

(x) 

7 

Iloczyn 

y = f(x)

⋅

g(x) 

y

’

= f 

‘

(x)

.

g(x)+f(x)

.

g

’

(x) 

8 

Iloraz 

f (x)

y

g(x)

=

 

y

’ 

'

'

2

f (x) g(x) f (x) g (x)

g (x)

⋅

−

⋅

=

 

9 

Odwrotność 

1

y

x

=

 

y

’

2

1

x

= −

 

10 

Sinus 

y = sinx 

y

’

 = cosx 

11 

Cosinus 

y = cosx 

y

’

 = -sinx 

12 

Tangens 

y = tgx 

y

’

2

2

1

1 tg x

cos x

=

= +

 

13 

Cotangens 

y = ctgx 

y

’

2

2

1

(1 ctg x)

sin x

= −

= − +

 

14 

Arcus sinus 

y = arc sinx 

y

’

2

1

1 x

=

−

 

15 

Arcus cosinus 

y = arc cosx 

y

’

2

1

1 x

= −

−

 

16 

Arcus tangens 

y = arc tgx 

y

’

2

1

1 x

=

+

 

17 

Arcus cotangens 

y = arc ctgx 

y

’

2

1

1 x

= −

+

 

18 

ZłoŜona 

y = g[f(x)] 

gdzie f(x) = u 

y

’

 = g

’

(u) 

.

 f 

’

(x) 

 
Przykład 4 

Działka budowlana ma kształt trapezu (rys. 2). Pomierzono w niej dwa boki równoległe 

(a i b) oraz wysokość (h). Oblicz powierzchnię działki oraz jej błąd średni.  

 

 

 

 

Rys. 2. Działka w kształcie trapezu [opracowanie własne]  

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

15 

Dane uzyskane z pomiaru: 
a = 10,00 m ±0,15 m 
b = 15,00 m ±0,20 m 
h = 5,00 m ±0,10 m 
 
 

Powierzchnia działki (funkcja spostrzeŜeń) 

a

b

P

h

2

+

=

⋅

 

2

10m 15m

P

5m

62, 50m

2

+

=

⋅

=

 

 

Średni błąd powierzchni obliczamy ze wzoru 

 
 

 
gdzie: 

P

h

a

2

∂ =

∂

 

P

h

b

2

∂ =

∂

 

P

a

b

h

2

∂

+

=

∂

 

 
Podstawiając wyliczone pochodne cząstkowe do wzoru, otrzymamy 
 

2

2

2

2

2

2

p

a

b

h

h

h

a

b

m

m

m

m

2

2

2

+

 

 





= ±

⋅

+

⋅

+

⋅

 

 





 

 





 

 

2

2

2

2

2

2

2

p

m

2.5 0,15

2.5 0, 2

12.5 0,1

1, 4m

= ±

⋅

+

⋅

+

⋅

= ±

 

 

P = 62,5 m

2

±1,4 m

2 

 
Przykład 5 
 

Działka  ma  kształt  kwadratu  o  długości  boku  30  m.  Z  jaką  dokładnością  musimy 

pomierzyć bok kwadratu, aby błąd obliczonej powierzchni działki nie przekraczał 2 m

2

? 

 
Powierzchnia działki (funkcja spostrzeŜeń) 
 

P = a

2

 

 

2

2

p

a

P

m

m

a

∂





= ±

⋅





∂





 

2

2

2

2

2

2

p

a

b

h

P

P

P

m

m

m

m

a

b

h

∂

∂

∂













= ±

⋅

+

⋅

+

⋅













∂

∂

∂













„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

16 

P

2a

a

∂ =

∂

 

p

a

m

2a m

= ± ⋅

 

poniewaŜ

 

2

p

m

2m

≤

 to 

p

a

m

2a m

≤ ± ⋅

 

stąd 

p

a

m

m

2a

≤ ±

 

2

a

2m

m

2 30m

≤ ±

⋅

 

 

a

m

0, 03m

≤ ±

 

Odp. Bok kwadratu naleŜy pomierzyć co najmniej z dokładnością ±3 cm. 
 
Przykład 6 
 

Działka ma kształt trójkąta prostokątnego (rys. 3). Obliczyć długość przeciwprostokątnej 

„c” mając dane przyprostokątne „a” i „b”, oraz podać z jakim błędem średnim „m

c

” jest ona 

obliczona. 
 

 

 

Rys.

 

3. Działka w kształcie trójkąta 

[

opracowanie własne]

 

 

 

Dane uzyskane z pomiaru: 
a = 120,00 m ±0,06 m 
b = 50,00 m ±0,02 m 
 
 

Długość przeciwprostokątnej (funkcja spostrzeŜeń) 

 

2

2

c

a

b

=

+

 

 

2

2

c

120

50

130m

=

+

=

 

 

Średni błąd długości przeciwprostokątnej „m

c

” wyniesie 

 

2

2

2

2

c

a

b

c

c

m

m

m

a

b

∂

∂









= ±

⋅

+

⋅









∂

∂









 

2

2

2

2

c

1

a

a

2a

a

c

2 a

b

a

b

∂ =

⋅

=

=

∂

+

+

 

 

2

2

2

2

c

1

b

b

2b

b

c

2 a

b

a

b

∂ =

⋅

=

=

∂

+

+

 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

17 

2

2

2

2

c

a

b

a

b

m

m

m

c

c

 

 

= ±

⋅

+

⋅

 

 

 

 

 

 

2

2

2

2

c

120

50

m

0, 06

0, 02

0, 06m

130

130









= ±

⋅

+

⋅

= ±

















 

 

c = 130,00 m ±6 cm 

 

Przykład 7 
 

Zmierzono  odległość  „d”  pomiędzy  punktami  A  i  B  oraz  kąt  nachylenia  terenu  „α” 

(rys. 4). Obliczyć odległość „d

o

”, czyli odległość zredukowaną do poziomu odcinka A-B, oraz 

określić błąd średni tej odległości. 

 

 

Rys.

 

4. Pomiar odległości skośnej

 [

opracowanie własne]

 

 
Dane uzyskane z pomiaru: 
d = 280.00 m ±0,06 m 
α = 2

°

15

'

±1

'

 

Odległość „d

o

” zredukowana do poziomu (funkcja spostrzeŜeń): 

d

o

 = d

. 

cos α 

 

d

o

 = 280m 

.

 cos2

°

15

'

 = 279,78 m 

 

0

2

2

2

2

0

0

d

d

d

d

m

m

m

d

d

α

∂

∂









= ±

⋅

+

⋅









∂

∂









 

 

0

d

d

∂

∂

 

cos α

=

 

0

d

d

∂

∂

d sin α

= − ⋅

 

'

'

3438

ρ

=

 

(

)

(

)

0

2

2

2

2

α

d

d

'

m

m

cos α

m

d sin α

ρ





= ±

⋅

+ − ⋅

⋅









 

(

)

(

)

0

2

'

2

2

'

2

'

d

'

1

m

cos 2 15

0, 06

280 sin 2 15

3438





= ±

⋅

+ −

⋅

⋅









 

0

d

m

0, 06m

= ±

 

d

o 

= 279,78m ±0,06m = 279,78m ±6cm 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

18 

SpostrzeŜenia bezpośrednie jednakowo dokładne, niejednakowo dokładne, pary 
spostrzeŜeń 
 

SpostrzeŜenia  jednorodne  wykonane  tym  samym  przyrządem  i  metodą  pomiaru, 

w  identycznych  warunkach  środowiska,  przez  tego  samego  obserwatora  noszą  nazwę 
spostrzeŜeń  bezpośrednich  jednakowo  dokładnych.  Wszystkie  te  spostrzeŜenia  L

1

,  L

2

,…L

n

 

mają  charakter  spostrzeŜeń  typowych,  a  więc  charakteryzują  się  jednakowymi  błędami 
średnimi 

m

1

 = m

2

 = … = m

n

 = m 

 
 

Wyniki  pomiarów,  dla  których  nie  jest  spełnione  jedno  z  wcześniej  wymienionych 

załoŜeń  (ten  sam  przyrząd  metoda  pomiaru,  identyczne  warunki  środowiska,  ten  sam 
obserwator)  nazywamy  spostrzeŜeniami  bezpośrednimi  niejednakowo  dokładnymi.  Dla 
zróŜnicowania  dokładności  tych  spostrzeŜeń  przypisujemy  kaŜdemu  z  nich  pewną  dodatnią 
i niemianowaną  liczbę  „p”  zwaną  wagą,  określającą  stopień  naszego  zaufania  do  danej 
obserwacji.  SpostrzeŜenia  dokładniejsze  uzyskują  większą  wagę  niŜ  spostrzeŜenia  uzyskane 
z pomiaru mniej dokładnego. 
 

Szczególnym  spostrzeŜeniem  pośród  pomiarów  niejednakowo  dokładnych  jest 

spostrzeŜenie o wadze równej jedności (nie musi występować w danym zbiorze obserwacji), 
które  nosi  nazwę  spostrzeŜenia  typowego  a  średni  błąd  „m

o

”  tego  spostrzeŜenia  nazywamy 

średnim  błędem  jednostkowym.  Wszystkie  spostrzeŜenia  jednakowo  dokładne  są 
spostrzeŜeniami typowymi, a więc ich wagi są równe jedności. 
 

W pomiarach geodezyjnych bardzo często mamy do czynienia z obserwacjami znacznej 

liczby jednorodnych wielkości o róŜnych wartościach, z których kaŜdą mierzymy dwukrotnie. 
Taką  formę  pomiaru  nazywamy  pomiarem  parami.  JeŜeli  dysponujemy  znaczną  liczbą 
jednorodnych wielkości, mierzonych dwukrotnie (parami), to moŜemy obliczyć średnie błędy 
takich  spostrzeŜeń,  przy  czym  rozróŜniamy  pomiary  parami  jednakowo  i  niejednakowo 
dokładne. 
 
Średnie błędy spostrzeŜeń 

Głównymi zadaniami procesów wyrównania są: 

−

 

określenie najbardziej prawdopodobnych wartości wyników pomiaru (spostrzeŜeń), 

−

 

określenie najbardziej prawdopodobnych wartości szukanych wielkości (niewiadomych), 

−

 

dokonanie oceny dokładności materiału obserwacyjnego i wielkości wyrównanych. 

 
Dla poszczególnych rodzajów spostrzeŜeń będzie to wyglądało następująco: 
a)

 

spostrzeŜenia bezpośrednie jednakowo dokładne L

1

, L

2

, …, L

n

 

–

 

określenie najbardziej prawdopodobnej wartości „x” mierzonej wielkości 

x = 

[L]

n  

–

 

określenie najbardziej prawdopodobnych wartości spostrzeŜeń 

L

i

 = x - v

i

 

–

 

dokładność pojedynczego spostrzeŜenia tzw. średni błąd pojedynczego spostrzeŜenia 

m = ± 

[vv]

n-1

 

 

–

 

dokładność wielkości wyrównanej tzw. średni błąd średniej arytmetycznej 

m

x

 = ± 

[vv]

(

1)

n n

⋅ −

 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

19 

b)

 

spostrzeŜenia bezpośrednie niejednakowo dokładne L

1

, L

2

, …, L

n

 

 

Wagi obserwacji niejednakowo dokładnych są odwrotnie proporcjonalnie do kwadratów 

ich błędów średnich 

1

2

3

n

2

2

2

2

1

2

3

n

1

1

1

1

p : p : p ...p

:

:

: ...

m

m

m

m

=

 

Dla i-tego spostrzeŜenia oraz spostrzeŜenia typowego moŜemy napisać proporcje 

i

0

2

2

i

0

1

1

p : p

:

m

m

=

 

PoniewaŜ, p

o

 = 1, więc 

2

2

0

i

i

m

m

p

=

. 

−

 

określenie najbardziej prawdopodobnej wartości „x” mierzonej wielkości dokonujemy przy 
pomocy średniej arytmetycznej ogólnej (waŜonej). Średnia arytmetyczna ogólna jest równa 
sumie iloczynów spostrzeŜeń i odpowiadających im wag podzielonej przez sumę wag 

[ ]

[ ]

1

1

2

2

n

n

1

2

n

pL

p L +p L +…+p L

x = 

 = 

p

p +p +…+p

 

 

Podobnie  jak  w  przypadku  zwykłej  średniej  arytmetycznej  do  obliczenia  średniej  ogólnej 
moŜna wykorzystać wartość przybliŜoną „x

0

” 

[

]

[ ]

0

p ∆L

x = x +

p

⋅

 

 

−

 

określenie najbardziej prawdopodobnych wartości spostrzeŜeń L

i

 = x – v

i

  

−

 

dokładność typowego spostrzeŜenia (po = 1) tzw. średni błąd „m

0

” typowego spostrzeŜenia 

[ ]

0

pvv

m

n-1

= ±

 

 

−

 

dokładność wartości wyrównanej tzw. średni błąd „m

x

” średniej arytmetycznej ogólnej 

[ ]

[ ]

( )

x

pvv

m =±

p n-1

 

 

−

 

dokładność i-tego spostrzeŜenia tzw. średni błąd „m

i

” pojedynczego spostrzeŜenia 

[ ]

( )

i

i

pvv

m =±

p × n-1

 

c)

 

pary spostrzeŜeń 

–

 

określenie  najbardziej  prawdopodobnej  wartości  „x”  mierzonej  wielkości  dokonuje 
się przy wielkości średniej lub średniej arytmetycznej ogólnej.  

 

JeŜeli  pomiary  naszych  wielkości  dały  wyniki 

'
1

L

  i 

''
1

L

, 

'

2

L

  i 

''

2

L

,  …, 

'

n

L

, 

''

n

L

  to  róŜnice 

pomiędzy pierwszym a drugim pomiarem wynoszą 

d

1

 = 

'
1

L

- 

''
1

L

 

d

2

 = 

'

2

L

- 

''

2

L

 

………… 

d

n

 = 

'

n

L

- 

''

n

L

 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

20 

 

Gdyby  obserwacje  nie  były  obciąŜone  Ŝadnymi  błędami  przypadkowymi  ani 

systematycznymi,  to  róŜnice  te  byłyby  wszystkie  równe  zeru.  W  rzeczywistości  jednak 
wyniki  pomiarów  bezpośrednich  są  obciąŜone  błędami  przypadkowymi,  więc  otrzymane 
róŜnice „d” moŜemy uwaŜać za błędy prawdziwe wyznaczenia róŜnicy dwóch obserwacji. 

–

 

dokładność róŜnicy spostrzeŜeń tzw. średni błąd róŜnicy 

[ ]

d

dd

m =

n

 

 

 

n – liczba par spostrzeŜeń 

–

 

dokładność pojedynczego pomiaru wykonanego parami tzw. średni błąd pojedynczego 
pomiaru 

[ ]

dd

2n

2

d

m

m

=

=

 

 

–

 

dokładność podwójnego pomiaru dowolnej pary danego szeregu spostrzeŜeń tzw. błąd 
średni średniej arytmetycznej 

[ ]

L

dd

m

1

m =

=

2

n

2

 

 

–

 

dla pomiarów niejednakowo dokładnych błąd róŜnicy spostrzeŜeń  

[ ]

d

pdd

m =

n

 

 

 

 

oraz średni błąd typowego spostrzeŜenia 

[ ]

0

pdd

m =

2n

 

 
Przykład 8 
 

Wyznacz  najprawdopodobniejszą  wartość  długości  odcinka  AB,  pomierzonego 

czterokrotnie z jednakową dokładnością. 
 

L

1

 = 154,152m 

 

L

2

 = 154,147m 

 

L

3

 = 154,155m 

 

L

4

 = 154,150m 

 

Algorytm stepowania: 

1.

 

Określenie najbardziej prawdopodobnej wartości „L

w

” 

[ ]

w

L

L

n

=

 

 

w

154,152 154,147 154,155 154,150

L

4

+

+

+

=

 

 

w

L

154,151m

=

 

 

2.

 

Obliczenie poprawek dla poszczególnych spostrzeŜeń 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

21 

3.

 

 

v

i

 = L

w

 – L

i 

v

1

 = 154,151 – 154,152 = 

−

0,001m  

v

2

 = 154,151 – 154,147 = +0,004m  

v

3

 = 154,151 – 154,155 = 

−

0,004m  

v

4

 = 154,151 – 154,150 = +0,001m  

[v] = v

1

+v

2

+v

3

+v

4

 = 0 

 

4.

 

Obliczenie średniego błędu pojedynczego spostrzeŜenia 

[ ]

vv

m

n 1

=

−

 

 

[ ]

2

2

2

2

1

2

3

4

vv

v

v

v

v

=

+ + +

 

 

[ ]

vv

0, 000034

=

 

 

[

]

0, 000034

m

0, 003m

3

=

= ±

 

5.

 

Obliczenie średniego błędu wyrównanej długości odcinka AB 

[ ]

(

)

L

vv

m

n n 1

= ±

−

 

 

(

)

L

0, 000034

m

0, 002m

4 4 1

= ±

= ±

−

 

 

L

w

 = 154,151m ±0,002m 

 
Przykład 9 
 

Pomierzyliśmy kąt trzema teodolitami: pierwszym ze średnim błędem m

1

 = ±30

”

, drugim 

ze  średnim  błędem  m

2

  =  ±20

”

,  trzecim  ze  średnim  błędem  m

3

  =  ±10

”

.  Jakie  są  wagi  tych 

spostrzeŜeń? 
 
 

PoniewaŜ, nie mamy tutaj podanego średniego błędu typowego spostrzeŜenia, więc jedno 

ze spostrzeŜeń przyjmujemy za typowe. 
1.

 

"

30

0

1

±

=

=

m

m

 

p

1 

= 1   

 

( )

( )

2

"

2
0

2

2

2

"

2

30

m

p

2, 25

m

20

=

=

=

 

( )

( )

2

"

2
0

3

2

2

"

3

30

m

p

9

m

10

=

=

=

 

 

2.

 

"

20

2

0

±

=

=

m

m

 

p2 = 1 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

22 

( )

( )

2

"

2
0

1

2

2

"

1

20

m

4

p

m

9

30

=

=

=

 

( )

( )

2

"

2
0

3

2

2

"

3

20

m

p

4

m

10

=

=

=

 

3.

 

"

10

0

3

±

=

=

m

m

 

p3 = 1 

( )

( )

2

"

2
0

1

2

2

"

1

10

m

1

p

m

9

30

=

=

=

 

( )

( )

2

"

2
0

2

2

2

"

2

10

m

1

p

m

4

20

=

=

=

 

 
Otrzymujemy w ten sposób trzy układy wag, które są sobie równowaŜne i moŜemy dowolny 
układ wag uwzględniać w obliczeniach. 
 
Przykład 10 

Wyznacz  najprawdopodobniejszą  wartość  kąta  ABC,  który  pomierzono  czterokrotnie 

teodolitami o róŜnej dokładności (rys. 5). 
 

 

 

Rys. 5. Pomiar kąta 

[

opracowanie własne] 

 

 
Wyniki uzyskane z pomiaru:

 

 

α

1

 = 44°15

’

20

”

±20

”

 

 

α

2

 = 44°14

’

58

”

±10

”

 

 

α

3

 = 44°15

’

05

”

±5

”

 

 

α

4

 = 44°15

’

10

”

±15

” 

 

1.

 

Ustalenie wag poszczególnych spostrzeŜeń.  
Przyjmujemy średni błąd typowego spostrzeŜenia m

o

= 10

”

 i w związku z tym p

2 

= 1 

( )

( )

2

''

2
0

1

2

2

''

1

10

m

p

0, 25

m

20

=

=

=

 

 

( )

( )

2

''

2
0

3

2

2

''

3

10

m

p

4

m

5

=

=

=

 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

23 

 

( )

( )

2

''

2
0

4

2

2

''

4

10

m

p

0, 44

m

15

=

=

=

 

 

2.

 

Określenie wartości przybliŜonej kąta.  
Przyjmujemy  jako  przybliŜoną  wartość  mierzonego  kąta,  najmniejszą  wartość  uzyskaną 

z pomiaru. 

α

0

 = α

2

 = 44°14

’

58

”

 

 

3.

 

Określenie najbardziej prawdopodobnej wartości pomierzonego kąta  

 

[

]

[ ]

w

0

p

p

α

α

α

⋅∆

=

+

 

 

o

'

"

o

'

"

"

1

1

0

44 15 20

44 14 58

22

α α α

∆ =

−

=

−

= +

 

o

'

"

o

'

"

"

2

2

0

44 14 58

44 14 58

0

α

α α

∆

=

−

=

−

=

 

 

o

'

"

o

'

"

"

3

3

0

44 15 05

44 14 58

7

α α α

∆ =

−

=

−

= +

 

 

o

'

"

o

'

"

"

4

4

0

44 1510

44 14 58

12

α

α α

∆

=

−

=

−

= +

 

"

"

o

'

"

w

0, 25 22

4 7

0.44 12

44 14 58

0, 25 1 4 0, 44

α

⋅

+ ⋅ +

⋅

=

+

+ + +

 

o

'

"

"

o

'

"

w

44 14 58

6,8

44 15 04,8

α

=

+

=

 

 

4.

 

Określenie poprawek dla poszczególnych spostrzeŜeń  

v

i 

= α

w

 – α

i 

v

1

 = 

o

'

"

44 15 04,8  

−

 

o

'

"

44 15 20  = 

−

15,2

”

 

v

2

 = 

o

'

"

44 15 04,8

−

 

o

'

"

44 14 58  = +6,8

” 

v

3

 = 

o

'

"

44 15 04,8

−

 

o

'

"

44 15 05  = 

−

0,2

” 

v

4

 = 

o

'

"

44 15 04,8

−

 

o

'

"

44 1510  = 

−

5,2

” 

 

5.

 

Kontrola obliczenia średniej arytmetycznej. 

 [pv] = 0 

 

[pv] = 0,25

.

(

−

15,2

”

 ) + 1

.

(6,8

” 

) 

−

 4

.

(0,2

” 

) 

−

 0,44

.

(

−

5,2

” 

) 

 

[pv] = 

−

 0,1 

 

6.

 

Określenie średniego błędu typowego spostrzeŜenia 

[ ]

0

pvv

m

n 1

= ±

−

 

 

[ ]

( )

2

"

pvv

116,12

=

 

 

"

0

116,12

m

6, 2

4 1

= ±

= ±

−

 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

24 

7.

 

Określenie średniego błędu pojedynczego spostrzeŜenia 

[ ]

i

i

pvv

m

p (n 1)

= ±

−

 

 

"

1

116,12

m

12, 4

0, 25 (4 1)

= ±

= ±

⋅ −

 

 

"

2

116,12

m

6, 2

1 (4 1)

= ±

= ±

⋅ −

 

 

"

3

116,12

m

3,1

4 (4 1)

= ±

= ±

⋅ −

 

 

"

4

116,12

m

9, 4

0, 44 (4 1)

= ±

= ±

⋅ −

 

 

8.

 

Określenie średniego błędu wyrównanej wartości kąta 

[ ]

pvv

m

[p](n 1)

α

= ±

−

 

 

"

116,12

m

2, 6

5, 69 (4 1)

α

= ±

= ±

⋅ −

 

 

α

w

 = 44°15

’

04,8

”

 = ±2,6

”

 

 
Przykład 11 
 

Wyznacz  najprawdopodobniejszą  wartość  pięciu  odcinków  pomierzonych  parami 

z jednakową dokładnością (rys. 6) 

 

 

 

Rys. 6. Pomiar długości boków w pięciokącie 

[

opracowanie własne] 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

25 

Tabela 2. Wyniki pomiarów

 [

opracowanie własne]

  

Wyniki pomiarów 

Odcinek 

l

1 

l

2 

1

−

2 

207,85 

207,90 

2

−

3 

202,31 

202,28 

3

−

4 

204,42 

204,49 

4

−

5 

214,38 

214,31 

5

−

1 

206,72, 

205,78 

 

1.

 

Określenie najbardziej prawdopodobnej wartości długości odcinków (średnie arytmetyczne) 

207,85 207, 90

1 2

207, 785

2

+

− =

=

 

 

202, 31 202, 28

2 3

202, 295

2

+

− =

=

 

 

204, 42 204, 49

3 4

204, 445

2

+

− =

=

 

 

214, 38 214, 31

4 5

214, 345

2

+

− =

=

 

 

206, 72 205, 78

5 1

205, 750

2

+

− =

=

 

 

2.

 

Określenie błędów prawdziwych wyznaczenia róŜnicy dwóch obserwacji 

1 2

1

2

d

l

l

0, 05m

−

= − = −

 

2 3

1

2

d

l

l

0, 03m

−

= − = +

 

3 4

1

2

d

l

l

0, 07m

−

= − = −

 

4 5

1

2

d

l

l

0, 07m

−

= − = +

 

5 1

1

2

d

l

l

0, 06m

−

= − = −

 

  

3.

 

Określenie błędu średniego róŜnicy 

[ ]

d

dd

m

n

= ±

 

 

[ ]

dd

0, 0168

=

 

 

d

0, 0168

m

0, 058m

5

= ±

= ±

 

  

4.

 

Określenie średniego błędu pojedynczego pomiaru.  

 

[ ]

d

dd

m

m

2n

2

=

= ±

 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

26 

0, 0168

m

0, 041m

2 5

= ±

= ±

⋅

 

 

5.

 

Określenie średniego błędu średniej arytmetycznej 

[ ]

L

dd

m

1

m

2

n

2

=

= ± ⋅

 

 

L

1

0, 0168

m

0, 029m

2

5

= ± ⋅

= ±

 

 
6.

 

Określenie średniego błędu dla podwójnego pomiaru kaŜdego odcinka. 
Błędy  te  obliczamy  podstawiając  do  powyŜszych  wzorów  n  =  1  a  zamiast  [dd] 

odpowiednie dd.  

–

 

błąd średni róŜnicy jednej pary 

[ ]

d

dd

m

d

1

= ±

= ±

 

1

d

m

0, 05m

= ±

 

2

d

m

0, 03m

= ±

 

3

d

m

0, 07m

= ±

 

4

d

m

0, 07m

= ±

 

5

d

m

0, 06m

= ±

 

 

–

 

błąd średni jednego pomiaru 

[ ]

dd

d

m

2 1

2

= ±

= ±

⋅

 

1

m

0, 035m

= ±

 

2

m

0, 021m

= ±

 

3

m

0, 050m

= ±

 

4

m

0, 050m

= ±

 

5

m

0, 042m

= ±

 

 

–

 

błąd średni średniej arytmetycznej (wartości wyrównanej)  

[ ]

L

dd

1

d

m

2

1

2

= ±

= ±

 

1

L

m

0, 025m

= ±

 

2

L

m

0, 015m

= ±

 

3

L

m

0, 035m

= ±

 

4

L

m

0, 035m

= ±

 

L5

m

0, 030m

= ±

 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

27 

1 2

207, 785 0, 025m

− =

±

 

2 3

202, 295 0, 015m

− =

±

 

3 4

204, 445 0, 035m

− =

±

 

4 5

214, 345 0, 035m

− =

±

 

5 1

205, 750 0, 030m

− =

±

 

 

4.1.2.  Pytania sprawdzające 

 

Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń. 

1.

 

Jak określamy błędy spostrzeŜeń w zaleŜności od źródła powstawania? 

2.

 

Co to jest błąd prawdziwy spostrzeŜenia? 

3.

 

Co jest zadaniem rachunku wyrównawczego? 

4.

 

Na czym opierają się podstawy rachunku wyrównawczego? 

5.

 

Jak określimy błędy za pomocą, których charakteryzuje się dokładność obserwacji? 

6.

 

Jak określamy średnią arytmetyczną? 

7.

 

Na czym polega prawo przenoszenia się błędów? 

8.

 

Co to są spostrzeŜenia bezpośrednie jednakowo dokładne? 

9.

 

Co to są spostrzeŜenia bezpośrednie niejednakowo dokładne? 

10.

 

Co to są pary spostrzeŜeń? 

11.

 

Jakie są główne zadania procesu wyrównania spostrzeŜeń? 

12.

 

Co to są wagi spostrzeŜeń? 

13.

 

Jak określamy średnią arytmetyczną ogólną? 

 

4.1.3.  Ćwiczenia 

 
Ćwiczenie 1 
 

Wyrównaj spostrzeŜenia bezpośrednie jednakowo dokładne. 

 
 

Sposób wykonania ćwiczenia 

 

 

 

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 

1)

 

odszukać w materiałach dydaktycznych spostrzeŜenia bezpośrednie jednakowo dokładne 
i średnie błędy spostrzeŜeń bezpośrednich jednakowo dokładnych, 

2)

 

sformułować, w oparciu o wyniki pomiarów podane przez nauczyciela, temat ćwiczenia, 

3)

 

obliczyć wartość najbardziej prawdopodobną mierzonej wielkości przy pomocy średniej 
arytmetycznej, 

4)

 

określić najbardziej prawdopodobne wartości spostrzeŜeń, 

5)

 

obliczyć średni błąd pojedynczego pomiaru, 

6)

 

obliczyć średni błąd najbardziej prawdopodobnej mierzonej wielkości. 

 

WyposaŜenie stanowiska pracy: 

−

 

kalkulator, 

−

 

papier formatu A4, 

−

 

„Poradnik dla ucznia”. 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

28 

Ćwiczenie 2 
 

Wyrównaj spostrzeŜenia bezpośrednie niejednakowo dokładne. 

 
 

Sposób wykonania ćwiczenia 

 

 

 

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 

1)

 

odszukać  w  materiałach  dydaktycznych  spostrzeŜenia  bezpośrednie  niejednakowo 
dokładne i średnie błędy spostrzeŜeń bezpośrednich niejednakowo dokładnych, 

2)

 

sformułować, w oparciu o wyniki pomiarów podane przez nauczyciela, temat ćwiczenia, 

3)

 

określić wagi spostrzeŜeń, 

4)

 

obliczyć najbardziej prawdopodobną wartość mierzonej wielkości przy pomocy średniej 
arytmetycznej ogólnej (waŜonej), 

5)

 

określić najbardziej prawdopodobne wartości spostrzeŜeń, 

6)

 

obliczyć średni błąd typowego spostrzeŜenia, 

7)

 

obliczyć średni błąd średniej arytmetycznej ogólnej, 

8)

 

obliczyć średnie błędy poszczególnych spostrzeŜeń. 

 

WyposaŜenie stanowiska pracy: 

−

 

kalkulator, 

−

 

papier formatu A4, 

−

 

„Poradnik dla ucznia”. 

 

4.1.4.

 

Sprawdzian postępów 

 
Czy potrafisz: 

 

Tak 

 

Nie 

1)

 

dokonać  podziału  błędów  spostrzeŜeń  w  zaleŜności  od  źródła 
powstawania? 

 

 

 

 

2)

 

zdefiniować błąd prawdziwy spostrzeŜenia? 

 

 

3)

 

określić zadanie rachunku wyrównawczego? 

 

 

4)

 

dokonać  podziału  błędów,  za  pomocą  których  charakteryzuje  się 
dokładność obserwacji? 

 

 

 

 

5)

 

obliczyć średnią arytmetyczną? 

 

 

6)

 

określić na czym polega prawo przenoszenia się błędów? 

 

 

7)

 

zdefiniować spostrzeŜenia bezpośrednie jednakowo dokładne? 

 

 

8)

 

zdefiniować spostrzeŜenia bezpośrednie niejednakowo dokładne? 

 

 

9)

 

zdefiniować pary spostrzeŜeń? 

 

 

10)

 

określić główne zadanie procesu wyrównania spostrzeŜeń? 

 

 

11)

 

zdefiniować wagi spostrzeŜeń? 

 

 

12)

 

określić średnią arytmetyczną ogólną? 

 

 

 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

29 

4.2.

 

Wyrównanie metodą pośredniczącą 

 
4.2.4.

 

Materiał nauczania 

 
Ogólne zasady wyrównania metodą pośredniczącą. 
 

Istnieje  wiele  zadań  geodezyjnych,  w  których  bezpośredniemu  pomiarowi  podlegają 

wielkości  słuŜące  do  rachunkowego  (pośredniego)  wyznaczenia  innych  przekształconych 
wielkości,  stanowiących  niewiadome.  SpostrzeŜenia  L

1

,  L

2

,  …,  L

n

,  które  nie  odnoszą  się 

bezpośrednio  do  wielkości  szukanych,  lecz  słuŜą  do  wyznaczenia  niewiadomych  za  pomocą 
ustalonych  związków,  noszą  nazwę  spostrzeŜeń  pośredniczących.  Charakterystycznym 
przykładem  jest  kątowe  wcięcie  wstecz,  w  którym  bezpośrednio  mierzy  się  kąty  poziome 
o wierzchołku w punkcie o nieznanych współrzędnych i ramionach przechodzących przez punkty 
o  znanych  współrzędnych  a  następnie  określa  się  współrzędne  (X

s

;  Y

s

)  punktu  wcinanego  „S” 

(rys. 7).  

 

 

Rys. 7. Kątowe wcięcie wstecz [opracowanie własne] 

 

n = 2 ilość obserwacji 
u = 2 ilość niewiadomych 
 
Zadanie takie ma tylko jedno rozwiązanie, poniewaŜ zawiera dwie obserwacje niezbędne 

do określenia dwóch niewiadomych (X, Y) i nie podlegają one wyrównaniu.  

JeŜeli  będziemy  mogli  pomierzyć  kierunki  do  czterech  punktów  (rys.  8)  to  wówczas 

otrzymamy obserwacje nadliczbowe n

n 

 

 

 

Rys. 8.

 

Kątowe wcięcie wstecz z elementami nadliczbowymi 

[

opracowanie własne] 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

30 

n = 5 ilość obserwacji 
u = 2 ilość niewiadomych 
n

n

 = n – u = 5 – 2 = 3 ilość obserwacji nadliczbowych 

 
Do  obliczenia  współrzędnych  (X,  Y)  moŜemy  skorzystać  z  punktów  ABC,  ABD,  ACD 

lub  BCD  i  otrzymać  4  niezaleŜne  rozwiązania.  Aby  otrzymać  jedno  rozwiązanie  musimy 
zastosować  rachunek  wyrównawczy,  w  którym  zakładamy,  Ŝe  funkcje  F

1

,  F

2

,  …,  F

n

 

zachodzące  pomiędzy  mierzonymi  wartościami  prawdziwymi  spostrzeŜeń  A

1

,  A

2

,  …,  A

n 

a prawdziwymi niewiadomymi X, Y, Z,… zachodzą takŜe między wartościami wyrównanymi 
(najbardziej prawdopodobnymi) tych wielkości 

Przykładem prostego zadania moŜe być wyrównanie kątów w przykładzie (rys. 9).  

 

 

 

Rys. 9.

 

Pomiar kątów na stanowisku „S” 

[

opracowanie własne]

 

 
n = 6 
u = 3 
n

n 

= 3 

 

W  tym  przypadku  występują  trzy  spostrzeŜenia  nadliczbowe,  poniewaŜ  do  wzajemnego 

określenia połoŜenia czterech kierunków niezbędne jest pomierzenie trzech kątów np. kątów 
1,  2,  3,  których  wartości  prawdziwe  będą  stanowić  niewiadome  X,  Y,  Z.  Pomiędzy 
wartościami  prawdziwymi  spostrzeŜeń  A

1

,  A

2

,  …,  A

6

  a  niewiadomymi  moŜna  napisać 

następujące związki funkcyjne: 
 

A

1 

= X 

 

A

2

 = Y 

 

A

3 

= Z 

 

A

4

 = X+Y 

 

A

5

 = Y+Z 

 

A

6

 = X+Y+Z  

PoniewaŜ nie znamy wartości prawdziwych A

i

 mierzonych wielkości, więc zastępujemy 

je najprawdopodobniejszymi wartościami spostrzeŜeń wyrównanych „L

i

 + v

i

” uzyskiwanych 

w wyniku wyrównania. 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

31 

Równania poprawek i równania normalne 

 

Proces  wyrównawczy  dostarcza  poprawek  „v

i

”,  które  dodane  do  spostrzeŜeń  powodują 

spełnienie  przez  spostrzeŜenia  wyrównane  „L

i

  +  v

i

”  i  najprawdopodobniejsze  wartości 

niewiadomych „x,y,z,…”, tych samych funkcji „F

1

, F

2

, …, F

n

”, które wiąŜą ze sobą wartości 

prawdziwe spostrzeŜeń A

1

, A

2

, …, A

n

 z wartościami prawdziwymi niewiadomych X,Y,Z,… 

Dla kaŜdego spostrzeŜenia, moŜna więc, napisać związki zwane równaniami obserwacyjnymi.  

L

1

+v

1

 = F

1 

(x,y,z,…) 

L

2

+v

2

 = F

2

 (x,y,z,…)

 

…………………………………..

 

L

n

+v

n

 = F

n

 (x,y,z,…) 

 

Otrzymany  układ  „n”  równań  obserwacyjnych  moŜemy  przekształcić  do  układu  „n”  równań 
poprawek (błędów) w postaci 

v

1

 = F

1 

(x,y,z,…) – L

1  

v

2 

= F

2 

(x,y,z,…) – L

2 

……………………….

 

v

n 

= F

n 

(x,y,z,…) – L

n  

 

JeŜeli  funkcje  F

1

,  F

2

,  …,  F

n

  mają  charakter  nieliniowy,  to  trzeba  je  doprowadzić  do  postaci 

liniowej  poprzez  rozwinięcie  funkcji  na  szereg  Taylora  (z  odrzuceniem  wyrazów  rzędu 
wyŜszego niŜ pierwszy). JeŜeli zamiast niewiadomych x,y,z,… będących przewaŜnie duŜymi 
liczbami  ,  wprowadzimy  niewielkie  liczbowo  poprawki  niewiadomych  dx,dy,dz,…,  które 
spełniają zaleŜności: 

x = x

o

 + dx 

y = y

o

 + dy 

z = z

o

 + dz 

to wówczas 
 

(

)

i

0

0

0

F x

dx, y

dy, z

dz

+

+

+

=

(

)

i

i

i

i

0

0

0

F

F

F

F x , y , z

dx

dy

dz

x

y

z













∂

∂

∂













+

+



+



































∂

∂

∂





 

 
Współczynniki  przy  niewiadomych  dx,  dy,  dz  są  równe  pochodnym  cząstkowym  funkcji 
F

1

, F

2

,…F

n

 względem poszczególnych niewiadomych i jeŜeli oznaczymy je przez  

i

i

F

a

x





∂ 



=











∂

 

i

i

F

b

y





∂ 



 =









 ∂





 

i

i

F

c

z





∂ 



=











∂

 

a wyrazy wolne równań powstające jako róŜnice przybliŜonych wartości funkcji F

i 

(x

o

, y

o

, z

o

) 

oraz spostrzeŜeń L

i

 oznaczymy przez 

F

i 

(x

o

,y

o

,z

o

) – L

i

 = l

i

 

to wówczas otrzymamy układ równań poprawek w postaci 

v

1 

= a

1

.

dx + b

1

.

dy + c

1

.

dz +…+ l

1

 

v

2 

= a

2

.

dx + b

2

.

dy + c

2

.

dz +…+ l

2 

.......................................................................... 

v

n 

= a

n

.

dx + b

n

.

dy + c

n

.

dz +…+ l

n 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

32 

W  układzie  „n”  równań  błędów  występuje  „n+u”  nieznanych  poprawek  „v

i

”  oraz  „u” 

niewiadomych  dx,  dy,  dz,….,  a  więc  układu  tego  nie  moŜna  rozwiązać  bez  dodatkowego 
warunku.  Do  określenia  tych  wielkości,  jest,  więc  konieczne  wprowadzenie  zasady 
najmniejszych kwadratów [vv]=min. dla spostrzeŜeń jednakowo dokładnych lub [pvv] = min. 
dla spostrzeŜeń niejednakowo dokładnych. JeŜeli utworzymy funkcję Φ = [vv] to 
Φ = [vv] = ( a

1

.

dx + b

1

.

dy + c

1

.

dz +…+ l

1

)

2

+( a

2

.

dx + b

2

.

dy + c

2

.

dz +…+ l

2

)

2

+( a

n

.

dx + b

n

.

dy + 

c

n

.

dz +…+ l

n

)

2

 

Po  uporządkowaniu  powyŜszego  równania  względem  poszczególnych  zmiennych  oraz 
wprowadzeniu symboli sumowych otrzymamy: 

Φ = [vv] = [aa]

.

dx

2

+2

.

[ab]

.

dx

.

dy+2

.

[ac]

.

dx

.

dy+2

.

[bc]

.

dy

.

dz+2

.

[al]+[bb]

.

dy

2

+…+[ll] 

Warunkiem  koniecznym  dla  osiągnięcia  minimum  przez  funkcję  Φ  jest  zerowanie  się  jej 
wszystkich pochodnych cząstkowych względem poszczególnych zmiennych 

[ ]

vv

0

dx

∂

=

∂

 

 

[ ]

vv

0

dy

∂

=

∂

 

 

[ ]

vv

0

dz

∂

=

∂

 

np. 

[ ]

vv

dx

∂

=

∂

2

.

[aa]

.

dx + 2

.

[ab]

.

dy + 2

.

[ac]

.

dz +…+2

.

[al] = 0 

 

Po zestawieniu pozostałych równań i podzieleniu ich przez 2 otrzymamy układ „u” liniowych 
równań normalnych zawierających „u” niewiadomych. 

 

[aa]dx + [ab]dy + [ac]dz + …+[al] = 0 

[ab]dx + [bb]dy + [bc]dz + …+[bl] = 0 

[ac]dx + [bc]dy + [cc]dz + …+[cl] = 0 

…………………………………………………………… 

 

Układ  równań  normalnych  jest  układem  symetrycznym  i  moŜna  rozwiązać  go  za  pomocą 
wybranego  algorytmu  obliczeniowego  np.  algorytmu  Gaussa  (kolejna  redukcja 
niewiadomych) lub Banachiewicza (pierwiastek krakowianowy). 
 
Metoda pośrednicząca 
 

Po  rozwiązaniu  układu  równań  normalnych  uzyskujemy  wartości  poprawek 

niewiadomych  dx,  dy,  dz,  …  które  dodajemy  do  przybliŜonych  wartości  niewiadomych 
x

o

, y

o

, z

o

,… i otrzymujemy najbardziej prawdopodobne (wyrównane) wartości niewiadomych 

x,  y,  z,…  Kolejnym  etapem  wyrównania  jest  obliczenie  poprawek  spostrzeŜeń  „v

i

” 

otrzymywanych  z  równań  poprawek  a  następnie  poprawienie  spostrzeŜeń  „L

i

”  poprzez 

dodanie do nich poprawek „v

i

”, co w efekcie daje wartości spostrzeŜeń wyrównanych. 

Kontrola ogólna polega na obliczeniu zaleŜności 

[al]dx +[bl]dy + [cl]dz + …+[ll] = [vv] 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

33 

 

Kontrola  generalna  (ostateczna)  polega  na  podstawieniu  wartości  niewiadomych  do 

równań obserwacyjnych i sprawdzeniu ich spełnienia. Końcowy etap wyrównania spostrzeŜeń 
stanowi  ocena  dokładności,  polegająca  na  obliczeniu  średnich  błędów  obserwacji 
niewiadomych i połoŜenia punktów.  
Średni  błąd  pojedynczego  spostrzeŜenia  dla  spostrzeŜeń  jednakowo  dokładnych  obliczamy 
ze wzoru 

m = 

[vv]

n

u

±

−

 

 
Dla  określenia  średniego  błędu  typowego  spostrzeŜenia  dla  spostrzeŜeń  niejednakowo 
dokładnych posługujemy się wzorem 

m

o

 = 

[pvv]

n

u

±

−

 

 

Dla  określenia  średnich  błędów  niewiadomych  konieczne  jest  wyznaczenie  tzw. 
współczynników wagowych „Q”. 
Jednym ze sposobów ich wyznaczenia jest rozwiązanie układu równań zwanych równaniami 
wag.  Łączna  ilość  tych  równań  wynosi  „n

2

”,  np.  dla  spostrzeŜeń  jednakowo  dokładnych 

i trzech niewiadomych (u = 3) układ równań wag przyjmuje postać: 
 

[aa]Q

11

 + [ab]Q

12

 + [ac]Q

13

 = 1 

 

[ab]Q

11

 + [bb]Q

12

 + [bc]Q

13

 = 0 

[ac]Q

11

 + [bc]Q

12

 + [cc]Q

13

 = 0 

 

[aa]Q

21

 + [ab]Q

22

 + [ac]Q

23

 = 0 

 

[ab]Q

21

 + [bb]Q

22

 + [bc]Q

23

 = 1 

[ac]Q

21

 + [bc]Q

22

 + [cc]Q

23

 = 0 

 

[aa]Q

31

 + [ab]Q

32

 + [ac]Q

33

 = 0 

 

[ab]Q

31

 + [bb]Q

32

 + [bc]Q

33

 = 0 

[ac]Q

31

 + [bc]Q

32

 + [cc]Q

33

 = 1 

 
Średnie błędy poszczególnych niewiadomych określają wzory 

m

x

 = m

o

11

Q

 

m

y

 = m

o

22

Q

 

m

z

 = m

o

33

Q

 

 

Ocena  dokładności  osnów  geodezyjnych  opiera  się  przewaŜnie  na  wyznaczeniu  po 
wyrównaniu  średnich  błędów  „m

x

”  i  „m

y

”  współrzędnych  punktów  wyznaczanych, 

stanowiących niewiadome w metodzie pośredniczącej oraz średniego błędu połoŜenia punktu 
obliczanego na podstawie wzoru 

m

p

 = 

2

2

x

y

m

m

+

 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

34 

Przykład 12 
 

Wyrównać metodą pośredniczącą jednakowo dokładne kąty pomierzone na pojedynczym 

stanowisku pomiarowym S (rys. 10). 
 

Tabela 3 Dane uzyskane z pomiaru 

Nr kąta 

Wartość kąta 

1 

g

c

cc

41 20 15

 

2 

g

c

cc

52 32 31

 

3 

g

c

cc

58 14 22

 

4 

g

c

cc

93 52 52

 

5 

g

c

cc

110 46 41

 

6 

g

c

cc

151 66 60

 

 

 

 

Rys. 10. Pomiar kątów na stanowisku „S” 

[

opracowanie własne]  

 

1.

 

Wybór niewiadomych i określenie ich wartości przybliŜonych: 

1

x

=

∢

 

2

y

=

∢

 

3

z

=

∢

 

0

x

=

g

c

cc

41 20 00  

0

y

=

g

c

cc

52 32 00  

0

z

=

g

c

cc

58 14 00  

 

2.

 

Zestawienie równań obserwacyjnych i równań błędów: 

 

Równania obserwacyjne 

L

1 

+ v

1

 = x 

 

 

L

4

 + v

4

 = x + y 

L

2 

+ v

2

 = y 

 

 

L

5

 + v

5

 = y + z 

 L

3 

+ v

3

 = z 

 

 

 L

6

 + v

6

 = x + y + z 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

35 

1

0

1

v

x

dx

L

=

+

−

 

2

0

2

v

y

dy L

=

+

−

 

3

0

3

v

z

dz

L

= + −

 

4

0

0

4

v

x

dx

y

dy L

=

+

+ +

−

 

5

0

0

5

v

y

dy

z

dz L

=

+

+ + −

 

6

0

0

0

6

v

x

dx

y

dy

z

dz

L

=

+

+ +

+ + −

 

 

cc

1

v

dx 15

=

−

 

cc

2

v

dy 31

=

−

 

cc

3

v

dz 22

=

−

 

cc

4

v

dx

dy 52

=

+

−

 

cc

5

v

dy dz

41

=

+

−

 

cc

6

v

dx

dy dz 60

=

+

+ −

 

 

Tabela 4 Stabelaryzowane równania błędów 

Nr 

poprawki 

Współczynniki przy niewiadomych 

 

a 

b 

c 

Wyrazy 

wolne [

cc

] 

1 

1 

0 

0 

-15 

2 

0 

1 

0 

-31 

3 

0 

0 

1 

-22 

4 

1 

1 

0 

-52 

5 

0 

1 

1 

-41 

6 

1 

1 

1 

-60 

 

3.

 

UłoŜenie  układu  równań  normalnych  i  jego  rozwiązanie  za  pomocą  pierwiastka 
krakowianowego: 

 

[aa]dx + [ab]dy + [ac]dz + [al] = 0 

[ab]dx + [bb] dy + [bc]dz + [bl] = 0 

[ac]dx + [bc] dy + [cc]dz + [cl] = 0 

 

3dx + 2dy +dz – 127 = 0 

 2dx + 4dy +2dz – 184 = 0 

dx + 2dy +3dz – 123 = 0 

 

1,73dx + 1,16dy + 0,58dz – 73,41 = 0 

1,63dy + 0,81dz – 60,64 = 0 

1,42dz – 22,04 = 0 

dz = 15,52 
dy = 29,49 
dx = 17,46 

 

4.

 

Określenie przyrostów niewiadomych: 
dx = +17,5

cc

 

dy = +29,5

cc

 

dz = +15,5

cc

 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

36 

5.

 

Obliczenie poprawek: 

cc

1

v

17, 5 15

2, 5

=

− =

 

cc

2

v

29, 5 31

1, 5

=

− = −

 

cc

3

v

15, 5 22

6, 5

=

−

= −

 

cc

4

v

17, 5 29, 5 52

5

=

+

−

= −

 

cc

5

v

29, 5 15, 5 41

4

=

+

−

= +

 

cc

6

v

17, 5 29, 5 15, 5 60

2, 5

=

+

+

−

= +

 

 

6.

 

Kontrola ogólna: 

[al]dx + [bl] dy + [cl]dz + [ll] = [vv] 

(

) (

)

(127 17.5)

184 29, 5

123 15, 5

9655

98

⋅

+ −

⋅

+ −

⋅

+

=

 

[vv] = 98 

98 = 98 c.n.d. 

  

7.

 

Obliczenie niewiadomych: 

g

c

cc

cc

g

c

cc

0

x

x

dx

41 20 00

17, 5

41 20 17, 5

=

+

=

+

=

 

g

c

cc

cc

g

c

cc

0

y

y

dy

52 32 00

29, 5

52 32 29, 5

=

+

=

+

=

 

g

c

cc

cc

g

c

cc

0

z

z

dz

58 14 00

15, 5

58 14 15, 5

= +

=

+

=

 

 
8.

 

SpostrzeŜenia wyrównane:  

g

c

cc

cc

g

c

cc

1

1

L

v

41 20 15

2, 5

41 20 17, 5

+ =

+

=

 

g

c

cc

cc

g

c

cc

2

2

L

v

52 32 31

1, 5

52 32 29, 5

+

=

−

=

 

g

c

cc

cc

g

c

cc

3

3

L

v

58 14 22

6, 5

58 14 15, 5

+

=

−

=

 

g

c

cc

cc

g

c

cc

4

4

L

v

93 52 52

5

93 52 47

+

=

−

=

 

g

c

cc

cc

g

c

cc

5

5

L

v

110 46 41

4

110 46 45

+

=

+

=

 

g

c

cc

cc

g

c

cc

6

6

L

v

151 66 60

2, 5

151 66 62, 5

+

=

+

=

 

 
9.

 

Kontrola ostateczna: 

g

c

cc

1

1

L

v

x

41 20 17, 5

+ = =

 

g

c

cc

2

2

L

v

y

52 32 29, 5

+

= =

 

g

c

cc

3

3

L

v

z

58 14 15, 5

+

= =

 

g

c

cc

4

4

L

v

x

y

93 52 47

+

= + =

 

g

c

cc

5

5

L

v

y

z

110 46 45

+

= + =

 

g

c

cc

6

6

L

v

x

y

z

151 66 62, 5

+

= + + =

 

 
10.

 

Ocena dokładności: 
średni błąd pojedynczego kąta 

[ ]

cc

vv

98

m

5, 7

n

u

6 3

=

= ±

= ±

−

−

 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

37 

równania wag: 

 

3Q

11

 + 2Q

12

 + Q

13

 = 1 

 

2Q

11

 + 4Q

12

 + 2Q

13

 = 0 

 

Q

11

 + 2Q

12

 + 3Q

13

 = 0 

 
 

3Q

21

 + 2Q

22

 + Q

23

 = 1 

 

2Q

21

 + 4Q

22 

+ 2Q

23

 = 1 

 

Q

21

 + 2Q

22

 + 3Q

23

 = 1 

 
 

3Q

31

 + 2Q

32 

+ Q

33

 = 0 

 

2Q

31

 + 4Q

32 

+ 2Q

33

 = 0 

 

Q

31

 + 2Q

32

 + 3Q

33

 = 1 

 

 

Równania wag moŜemy zredukować przy pomocy algorytmu Gaussa do postaci: 

 

[aa]Q

11

 + [ab]Q

12

 + [ac]Q

13

 = 1 

[aa]Q

21

 + [ab]Q

22

 + [ac]Q

23

 = 0 

[bb.1]Q

22

 + [bc.1]Q

23

 = 1 

[aa]Q

31

 + [ab]Q

32

 + [ac]Q

33

 = 1 

[bb.1]Q

32

 + [bc.1]Q

33

 = 1 

[cc.2]Q

33

 = 1 

 

 

Redukcja Gaussa I stopnia wygląda następująco: 

 

 

 

 

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

ab

bb.1

bb

ab

aa

=

−

⋅

 

 

 

 

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

ab

bc.1

bc

ac

aa

=

−

⋅

 

 

a II stopnia tak: 

 

 

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

bc.1

cc.2

cc.1

bc.1

bb.1

=

−

⋅

 

 

 

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

ac

bc.1

cc.2

cc

ac

bc.1

aa

bb.1

=

−

⋅

−

⋅

 

 
 

obliczenia: 

 

[ ]

2

bb.1

4

2

2, 7

3

= − ⋅ =

 

 

[ ]

2

bc.1

2

1 1, 3

3

= − ⋅ =

 

 

[ ]

1

1, 3

cc.2

3

1

1, 3

2, 04

3

2, 7

= − ⋅ −

⋅

=

 

 
 

3Q

11

 + 2Q

12

 + Q

13

 = 1 

 

3Q

21

 + 2Q

22

 + Q

23

 = 1 

 

2,7Q

22

 + 1,3Q

23

 = 1 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

38 

 

3Q

31

 + 2Q

32 

+ Q

33

 = 0 

 

2,7Q

32 

+ 1,3Q

33

 = 0 

 

 2,04Q

33

 = 1 

 

Q

33

 = 0,49 

Q

32

 

0, 24

= −

 

Q

31

 = 0 

Q

22

 = 0,49 

Q

21 

0, 08

=

 

Q

11

 = 0,28 

 

średnie błędy niewiadomych 

cc

x

11

m

m

Q

3, 0

= ⋅

= ±

 

cc

y

22

m

m

Q

4, 0

= ⋅

= ±

 

cc

z

33

m

m

Q

4, 0

= ⋅

= ±

 

 

Wyrównane wartości kątów: 

g

c

cc

cc

1

41 20 17, 5

3, 0

=

±

∢

 

g

c

cc

cc

2

52 32 29, 5

4, 0

=

±

∢

 

g

c

cc

cc

3

58 14 15, 5

4, 0

=

±

∢

 

 
Przykład 13. 
 

Posługując  się  danymi  uzyskanymi  z  pomiaru  wyrównaj  metodą  pośredniczącą  kąty 

w czworoboku geodezyjnym, w którym długość zmierzonej bazy A-B jest znana (rys. 11). 

 

Tabela 6. Dane uzyskane z pomiaru

 [

opracowanie własne] 

Pomierzone kierunki 

1.

 

 

53

o

55

’

45

”

 

2.

 

 

34

o

03

’

13

”

 

3.

 

 

25

o

56

’

57

” 

4.

 

 

66

o

03

’

17

” 

5.

 

 

69

o

57

’

26

” 

6.

 

 

18

o

02

’

24

” 

7.

 

 

25

o

51

’

59

” 

8.

 

 

66

o

08

’

06

” 

 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

39 

Baza A-B = 1409,68 m 

 

 

Rys. 11. Czworobok geodezyjny 

[

opracowanie własne] 

 
1.

 

Obliczenie współrzędnych przybliŜonych punktów C i D. 
Przyjmujemy  bok  AB  jako  równoległy  do  osi  y-ów  i  zakładamy,  Ŝe  współrzędne 
punktów  A  i  B  wynoszą:  X

A

  =  2000,00;  Y

A

  =  2000,00;  X

B

  =  2000,00;  Y

B

  =  3409,68 

i traktujemy je jako bezbłędne. 
Przy  takim  załoŜeniu  poszukujemy  najprawdopodobniejszych  współrzędnych  punktów 
C i D i obliczamy poprawki do pomierzonych kątów 

 
1.1. Obliczenie współrzędnych przybliŜonych punktu C (rys. 12). 
 

 

 

Rys. 12. Wcięcie w przód 

[

opracowanie własne] 

 

(

)

( )

A

A

B

B

C,

C

1,2

X

Y

X

Y

X Y

f

1

ctg4

1

ctg1

= =

−

  

 

uwaga: wzór słuszny dla trójkąta ABC oznaczonego w kierunku lewoskrętnym. 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

40 

( )

C

1

X

f

=

 

( )

C

2

Y

f

=

 

2000, 00

2000, 00

2000, 00

3409, 68

f

1

0, 444084763

1

0, 728433087

=

−

 

 

X

C

 = 3202,2674 

Y

C 

= 2875,7714 

 
Kontrolą  obliczeń  współrzędnych  X

C

,  Y

C

  jest  policzenie  kąta  (2+3)  z  formy  rachunkowej 

prof. dr S. Hausbrandta. 

(

)

C B

C B

C A

C A 0

X

Y

tg 2 3

X

Y

−

−

−

−

∆

∆

+ =

∆

∆

 

(

)

0

1202, 2674

533, 9086

tg 2 3

1202, 2674

875, 7714

−

+

+ =

−

−

 

(

)

tg 2 3

+

 = 1,733176129 

(

)

O

'

"

2 3

60 00 58

+ =

∢

 

(

)

2 3

+

∢

 wyliczamy teŜ z trójkąta ABC 

(

)

2 3

+

∢

 = 180 – (1 + 4) 

(

)

O

'

"

2 3

60 00 58

+ =

∢

 

1.2. Obliczenie współrzędnych przybliŜonych punktu D (Rys.13). 
 

 

 

Rys. 13. Wcięcie w przód

 [

opracowanie własne]

 

 

(

)

( )

A

A

B

B

D,

D

1,2

X

Y

X

Y

X Y

f

1

ctg5 1

ctg8

= =

−

 

 

uwaga: wzór słuszny dla trójkąta ABC oznaczonego w kierunku prawoskrętnym 

( )

D

1

X

f

=

 

( )

D

2

Y

f

=

 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

41 

2000, 00

2000, 00

2000, 00

3409, 68

f

1

0, 364815984

1

0, 442408379

=

−

 

 

 X

D

 = 253,6701 

 Y

D 

= 2772,5910 

 

kontrola 

(

)

A D

A D

B D

B D 0

X

Y

tg 6 7

X

Y

−

−

−

−

∆

∆

+ =

∆

∆

 

(

)

0

1746, 3299

772, 5910

tg 6 7

1746, 3299

637, 0890

−

+

+ =

−

−

 

(

)

tg 6 7

+

 = 0,962582953 

(

)

O

'

"

6 7

43 54 28

+ =

∢

 

(

)

6 7

+

∢

 wyliczamy teŜ z trójkąta ABC 

(

)

6 7

+

∢

 = 180 – (5+8) 

(

)

O

'

"

6 7

43 54 28

+ =

∢

 

 
2.  Obliczenie współczynników kierunkowych i wyrazów wolnych 
 
JeŜeli mamy kąt α (rys. 14) 
 

α

 

 

Rys. 14.

 

Pomiar kąta na stanowisku S

 [

opracowanie własne]

 

 

to  wówczas,  obliczenie  małego  przyrostu  dα  kąta  α  przy  małej  zmianie  przyrostów 
współrzędnych  dx

L

,  dy

L

,  dx

P

,  dy

P

,  dx

S

,  dy

S

,  punktów  wyznaczających  ten  kąt  (punkty 

L – lewe ramię, P – prawe ramię, S – wierzchołek kąta) obliczamy ze wzoru: 
 

 

L

L

P

P

S

S

P

P

L

P

L

P

L

L

1

dx dy

dx

dy

dx

dy

d

A

B

(A

A )

(A

A )

A

B

α

=

−

−

−

−

−

−

 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

42 

Współczynniki  kierunkowe  A  i  B  z  odpowiednimi  wskaźnikami  są  funkcjami  przyrostu 
współrzędnych 

"

2

2

x

A

x

y

ρ

∆

=

⋅

∆ + ∆

 

"

2

2

y

B

x

y

ρ

∆

=

⋅

∆ + ∆

 

L

L

S

x

x

x

∆ =

−

 

L

L

S

y

y

y

∆ =

−

 

P

P

S

x

x

x

∆ =

−

 

P

P

S

y

y

y

∆ =

−

 

"

L

L

2

2

L

L

x

A

x

y

ρ

∆

=

⋅

∆ + ∆

 

"

L

L

2

2

L

L

y

B

x

y

ρ

∆

=

⋅

∆ + ∆

 

"

P

P

2

2

P

P

x

A

x

y

ρ

∆

=

⋅

∆ + ∆

 

"

P

P

2

2

P

P

y

B

x

y

ρ

∆

=

⋅

∆ + ∆

 

 

d

α

 = α

0

 – α

m

 

α

0

 – kąt obliczony ze współrzędnych 

α

m

 – kąt pomierzony 

 
2.1. Obliczenie dla kąta 1 (rys. 15)   

 

 

 

Rys. 15. Schemat pomiaru dla kąta 1

 [

opracowanie własne] 

 

( )

0

1202, 2674

875, 7714

tg 1

0

1409, 68

−

+

=

 

 

tg 1 = 1,372809675 

arc tg 1 = 

o

'

"

53 55 45, 00

 

o

'

"

1 53 55 45, 00

=

∢

 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

43 

L

A

112, 09

=

   

P

A

0

=

 

 

L

B

81, 65

=

 

P

B

146, 32

=

 

 

2.2. Obliczenie dla kąta 2 (rys. 16) 
 

 

 

Rys. 16. Schemat pomiaru dla kąta 2

 [

opracowanie własne] 

 

( )

0

2948, 5973

103,1804

tg 2

1202, 2674

875, 7714

−

=

−

−

 

 

( )

tg 2

0, 676203587

=

 

o

'

"

2

34 04 00,11

=

∢

 

 

 

L

A

69,87

= −

  

P

A

112, 09

= −

 

L

B

2, 44

= −

   

P

B

81, 65

= −

 

 
2.3. Obliczenie dla kąta 3 (rys. 17) 

 

 

 

Rys. 17. Schemat pomiaru dla kąta 3

 [

opracowanie własne] 

 

( )

0

1202, 2674

533, 9186

tg 3

2948, 5973

103,1804

−

=

−

−

 

( )

tg 3

0, 486648701

=

 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

44 

o

'

"

3

25 56 59, 31

=

∢

 

 

 

L

A

143, 30

= −

 

 

P

A

69,87

= −

 

L

B

63, 64

=

 

 

P

B

2, 44

= −

 

 
2.4. Obliczenie dla kąta 4 (rys. 18) 

 

 

 

Rys. 18. Schemat pomiaru dla kąta 4

 [

opracowanie własne] 

 

 

( )

0

0

1409, 68

tg 4

1202, 2674

533, 9186

=

−

 

( )

tg 4

2, 251822503

=

 

o

'

"

4

66 0317, 00

=

∢

 

A

L 

= 0 A

P

 = 143,30 

 B

L

 = 

−

146,32 B

P 

= 

−

 63,64  

 
2.

 

5. Obliczenie dla kąta 5 (rys. 19) 

3.

 

 

 

 

Rys. 19. Schemat pomiaru dla kąta 5

 [

opracowanie własne] 

 

( )

0

1746, 3299

637, 089

tg 5

0

1409, 68

−

−

=

−

 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

45 

( )

tg 5

2, 741110125

=

 

o

'

"

5

69 57 26, 05

=

∢

 

 

L

A

104, 24

= −

 

 

P

A

0

=

 

 

L

B

38, 03

= −

  

P

B

146, 32

= −

 

 
2.6. Obliczenie dla kąta 6 (rys. 20) 
 

 

 

Rys. 20. Schemat pomiaru dla kąta 6

 [

opracowanie własne] 

 

( )

0

2948, 5973 103,1804

tg 6

1246, 3299

637, 089

=

 

( )

tg 6

0,325665635

=

 

o

'

"

6 18 0219,13

=

∢

 

 

 

L

A

69,87

=

   

P

A

104, 24

=

 

L

B

2, 44

=

 

 

P

B

38, 03

=

 

 
2.7. Obliczenie dla kąta 7 (rys. 21) 
 

 

 

Rys. 21. Schemat pomiaru dla kąta 7

 [

opracowanie własne] 

 

( )

0

1746, 3299

772, 5910

tg 7

2948, 5973

103,1804

−

=

 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

46 

 

( )

tg 7

0, 484908408

=

 

o

'

"

7

25 52 08,89

=

∢

 

L

A

98, 78

=

   

P

A

69,87

=

 

L

B

43, 70

= −

   

P

B

2, 44

=

 

 

2.8. Obliczenie dla kąta 8 (rys. 22) 
 

 

 

Rys. 22. Schemat pomiaru dla kąta 8

 [

opracowanie własne] 

 

( )

0

0

1409, 68

tg 8

1746, 3299

772, 5910

=

−

 

( )

tg 8

2, 260354961

=

 

o

'

"

8

66 08 06, 00

=

∢

 

 

L

A

0

=

 

 

P

A

98, 78

= −

 

 

L

B

146, 32

=

   

P

B

43, 70

=

 

Tabela 7. Zestawienie danych do ułoŜenia równań poprawek

 [

opracowanie własne] 

Nr  

kąta 

α

0 

α

m

 

α

α

 = α

0

 – α

m

 

A

L

 

A

P

 

B

L

 

B

P

 

L

L

P

P

S

S

P

P

L

P

L

P

L

L

1

dx dy

dx

dy

dx

dy

A

B

(A

A )

(A

A )

A B

−

−

−

−

−

−

 

 

1 

0 

112,09 

0 

81,65 

146,32 

C

C

1

dx

dy

0

0

0

0

112, 09 81.65 0

146, 32 112, 09

64, 67

−

−

 

2 

–12,89” 

–69,87 

–112,09 

–2,44 

–81,65 

D

D

c

c

1

dx

dy

0

0

dx

dy

69,87

2, 44 112, 09

81, 65 42, 22

79, 21

−

−

−

−

−

 

3 

2,31” 

–143,30 

–69,87 

63,64 
–2,44 

D

D

C

C

1

0

0

dx

dy

dx

dy

143, 30

63, 64 69,87

2, 44 73, 43

66, 08

−

 

4 

0 

0 

143,30 

–146,32 

–63,64 

C

C

1

0

0

dx

dy

0

0

0

146,32 143, 30

63, 64 143, 30 82, 68

−

−

 

5 

0 

–104,24 

0 

–38,03 

–146,32 

D

D

1

dx

dy

0

0

0

0

104, 24

38, 03 0 146, 32 104, 24

108, 29

−

−

−

 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

47 

6 

–4,87” 

69,87 

104,24 

2,44 

38,03 

C

C

D

D

1

dx

dy

0

0

dx

dy

69,87

2, 44 104, 24

38, 03 34, 37

35, 95

−

−

 

7 

9,89” 

98,78 
69,87 

–43,70 

2,44 

C

C

D

D

1

0

0

dx

dy

dx

dy

98, 78

43, 70 69,87

2, 44 28, 91 46,14

−

−

−

−

 

8 

0 

0 

–98,78 

146,32 

43,70 

D

D

1

0

0

dx

dy

0

0

0 146, 32 98, 78

43, 70 98, 78

102, 62

−

−

−

 

 
3.  UłoŜenie równań poprawek 
 
 

Równania poprawek będą miały postać  

 
 

v

i

 = a

i

dx

C

 + b

i

dy

C

 + c

i

dx

D

 + d

i

dy

D

 + dα

i 

 
 

v

1

 = 81,65dx

C

 – 112,09dy

C

 

 

v

2

 = – 79,21dx

C

 + 42,22dy

C

 – 2,44dx

D

 + 69,87dy

D

 – 12,89 

 

v

3

 = – 66,08dx

C

 – 73,43dy

C

 + 2,44dx

D

 – 69,87dy

D

 + 2,31 

 

v

4

 = 63,64dx

C

 + 143,30dy

C

 

 

v

5

 = – 38,03dx

D

 + 104,24dy

D

 

 

v

6

 = 2,44dx

C

 – 69,87dy

C

 + 35,95dx

D

 – 34,37dy

D

 – 4,87 

 

v

7

 = – 2,44dx

C

 + 69,87dy

C

 +46,14dx

D

 + 28,91dy

D

 + 9,89 

 

v

8

 = – 43,70dx

D

 – 98,78dy

D 

 

Tabela 8. Stabelaryzowane równania poprawek

 [

opracowanie własne] 

Współczynniki przy niewiadomych 

Nr 

poprawki 

a 

b 

c 

d 

Wyrazy wolne 

dα [

″

] 

1 

81,65 

– 

112,09 

0 

0 

0 

2 

– 79,21 

42,22 

– 2,44 

69,87 

– 12,89 

3 

– 66,08 

– 73,43 

2,44 

– 69,87 

2,31 

4 

63,64 

143,30 

0 

0 

0 

5 

0 

0 

– 38,03 

104,24 

0 

6 

2,44 

– 69,87 

35,95 

– 34,37 

– 4,87 

7 

– 2,44 

69,87 

46,14 

28,91 

9,89 

8 

0 

0 

– 43,70 

– 98,97 

0 

 
4.  UłoŜenie układu równań normalnych i jego rozwiązanie 
 
 

[aa] dx

C

 + [ab] dy

C

 + [ac] dx

D

 + [ad] dy

P

 + [adα] = 0 

 

[ab] dx

C

 + [bb] dy

C

 + [bc] dx

D

 + [bc] dy

P

 + [bdα] = 0 

 

[ac] dx

C

 + [bc] dy

C

 + [cc] dx

D

 + [cd] dy

P

 + [cdα] = 0 

 

[ad] dx

C

 + [bd] dy

C

 + [cd] dx

D

 + [dd] dy

P

 + [ddα] = 0 

 
 

21369,4698dx

C

 + 1134,5061dy

C

 + 7,1736dx

D

 – 1071,7963dy

D

 + 832,3577 = 0 

 

1134,5061 dx

C

 + 50037,1852dy

C

 + 429,7893dx

D

 + 12501,8391dy

D

 + 317,4421 = 0 

 

7,1736dx

C

 + 429,7893dy

C

 + 6789,1802dx

D

 + 113,7121dy

D

 + 318,3361 = 0 

 

−

1071,7963dx

C

 + 12501,8391dy

C

 + 113,7121dx

D

 + 32421,9733dy

D

 – 608,7222 = 0 

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego” 

 

48 

Pierwiastek krakowianowy 
 

 

146,1830dx

C

 + 7,7609dy

C

 + 0,0491dx

D

 – 7,3319dy

D 

+ 5,6939 = 0 

223,5552dy

C

 + 1,9208dx

D

 + 56,1774dy

D

 + 1,2223 = 0 

82,3741dx

D

 + 0,0749dy

D

 + 3,8326 = 0 

170,9161dy

D

 – 3,7207 = 0 

 

dy

D

 = 0,0218 

dx

D

 = 

−

 0,0465 

dy

C

 = 

−

 0,0105 

dx

C

 = 

−

 0.0373 

 

 
5.  Określenie przyrostów niewiadomych 
 

dx

C

 = 

−

0,037 

dy

C

 = 

−

0,010 

dx

D

 = 

−

0,046 

dy

D

 = 0,022 

 

6.  Obliczenie poprawek 
 

(

)

(

)

"

1

v

81, 65

0, 037

112, 09

0, 010

1,87

=

⋅ −

−

⋅ −

= −

 

(

)

(

)

(

)

"

2

v

79, 21

0, 037

42, 22

0, 010

2, 44

0, 046

69,87 0, 022 12,89

8, 74

= −

⋅ −

+

⋅ −

−

⋅ −

+

⋅

−

= −

 

(

)

(

)

(

)

"

3

v

66, 08

0, 037

73, 43

0, 010

2, 44

0, 046

69,87 0, 022 2, 31 3,91

= −

⋅ −

−

⋅ −

+

⋅ −

−

⋅

+

=

 

(

)

(

)

"

4

v

63, 64

0, 037

143, 30

0, 010

3,88

=

⋅ −

+

⋅ −

= −

 

(

)

"

5

v

38, 03

0, 046

104, 24 0, 022

4, 04

= −

⋅ −

+

⋅

=

 

(

)

(

)

(

)

"

6

v

2, 44

0, 037

69,87

0, 010

35, 95

0, 046

34, 37 0, 022 4,87

6, 65

=

⋅ −

−

⋅ −

+

⋅ −

−

⋅

−

= −

 

(

)

(

)

(

)

"

7

v

2, 44

0, 037

69,87

0, 010

46,14

0, 046

28,91 0, 022 9,89

7, 73

= −

⋅ −

+

⋅ −

+

⋅ −

+

⋅

+

=

 

(

)

"

8

v

43, 70

0, 046

98, 78 0, 022 12,89

0,12

= −

⋅ −

−

⋅

−

= −

 

 
7.  Kontrola ogólna 
 

[adα]dx

C

 + [bdα]dy

C

 + [cdα]dx

D

 + [ddα]dy

D

 + [dαdα] = [vv] 

 

(

)

(

)

(

)

(

)

832, 3577

0, 0373

317, 4421

0, 0105

318, 3361

0, 0465

608, 7222 0, 0218 293, 0172

230, 56

⋅ −

+

⋅ −

+

⋅ −

+

+ −

⋅

+

=

  

 

[vv] = 230,54 

 

Zachodzi, więc równość w granicach dokładności obliczeń  L

P

≈

 

  
8.  Obliczenie niewiadomych – współrzędnych wyrównanych. 
 

 

C

0

C

X

X

dx

3202, 267 0, 037

3202, 230

=

+

=

−

=

 

 

C

0

C

Y

Y

dy

2875, 771 0, 010

2875, 761

=

+

=

−

=

 

 

D

0

D

X

X

dx

253, 670 0, 046

253, 624

=

+

=

−

=

 

 

D

0

D

Y

Y

dy

2772, 591 0, 022

2772, 613

=

+

=

+

=