2. Elementy teorii błędów. Przedziały ufności

W praktyce pomiarowej występują trzy rodzaje błędów:

• grube,

• systematyczne,

• przypadkowe.

Według kryterium metody pomiaru obserwacje mogą być:

• bezpośrednie,

• pośrednie.

Według kryterium dokładności wyniki pomiaru dzielimy na:

• jednakowo dokładne,

• różnodokładne.

Cel zagadnień wyrównawczych:

• wyznaczenie wartości najprawdopodobniejszych,

• oszacowanie dokładności obserwacji pojedynczych, względnych, wartości przeciętnych oraz funkcji wyznaczonych analizowanych zmiennych.

Podstawowymi parametrami opisującymi zmienną losową x są: wartość przeciętna

(2.1)

i odchylenie standardowe σ_x

(2.2)

W zadaniach praktycznych odchylenie standardowe σ_x zastępowane jest jego estymatorem. Wartość ta wyznaczona jest na podstawie wyników pomiaru i w tej postaci nazywana jest błędem średnim. W zadaniach geodezyjnych (tylko) oznaczana przez m. W innych dyscyplinach określana jest mianem błędu standardowego i oznaczana jest symbolem s.

(2.3)

Rozkład normalny. Rozkład empiryczny w miarę wzrostu liczby danych przyjmuje kształt rozkładu normalnego o funkcji gęstości opisanej wartością przeciętną oraz odchyleniem standardowym.

(2.4)

Zmienna standaryzowana. Wprowadzenie tzw. zmiennej standaryzowanej t

(2.5)

przy założeniu σ = 1 przekształca wzór (2.4) do postaci

(2.6)

Rys. 2.1. Funkcja gęstości rozkładu normalnego zmiennej standaryzowanej

Dystrybuanta. Przy rozwiązywaniu zadań praktycznych wykorzystywana jest dystrybuanta

(2.7)

(2.8)

Dystrybuanta określa prawdopodobieństwo wystąpienia wartości zmiennej x w przedziale <- ∞, x₂ 〉, jak na rys. 2.2.

Rys. 2.2. Dystrybuanta rozkładu normalnego. Rzędna D(t = 0,8) jest miarą powierzchni zakreślonej na rys. 2.1.

Przedziały ufności. Aby wyznaczyć prawdopodobieństwo P, że zmienna x znajdzie się w przedziale <x₁, x₂〉 należy wyznaczyć dystrybuanty dla obu wartości zmiennej x po ich uprzedniej standaryzacji wzorem (2.5). Szukane prawdopodobieństwo P{x₁ < x < x₂} jest różnicą wartości prawdopodobieństw.

P{x₁ <x <x₂ } = P(x₂) - P(x₁) = D(t₂) - D(t₁) (2.9)

Zadania praktyczne rozwiązuje się za pomocą tablic.

Przykład 2.1. Dla zbioru danych stanowiącego wynik pomiaru odległości {145.33, 145.39, 145.30} obliczyć prawdopodobieństwo P{ x ჱ 145.39 }

Dla podanych wartości wyznaczamy:

• wartość przeciętną d_śr = 145,34

• błąd standardowy pojedynczej obserwacji m = 0,045

• zmienną standaryzowaną
  

Rys. 2.3. Ilustracja do przykładu 2.1

Z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego dla zmiennej t = 1.11 odczytujemy P(t) = 0,279. Szukane prawdopodobieństwo wynosi

P{x₁<x<x₂}= 0,5 + 0,366 = 0,866

Przykład 2.2. Obliczyć prawdopodobieństwo P {145.33 ს x_śr ს 145.36} dla wyników obserwacji jak w przykładzie 2.1.

Podobnie jak w przykładzie 2.1 parametry rozkładu wynoszą d_śr = 145,34, m = 0,045 , m_śr = 0,026. Stąd

Rys. 2.5. Ilustracja do przykładu 2.3

Z tablic odczytujemy P(t₁) = 0,149 oraz P(t₂) = 0,279, stąd

P{145.38 ს x_śr ს 145.45} = P(t₁) + P(t₂) = 0,428

P{145.38 ს x_śr ს 145.45} = 0,428

Przykład 2.3. Dla zmiennej α obliczyć przedział ufności <α₁, α₂〉 o prawdopodo-bieństwie P = 0,90, dla danych {112.71^g, 112,75^g, 112,76^g}, przy założeniu, że |α₁| = |α₂|.

Wartość przeciętna α_śr  i błąd standardowy m wyznaczone dla zbioru danych wynoszą:

α_śr = 112,74^g, m = 0,026^g.

Ponieważ przedmiotem analizy jest tylko zmienna α nie ma potrzeby wyznaczania błędu m_śr. Dla P/2 (przedział jest symetryczny), w tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego znajdujemy t_α = 1,65. Wartość α₁ wyznaczana jest ze wzoru na zmienną standaryzowaną.

Szukany przedział wyznaczają granice ს112.70, 112.78〉.

13

_

_

ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ

- 2 - 1 0 1 2 t

x_śr

D(t)

ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ

- 2 - 1 0 1 2 t

ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ

2 1 0 1 2 t

1.0

0,5

1.0 D(t)

D(t = 0,8)

ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ

2m_śr m_śr 0 m_śr 2m_śr

ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ

2m m 0 m 2m

1.0

0,5

_

_

_

ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ

- 2 - 1 0 1 2 t

0.5 P(t)

t = 0,8

_

_

_

ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ

2 1 0 1 2 t

ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ

2ၳ ၳ 0 ၳ 2ၳ

0,4

0,2

_

_

_

_

x

x

D(t)

x

P

__

_

0,5

ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ

- 2 - 1 0 1 2 t

ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ ჯ

- 2ၳ - ၳ 0 ၳ 2ၳ

---