5. Metoda parametryczna.

Wyrównanie sieci liniowo-kątowej

5.1. Model zagadnienia wyrównawczego

W metodzie parametrycznej zwanej również metod pośredniczącą wielkości mierzone są funkcją wyznaczanych wielkości (parametrów), czyli

(5.1)

Celem obliczeń jest wyznaczenie wyrównanych wartości l_i^wyr, z których każda różni się od wartości obserwowanej l_i^ob o wartość poprawki v_i

dla i <1,n> (5.2)

Po rozpisaniu zależności (5.2) dla wszystkich n wyników pomiarów powstaje układ równań poprawek stanowiący podstawę procesu wyrównawczego. Jeśli w zależnościach (5.1) funkcja F(X₁,X₂..X_n) ma postać nieliniową, to konieczne jest przekształcenie równań obserwacyjnych za pomocą szeregu Taylora

,

(5.3)

Po przekształceniu powstaje układ równań poprawek

(5.4)

(5.5)

,

Równanie poprawek kąta poziomego. W przypadku kąta poziomego β funkcja (5.1) zdefiniowana jest przez współrzędne trzech punktów

(5.6)

Rys.5.1

Zgodnie z wzorem (5.6) należy wyznaczyć pochodne funkcji β względem wszystkich parametrów występujących we wzorze (9.8), tj. X_L, Y_L, X_P, Y_P, X_C, Y_C. Przykładowo pierwsza pochodna cząstkowa względem X_L, ma postać¹⁾

Po obliczeniu wszystkich pochodnych cząstkowych względem poszczególnych współrzędnych postać równania obserwacji kąta poziomego β wynosi

(5.7)

lub w postaci

gdzie
. (5.8)

Równanie poprawek dla długości odcinka. W przestrzeni dwuwymiarowej odcinek PK zdefiniowany jest jednoznacznie przez współrzędne X,Y jego końców,

. (5.9)

Rys. 5.2.

Dla wyznaczenia równania poprawek należy przekształcić zależność (5.9) do postaci liniowej. W tym celu należy wyznaczyć pochodne wielkości mierzonej względem poszczególnych parametrów (współrzędnych końców odcinka. W przypadku parametru Y_K wynosi

(5.10)

Uwzględniając azymut analizowanej długości (Az_PK), równanie poprawek dla długości d przyjmuje ostatecznie postać

v_dPK = cos Az_PK(dX_K - dX_P) + sin Az_PK (dY_K - dY_P) + l_d (5.11)

lub

(5.12)

gdzie

(5.13)

Równanie poprawek dla różnicy wysokości. Ponieważ różnica wysokości h=F(H_K,H_P) zapisana jest w postaci liniowej

v_i = H_K - H_P + h (5.14)

stąd równanie poprawek można wyprowadzić bez zastosowania wzoru Taylora.

v_i = dH_K - dH_P + h_i (5.15)

5.2. Ocena dokładności

Ocena formułowana jest za pomocą

• błędu położenia punktu,

• korelacji parametrów,

• elipsy ufności,

• błędów średnich wyrównanych obserwacji.

Błąd położenia punktu określa formuła

(5.16)

Obszar ufności najpełniej określa elipsa ufności o półosiach (rys.6.2)

(5.17)

(5.18)

We wzorach na wartości własne macierzy ၬ₁ (5.21) i ၬ₂ (5.22) wielkości P są wyznaczane z zależności

(5.19)

(5,20)

(5.21)

(5.22)

Kąt skręcenia ၪ wyznaczany jest ze wzoru

(5.23)

Rys. 5.3. Pole elipsy wewnątrz której punkt znajduje się z prawdopodobieństwem ၧ

Wartość F konieczna przy obliczaniu elementów elipsy przyjmowana jest z tablic F-Snedecora dla n - r stopni swobody (n - liczba obserwacji, r - liczba niewiadomych). Najczęściej stosowane wartości F podano w tab. 5.1.

Tablica 5.1

n - r	ၧ
		0,95	0,99
1 2 3 4	199.50 19.00 9.55 6.94	5000 99.01 30.83 17.99

5.3. Algorytm obliczeń

Obliczenia wykonywane są według algorytmu, który oparty jest na metodzie najmniejszych kwadratów. Algorytm jest realizowany w następujących etapach.

Zestawienie wyników obserwacji

Układ równań obserwacyjnych

Równania poprawek

Układ równań normalnych.

Rozwiązanie układu równań normalnych

Wektor poprawek

Wyrównane wartości wielkości obserwowanych

Kontrole obliczeń

Współczynnik wariancji m_o²

Macierz kowariancji i błędy średnie wyznaczanych parametrów

Błędy średnie wyrównanych wielkości obserwowanych

Przedział (obszar) ufności, elipsa ufności.

Kontrola 1 polega na porównaniu wartości s = s' obliczonych ze wzorów

s = v^T v lub s = v^TP v

s' = L^{T თ}PთAთX + L^{T თ}PთL

W kontroli 2 wartości wyrównane wyliczane są dwoma sposobami

l^wyr = l^ob + v

l^wyr = A⋅dX + L⁰

Proces iteracyjny. Istotną częścią algorytmu jest iteracyjny tryb obliczeń. Model zagadnienia jest nieliniowy, a w algorytmie aproksymacji wykorzystuje się tylko pierwszą pochodną. Wyniki pierwszego rozwiązania są traktowane jako wartości przybliżone i wprowadzone do algorytmu w drugiej iteracji. Obliczenia są prowadzone w pętli programu komputerowego tak długo, aż wartość korekty będzie dostatecznie mała, np. równa 0.1 wyniku uzyskanego w poprzedniej iteracji. Duże znaczenie ma dokładność przybliżonych wartości niewiadomych, punktu startowego obliczeń. Im wartości te są bliższe prawidłowego rozwiązania, tym mniej iteracji trzeba dla uzyskania poprawnego wyniku. Jeśli jednak punkt startowy będzie zbyt odległy, proces iteracyjny może nie dać poprawnego rozwiązania, lub być rozbieżny.

5.4. Przykład wyrównania sieci liniowo-kątowej

Wyrównać elementarną sieć liniowo-kątową przedstawioną na rys. 5.4. Wyniki pomiarów zestawiono w tabl. 5.2. Obliczyć:

• współrzędne p.3

• błędy średnie wyrównanych obserwacji β₁, β₂, β₃, d_1,3, d_2,3.

Wyniki pomiarów Tablica 5.2

Wielkość pomierzona	Wynik pomiaru	Błąd pomiaru
β1^ob	69.4555	10^cc
β2^ob	73.2860	20^cc
β3^ob	57,2635	30^cc
d1,3^ob	174.960	0.02 m
d2,3^ob	169.954	0.01 m

Punkt	X	Y
1	100.000	200.000
2	100.000	350.000

Oznaczenie kąta			Wartość kąta	Błąd pomiaru
L	P	C	βi^ob	m­βi-­
3	2	1	69,4555	10^cc
1	3	2	73,2860	20^cc
2	1	3	57,2635	30^cc

Oznaczenie długości		Długość boku	Błąd pomiaru
P	K	di^ob	m­di-­
1	3	174.960	0.020
2	3	169.954	0.010

Przybliżone wartości niewiadomych - współrzędnych p.3(X₃⁰,Y₃⁰) oraz wielkości obserwowanych β₁⁰, β₂⁰_, β₃⁰, d_1,3⁰, d_2,3⁰ wyznaczono przyjmując d_1,3⁰ = d_1,3^ob, β₁⁰ = β₁^ob _. Na podstawie tak ustalonych współrzędnych wyznaczono następnie wartości d_2,3⁰, β₂⁰ oraz azymuty Az₁₃⁰ i Az₂₃⁰

X3^0	255.1985		β1^0	69.4555^g		d1,3^0	174.9600 m
Y3^0	280.7740		β2^0	73.28628^g		d2,3^0	169.9495 m
			β3^0	57,25822^g		Az13^0	30.54450^g
						Az23^0	373.28628^g

Równania poprawek v = A ⋅dX + L; L = L⁰ - L^ob

gdzie

Macierze występujące w układzie równań normalnych

Jednostki elementów macierzy A, L, P są metryczne i kątowe.

Układ równań normalnych A^T P⋅A ⋅dX + A^T P⋅L = 0

Rozwiązanie układu równań normalnych dX = - (A^T P⋅A)^-1A^T⋅P⋅L

Wartości parametrów - wyrównanych współrzędnych pkt.3 X = X⁰ + dX

X₃ = 255,20544 - 0,00415 = 255,20129

Y₃ = 280,76059-0,00172 = 280,75887

Wektor poprawek v = A⋅dX + L

Wyrównane wartości wielkości obserwowanych β_i^wyr = β_i^ob + v_i

d_i^wyr = d_i^ob + v_i

Wielkość pomierzona	Wynik pomiaru	Poprawka v	Wartości wyrównane
β1	69.4555^g	-1,4^cc	69.4554^g
β2	73.2860^g	-9,4^cc	73.2851^g
β3	57,2635^g	-39,2^cc	57,2596
d1,3	174.960 m	-0,0045 m	174.9555 m
d2,3	169.954 m	-0,0076 m	169.9464 m

Kontrola 1 v^T P⋅v = L^{T თ}P⋅AთdX + L^TთP⋅L

2,575729 = 2,575729

Kontrola 2. Obliczenie wyrównanych wartości obserwacji na podstawie wyrówna-nych współrzędnych. W tym celu należy wyznaczyć azymuty Az₁₂, Az₁₃, Az₂₃

X3^0	255,2013		β1^wyr	69.45535^g
Y3^0	280,7589		β2^wyr	73.28507^g
Az12^wyr	100.0000^g		β3^wyr	57.25958^g
Az13^wyr	30.54465^g		d1,3^wyr	174.9555 m
Az23^wyr	373.28507^g		d2,3^wyr	169.9464 m

Wartości wyrównane obliczone dwoma sposobami są identyczne.

II iteracja

Jako przybliżone wartości niewiadomych - współrzędnych p.3(X₃⁰,Y₃⁰) oraz wielkości obserwowanych β₁⁰, β₂⁰, β₃⁰, d_1,3⁰, d_2,3⁰ przyjmujemy wyniki I iteracji.

X3^0	255,2013		β1^0	69.4554^g
Y3^0	280,7589		β2^0	73.2851^g
			β3^0	57,2596^g
			d1,3^0	174.9555m
			d2,3^0	169.9464m

Układ równań normalnych A^T P⋅A ⋅dX + A^T P⋅L = 0

Rozwiązanie układu równań normalnych dX = - (A^T P⋅A)^-1A^T⋅P⋅L

Wartości parametrów - wyrównanych współrzędnych pkt.3. X = X⁰ + dX

X₃ = 255,20129 + 0,00170 = 255,20298

Y₃ = 280,75887+ 0,00035 = 280,75922

Uzyskany wynik różni się od rezultatu I iteracji o 1.7 mm w przypadku X₃ oraz 0.3 mm dla Y₃. Dla uzyskania poprawnego wyniku należy wykonać trzecią iterację. Ponieważ poprawki w II iteracji są 4-5 razy mniejsze niż w I iteracji, należy oczekiwać, że w III iteracji poprawki wyniosą kilka dziesiątych milimetra.

Wektor poprawek v = A⋅dX + L

Wielkość pomierzona	Wynik pomiaru	Poprawka v	Wartości wyrównane
β1	69.4555^g	-1.4^cc	69.4554^g
β2	73.2860^g	-9.4^cc	73.2851^g
β3	57.2635^g	-39.2^cc	57.2596^g
d1,3	174.960 m	-0,0045 m	174.9555 m
d2,3	169.954 m	-0,0076 m	169.9464 m

Kontrola obliczeń 1 v^T P⋅v = L^{T თ}AთdX + L^TთP⋅L

2,575729 = 2,575729

Kontrola obliczeń 2. Obliczenie wyrównanych wartości obserwacji na podstawie

wyrównanych współrzędnych

	X	Y		β1^wyr	69.4554^g
1	100.000	200.000		β2^wyr	73.2851^g
2	100.000	350.000		β3^wyr	57.2596
3	255.2065	280.7654		d1-3^wyr	174.9555 m
				d2-3^wyr	169.9464 m

ANALIZA DOKŁADNOŚCI

Współczynnik wariancji m_o²

Macierz kowariancji

Błędy średnie wyznaczanych parametrów

Błędy średnie wyrównanych obserwacji

Wyznaczenie błędów średnich wyrównanych obserwacji za pomocą

ich macierzy kowariancji.

Elipsa błędów, półosie a, b

Δ = 13843444328

λ₁ = 36894,66

λ₂ = 154552,83

a = 0,0093

b = 0,0046

ϕ = 26,23^g

Rys. 5.5. Elipsa błędów punktu 3 dla prawdopodobieństwa γ = 95%

37

2

1

X

β₁

Y

3

β₂

d₁₃

d₂₃

Rys. 5.4

β₃

C(X_C,Y_C)

P(X_P,Y_P)

L(X_L,Y_L)

X

Az_L

Az_P

dP

dL

β

K

P

X

Az_PK

Y

Y'

ၪ

b

a

X'

Y'

Y

X

X

Y

X'

a

b

ၪ

Y'

---