Słowniczek ważniejszych terminów z RW

Błąd pozorny - poprawka do obserwacji (wielkość wyrównana minus wynik pomiaru Ľ-L)
Błąd przypadkowy - błąd pomiarowy, którego wartości ani znaku nie można ustalić.

Błąd średni - pewna miara dokładności danej wielkości; może dotyczyć pojedynczej obserwacji, zbioru obserwacji, wielkości niewiadomych, (np. współrzędnych), funkcji niewiadomych itp.

Elipsa błędu średniego - pokazuje kierunki wystąpienia maksymalnej (minimalnej) wartości błędów średnich współrzędnych.

Kontrola generalna wyrównania - polega na sprawdzeniu zgodności wyrównanego układu obserwacji poprzez (zależnie od metody wyrównania):
a) podstawienie wyrównanych niewiadomych i obserwacji do równań obserwacyjnych
b) podstawienie wyrównanych obserwacji do równań warunkowych.

Liczba obserwacji niezbędnych - liczba obserwacji koniecznych do jednoznacznego określenia (rozwiązania) zadania; równa jest liczbie niewiadomych.

Macierz wariancyjno-kowariancyjna niewiadomych - macierz kwadratowa symetryczna (odwrotność macierzy normalnej) o wymiarze równym liczbie niewiadomych. Elementy przekątne (wariancje) służą do obliczania błędów średnich niewiadomych, natomiast elementy pozaprzekątniowe (kowariancje) stanowią podstawę obliczenia błędów średnich wielkości zależnych, np. błędów średnich funkcji lub parametrów elipsy błędu średniego.

Metoda pośrednicząca - wyrównanie zbioru obserwacji (na podst. met. najmn. kw.) w oparciu wyrównane wcześniej parametry pośredniczące (niewiadome).

Metoda wyrównania obserwacji bezpośrednich - dot. wyrównania wielokrotnego pomiaru pojedynczej wielkości. Wielkość wyrównana (na podst. met. najmn. kw.) to średnia arytmetyczna zwykła lub ważona.

Metoda zawarunkowana (warunkowa) - wyrównanie zbioru obserwacji (na podst. met. najmn. kw.) bezpośrednio bez udziału niewiadomych. Obliczenie wyrównanych niewiadomych możliwe jest po zakończeniu procesu wyrównania obserwacji, w oparciu o wyrównane obserwacje.

Obserwacja - wynik pomiaru, spostrzeżenie.

Obserwacje jednorodne - wyniki pomiaru jednego rodzaju wielkości, np. samych kątów lub samych długości;
obserwacje niejednorodne - zbiór obserwacji różnego rodzaju wielkości, np. w ciągu poligonowym występują zarówno obserwacje kątowe jak i liniowe.

Odchyłka równania odchyłek - różnica pomiędzy wartością teoretyczną równania warunkowego i jej wartością przybliżoną (obliczana po podliczeniu niewyrównanych obserwacji).

Parametry elipsy błędu średniego - wartości większej (a) i mniejszej (b) półosi elipsy (obliczone z prawa przenoszenia się błędu średniego wielkości skorelowanych dla współrzędnych punktu) oraz kąt skręcenia α (obliczony jako warunek wystąpienia ekstremalnych wartości a i b).

Prawo przenoszenia się błędów średnich: pozwala określić wartość błędu średniego wielkości obliczonej na podstawie pomiarów, których wyniki obarczone są znanymi (wyliczonymi lub założonymi) błędami średnimi.
C_y = A * C_x * A^T (C_y - macierz błędów wyników, A - macierz współczynników przy poszczególnych składowych wektora X, C_x - macierz błędów obserwacji)

Redundancja - liczba obserwacji nadwymiarowych (nadliczbowych, nadokreślających) równa liczbie wszystkich obserwacji minus liczba obserwacji niezbędnych. Równa jest liczbie niezależnych warunków zachodzących pomiędzy obserwacjami.

Równanie błędów - przekształcone równania obserwacyjne do postaci liniowej. Poprawki wyrażone są jako funkcje liniowe przyrostów niewiadomych. Współczynniki prze niewiadomych otrzymujemy w wyniku zróżniczkowania (względem poszczególnych niewiadomych) funkcji z równań obserwacyjnych.

Równania obserwacyjne (poprawek) - obserwacje wyrażone jako funkcje niewiadomych (parametrów pośredniczących). Wyrównanie wartości obserwacji i niewiadomych powinny spełniać te związki w sposób ścisły (kontrola generalna wyrównania). Równań obserwacyjnych jest tyle, ile wszystkich obserwacji.

Równania odchyłek - przekształcone równia warunkowe do postaci liniowej. Rolę niewiadomych w tych równaniach pełnią poprawki. Współczynniki pry poprawkach otrzymujemy w wyniku zróżniczkowania (względem poszczególnych obserwacji) równań warunkowych.

Równania warunkowe (warunki) - ścisłe związki matematyczne, jakie powinny zachodzić pomiędzy obserwacjami. Wyrównane wartości obserwacji powinny spełniać te związki w sposób ścisły (kontrola generalna wyrównania). Liczba warunków równa jest liczbie obserwacji nadwymiarowych.

Stała orientacji stanowiska - azymut „zera” limbusa (róznica pomiędzy azymutem danego kierunku, a wartością tego kierunku, czyli odczytem na limbusie). Przy pomiarze kierunków występuje jedna stała (niewiadoma) orientacyjna na każdym stanowisku.

Transformacja Helmerta (wyrównanie) - liczba punktów dostosowania s > 2. Wyrównanie polega na obliczeniu poprawek V_x, V_y do współrzędnych punktów dostosowania. Rolę niewiadomych w procesie wyrównania metodą pośredniczącą pełnią 4 parametry transformacji: wektor przesunięcia X, Y, kąt skręcenia α układu wtórnego względem pierwotnego oraz współczynnik zmiany skali k. Liczba równań poprawek równa jest podwójnej liczbie punktów dostosowania.

Układ nadokreślony równań liniowych - układ, w którym liczba równań jest większa od liczby niewiadomych. Przykładem układu nadokreślonego jest układ równań błędów (przyrównany do zera) w metodzie pośredniczącej.

Układ niedookreślony równań liniowych - układ, w którym liczba równań jest mniejsza od liczby niewiadomych. Przykładem układu niedookreślonego jest układ równań odchyłek w metodzie zawarunkowanej.

Waga obserwacji - ranga pomiaru; liczona najczęściej jako odwrotność kwadratu błędu średniego obserwacji. Im większa waga (mniejszy błąd), tym większy wpływ danej obserwacji na wyniki wyrównania.

Wyraz wolny równania błędów - obliczamy jako różnicę pomiędzy wartością obliczoną obserwacji (na podstawie niewiadomych przybliżonych) a wynikiem pomiaru.

Wyrównanie ścisłe - 1) wszystkie obserwacje wyrównywane są jednocześnie;
2) poprawki do wszystkich obserwacji powinny być dobrane według zasady najmniejszych kwadratów. W wyrównaniu przybliżonym żaden z tych warunków nie musi być spełniony.

Zasada najmniejszych kwadratów - suma kwadratów poprawek powinna się równać minimum ([vv] = v₁² + v₂² + v₃² + … = min.).

Zmienna losowa - wielkość fizyczna lub logiczna; mogą jej być przypisane wartości X i przyjmowane z różnym prawdopodobieństwem; może być typu skokowego lub ciągłego.

Dystrybuanta - funkcja rzeczywista, jednoznacznie wyznaczająca rozkład prawdopodobieństwa losowej F(x) = Σ Pi.

Rozkład normalny - rozkład prawdopodobieństwa według krzywej Gejszy.

(jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny to zmienna losowa Y ma rozkład chi kwadrat (χ ²)o k stopniach swobody [k - parametry rozkładów])

1) wartość oczekiwana - wartość opisująca spodziewany wynik; inaczej moment zwykły

2) wariancja - miar zmienności; średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń; liczba nieujemna; pokazuje rozkład błędów

Estymacja - dział wnioskowania statystycznego będący zbiorem metod pozwalających na uogólnienie wyników badanej próby losowej.

1) estymacja punktowa - interesuje nas konkretna wielkość, np. współrzędne punktu.

2) estymacja przedziałowa - znajdujemy przedział, w którym dana zmienna znajduje się na określonym poziomie ufności.

Estymator - wielkość wyznaczana na podstawie próby losowej, służąca do oceny wartości nieznanych parametrów populacji generalnej.

Odchylenie - błąd średni; średnia kwadratów odchyleń od średniej arytmetycznej (pierwiastek z wariancji).

Macierz błędów niewiadomych (wariancyjno-kowariancyjna, C_x)- macierz kwadratowa, symetryczna o wymiarze równym liczbie niewiadomych.

- opisuje stochastyczne (o charakterze losowym) zależności pomiędzy poszczególnymi zmiennymi losowymi.

- jest dodatnio określona

- elementy po przekątnej to wariancje, które służą do obliczenia błędów średnich niewiadomych

- elementy poza przekątną to kowariancje, stanowią podstawę do obliczenia błędów średnich wielkości zależnych np. błędu średniego funkcji lub parametrów elipsy błędu średniego.

Macierz korelacyjna - kwadratowa, symetryczna

- opisuje stopień zależności pomiędzy X a Y

- obserwacje są od siebie zależne

- elementy macierzy stanowią wartości współczynników korelacji poszczególnych zmiennych losowych.

Elipsa błędu średniego - pokazuje kierunek (półosie A i B) wystąpienia minimalnej i maksymalnej wartości błędów średnich współrzędnych

- interpretacja geometryczna macierzy war-kowar.

Krzywa błędu średniego - określa wielkość błędu położenia punktu w zależno sci od kierunku

Elipsa ufności - elipsa błędów położenia punktów na danym poziomie ufności

- jej parametry otrzymujemy przez pomnożenie dłuższej i krótszej półosi przez wartość rozkładu.

Waga - ranga obserwacji

- miara zaufania do obserwacji

- liczba odwrotnie proporcjonalna do kwadratu błędu średniego obserwacji

- im większa waga tym większy wpływ danej obserwacji na wyniki wyrównania

C - współczynnik proporcjonalności; m_i - błąd średni

Waga jednakowa - występuje gdy P = 1 m_i² = C

Błąd typowego spostrzeżenia(m_o) - estymator odchylenia standardowego

- estymator wariancji

- błąd takiej obserwacji, której waga jest P = 1

m_o - błąd typowego spostrzeżenia; m_Δhi - błąd i-tej obserwacji

Kofaktor - jest odwrotnością wagi q_i = 1/P_i

- wielkość oddająca wielkość błędu

- jest wprost proporcjonalna do błędu obserwacji m_i² = q_i * m_o²

- przeważenie to kwadrat błędu średniego pomiaru mϱ²

Metoda najmniejszych kwadratów - suma kwadratów poprawek powinna równać się minimum ([vv] = v₁² + v₂² + v₃² + … = min.).

Standaryzacja - (homogenizacja) - przeskalowanie obserwacji przez pierwiastek wagi

Model stochastyczny - macierz kowariancji obserwacji

- macierz najczęściej diagonalna (ponieważ obserwacje są od siebie niezależne przed wyrównaniem). Powinna składać się z wariancji δ² odpowiednich obserwacji, ale że nie są one znane to zastępujemy je kofaktorami q, które w odpowiedni sposób przybliżają δ_i².

Model funkcjonalny - równanie w postaci V_i = X_i - X_ob dodajemy do równań dla istniejących obserwacji. Powstaje V = Ax - L.

Defekt sieci - różnica pomiędzy liczbą poszukiwanych parametrów, a rzędem macierzy A

- wynika z konfiguracji - niektóre części sieci są niedostatecznie połączone, aby rozwiązać sieć trzeba usunąć defekt (wprowadzić dodatkowe obserwacje)

Podejście pragmatyczne w sieci swobodnej - polega na dopisywaniu do istniejącego układu równań dowolnie wybranego warunku, który traktujemy jak obserwacje (jest to pseudoobserwacja) i nadajemy mu bardzo dużą wagę, wyraz wolny tej obserwacji = 0.

Linearyzacja - przejście z funkcji nieliniowych na liniowe poprzez rozwinięcie funkcji w szereg Taylora, ograniczając szereg do pierwszych pochodnych

- stosuje się po to, by móc zastosować prawo propagacji kowariancji(bo to prawo odnosi się do zależności liniowych)

Zmienna losowa - wielkość fizyczna lub logiczna, której przypisujemy określone wartości otrzymywane w wyniku przeprowadzonych doświadczeń.

Nie przepisywałem różnic w wyrównywaniu obserwacji jednakowo i niejednakowo dokładnych, oraz wzorów z 3 ostatnich zdjęć.

---