WYKŁAD IV

OGÓLNE ZASADY TEORII BLĘDÓW

Ogóle zasady teorii błędów

W pracach geodezyjnych mogą występować następujące błędów

-błędy grube,

-błędy systematyczne,

-błędy przypadkowe

Błędy grube powstają na skutek nagłej zmiany warunków pomiaru lub nieuwagi obserwatora (np. czeski błąd). Dla ostatecznych wyników błędy duże nie stanowią niebezpieczeństwa, gdyż łatwo zostają wykryte przez porównanie pomiarów tej samej wielkości.

Błędy systematyczne powstają na skutek znanych przyczyn. Jako przyczyny powstawania błędów należy wymienić:

-niedokładność w budowie instrumentów pomiarowych np. błąd kolimacji lub inklinacji,

-cechy szczególne obserwatora (błędy osobowe) np. skłonność do stałego zmniejszania/zwiększania odczytów,

-nieprawidłowa regulacja przyrządu pomiarowego,

-inne np. temperatura, refrakcja (załamanie się promienia przechodzącego przez różne ośrodki), boczne oświetlenie.

Eliminacja błędów systematycznych polega na zastosowaniu odpowiedniej metody pomiaru, względnie na drodze analitycznej.

Błędy przypadkowe są spowodowane przez bliżej nie określone czynniki działające stale, ze zmiennym nasileniem o charakterze przypadkowym. Eliminacje błędów przypadkowych nie jest możliwa, ponieważ nie istnieją związki funkcyjne pomiędzy wartościami błędów a przyczynami ich występowania.

Nie można zatem przewidzieć z góry wpływu błędów przypadkowych na wynik pomiaru. Spostrzeżenia obarczone błędami przypadkowymi należy doprowadzić do wzajemnej matematycznej zgodności za pomocą rachunku wyrównawczego opartego na teorii błędów oraz rachunku prawdopodobieństwa.

Rachunek prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo P zajścia zdarzenia A jest to stosunek liczby przypadków spełniających zdarzenie A liczby wszystkich możliwych zdarzeń.

P=s/w

P – prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A

s – liczba przypadków spełniających zdarzenie A

w – liczba wszystkich możliwych zdarzeń

Ze wzoru P=s/w wynika, że wartość prawdopodobieństwa zawiera się w granicach od 0 do 1. Jeżeli P=0 to dane zdarzenie nie występuje, jeżeli P=1 to mamy 100% pewność zajścia danego zjawiska.

Przyk.1.:

Obliczyć prawdopodobieństwo, że pobrana losowa sztuka produktu z partii o liczebności 30, z założeniem, że 5szt. W partii jest wadliwych, będzie bez wad.

P=s/w=25/30=5/6

Prawo błędow Gausa-Laplace’a

W związku z losowym charakterem pomiarów, błędu pomiarów charakteryzują się określonym prawem rozkładu (rozkład normalny). Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego opisującego prawo rozkładu błędów przypadkowych definiuje wzór:

Fi(epsilon)=h/sqrt(pi)e(-h²epsilon²)= h/sqrt(pi)e^{(-h2epsilon2)} (???)

h – miara dokładności związana z błędem średnim pomiaru h²m²=1/2

epsilon – błąd prawdziwy

m – błąd średni

mgr – błąd graniczny

Własności błędów przypadkowych

Na podstawie krzywej prawdopodobieństwa można sformułować wnioski dotyczące własności błędów przypadkowych:

-prawdopodobieństwo występowania błędów przypadkowych o różnych znakach lecz o tej samej wartości bezwzględnej jest jednakowe,

-prawdopodobieństwo wystąpienie błędów o mniejszej wartości jest większe niż błędów o wartości bezwzględnej większej,

-prawdopodobieństwo występowania błędu równego zero jest największe,

-prawdopodobieństwo wystąpienia najmniejszych błędów przypadkowych jest większe dla szeregu spostrzeżeń o wyższej mierze dokładności.

Wskaźniki dokładności pomiaru

Możemy wyróżnić nastepujące wskaźniki dokładność pomiaru:

-błąd średni m

-błąd przeciętny (małe delta)

-błąd prawdopodobny u (mi)

-błąd graniczny m_gr

-błąd względny m_w

Podstawowym wskaźnikiem dokładności pojedynczego pomiaru jest błąd średni m (odchylenie standardowe) opisany następującym wzorem:

m=sqrt([epsilon epsilon]/n

epsilon-błąd prawdziwy

n-liczba pomiarów

Charakterystyki dokładności pomiaru można dokonać na podstawie błędu przeciętnego małedelta jako średniej arytmetycznej z wartości bezwzględnych

małe delta=[epsilonepsilo]/n

Rzadziej stosowanym wskaźnikiem dokładności pomiaru jest błąd prawdopodobny mi, czyli bład, którego prawdopodobieństwo występowania wynosi 0,5.

Dla potrzeb praktycznych została ustalona granica wartości błędów przypadkowych w postaci błędu granicznego m_gr, który stanowi dopuszczalną wartość błędu przypadkowego dla danego szeregu pomiarów. Najczęściej przyjmuje się:

_mgr=3m

Błąd względny m_w jest to stosunek liczbowy bezwzględnej wartości błędu (najczęściej średniego) do mierzonej wartości, np.

M_w=m_d/d

Ojęcie i zasady wyrównania

-Zadaniem procesu równania jest wyznaczenie możliwie, najdokładniejszych poszukiwanych wartości. Wyrównanie może mieć miejsce tylko wówczas gdy mamy pomiary nadliczbowe (np. dwukrotnie pomierzona jedna odległość).

-Proces wyrównania jest wyrażony przez związek:

L_i+v_i=f_i(x,y,z,…)

l-wartość pomierzona

v-poprawka

x,y,z-niewiadome

-Wyniki pomiaru l_i różnią się od wartości prawidziwej X o błąd prawdziwy epsilon_i wg zależności

X=l_i+epsilon_i

czyli dla n pomiarów otrzymamy

x=l₁+epsilon₁

x=l₂+epsilon₂

x=l_n+epsilon_n

-Poniważ wartość prawdziwa X nie jest znana w praktyce stosujemy wartość najbardziej prawdopodobną X (z kreską na górze) oraz poprawkę V. Dla n pomiarów otrzymamy ostatecznie:

X(z kreską na górze)=l₁+v₁

X(z kreską na górze)=l₂+v₂

X(z kreską na górze)=l_n+v_n

-Warunkiem podstawowym dla otrzymania wartości najbardziej prawdopodobnej jest warunek:

[v v]=min

Gdy spełnimy ten warunek to okaże się, że wartością najbardziej prawdopodobną jest średnia arytmetyczna.

-Udowodnienie, że średnia arytmetyczna jest wartością najbardziej prawdopodobną.

[v v]=min

V=x (z dszkiem na górze) – l v₁

F([v v])=(x-l₁)²+(x-l₂)²+…+(x-l_n)²

Warunek koneiczny do istnienia extremum

f’(x)=0

f’(x)>0

Pojecie i zasady wyrównania

Wyrównanie spostrzeże jednakowo dokładnych – wykonanych przez tego samego obserwatora, tym samym sprzętem w takich samych warunkach.

-błąd średni typowego spostrzeżenia:

m₀=sqrt([vv]/(n-1)

n – iczba obserwacji

v=x(z kreską)-l

v-poprawka

x(z kreską) – wartość najbardziej prawdopodobna

l-wartość obserwowana

-błąd średni wartości najbardziej prawdopodobnej:

m_x=sqrt([vv]/n(n-1)

Przykład:

Pewną odległość pomierzono 3 razy I uzyskano wyniki:

d₁=75,85m

d₂=75,83m

d₃=75,8m

Obliczyć wartość najbardziej prawdopodobną, błąd średni typowego spostrzeżenia oraz błąd średni wartości najbardziej prawdopodobnej.

x=[l]/n=75,82(6)=75,83

v=x-l

v1=x-l1==75,83-75,85=-0,02

v2=x-l2==75,83-75,80=0

v3=x-l3=75,83-75,8=0,03

v1v1=0,0004m

v2v2=0

v3v3=0,0009m

[vv]=0,0013m

M₀=+-sqrt[vv]/n-1==-sqrt0,0013/2

M0=+-0,025+-0,02m

Mx=+-sqrt([vv]/n(n-1)=sqrt(0,0013/6)

Mx=+-0,015=+-0,02m

Zależność między m₀ a m_x

M_x=+-sqrt([vv]/n(n-1)=+-m₀/sqrt(n)

M₀=+-sqrt([vv]/n-1

Prawo przenoszenia się błędów średnich

Y=f(x₁,x₂,…x_n)

n_y=+-sqrt( (dy/dx₁)²m_x1²+(dy/dx₂)m_x2+…+(Dy/dxn)²mx_n²

Przykład 1:

Pomeirzono bok kwadratu. A=21,71m z błędem m_a=2cm. Obliczyć pole kwadratu oraz błąd średni pola.

P=a²=…

Y f(x,..n)

Mp=+- sqrt( (dp/da)²ma²= sqrt(2a)²

Przykład 2:

Obliczyć współrzędne pkt. Nr 2 oraz błędy średnie współrzędnych mając dane:

X2=?

Y2=?

Mx2=?

My2=?

X1=100

Y1=100

D12=120,75+-5

A12=120,7520^g=10’’

Deltax12=x2-x1 -> x2=x1+deltax12 = x1d12cosA12

Deltay12=y2-y1 -> y2=y1+deltay12 = y1+d12sinA12

Mx₂=+-sqrt( (dx2/dd12)²m_d12+(dx2/dA₁₂)² * (mA₁₂/ro)² )

Mx2=+- sqrt( (cosA₁₂)²md₁₂²+(d12sinA₁₂)²(ma/ro^g)² )

My2=+-sqrt( (1)²+(sinA₁₂)²md₁₂²+(d₁₂cosA₁₂)² * (m_A12/ro^g) ) ?