„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

MINISTERSTWO EDUKACJI

NARODOWEJ

Leszek Wiatr

Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania
pomiarów geodezyjnych 311[10].Z1.07

Poradnik dla ucznia

Wydawca

Instytut Technologii Eksploatacji – Państwowy Instytut Badawczy
Radom 2007

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

1

Recenzenci:
dr inż. Bożena Wasielewska
mgr inż. Sylwia Mikulska



Opracowanie redakcyjne:
mgr inż. Barbara Kapruziak



Konsultacja:
mgr Małgorzata Sienna











Poradnik stanowi obudowę dydaktyczną programu jednostki modułowej 311[10].Z1.07
„Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania wyników pomiarów geodezyjnych”,
zawartej w modułowym programie nauczania dla zawodu technik geodeta.

Wydawca

Instytut Technologii Eksploatacji – Państwowy Instytut Badawczy, Radom 2007

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

2

SPIS TREŚCI

1.

Wprowadzenie

3

2.

Wymagania wstępne

5

3.

Cele kształcenia

6

4.

Materiał nauczania

7

4.1. Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania wyników pomiarów

7

4.1.1.

Materiał nauczania

7

4.1.2. Pytania sprawdzające

27

4.1.3. Ćwiczenia

27

4.1.4. Sprawdzian postępów

28

4.2. Wyrównanie metodą pośredniczącą

29

4.2.1.

Materiał nauczania

29

4.2.2. Pytania sprawdzające

50

4.2.3. Ćwiczenia

50

4.2.4. Sprawdzian postępów

51

4.3. Wyrównanie spostrzeżeń metodą warunkową

52

4.3.1.

Materiał nauczania

52

4.3.2. Pytania sprawdzające

60

4.3.3. Ćwiczenia

61

4.3.4. Sprawdzian postępów

62

5.

Sprawdzian osiągnięć

63

6. Literatura

68

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

3

1. WPROWADZENIE

Poradnik będzie Ci pomocny w przyswajaniu wiedzy o wykorzystaniu teorii błędów do

opracowywania wyników pomiarów geodezyjnych.

W poradniku znajdziesz:

−

wymagania wstępne, czyli wykaz umiejętności jakie powinieneś mieć już ukształtowane,
abyś bez problemów mógł korzystać z poradnika,

−

cele kształcenia, czyli wykaz umiejętności, jakie ukształtujesz podczas pracy
z poradnikiem,

−

materiał nauczania, czyli wiadomości teoretyczne niezbędne do opanowania treści
jednostki modułowej,

−

zestaw pytań, abyś mógł sprawdzić, czy już opanowałeś określone treści,

−

ćwiczenia, które pomogą Ci zweryfikować wiadomości teoretyczne oraz ukształtować
umiejętności praktyczne,

−

sprawdzian postępów i osiągnięć - przykładowy zestaw zadań. Zaliczenie testu
potwierdzi opanowanie materiału całej jednostki modułowej.

Wykorzystanie teorii błędów jest zagadnieniem sprawiającym trudności w zrozumieniu

i opanowaniu materiału przez przyszłych geodetów. W związku z tym, przy omawianiu
poszczególnych zagadnień, w poradniku zastosowano szereg różnorodnych przykładów, aby
wprowadzić Cię na właściwy tok myślenia.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

4

Schemat układu jednostek modułowych

311[10].Z1.02

Opracowywanie mapy sytuacyjnej

311[10].Z1.03

Aktualizacja mapy sytuacyjnej na podstawie

pomiarów terenowych

311[10].Z1.04

Opracowywanie przekrojów podłużnych

i poprzecznych

311[10].Z1.05

Wykonywanie mapy warstwicowej

311[10].Z1.06

Stosowanie rachunku współrzędnych

w obliczeniach geodezyjnych

311[10].Z1.07

Wykorzystywanie teorii błędów do

opracowywania pomiarów geodezyjnych

311[10].Z1.10

Sporządzenie mapy

sytuacyjno-wysokościowej na podstawie

pomiarów terenowych

311[10].Z1.09

Wykonywanie pomiarów sytuacyjnych

i sytuacyjno-wysokościowych

311[10].Z1.08

Projektowanie, pomiar i wyrównanie

szczegółowej osnowy geodezyjnej

311[10].Z1.11

Stosowanie technologii GPS w pomiarach

geodezyjnych

311[10].Z1.01

Stosowanie instrumentów geodezyjnych

311[10].Z1

Mapa sytuacyjno-wysokościowa

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

5

2. WYMAGANIA WSTĘPNE

Przystępując do realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć:

−

posługiwać się podstawowymi pojęciami z zakresu pomiarów geodezyjnych,

−

stosować podstawowe zasady rachunku prawdopodobieństwa,

−

stosować zasady zaokrąglania i zapisu liczb,

−

stosować działania na liczbach przybliżonych (reguły Kryłowa-Bradisa),

−

obliczać pochodne funkcji najczęściej występujących w zadaniach geodezyjnych,

−

przeliczać kąty wyrażone w stopniach, gradach lub radianach,

−

korzystać z różnych źródeł informacji,

−

obsługiwać komputer,

−

współpracować w grupie.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

6

3. CELE KSZTAŁCENIA

W wyniku realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć:

−

rozróżnić źródła błędów i dokonać ich podziału,

−

scharakteryzować rodzaje błędów występujących w pomiarach geodezyjnych,

−

określić zadania rachunku wyrównawczego,

−

posłużyć się podstawową wiedzą z zakresu rachunku wyrównawczego,

−

określić miary charakteryzujące dokładność pomiarów,

−

zastosować prawo przenoszenia się błędów średnich Gaussa,

−

wyrównać spostrzeżenia bezpośrednie jednakowo dokładne,

−

wyrównać spostrzeżenia bezpośrednie niejednakowo dokładne,

−

wyrównać pary spostrzeżeń,

−

wyrównać spostrzeżenia pośredniczące,

−

zastosować metodę warunkową,

−

wyrównać spostrzeżenia zawarunkowane,

−

wyrównać spostrzeżenia metodami ścisłymi z wykorzystaniem komputerowych,
programów obliczeniowych.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

7

4. MATERIAŁ NAUCZANIA

4.1.

Wykorzystywanie

teorii

błędów

do

opracowywania

wyników pomiarów

4.1.1. Materiał nauczania

Źródła błędów spostrzeżeń

Wyniki pomiarów geodezyjnych zwane także obserwacjami lub częściej spostrzeżeniami

(L

1

, L

2

, …L

n

) nigdy nie są bezbłędne, lecz stanowią jedynie wartości przybliżone pewnych

nieznanych wartości prawdziwych wielkości mierzonych. Spostrzeżenia obarczone są
licznymi błędami wynikającymi z niedoskonałości przyrządów pomiarowych, zmysłów
obserwatora oraz zmienności warunków atmosferycznych i środowiskowych podczas
wykonywania pomiarów.

W zależności od źródeł powstawania i charakteru ich wpływu na rezultat pomiaru można

dokonać podziału błędów na trzy grupy:
a)

błędy grube tzw. omyłki, które spowodowane są niedyspozycją lub nieuwagą
obserwatora. Typowym przykładem błędu grubego jest zapisanie błędnej ilości pełnych
przyłożeń taśmy. Zastąpienie ręcznego notowania obserwacji w dziennikach
pomiarowych przez elektroniczny zapis danych pomiarowych znacznie zmniejsza
prawdopodobieństwo popełnienia błędów grubych.
Błędy grube muszą być bezwzględnie wyeliminowane z materiału obserwacyjnego przed
przystąpieniem do wyrównania.

b)

błędy systematyczne, które powstają wskutek działania ustalonych prawidłowości
w określonych warunkach pomiaru.
Źródła tych błędów mogą wynikać z następujących przyczyn:
–

instrumentalnych,

spowodowanych

wadami

instrumentów

(przymiarów,

niwelatorów, teodolitów, dalmierzy itp.)

–

osobowych, związanymi ze stałymi nawykami obserwatora np. błędu celowania

–

środowiskowych, wynikających z działania znanych praw związanych z określonymi
warunkami pomiaru np. nieuwzględnienie temperatury, ciśnienia atmosferycznego
czyrefrakcji atmosferycznej.

Błędy systematyczne są przeważnie stałe co do znaku i wartości liczbowej np. błąd
miejsca zera podczas pomiaru kątów pionowych. Błędy systematyczne usuwamy
z wyników obserwacji w miarę ich ujawniania

c)

błędy przypadkowe, które mają charakter losowy i w przeciwieństwie do błędów grubych
i systematycznych są niemożliwe do wyznaczenia i wyeliminowania ze względu na ich
losową zmienność co do wartości liczbowej jak i znaku.
Błędy te występują w różnym nasileniu i wynikają z mniej lub bardziej znanych przyczyn
trudnych do ścisłego określenia takich jak: niedoskonałość instrumentu i wzroku
obserwatora zmienne warunki atmosferyczne czy oświetleniowe. Podczas pomiarów
prawdopodobieństwo popełnienia błędów przypadkowych ze znakami plus i minus jest
jednakowe.

Rodzaje błędów

:

Błąd prawdziwy „ε” jest to różnica między wartością pomierzoną „L

0

” i wartością

prawdziwą spostrzeżenia „X”:

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

8

ε = L

o

– X

czyli

X = L

o

– ε

W równaniu tym znana jest tylko wartość pomierzona, ponieważ wartość prawdziwa

wielkości mierzonej jest z reguły nieznana, zatem nie jest także znany błąd prawdziwy
spostrzeżenia. W praktyce geodezyjnej dążymy do uzyskania wartości najbliższych wartości
prawdziwej. Będzie to wartość najbardziej prawdopodobna, otrzymana z wyrównania
spostrzeżeń.

Błąd pozorny spostrzeżenia „-v” jest to różnica pomiędzy wartością pomierzoną

i wartością wyrównaną spostrzeżenia „L

w

”.

-v = L

w

– L

o

Poprawka wyrównawcza „v” jest to wielkość równa błędowi pozornemu, lecz

z przeciwnym znakiem. Wartość poprawki „v” należy dodać do spostrzeżenia „L

o

” aby

otrzymać jego wartość wyrównaną „L

w

”

L

o

+ v = L

w

Zadania rachunku wyrównawczego

Każdy pomiar jakiejkolwiek wielkości niewiadomej zawsze jest obciążony większym lub

mniejszym błędem przypadkowym. Dlatego też, jeżeli do wyznaczenia jakiejkolwiek
wielkości pojedynczej czy większej liczby niewiadomych, związanych znanymi funkcyjnymi
zależnościami z pośrednio mierzonymi wielkościami, wykonamy więcej spostrzeżeń niż to
jest niezbędne dla jednoznacznego wyznaczenia niewiadomych, to na ogół nie otrzymamy
jednoznacznego rozwiązania zadania. Wykorzystując wyniki bezpośrednich pomiarów
każdorazowo otrzymamy inny wynik dla szukanej wielkości, wyniki będą jednak zbliżone do
siebie. W związku z tym powstaje zagadnienie ustalenia na podstawie wyników
bezpośrednich spostrzeżeń, takich wartości niewiadomych, które byłyby najbardziej
prawdopodobne. W tym celu należy wyniki obserwacji tak między sobą uzgodnić, aby
dawały jednoznacznie najbardziej prawdopodobne rozwiązanie. Uzgodnienie to nosi ogólną
nazwę rachunku wyrównawczego i polega na tym, że do wyników bezpośrednich spostrzeżeń
należy obliczyć także poprawki „v”, aby wielkości poprawione dały jednoznaczny układ
wartości niewiadomych.

Podstawy rachunku wyrównawczego.

Błędy przypadkowe można uznać za zdarzenia losowe, do których stosuje się zasady

rachunku prawdopodobieństwa i teorii błędów. Prawdopodobieństwo wystąpienia błędów
przypadkowych zostało ustalone przez niemieckiego matematyka i geodetę C. F. Gaussa
(1777–1855) w postaci prawa błędów Gaussa-Laplace’a, a wykresem jest krzywa
prawdopodobieństwa popełnienia błędu przypadkowego zwana krzywą de Moivre’a-Gaussa
(rys. 1), gdzie φ(ε) jest funkcją określającą zmiany prawdopodobieństwa pojawienia się błędu
„ε

i

”.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

9

Rys. 1

.

Krzywa prawdopodobieństwa popełnienia błędu przypadkowego ε

[

opracowanie własne]

Z krzywej prawdopodobieństwa wynikają następujące wnioski:

−

najbardziej prawdopodobne jest pojawienie się błędu przypadkowego „ε” równego zero,

−

prawdopodobieństwo błędów o tej samej wartości bezwzględnej, lecz z różnymi znakami
jest jednakowe,

−

prawdopodobieństwo błędu mniejszego jest większe niż prawdopodobieństwo błędu
większego,

−

zwiększenie dokładności pomiaru powoduje zmniejszenie prawdopodobieństwa
pojawienia się błędów o dużych wartościach liczbowych,

−

przy zwiększeniu liczby spostrzeżeń „n” suma błędów przypadkowych [ε] dąży do zera.

Zgodnie z założeniami Gaussa funkcja rozkładu błędów przypadkowych osiąga

maksimum (największą wiarygodność) przy spełnieniu warunku

[εε] = minimum

Najbardziej wiarygodne byłoby, gdyby poprawki „v

i

” były równe błędom prawdziwym „ε

i

”

z przeciwnym znakiem

[vv] = minimum

Miary dokładności spostrzeżeń

Błędy za pomocą, których charakteryzuje się dokładność obserwacji mogą być

następujące:

−

błąd absolutny „m

a

” przypadający na całą nieznaną wielkość

−

błąd względny „m

w

” przypadający na jednostkę mierzonej wielkości, czyli stosunek

błędu absolutnego do mierzonej wielkości „d”. Błąd ten wyrażamy za pomocą ułamka
z jednością w liczniku i stosujemy tylko przy charakteryzowaniu dokładności pomiaru
długości lub powierzchni

m

w

=

a

m

d

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

10

−

błąd średni pojedynczego spostrzeżenia „m” obliczony na podstawie błędów
prawdziwych

m =

[ ]

n

εε

gdzie „n” jest liczbą błędów prawdziwych, a więc i liczbą spostrzeżeń. Wobec braku

możliwości określenia błędów prawdziwych wzór ten jest rzadko stosowany.

W przypadku, gdy błędy prawdziwe nie są znane, średni błąd pojedynczego

spostrzeżenia, obliczamy na podstawie błędów pozornych „v”

m =

[

]

n 1

vv

−

−

błąd graniczny „g”, którego nazwa pochodzi stąd, że jego przekroczenie jest mało
prawdopodobne. Błąd ten wyznacza największą wartość błędu dopuszczalnego dla
danego pomiaru i przyjmowany jest zwykle, jako trzykrotna wartość błędu średniego

g = 3 m

W praktyce przyjmuje się , że „g” znajduje się w przedziale

2m ≤ g ≤ 3 m

Przykład 1

Długość boku poligonowego zmierzono 4-krotnie taśmą stalową uzyskując wyniki:

L

1

= 195,46 m

L

2

= 195,48 m

L

3

= 193,50 m

L

4

= 195,45 m

Oblicz błąd średni i graniczny, jeżeli za długość prawdziwą przyjmiemy długość

zmierzoną tachimetrem elektronicznym, wynoszącą L = 195,456 m

ε

i

= L

i

– L

ε

1

=L

1

– L = 195,46 – 195, 456 = 0,004 m

ε

2

=L

2

– L = 195,48 – 195, 456 = 0,024 m

ε

3

=L

3

– L = 195,50 – 195, 456 = 0,044 m

ε

4

=L

4

– L = 195,45 – 195, 456 = –0,006 m

m =

[ ]

n

εε

(

)

4

006

,

0

044

,

0

024

,

0

004

,

0

2

2

2

2

−

+

+

+

±

=

m

024

,

0

±

=

m

[m]

g = 3

.

m

g = ±0,075 [m]

Jeżeli błędy prawdziwe poszczególnych spostrzeżeń nie przekraczają błędu granicznego,

to wówczas spostrzeżenia te bierzemy do wyrównania. Jeżeli błąd dowolnego spostrzeżenia
jest większy od błędu granicznego to wówczas spostrzeżenia tego nie uwzględniamy przy
wyrównaniu.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

11

Przykład 2

Pomierzyliśmy długość L = 200 m ze średnim błędem m =

±

2 cm. Oblicz błąd względny

tej długości.

w

m

m

L

=

w

2cm

2cm

1

m

0, 0001

200m

20000cm

10000

±

±

=

=

= ±

= ±

w

m

100ppm

=

(parts per million

)

Własności średniej arytmetycznej i błędów pozornych

Obserwacje L

1

, L

2

, …L

n

otrzymane w wyniku pomiarów tej samej wielkości, stanowiącej

niewiadomą, nazywamy spostrzeżeniami bezpośrednimi. Niezależnie od zwiększania liczby
pomiarów „n”, nieznana wartość prawidłowa „X” tej wielkości nie daje się określić.
Poszukujemy, zatem jej najbardziej prawdopodobną wartość „x” spełniającą związek:

x = L

i

+ v

i

Uwzględniając zasadę, że [vv] = min., otrzymujemy:

[vv] = (x–L

1

)

2

+(x–L

2

)

2

+…+(x–L

n

)

2

= n

.

x

2

–2x

.

[L]+[LL]

Otrzymana funkcja przedstawia funkcję typu y = ax²+bx+c, minimum tej funkcji występuje

dla wartości

a

b

x

2

min

−

=

. Ponieważ a = n, b

= −

2

.

[L], więc

[ ]

n

L

x

=

.

Najbardziej prawdopodobną wartością dla spostrzeżeń L

1

, L

2

, …L

n

jest średnia arytmetyczna,

czyli suma spostrzeżeń podzielona przez liczbę pomiarów. Dla uniknięcia dużych liczb
średnią arytmetyczną możemy obliczać za pomocą wartości przybliżonej „x

o

”

x = x

o

+

[ L]

n

∆

Wielkość „x

o

” może mieć dowolną wartość, jednak dla wygody obliczeń najprościej jest

przyjąć jako „x

o

” najmniejsze ze spostrzeżeń. Wielkości ∆L stanowią różnicę pomiędzy

kolejnymi spostrzeżeniami a wartością „x

o

”

∆L

i

= L

i

– x

o

Po wyznaczeniu średniej arytmetycznej obliczamy poprawki poszczególnych spostrzeżeń

v

i

= x – L

i

Ponieważ suma poprawek spełnia zależność [v] = n

.

x – [L], to podstawiając do równania

wartość

[ ]

n

L

x

=

, otrzymamy [v] = 0.

Oceny dokładności pomiaru i wielkości wyrównanych dokonujemy przez obliczenie
średniego błędu pojedynczego spostrzeżenia

m = ±

[vv]

n 1

−

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

12

oraz średniego błędu średniej arytmetycznej „m

x

”

m

x

= ±

[vv]

n (n-1)

⋅

Przykład 3

Długość boku zmierzono siedmiokrotnie. Oblicz wartość najprawdopodobniejszą

zmierzonej

długości,

średni

błąd

pojedynczego

pomiaru

oraz

średni

błąd

najprawdopodobniejszej długości.

Dane z pomiaru:

L

1

= 195,45 m

L

2

= 195,42 m

L

3

= 193,47 m

L

4

= 195,40 m

L

5

= 195,39 m

L

6

= 195,50 m

L

7

= 193,46 m

Przyjmujemy wartość przybliżoną (najlepiej przyjąć najmniejszą z wartości) L

0

= 195,39 m.

Wartość najprawdopodobniejszą obliczymy ze wzoru:

i

w

0

L

L

L

n

∆

=

+

i

L

∆

i

0

L

L

= −

w

0.36

L

195.39

195, 44m

7

=

+

=

Obliczenie wartości poprawek do spostrzeżeń:

v

1

= L

w

– L

1

= 195,44 – 194,45 = –0,01

v

2

= L

w

– L

2

= 195,44 – 194,42 = + 0,02

v

3

= L

w

– L

3

= 195,44 – 194,47 = –0,03

v

4

= L

w

– L

4

= 195,44 – 194,40 = + 0,04

v

5

= L

w

– L

5

= 195,44 – 194,39 = + 0,05

v

6

= L

w

– L

6

= 195,44 – 194,50 = –0,06

v

7

= L

w

– L

7

= 195,44 – 194,46 = –0,02

Teoretyczna suma poprawek powinna równać się zero.

[v] = –0,01

Na skutek zaokrąglenia wartości najprawdopodobniejszej suma [v]

≠

0, ale jest zbliżona do zera.

Średni błąd pojedynczego pomiaru

m = ±

[vv]

n-1

[vv] = 0,0095

n = 7

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

13

0, 0095

m

0, 04m

6

= ±

= ±

Średni błąd najprawdopodobniejszej długości

m

L

= ±

[vv]

n (n-1)

⋅

m

L

= ±

0, 0095

7 (7 1)

⋅ −

0, 015m

= ±

Wyrównana długość boku wyniesie

L

w

= 195,44m

±

0,015 m

lub

L

w

= 195,44m

±

15 mm

Prawo przenoszenia się błędów

Ponieważ wielkości obserwowane nie są bezbłędne, więc funkcje tych wielkości są także

obarczone błędami. Przy rozwiązywaniu zadań geodezyjnych często zachodzi potrzeba
określenia dokładności funkcji wielkości obserwowanych.
Do wyznaczenia średniego błędu funkcji wielkości obserwowanych, niezależnych od siebie,
których błędy średnie są znane, stosuje się sformułowane przez C.F. Gaussa prawo
przenoszenia się błędów średnich

m

F

=

2

2

2

1

2

1

2

n

n

F

F

F

m

m

m

L

L

L

⋅⋅⋅













∂

∂

∂

⋅

+

⋅

+ +

⋅













∂

∂

∂













gdzie:

m

F

– błąd średni funkcji,

L

i

– wielkość obserwowana,

m

i

– średni błąd wielkości obserwowanej,

L

F

∂

∂

– pochodna cząstkowa funkcji względem ustalonej wielkości obserwowanej.

Błąd średni funkcji obserwacji jest równy pierwiastkowi z sumy kwadratów pochodnych

cząstkowych pomnożonych przez odpowiadające im średnie błędy zmiennych niezależnych.
Wagę funkcji wyraża się wzorem

2

2

2

...

1

1

2

2

1

1

1

1

F

n

n

F

F

F

p

L

p

L

p

L

p













∂

∂

∂

=

⋅

+

⋅

+ +

⋅













∂

∂

∂













„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

14

Tabela 1. Zestawienie pochodnych funkcji najczęściej występujących w zadaniach geodezyjnych

[

opracowanie

własne]

Lp.

Nazwa funkcji

Funkcja

Pochodna

1

Stała

y = c

y’ = 0

2

Niewiadoma

y = x

y’ = 1

3

Potęga

y = x

n

y’ = n

.

x

n-1

4

Iloczyn liczby i potęgi

y = ax

n

y

’

= n

.

a

.

x

n-1

5

Pierwiastek

y

x

=

y

’

1

2 x

=

6

Suma lub różnica

y = f(x)

±

g(x)

y

’

= f

’

(x)±g

’

(x)

7

Iloczyn

y = f(x)

⋅

g(x)

y

’

= f

‘

(x)

.

g(x)+f(x)

.

g

’

(x)

8

Iloraz

f (x)

y

g(x)

=

y

’

'

'

2

f (x) g(x) f (x) g (x)

g (x)

⋅

−

⋅

=

9

Odwrotność

1

y

x

=

y

’

2

1

x

= −

10

Sinus

y = sinx

y

’

= cosx

11

Cosinus

y = cosx

y

’

= -sinx

12

Tangens

y = tgx

y

’

2

2

1

1 tg x

cos x

=

= +

13

Cotangens

y = ctgx

y

’

2

2

1

(1 ctg x)

sin x

= −

= − +

14

Arcus sinus

y = arc sinx

y

’

2

1

1 x

=

−

15

Arcus cosinus

y = arc cosx

y

’

2

1

1 x

= −

−

16

Arcus tangens

y = arc tgx

y

’

2

1

1 x

=

+

17

Arcus cotangens

y = arc ctgx

y

’

2

1

1 x

= −

+

18

Złożona

y = g[f(x)]

gdzie f(x) = u

y

’

= g

’

(u)

.

f

’

(x)

Przykład 4

Działka budowlana ma kształt trapezu (rys. 2). Pomierzono w niej dwa boki równoległe

(a i b) oraz wysokość (h). Oblicz powierzchnię działki oraz jej błąd średni.

Rys. 2. Działka w kształcie trapezu [opracowanie własne]

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

15

Dane uzyskane z pomiaru:
a = 10,00 m ±0,15 m
b = 15,00 m ±0,20 m
h = 5,00 m ±0,10 m

Powierzchnia działki (funkcja spostrzeżeń)

a

b

P

h

2

+

=

⋅

2

10m 15m

P

5m

62, 50m

2

+

=

⋅

=

Średni błąd powierzchni obliczamy ze wzoru

gdzie:

P

h

a

2

∂ =

∂

P

h

b

2

∂ =

∂

P

a

b

h

2

∂

+

=

∂

Podstawiając wyliczone pochodne cząstkowe do wzoru, otrzymamy

2

2

2

2

2

2

p

a

b

h

h

h

a

b

m

m

m

m

2

2

2

+

 

 





= ±

⋅

+

⋅

+

⋅

 

 





 

 





2

2

2

2

2

2

2

p

m

2.5 0,15

2.5 0, 2

12.5 0,1

1, 4m

= ±

⋅

+

⋅

+

⋅

= ±

P = 62,5 m

2

±1,4 m

2

Przykład 5

Działka ma kształt kwadratu o długości boku 30 m. Z jaką dokładnością musimy

pomierzyć bok kwadratu, aby błąd obliczonej powierzchni działki nie przekraczał 2 m

2

?

Powierzchnia działki (funkcja spostrzeżeń)

P = a

2

2

2

p

a

P

m

m

a

∂





= ±

⋅





∂





2

2

2

2

2

2

p

a

b

h

P

P

P

m

m

m

m

a

b

h

∂

∂

∂













= ±

⋅

+

⋅

+

⋅













∂

∂

∂













„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

16

P

2a

a

∂ =

∂

p

a

m

2a m

= ± ⋅

ponieważ

2

p

m

2m

≤

to

p

a

m

2a m

≤ ± ⋅

stąd

p

a

m

m

2a

≤ ±

2

a

2m

m

2 30m

≤ ±

⋅

a

m

0, 03m

≤ ±

Odp. Bok kwadratu należy pomierzyć co najmniej z dokładnością ±3 cm.

Przykład 6

Działka ma kształt trójkąta prostokątnego (rys. 3). Obliczyć długość przeciwprostokątnej

„c” mając dane przyprostokątne „a” i „b”, oraz podać z jakim błędem średnim „m

c

” jest ona

obliczona.

Rys.

3. Działka w kształcie trójkąta

[

opracowanie własne]

Dane uzyskane z pomiaru:
a = 120,00 m ±0,06 m
b = 50,00 m ±0,02 m

Długość przeciwprostokątnej (funkcja spostrzeżeń)

2

2

c

a

b

=

+

2

2

c

120

50

130m

=

+

=

Średni błąd długości przeciwprostokątnej „m

c

” wyniesie

2

2

2

2

c

a

b

c

c

m

m

m

a

b

∂

∂









= ±

⋅

+

⋅









∂

∂









2

2

2

2

c

1

a

a

2a

a

c

2 a

b

a

b

∂ =

⋅

=

=

∂

+

+

2

2

2

2

c

1

b

b

2b

b

c

2 a

b

a

b

∂ =

⋅

=

=

∂

+

+

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

17

2

2

2

2

c

a

b

a

b

m

m

m

c

c

 

 

= ±

⋅

+

⋅

 

 

 

 

2

2

2

2

c

120

50

m

0, 06

0, 02

0, 06m

130

130









= ±

⋅

+

⋅

= ±

















c = 130,00 m ±6 cm

Przykład 7

Zmierzono odległość „d” pomiędzy punktami A i B oraz kąt nachylenia terenu „α”

(rys. 4). Obliczyć odległość „d

o

”, czyli odległość zredukowaną do poziomu odcinka A-B, oraz

określić błąd średni tej odległości.

Rys.

4. Pomiar odległości skośnej

[

opracowanie własne]

Dane uzyskane z pomiaru:
d = 280.00 m ±0,06 m
α = 2

°

15

'

±1

'

Odległość „d

o

” zredukowana do poziomu (funkcja spostrzeżeń):

d

o

= d

.

cos α

d

o

= 280m

.

cos2

°

15

'

= 279,78 m

0

2

2

2

2

0

0

d

d

d

d

m

m

m

d

d

α

∂

∂









= ±

⋅

+

⋅









∂

∂









0

d

d

∂

∂

cos α

=

0

d

d

∂

∂

d sin α

= − ⋅

'

'

3438

ρ

=

(

)

(

)

0

2

2

2

2

α

d

d

'

m

m

cos α

m

d sin α

ρ





= ±

⋅

+ − ⋅

⋅









(

)

(

)

0

2

'

2

2

'

2

'

d

'

1

m

cos 2 15

0, 06

280 sin 2 15

3438





= ±

⋅

+ −

⋅

⋅









0

d

m

0, 06m

= ±

d

o

= 279,78m ±0,06m = 279,78m ±6cm

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

18

Spostrzeżenia bezpośrednie jednakowo dokładne, niejednakowo dokładne, pary
spostrzeżeń

Spostrzeżenia jednorodne wykonane tym samym przyrządem i metodą pomiaru,

w identycznych warunkach środowiska, przez tego samego obserwatora noszą nazwę
spostrzeżeń bezpośrednich jednakowo dokładnych. Wszystkie te spostrzeżenia L

1

, L

2

,…L

n

mają charakter spostrzeżeń typowych, a więc charakteryzują się jednakowymi błędami
średnimi

m

1

= m

2

= … = m

n

= m

Wyniki pomiarów, dla których nie jest spełnione jedno z wcześniej wymienionych

założeń (ten sam przyrząd metoda pomiaru, identyczne warunki środowiska, ten sam
obserwator) nazywamy spostrzeżeniami bezpośrednimi niejednakowo dokładnymi. Dla
zróżnicowania dokładności tych spostrzeżeń przypisujemy każdemu z nich pewną dodatnią
i niemianowaną liczbę „p” zwaną wagą, określającą stopień naszego zaufania do danej
obserwacji. Spostrzeżenia dokładniejsze uzyskują większą wagę niż spostrzeżenia uzyskane
z pomiaru mniej dokładnego.

Szczególnym spostrzeżeniem pośród pomiarów niejednakowo dokładnych jest

spostrzeżenie o wadze równej jedności (nie musi występować w danym zbiorze obserwacji),
które nosi nazwę spostrzeżenia typowego a średni błąd „m

o

” tego spostrzeżenia nazywamy

średnim błędem jednostkowym. Wszystkie spostrzeżenia jednakowo dokładne są
spostrzeżeniami typowymi, a więc ich wagi są równe jedności.

W pomiarach geodezyjnych bardzo często mamy do czynienia z obserwacjami znacznej

liczby jednorodnych wielkości o różnych wartościach, z których każdą mierzymy dwukrotnie.
Taką formę pomiaru nazywamy pomiarem parami. Jeżeli dysponujemy znaczną liczbą
jednorodnych wielkości, mierzonych dwukrotnie (parami), to możemy obliczyć średnie błędy
takich spostrzeżeń, przy czym rozróżniamy pomiary parami jednakowo i niejednakowo
dokładne.

Średnie błędy spostrzeżeń

Głównymi zadaniami procesów wyrównania są:

−

określenie najbardziej prawdopodobnych wartości wyników pomiaru (spostrzeżeń),

−

określenie najbardziej prawdopodobnych wartości szukanych wielkości (niewiadomych),

−

dokonanie oceny dokładności materiału obserwacyjnego i wielkości wyrównanych.

Dla poszczególnych rodzajów spostrzeżeń będzie to wyglądało następująco:
a)

spostrzeżenia bezpośrednie jednakowo dokładne L

1

, L

2

, …, L

n

–

określenie najbardziej prawdopodobnej wartości „x” mierzonej wielkości

x =

[L]

n

–

określenie najbardziej prawdopodobnych wartości spostrzeżeń

L

i

= x - v

i

–

dokładność pojedynczego spostrzeżenia tzw. średni błąd pojedynczego spostrzeżenia

m = ±

[vv]

n-1

–

dokładność wielkości wyrównanej tzw. średni błąd średniej arytmetycznej

m

x

= ±

[vv]

(

1)

n n

⋅ −

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

19

b)

spostrzeżenia bezpośrednie niejednakowo dokładne L

1

, L

2

, …, L

n

Wagi obserwacji niejednakowo dokładnych są odwrotnie proporcjonalnie do kwadratów

ich błędów średnich

1

2

3

n

2

2

2

2

1

2

3

n

1

1

1

1

p : p : p ...p

:

:

: ...

m

m

m

m

=

Dla i-tego spostrzeżenia oraz spostrzeżenia typowego możemy napisać proporcje

i

0

2

2

i

0

1

1

p : p

:

m

m

=

Ponieważ, p

o

= 1, więc

2

2

0

i

i

m

m

p

=

.

−

określenie najbardziej prawdopodobnej wartości „x” mierzonej wielkości dokonujemy przy
pomocy średniej arytmetycznej ogólnej (ważonej). Średnia arytmetyczna ogólna jest równa
sumie iloczynów spostrzeżeń i odpowiadających im wag podzielonej przez sumę wag

[ ]

[ ]

1

1

2

2

n

n

1

2

n

pL

p L +p L +…+p L

x =

=

p

p +p +…+p

Podobnie jak w przypadku zwykłej średniej arytmetycznej do obliczenia średniej ogólnej
można wykorzystać wartość przybliżoną „x

0

”

[

]

[ ]

0

p ∆L

x = x +

p

⋅

−

określenie najbardziej prawdopodobnych wartości spostrzeżeń L

i

= x – v

i

−

dokładność typowego spostrzeżenia (po = 1) tzw. średni błąd „m

0

” typowego spostrzeżenia

[ ]

0

pvv

m

n-1

= ±

−

dokładność wartości wyrównanej tzw. średni błąd „m

x

” średniej arytmetycznej ogólnej

[ ]

[ ]

( )

x

pvv

m =±

p n-1

−

dokładność i-tego spostrzeżenia tzw. średni błąd „m

i

” pojedynczego spostrzeżenia

[ ]

( )

i

i

pvv

m =±

p × n-1

c)

pary spostrzeżeń

–

określenie najbardziej prawdopodobnej wartości „x” mierzonej wielkości dokonuje
się przy wielkości średniej lub średniej arytmetycznej ogólnej.

Jeżeli pomiary naszych wielkości dały wyniki

'
1

L

i

''
1

L

,

'

2

L

i

''

2

L

, …,

'

n

L

,

''

n

L

to różnice

pomiędzy pierwszym a drugim pomiarem wynoszą

d

1

=

'
1

L

-

''
1

L

d

2

=

'

2

L

-

''

2

L

…………

d

n

=

'

n

L

-

''

n

L

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

20

Gdyby obserwacje nie były obciążone żadnymi błędami przypadkowymi ani

systematycznymi, to różnice te byłyby wszystkie równe zeru. W rzeczywistości jednak
wyniki pomiarów bezpośrednich są obciążone błędami przypadkowymi, więc otrzymane
różnice „d” możemy uważać za błędy prawdziwe wyznaczenia różnicy dwóch obserwacji.

–

dokładność różnicy spostrzeżeń tzw. średni błąd różnicy

[ ]

d

dd

m =

n

n – liczba par spostrzeżeń

–

dokładność pojedynczego pomiaru wykonanego parami tzw. średni błąd pojedynczego
pomiaru

[ ]

dd

2n

2

d

m

m

=

=

–

dokładność podwójnego pomiaru dowolnej pary danego szeregu spostrzeżeń tzw. błąd
średni średniej arytmetycznej

[ ]

L

dd

m

1

m =

=

2

n

2

–

dla pomiarów niejednakowo dokładnych błąd różnicy spostrzeżeń

[ ]

d

pdd

m =

n

oraz średni błąd typowego spostrzeżenia

[ ]

0

pdd

m =

2n

Przykład 8

Wyznacz najprawdopodobniejszą wartość długości odcinka AB, pomierzonego

czterokrotnie z jednakową dokładnością.

L

1

= 154,152m

L

2

= 154,147m

L

3

= 154,155m

L

4

= 154,150m

Algorytm stepowania:

1.

Określenie najbardziej prawdopodobnej wartości „L

w

”

[ ]

w

L

L

n

=

w

154,152 154,147 154,155 154,150

L

4

+

+

+

=

w

L

154,151m

=

2.

Obliczenie poprawek dla poszczególnych spostrzeżeń

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

21

3.

v

i

= L

w

– L

i

v

1

= 154,151 – 154,152 =

−

0,001m

v

2

= 154,151 – 154,147 = +0,004m

v

3

= 154,151 – 154,155 =

−

0,004m

v

4

= 154,151 – 154,150 = +0,001m

[v] = v

1

+v

2

+v

3

+v

4

= 0

4.

Obliczenie średniego błędu pojedynczego spostrzeżenia

[ ]

vv

m

n 1

=

−

[ ]

2

2

2

2

1

2

3

4

vv

v

v

v

v

=

+ + +

[ ]

vv

0, 000034

=

[

]

0, 000034

m

0, 003m

3

=

= ±

5.

Obliczenie średniego błędu wyrównanej długości odcinka AB

[ ]

(

)

L

vv

m

n n 1

= ±

−

(

)

L

0, 000034

m

0, 002m

4 4 1

= ±

= ±

−

L

w

= 154,151m ±0,002m

Przykład 9

Pomierzyliśmy kąt trzema teodolitami: pierwszym ze średnim błędem m

1

= ±30

”

, drugim

ze średnim błędem m

2

= ±20

”

, trzecim ze średnim błędem m

3

= ±10

”

. Jakie są wagi tych

spostrzeżeń?

Ponieważ, nie mamy tutaj podanego średniego błędu typowego spostrzeżenia, więc jedno

ze spostrzeżeń przyjmujemy za typowe.
1.

"

30

0

1

±

=

=

m

m

p

1

= 1

( )

( )

2

"

2
0

2

2

2

"

2

30

m

p

2, 25

m

20

=

=

=

( )

( )

2

"

2
0

3

2

2

"

3

30

m

p

9

m

10

=

=

=

2.

"

20

2

0

±

=

=

m

m

p2 = 1

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

22

( )

( )

2

"

2
0

1

2

2

"

1

20

m

4

p

m

9

30

=

=

=

( )

( )

2

"

2
0

3

2

2

"

3

20

m

p

4

m

10

=

=

=

3.

"

10

0

3

±

=

=

m

m

p3 = 1

( )

( )

2

"

2
0

1

2

2

"

1

10

m

1

p

m

9

30

=

=

=

( )

( )

2

"

2
0

2

2

2

"

2

10

m

1

p

m

4

20

=

=

=

Otrzymujemy w ten sposób trzy układy wag, które są sobie równoważne i możemy dowolny
układ wag uwzględniać w obliczeniach.

Przykład 10

Wyznacz najprawdopodobniejszą wartość kąta ABC, który pomierzono czterokrotnie

teodolitami o różnej dokładności (rys. 5).

Rys. 5. Pomiar kąta

[

opracowanie własne]

Wyniki uzyskane z pomiaru:

α

1

= 44°15

’

20

”

±20

”

α

2

= 44°14

’

58

”

±10

”

α

3

= 44°15

’

05

”

±5

”

α

4

= 44°15

’

10

”

±15

”

1.

Ustalenie wag poszczególnych spostrzeżeń.
Przyjmujemy średni błąd typowego spostrzeżenia m

o

= 10

”

i w związku z tym p

2

= 1

( )

( )

2

''

2
0

1

2

2

''

1

10

m

p

0, 25

m

20

=

=

=

( )

( )

2

''

2
0

3

2

2

''

3

10

m

p

4

m

5

=

=

=

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

23

( )

( )

2

''

2
0

4

2

2

''

4

10

m

p

0, 44

m

15

=

=

=

2.

Określenie wartości przybliżonej kąta.
Przyjmujemy jako przybliżoną wartość mierzonego kąta, najmniejszą wartość uzyskaną

z pomiaru.

α

0

= α

2

= 44°14

’

58

”

3.

Określenie najbardziej prawdopodobnej wartości pomierzonego kąta

[

]

[ ]

w

0

p

p

α

α

α

⋅∆

=

+

o

'

"

o

'

"

"

1

1

0

44 15 20

44 14 58

22

α α α

∆ =

−

=

−

= +

o

'

"

o

'

"

"

2

2

0

44 14 58

44 14 58

0

α

α α

∆

=

−

=

−

=

o

'

"

o

'

"

"

3

3

0

44 15 05

44 14 58

7

α α α

∆ =

−

=

−

= +

o

'

"

o

'

"

"

4

4

0

44 1510

44 14 58

12

α

α α

∆

=

−

=

−

= +

"

"

o

'

"

w

0, 25 22

4 7

0.44 12

44 14 58

0, 25 1 4 0, 44

α

⋅

+ ⋅ +

⋅

=

+

+ + +

o

'

"

"

o

'

"

w

44 14 58

6,8

44 15 04,8

α

=

+

=

4.

Określenie poprawek dla poszczególnych spostrzeżeń

v

i

= α

w

– α

i

v

1

=

o

'

"

44 15 04,8

−

o

'

"

44 15 20 =

−

15,2

”

v

2

=

o

'

"

44 15 04,8

−

o

'

"

44 14 58 = +6,8

”

v

3

=

o

'

"

44 15 04,8

−

o

'

"

44 15 05 =

−

0,2

”

v

4

=

o

'

"

44 15 04,8

−

o

'

"

44 1510 =

−

5,2

”

5.

Kontrola obliczenia średniej arytmetycznej.

[pv] = 0

[pv] = 0,25

.

(

−

15,2

”

) + 1

.

(6,8

”

)

−

4

.

(0,2

”

)

−

0,44

.

(

−

5,2

”

)

[pv] =

−

0,1

6.

Określenie średniego błędu typowego spostrzeżenia

[ ]

0

pvv

m

n 1

= ±

−

[ ]

( )

2

"

pvv

116,12

=

"

0

116,12

m

6, 2

4 1

= ±

= ±

−

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

24

7.

Określenie średniego błędu pojedynczego spostrzeżenia

[ ]

i

i

pvv

m

p (n 1)

= ±

−

"

1

116,12

m

12, 4

0, 25 (4 1)

= ±

= ±

⋅ −

"

2

116,12

m

6, 2

1 (4 1)

= ±

= ±

⋅ −

"

3

116,12

m

3,1

4 (4 1)

= ±

= ±

⋅ −

"

4

116,12

m

9, 4

0, 44 (4 1)

= ±

= ±

⋅ −

8.

Określenie średniego błędu wyrównanej wartości kąta

[ ]

pvv

m

[p](n 1)

α

= ±

−

"

116,12

m

2, 6

5, 69 (4 1)

α

= ±

= ±

⋅ −

α

w

= 44°15

’

04,8

”

= ±2,6

”

Przykład 11

Wyznacz najprawdopodobniejszą wartość pięciu odcinków pomierzonych parami

z jednakową dokładnością (rys. 6)

Rys. 6. Pomiar długości boków w pięciokącie

[

opracowanie własne]

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

25

Tabela 2. Wyniki pomiarów

[

opracowanie własne]

Wyniki pomiarów

Odcinek

l

1

l

2

1

−

2

207,85

207,90

2

−

3

202,31

202,28

3

−

4

204,42

204,49

4

−

5

214,38

214,31

5

−

1

206,72,

205,78

1.

Określenie najbardziej prawdopodobnej wartości długości odcinków (średnie arytmetyczne)

207,85 207, 90

1 2

207, 785

2

+

− =

=

202, 31 202, 28

2 3

202, 295

2

+

− =

=

204, 42 204, 49

3 4

204, 445

2

+

− =

=

214, 38 214, 31

4 5

214, 345

2

+

− =

=

206, 72 205, 78

5 1

205, 750

2

+

− =

=

2.

Określenie błędów prawdziwych wyznaczenia różnicy dwóch obserwacji

1 2

1

2

d

l

l

0, 05m

−

= − = −

2 3

1

2

d

l

l

0, 03m

−

= − = +

3 4

1

2

d

l

l

0, 07m

−

= − = −

4 5

1

2

d

l

l

0, 07m

−

= − = +

5 1

1

2

d

l

l

0, 06m

−

= − = −

3.

Określenie błędu średniego różnicy

[ ]

d

dd

m

n

= ±

[ ]

dd

0, 0168

=

d

0, 0168

m

0, 058m

5

= ±

= ±

4.

Określenie średniego błędu pojedynczego pomiaru.

[ ]

d

dd

m

m

2n

2

=

= ±

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

26

0, 0168

m

0, 041m

2 5

= ±

= ±

⋅

5.

Określenie średniego błędu średniej arytmetycznej

[ ]

L

dd

m

1

m

2

n

2

=

= ± ⋅

L

1

0, 0168

m

0, 029m

2

5

= ± ⋅

= ±

6.

Określenie średniego błędu dla podwójnego pomiaru każdego odcinka.
Błędy te obliczamy podstawiając do powyższych wzorów n = 1 a zamiast [dd]

odpowiednie dd.

–

błąd średni różnicy jednej pary

[ ]

d

dd

m

d

1

= ±

= ±

1

d

m

0, 05m

= ±

2

d

m

0, 03m

= ±

3

d

m

0, 07m

= ±

4

d

m

0, 07m

= ±

5

d

m

0, 06m

= ±

–

błąd średni jednego pomiaru

[ ]

dd

d

m

2 1

2

= ±

= ±

⋅

1

m

0, 035m

= ±

2

m

0, 021m

= ±

3

m

0, 050m

= ±

4

m

0, 050m

= ±

5

m

0, 042m

= ±

–

błąd średni średniej arytmetycznej (wartości wyrównanej)

[ ]

L

dd

1

d

m

2

1

2

= ±

= ±

1

L

m

0, 025m

= ±

2

L

m

0, 015m

= ±

3

L

m

0, 035m

= ±

4

L

m

0, 035m

= ±

L5

m

0, 030m

= ±

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

27

1 2

207, 785 0, 025m

− =

±

2 3

202, 295 0, 015m

− =

±

3 4

204, 445 0, 035m

− =

±

4 5

214, 345 0, 035m

− =

±

5 1

205, 750 0, 030m

− =

±

4.1.2. Pytania sprawdzające

Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.

1.

Jak określamy błędy spostrzeżeń w zależności od źródła powstawania?

2.

Co to jest błąd prawdziwy spostrzeżenia?

3.

Co jest zadaniem rachunku wyrównawczego?

4.

Na czym opierają się podstawy rachunku wyrównawczego?

5.

Jak określimy błędy za pomocą, których charakteryzuje się dokładność obserwacji?

6.

Jak określamy średnią arytmetyczną?

7.

Na czym polega prawo przenoszenia się błędów?

8.

Co to są spostrzeżenia bezpośrednie jednakowo dokładne?

9.

Co to są spostrzeżenia bezpośrednie niejednakowo dokładne?

10.

Co to są pary spostrzeżeń?

11.

Jakie są główne zadania procesu wyrównania spostrzeżeń?

12.

Co to są wagi spostrzeżeń?

13.

Jak określamy średnią arytmetyczną ogólną?

4.1.3. Ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Wyrównaj spostrzeżenia bezpośrednie jednakowo dokładne.

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:

1)

odszukać w materiałach dydaktycznych spostrzeżenia bezpośrednie jednakowo dokładne
i średnie błędy spostrzeżeń bezpośrednich jednakowo dokładnych,

2)

sformułować, w oparciu o wyniki pomiarów podane przez nauczyciela, temat ćwiczenia,

3)

obliczyć wartość najbardziej prawdopodobną mierzonej wielkości przy pomocy średniej
arytmetycznej,

4)

określić najbardziej prawdopodobne wartości spostrzeżeń,

5)

obliczyć średni błąd pojedynczego pomiaru,

6)

obliczyć średni błąd najbardziej prawdopodobnej mierzonej wielkości.

Wyposażenie stanowiska pracy:

−

kalkulator,

−

papier formatu A4,

−

„Poradnik dla ucznia”.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

28

Ćwiczenie 2

Wyrównaj spostrzeżenia bezpośrednie niejednakowo dokładne.

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:

1)

odszukać w materiałach dydaktycznych spostrzeżenia bezpośrednie niejednakowo
dokładne i średnie błędy spostrzeżeń bezpośrednich niejednakowo dokładnych,

2)

sformułować, w oparciu o wyniki pomiarów podane przez nauczyciela, temat ćwiczenia,

3)

określić wagi spostrzeżeń,

4)

obliczyć najbardziej prawdopodobną wartość mierzonej wielkości przy pomocy średniej
arytmetycznej ogólnej (ważonej),

5)

określić najbardziej prawdopodobne wartości spostrzeżeń,

6)

obliczyć średni błąd typowego spostrzeżenia,

7)

obliczyć średni błąd średniej arytmetycznej ogólnej,

8)

obliczyć średnie błędy poszczególnych spostrzeżeń.

Wyposażenie stanowiska pracy:

−

kalkulator,

−

papier formatu A4,

−

„Poradnik dla ucznia”.

4.1.4.

Sprawdzian postępów

Czy potrafisz:

Tak

Nie

1)

dokonać podziału błędów spostrzeżeń w zależności od źródła
powstawania?

2)

zdefiniować błąd prawdziwy spostrzeżenia?

3)

określić zadanie rachunku wyrównawczego?

4)

dokonać podziału błędów, za pomocą których charakteryzuje się
dokładność obserwacji?

5)

obliczyć średnią arytmetyczną?

6)

określić na czym polega prawo przenoszenia się błędów?

7)

zdefiniować spostrzeżenia bezpośrednie jednakowo dokładne?

8)

zdefiniować spostrzeżenia bezpośrednie niejednakowo dokładne?

9)

zdefiniować pary spostrzeżeń?

10)

określić główne zadanie procesu wyrównania spostrzeżeń?

11)

zdefiniować wagi spostrzeżeń?

12)

określić średnią arytmetyczną ogólną?

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

29

4.2.

Wyrównanie metodą pośredniczącą

4.2.4.

Materiał nauczania

Ogólne zasady wyrównania metodą pośredniczącą.

Istnieje wiele zadań geodezyjnych, w których bezpośredniemu pomiarowi podlegają

wielkości służące do rachunkowego (pośredniego) wyznaczenia innych przekształconych
wielkości, stanowiących niewiadome. Spostrzeżenia L

1

, L

2

, …, L

n

, które nie odnoszą się

bezpośrednio do wielkości szukanych, lecz służą do wyznaczenia niewiadomych za pomocą
ustalonych związków, noszą nazwę spostrzeżeń pośredniczących. Charakterystycznym
przykładem jest kątowe wcięcie wstecz, w którym bezpośrednio mierzy się kąty poziome
o wierzchołku w punkcie o nieznanych współrzędnych i ramionach przechodzących przez punkty
o znanych współrzędnych a następnie określa się współrzędne (X

s

; Y

s

) punktu wcinanego „S”

(rys. 7).

Rys. 7. Kątowe wcięcie wstecz [opracowanie własne]

n = 2 ilość obserwacji
u = 2 ilość niewiadomych

Zadanie takie ma tylko jedno rozwiązanie, ponieważ zawiera dwie obserwacje niezbędne

do określenia dwóch niewiadomych (X, Y) i nie podlegają one wyrównaniu.

Jeżeli będziemy mogli pomierzyć kierunki do czterech punktów (rys. 8) to wówczas

otrzymamy obserwacje nadliczbowe n

n

Rys. 8.

Kątowe wcięcie wstecz z elementami nadliczbowymi

[

opracowanie własne]

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

30

n = 5 ilość obserwacji
u = 2 ilość niewiadomych
n

n

= n – u = 5 – 2 = 3 ilość obserwacji nadliczbowych

Do obliczenia współrzędnych (X, Y) możemy skorzystać z punktów ABC, ABD, ACD

lub BCD i otrzymać 4 niezależne rozwiązania. Aby otrzymać jedno rozwiązanie musimy
zastosować rachunek wyrównawczy, w którym zakładamy, że funkcje F

1

, F

2

, …, F

n

zachodzące pomiędzy mierzonymi wartościami prawdziwymi spostrzeżeń A

1

, A

2

, …, A

n

a prawdziwymi niewiadomymi X, Y, Z,… zachodzą także między wartościami wyrównanymi
(najbardziej prawdopodobnymi) tych wielkości

Przykładem prostego zadania może być wyrównanie kątów w przykładzie (rys. 9).

Rys. 9.

Pomiar kątów na stanowisku „S”

[

opracowanie własne]

n = 6
u = 3
n

n

= 3

W tym przypadku występują trzy spostrzeżenia nadliczbowe, ponieważ do wzajemnego

określenia położenia czterech kierunków niezbędne jest pomierzenie trzech kątów np. kątów
1, 2, 3, których wartości prawdziwe będą stanowić niewiadome X, Y, Z. Pomiędzy
wartościami prawdziwymi spostrzeżeń A

1

, A

2

, …, A

6

a niewiadomymi można napisać

następujące związki funkcyjne:

A

1

= X

A

2

= Y

A

3

= Z

A

4

= X+Y

A

5

= Y+Z

A

6

= X+Y+Z

Ponieważ nie znamy wartości prawdziwych A

i

mierzonych wielkości, więc zastępujemy

je najprawdopodobniejszymi wartościami spostrzeżeń wyrównanych „L

i

+ v

i

” uzyskiwanych

w wyniku wyrównania.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

31

Równania poprawek i równania normalne

Proces wyrównawczy dostarcza poprawek „v

i

”, które dodane do spostrzeżeń powodują

spełnienie przez spostrzeżenia wyrównane „L

i

+ v

i

” i najprawdopodobniejsze wartości

niewiadomych „x,y,z,…”, tych samych funkcji „F

1

, F

2

, …, F

n

”, które wiążą ze sobą wartości

prawdziwe spostrzeżeń A

1

, A

2

, …, A

n

z wartościami prawdziwymi niewiadomych X,Y,Z,…

Dla każdego spostrzeżenia, można więc, napisać związki zwane równaniami obserwacyjnymi.

L

1

+v

1

= F

1

(x,y,z,…)

L

2

+v

2

= F

2

(x,y,z,…)

…………………………………..

L

n

+v

n

= F

n

(x,y,z,…)

Otrzymany układ „n” równań obserwacyjnych możemy przekształcić do układu „n” równań
poprawek (błędów) w postaci

v

1

= F

1

(x,y,z,…) – L

1

v

2

= F

2

(x,y,z,…) – L

2

……………………….

v

n

= F

n

(x,y,z,…) – L

n

Jeżeli funkcje F

1

, F

2

, …, F

n

mają charakter nieliniowy, to trzeba je doprowadzić do postaci

liniowej poprzez rozwinięcie funkcji na szereg Taylora (z odrzuceniem wyrazów rzędu
wyższego niż pierwszy). Jeżeli zamiast niewiadomych x,y,z,… będących przeważnie dużymi
liczbami , wprowadzimy niewielkie liczbowo poprawki niewiadomych dx,dy,dz,…, które
spełniają zależności:

x = x

o

+ dx

y = y

o

+ dy

z = z

o

+ dz

to wówczas

(

)

i

0

0

0

F x

dx, y

dy, z

dz

+

+

+

=

(

)

i

i

i

i

0

0

0

F

F

F

F x , y , z

dx

dy

dz

x

y

z













∂

∂

∂













+

+



+



































∂

∂

∂





Współczynniki przy niewiadomych dx, dy, dz są równe pochodnym cząstkowym funkcji
F

1

, F

2

,…F

n

względem poszczególnych niewiadomych i jeżeli oznaczymy je przez

i

i

F

a

x





∂ 



=











∂

i

i

F

b

y





∂ 



 =









 ∂





i

i

F

c

z





∂ 



=











∂

a wyrazy wolne równań powstające jako różnice przybliżonych wartości funkcji F

i

(x

o

, y

o

, z

o

)

oraz spostrzeżeń L

i

oznaczymy przez

F

i

(x

o

,y

o

,z

o

) – L

i

= l

i

to wówczas otrzymamy układ równań poprawek w postaci

v

1

= a

1

.

dx + b

1

.

dy + c

1

.

dz +…+ l

1

v

2

= a

2

.

dx + b

2

.

dy + c

2

.

dz +…+ l

2

..........................................................................

v

n

= a

n

.

dx + b

n

.

dy + c

n

.

dz +…+ l

n

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

32

W układzie „n” równań błędów występuje „n+u” nieznanych poprawek „v

i

” oraz „u”

niewiadomych dx, dy, dz,…., a więc układu tego nie można rozwiązać bez dodatkowego
warunku. Do określenia tych wielkości, jest, więc konieczne wprowadzenie zasady
najmniejszych kwadratów [vv]=min. dla spostrzeżeń jednakowo dokładnych lub [pvv] = min.
dla spostrzeżeń niejednakowo dokładnych. Jeżeli utworzymy funkcję Φ = [vv] to
Φ = [vv] = ( a

1

.

dx + b

1

.

dy + c

1

.

dz +…+ l

1

)

2

+( a

2

.

dx + b

2

.

dy + c

2

.

dz +…+ l

2

)

2

+( a

n

.

dx + b

n

.

dy +

c

n

.

dz +…+ l

n

)

2

Po uporządkowaniu powyższego równania względem poszczególnych zmiennych oraz
wprowadzeniu symboli sumowych otrzymamy:

Φ = [vv] = [aa]

.

dx

2

+2

.

[ab]

.

dx

.

dy+2

.

[ac]

.

dx

.

dy+2

.

[bc]

.

dy

.

dz+2

.

[al]+[bb]

.

dy

2

+…+[ll]

Warunkiem koniecznym dla osiągnięcia minimum przez funkcję Φ jest zerowanie się jej
wszystkich pochodnych cząstkowych względem poszczególnych zmiennych

[ ]

vv

0

dx

∂

=

∂

[ ]

vv

0

dy

∂

=

∂

[ ]

vv

0

dz

∂

=

∂

np.

[ ]

vv

dx

∂

=

∂

2

.

[aa]

.

dx + 2

.

[ab]

.

dy + 2

.

[ac]

.

dz +…+2

.

[al] = 0

Po zestawieniu pozostałych równań i podzieleniu ich przez 2 otrzymamy układ „u” liniowych
równań normalnych zawierających „u” niewiadomych.

[aa]dx + [ab]dy + [ac]dz + …+[al] = 0

[ab]dx + [bb]dy + [bc]dz + …+[bl] = 0

[ac]dx + [bc]dy + [cc]dz + …+[cl] = 0

……………………………………………………………

Układ równań normalnych jest układem symetrycznym i można rozwiązać go za pomocą
wybranego algorytmu obliczeniowego np. algorytmu Gaussa (kolejna redukcja
niewiadomych) lub Banachiewicza (pierwiastek krakowianowy).

Metoda pośrednicząca

Po rozwiązaniu układu równań normalnych uzyskujemy wartości poprawek

niewiadomych dx, dy, dz, … które dodajemy do przybliżonych wartości niewiadomych
x

o

, y

o

, z

o

,… i otrzymujemy najbardziej prawdopodobne (wyrównane) wartości niewiadomych

x, y, z,… Kolejnym etapem wyrównania jest obliczenie poprawek spostrzeżeń „v

i

”

otrzymywanych z równań poprawek a następnie poprawienie spostrzeżeń „L

i

” poprzez

dodanie do nich poprawek „v

i

”, co w efekcie daje wartości spostrzeżeń wyrównanych.

Kontrola ogólna polega na obliczeniu zależności

[al]dx +[bl]dy + [cl]dz + …+[ll] = [vv]

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

33

Kontrola generalna (ostateczna) polega na podstawieniu wartości niewiadomych do

równań obserwacyjnych i sprawdzeniu ich spełnienia. Końcowy etap wyrównania spostrzeżeń
stanowi ocena dokładności, polegająca na obliczeniu średnich błędów obserwacji
niewiadomych i położenia punktów.
Średni błąd pojedynczego spostrzeżenia dla spostrzeżeń jednakowo dokładnych obliczamy
ze wzoru

m =

[vv]

n

u

±

−

Dla określenia średniego błędu typowego spostrzeżenia dla spostrzeżeń niejednakowo
dokładnych posługujemy się wzorem

m

o

=

[pvv]

n

u

±

−

Dla określenia średnich błędów niewiadomych konieczne jest wyznaczenie tzw.
współczynników wagowych „Q”.
Jednym ze sposobów ich wyznaczenia jest rozwiązanie układu równań zwanych równaniami
wag. Łączna ilość tych równań wynosi „n

2

”, np. dla spostrzeżeń jednakowo dokładnych

i trzech niewiadomych (u = 3) układ równań wag przyjmuje postać:

[aa]Q

11

+ [ab]Q

12

+ [ac]Q

13

= 1

[ab]Q

11

+ [bb]Q

12

+ [bc]Q

13

= 0

[ac]Q

11

+ [bc]Q

12

+ [cc]Q

13

= 0

[aa]Q

21

+ [ab]Q

22

+ [ac]Q

23

= 0

[ab]Q

21

+ [bb]Q

22

+ [bc]Q

23

= 1

[ac]Q

21

+ [bc]Q

22

+ [cc]Q

23

= 0

[aa]Q

31

+ [ab]Q

32

+ [ac]Q

33

= 0

[ab]Q

31

+ [bb]Q

32

+ [bc]Q

33

= 0

[ac]Q

31

+ [bc]Q

32

+ [cc]Q

33

= 1

Średnie błędy poszczególnych niewiadomych określają wzory

m

x

= m

o

11

Q

m

y

= m

o

22

Q

m

z

= m

o

33

Q

Ocena dokładności osnów geodezyjnych opiera się przeważnie na wyznaczeniu po
wyrównaniu średnich błędów „m

x

” i „m

y

” współrzędnych punktów wyznaczanych,

stanowiących niewiadome w metodzie pośredniczącej oraz średniego błędu położenia punktu
obliczanego na podstawie wzoru

m

p

=

2

2

x

y

m

m

+

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

34

Przykład 12

Wyrównać metodą pośredniczącą jednakowo dokładne kąty pomierzone na pojedynczym

stanowisku pomiarowym S (rys. 10).

Tabela 3 Dane uzyskane z pomiaru

Nr kąta

Wartość kąta

1

g

c

cc

41 20 15

2

g

c

cc

52 32 31

3

g

c

cc

58 14 22

4

g

c

cc

93 52 52

5

g

c

cc

110 46 41

6

g

c

cc

151 66 60

Rys. 10. Pomiar kątów na stanowisku „S”

[

opracowanie własne]

1.

Wybór niewiadomych i określenie ich wartości przybliżonych:

1

x

=

∢

2

y

=

∢

3

z

=

∢

0

x

=

g

c

cc

41 20 00

0

y

=

g

c

cc

52 32 00

0

z

=

g

c

cc

58 14 00

2.

Zestawienie równań obserwacyjnych i równań błędów:

Równania obserwacyjne

L

1

+ v

1

= x

L

4

+ v

4

= x + y

L

2

+ v

2

= y

L

5

+ v

5

= y + z

L

3

+ v

3

= z

L

6

+ v

6

= x + y + z

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

35

1

0

1

v

x

dx

L

=

+

−

2

0

2

v

y

dy L

=

+

−

3

0

3

v

z

dz

L

= + −

4

0

0

4

v

x

dx

y

dy L

=

+

+ +

−

5

0

0

5

v

y

dy

z

dz L

=

+

+ + −

6

0

0

0

6

v

x

dx

y

dy

z

dz

L

=

+

+ +

+ + −

cc

1

v

dx 15

=

−

cc

2

v

dy 31

=

−

cc

3

v

dz 22

=

−

cc

4

v

dx

dy 52

=

+

−

cc

5

v

dy dz

41

=

+

−

cc

6

v

dx

dy dz 60

=

+

+ −

Tabela 4 Stabelaryzowane równania błędów

Nr

poprawki

Współczynniki przy niewiadomych

a

b

c

Wyrazy

wolne [

cc

]

1

1

0

0

-15

2

0

1

0

-31

3

0

0

1

-22

4

1

1

0

-52

5

0

1

1

-41

6

1

1

1

-60

3.

Ułożenie układu równań normalnych i jego rozwiązanie za pomocą pierwiastka
krakowianowego:

[aa]dx + [ab]dy + [ac]dz + [al] = 0

[ab]dx + [bb] dy + [bc]dz + [bl] = 0

[ac]dx + [bc] dy + [cc]dz + [cl] = 0

3dx + 2dy +dz – 127 = 0

2dx + 4dy +2dz – 184 = 0

dx + 2dy +3dz – 123 = 0

1,73dx + 1,16dy + 0,58dz – 73,41 = 0

1,63dy + 0,81dz – 60,64 = 0

1,42dz – 22,04 = 0

dz = 15,52
dy = 29,49
dx = 17,46

4.

Określenie przyrostów niewiadomych:
dx = +17,5

cc

dy = +29,5

cc

dz = +15,5

cc

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

36

5.

Obliczenie poprawek:

cc

1

v

17, 5 15

2, 5

=

− =

cc

2

v

29, 5 31

1, 5

=

− = −

cc

3

v

15, 5 22

6, 5

=

−

= −

cc

4

v

17, 5 29, 5 52

5

=

+

−

= −

cc

5

v

29, 5 15, 5 41

4

=

+

−

= +

cc

6

v

17, 5 29, 5 15, 5 60

2, 5

=

+

+

−

= +

6.

Kontrola ogólna:

[al]dx + [bl] dy + [cl]dz + [ll] = [vv]

(

) (

)

(127 17.5)

184 29, 5

123 15, 5

9655

98

⋅

+ −

⋅

+ −

⋅

+

=

[vv] = 98

98 = 98 c.n.d.

7.

Obliczenie niewiadomych:

g

c

cc

cc

g

c

cc

0

x

x

dx

41 20 00

17, 5

41 20 17, 5

=

+

=

+

=

g

c

cc

cc

g

c

cc

0

y

y

dy

52 32 00

29, 5

52 32 29, 5

=

+

=

+

=

g

c

cc

cc

g

c

cc

0

z

z

dz

58 14 00

15, 5

58 14 15, 5

= +

=

+

=

8.

Spostrzeżenia wyrównane:

g

c

cc

cc

g

c

cc

1

1

L

v

41 20 15

2, 5

41 20 17, 5

+ =

+

=

g

c

cc

cc

g

c

cc

2

2

L

v

52 32 31

1, 5

52 32 29, 5

+

=

−

=

g

c

cc

cc

g

c

cc

3

3

L

v

58 14 22

6, 5

58 14 15, 5

+

=

−

=

g

c

cc

cc

g

c

cc

4

4

L

v

93 52 52

5

93 52 47

+

=

−

=

g

c

cc

cc

g

c

cc

5

5

L

v

110 46 41

4

110 46 45

+

=

+

=

g

c

cc

cc

g

c

cc

6

6

L

v

151 66 60

2, 5

151 66 62, 5

+

=

+

=

9.

Kontrola ostateczna:

g

c

cc

1

1

L

v

x

41 20 17, 5

+ = =

g

c

cc

2

2

L

v

y

52 32 29, 5

+

= =

g

c

cc

3

3

L

v

z

58 14 15, 5

+

= =

g

c

cc

4

4

L

v

x

y

93 52 47

+

= + =

g

c

cc

5

5

L

v

y

z

110 46 45

+

= + =

g

c

cc

6

6

L

v

x

y

z

151 66 62, 5

+

= + + =

10.

Ocena dokładności:
średni błąd pojedynczego kąta

[ ]

cc

vv

98

m

5, 7

n

u

6 3

=

= ±

= ±

−

−

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

37

równania wag:

3Q

11

+ 2Q

12

+ Q

13

= 1

2Q

11

+ 4Q

12

+ 2Q

13

= 0

Q

11

+ 2Q

12

+ 3Q

13

= 0

3Q

21

+ 2Q

22

+ Q

23

= 1

2Q

21

+ 4Q

22

+ 2Q

23

= 1

Q

21

+ 2Q

22

+ 3Q

23

= 1

3Q

31

+ 2Q

32

+ Q

33

= 0

2Q

31

+ 4Q

32

+ 2Q

33

= 0

Q

31

+ 2Q

32

+ 3Q

33

= 1

Równania wag możemy zredukować przy pomocy algorytmu Gaussa do postaci:

[aa]Q

11

+ [ab]Q

12

+ [ac]Q

13

= 1

[aa]Q

21

+ [ab]Q

22

+ [ac]Q

23

= 0

[bb.1]Q

22

+ [bc.1]Q

23

= 1

[aa]Q

31

+ [ab]Q

32

+ [ac]Q

33

= 1

[bb.1]Q

32

+ [bc.1]Q

33

= 1

[cc.2]Q

33

= 1

Redukcja Gaussa I stopnia wygląda następująco:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

ab

bb.1

bb

ab

aa

=

−

⋅

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

ab

bc.1

bc

ac

aa

=

−

⋅

a II stopnia tak:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

bc.1

cc.2

cc.1

bc.1

bb.1

=

−

⋅

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

ac

bc.1

cc.2

cc

ac

bc.1

aa

bb.1

=

−

⋅

−

⋅

obliczenia:

[ ]

2

bb.1

4

2

2, 7

3

= − ⋅ =

[ ]

2

bc.1

2

1 1, 3

3

= − ⋅ =

[ ]

1

1, 3

cc.2

3

1

1, 3

2, 04

3

2, 7

= − ⋅ −

⋅

=

3Q

11

+ 2Q

12

+ Q

13

= 1

3Q

21

+ 2Q

22

+ Q

23

= 1

2,7Q

22

+ 1,3Q

23

= 1

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

38

3Q

31

+ 2Q

32

+ Q

33

= 0

2,7Q

32

+ 1,3Q

33

= 0

2,04Q

33

= 1

Q

33

= 0,49

Q

32

0, 24

= −

Q

31

= 0

Q

22

= 0,49

Q

21

0, 08

=

Q

11

= 0,28

średnie błędy niewiadomych

cc

x

11

m

m

Q

3, 0

= ⋅

= ±

cc

y

22

m

m

Q

4, 0

= ⋅

= ±

cc

z

33

m

m

Q

4, 0

= ⋅

= ±

Wyrównane wartości kątów:

g

c

cc

cc

1

41 20 17, 5

3, 0

=

±

∢

g

c

cc

cc

2

52 32 29, 5

4, 0

=

±

∢

g

c

cc

cc

3

58 14 15, 5

4, 0

=

±

∢

Przykład 13.

Posługując się danymi uzyskanymi z pomiaru wyrównaj metodą pośredniczącą kąty

w czworoboku geodezyjnym, w którym długość zmierzonej bazy A-B jest znana (rys. 11).

Tabela 6. Dane uzyskane z pomiaru

[

opracowanie własne]

Pomierzone kierunki

1.

53

o

55

’

45

”

2.

34

o

03

’

13

”

3.

25

o

56

’

57

”

4.

66

o

03

’

17

”

5.

69

o

57

’

26

”

6.

18

o

02

’

24

”

7.

25

o

51

’

59

”

8.

66

o

08

’

06

”

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

39

Baza A-B = 1409,68 m

Rys. 11. Czworobok geodezyjny

[

opracowanie własne]

1.

Obliczenie współrzędnych przybliżonych punktów C i D.
Przyjmujemy bok AB jako równoległy do osi y-ów i zakładamy, że współrzędne
punktów A i B wynoszą: X

A

= 2000,00; Y

A

= 2000,00; X

B

= 2000,00; Y

B

= 3409,68

i traktujemy je jako bezbłędne.
Przy takim założeniu poszukujemy najprawdopodobniejszych współrzędnych punktów
C i D i obliczamy poprawki do pomierzonych kątów

1.1. Obliczenie współrzędnych przybliżonych punktu C (rys. 12).

Rys. 12. Wcięcie w przód

[

opracowanie własne]

(

)

( )

A

A

B

B

C,

C

1,2

X

Y

X

Y

X Y

f

1

ctg4

1

ctg1

= =

−

uwaga: wzór słuszny dla trójkąta ABC oznaczonego w kierunku lewoskrętnym.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

40

( )

C

1

X

f

=

( )

C

2

Y

f

=

2000, 00

2000, 00

2000, 00

3409, 68

f

1

0, 444084763

1

0, 728433087

=

−

X

C

= 3202,2674

Y

C

= 2875,7714

Kontrolą obliczeń współrzędnych X

C

, Y

C

jest policzenie kąta (2+3) z formy rachunkowej

prof. dr S. Hausbrandta.

(

)

C B

C B

C A

C A 0

X

Y

tg 2 3

X

Y

−

−

−

−

∆

∆

+ =

∆

∆

(

)

0

1202, 2674

533, 9086

tg 2 3

1202, 2674

875, 7714

−

+

+ =

−

−

(

)

tg 2 3

+

= 1,733176129

(

)

O

'

"

2 3

60 00 58

+ =

∢

(

)

2 3

+

∢

wyliczamy też z trójkąta ABC

(

)

2 3

+

∢

= 180 – (1 + 4)

(

)

O

'

"

2 3

60 00 58

+ =

∢

1.2. Obliczenie współrzędnych przybliżonych punktu D (Rys.13).

Rys. 13. Wcięcie w przód

[

opracowanie własne]

(

)

( )

A

A

B

B

D,

D

1,2

X

Y

X

Y

X Y

f

1

ctg5 1

ctg8

= =

−

uwaga: wzór słuszny dla trójkąta ABC oznaczonego w kierunku prawoskrętnym

( )

D

1

X

f

=

( )

D

2

Y

f

=

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

41

2000, 00

2000, 00

2000, 00

3409, 68

f

1

0, 364815984

1

0, 442408379

=

−

X

D

= 253,6701

Y

D

= 2772,5910

kontrola

(

)

A D

A D

B D

B D 0

X

Y

tg 6 7

X

Y

−

−

−

−

∆

∆

+ =

∆

∆

(

)

0

1746, 3299

772, 5910

tg 6 7

1746, 3299

637, 0890

−

+

+ =

−

−

(

)

tg 6 7

+

= 0,962582953

(

)

O

'

"

6 7

43 54 28

+ =

∢

(

)

6 7

+

∢

wyliczamy też z trójkąta ABC

(

)

6 7

+

∢

= 180 – (5+8)

(

)

O

'

"

6 7

43 54 28

+ =

∢

2. Obliczenie współczynników kierunkowych i wyrazów wolnych

Jeżeli mamy kąt α (rys. 14)

α

Rys. 14.

Pomiar kąta na stanowisku S

[

opracowanie własne]

to wówczas, obliczenie małego przyrostu dα kąta α przy małej zmianie przyrostów
współrzędnych dx

L

, dy

L

, dx

P

, dy

P

, dx

S

, dy

S

, punktów wyznaczających ten kąt (punkty

L – lewe ramię, P – prawe ramię, S – wierzchołek kąta) obliczamy ze wzoru:

L

L

P

P

S

S

P

P

L

P

L

P

L

L

1

dx dy

dx

dy

dx

dy

d

A

B

(A

A )

(A

A )

A

B

α

=

−

−

−

−

−

−

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

42

Współczynniki kierunkowe A i B z odpowiednimi wskaźnikami są funkcjami przyrostu
współrzędnych

"

2

2

x

A

x

y

ρ

∆

=

⋅

∆ + ∆

"

2

2

y

B

x

y

ρ

∆

=

⋅

∆ + ∆

L

L

S

x

x

x

∆ =

−

L

L

S

y

y

y

∆ =

−

P

P

S

x

x

x

∆ =

−

P

P

S

y

y

y

∆ =

−

"

L

L

2

2

L

L

x

A

x

y

ρ

∆

=

⋅

∆ + ∆

"

L

L

2

2

L

L

y

B

x

y

ρ

∆

=

⋅

∆ + ∆

"

P

P

2

2

P

P

x

A

x

y

ρ

∆

=

⋅

∆ + ∆

"

P

P

2

2

P

P

y

B

x

y

ρ

∆

=

⋅

∆ + ∆

d

α

= α

0

– α

m

α

0

– kąt obliczony ze współrzędnych

α

m

– kąt pomierzony

2.1. Obliczenie dla kąta 1 (rys. 15)

Rys. 15. Schemat pomiaru dla kąta 1

[

opracowanie własne]

( )

0

1202, 2674

875, 7714

tg 1

0

1409, 68

−

+

=

tg 1 = 1,372809675

arc tg 1 =

o

'

"

53 55 45, 00

o

'

"

1 53 55 45, 00

=

∢

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

43

L

A

112, 09

=

P

A

0

=

L

B

81, 65

=

P

B

146, 32

=

2.2. Obliczenie dla kąta 2 (rys. 16)

Rys. 16. Schemat pomiaru dla kąta 2

[

opracowanie własne]

( )

0

2948, 5973

103,1804

tg 2

1202, 2674

875, 7714

−

=

−

−

( )

tg 2

0, 676203587

=

o

'

"

2

34 04 00,11

=

∢

L

A

69,87

= −

P

A

112, 09

= −

L

B

2, 44

= −

P

B

81, 65

= −

2.3. Obliczenie dla kąta 3 (rys. 17)

Rys. 17. Schemat pomiaru dla kąta 3

[

opracowanie własne]

( )

0

1202, 2674

533, 9186

tg 3

2948, 5973

103,1804

−

=

−

−

( )

tg 3

0, 486648701

=

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

44

o

'

"

3

25 56 59, 31

=

∢

L

A

143, 30

= −

P

A

69,87

= −

L

B

63, 64

=

P

B

2, 44

= −

2.4. Obliczenie dla kąta 4 (rys. 18)

Rys. 18. Schemat pomiaru dla kąta 4

[

opracowanie własne]

( )

0

0

1409, 68

tg 4

1202, 2674

533, 9186

=

−

( )

tg 4

2, 251822503

=

o

'

"

4

66 0317, 00

=

∢

A

L

= 0 A

P

= 143,30

B

L

=

−

146,32 B

P

=

−

63,64

2.

5. Obliczenie dla kąta 5 (rys. 19)

3.

Rys. 19. Schemat pomiaru dla kąta 5

[

opracowanie własne]

( )

0

1746, 3299

637, 089

tg 5

0

1409, 68

−

−

=

−

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

45

( )

tg 5

2, 741110125

=

o

'

"

5

69 57 26, 05

=

∢

L

A

104, 24

= −

P

A

0

=

L

B

38, 03

= −

P

B

146, 32

= −

2.6. Obliczenie dla kąta 6 (rys. 20)

Rys. 20. Schemat pomiaru dla kąta 6

[

opracowanie własne]

( )

0

2948, 5973 103,1804

tg 6

1246, 3299

637, 089

=

( )

tg 6

0,325665635

=

o

'

"

6 18 0219,13

=

∢

L

A

69,87

=

P

A

104, 24

=

L

B

2, 44

=

P

B

38, 03

=

2.7. Obliczenie dla kąta 7 (rys. 21)

Rys. 21. Schemat pomiaru dla kąta 7

[

opracowanie własne]

( )

0

1746, 3299

772, 5910

tg 7

2948, 5973

103,1804

−

=

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

46

( )

tg 7

0, 484908408

=

o

'

"

7

25 52 08,89

=

∢

L

A

98, 78

=

P

A

69,87

=

L

B

43, 70

= −

P

B

2, 44

=

2.8. Obliczenie dla kąta 8 (rys. 22)

Rys. 22. Schemat pomiaru dla kąta 8

[

opracowanie własne]

( )

0

0

1409, 68

tg 8

1746, 3299

772, 5910

=

−

( )

tg 8

2, 260354961

=

o

'

"

8

66 08 06, 00

=

∢

L

A

0

=

P

A

98, 78

= −

L

B

146, 32

=

P

B

43, 70

=

Tabela 7. Zestawienie danych do ułożenia równań poprawek

[

opracowanie własne]

Nr

kąta

α

0

α

m

α

α

= α

0

– α

m

A

L

A

P

B

L

B

P

L

L

P

P

S

S

P

P

L

P

L

P

L

L

1

dx dy

dx

dy

dx

dy

A

B

(A

A )

(A

A )

A B

−

−

−

−

−

−

1

0

112,09

0

81,65

146,32

C

C

1

dx

dy

0

0

0

0

112, 09 81.65 0

146, 32 112, 09

64, 67

−

−

2

–12,89”

–69,87

–112,09

–2,44

–81,65

D

D

c

c

1

dx

dy

0

0

dx

dy

69,87

2, 44 112, 09

81, 65 42, 22

79, 21

−

−

−

−

−

3

2,31”

–143,30

–69,87

63,64
–2,44

D

D

C

C

1

0

0

dx

dy

dx

dy

143, 30

63, 64 69,87

2, 44 73, 43

66, 08

−

4

0

0

143,30

–146,32

–63,64

C

C

1

0

0

dx

dy

0

0

0

146,32 143, 30

63, 64 143, 30 82, 68

−

−

5

0

–104,24

0

–38,03

–146,32

D

D

1

dx

dy

0

0

0

0

104, 24

38, 03 0 146, 32 104, 24

108, 29

−

−

−

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

47

6

–4,87”

69,87

104,24

2,44

38,03

C

C

D

D

1

dx

dy

0

0

dx

dy

69,87

2, 44 104, 24

38, 03 34, 37

35, 95

−

−

7

9,89”

98,78
69,87

–43,70

2,44

C

C

D

D

1

0

0

dx

dy

dx

dy

98, 78

43, 70 69,87

2, 44 28, 91 46,14

−

−

−

−

8

0

0

–98,78

146,32

43,70

D

D

1

0

0

dx

dy

0

0

0 146, 32 98, 78

43, 70 98, 78

102, 62

−

−

−

3. Ułożenie równań poprawek

Równania poprawek będą miały postać

v

i

= a

i

dx

C

+ b

i

dy

C

+ c

i

dx

D

+ d

i

dy

D

+ dα

i

v

1

= 81,65dx

C

– 112,09dy

C

v

2

= – 79,21dx

C

+ 42,22dy

C

– 2,44dx

D

+ 69,87dy

D

– 12,89

v

3

= – 66,08dx

C

– 73,43dy

C

+ 2,44dx

D

– 69,87dy

D

+ 2,31

v

4

= 63,64dx

C

+ 143,30dy

C

v

5

= – 38,03dx

D

+ 104,24dy

D

v

6

= 2,44dx

C

– 69,87dy

C

+ 35,95dx

D

– 34,37dy

D

– 4,87

v

7

= – 2,44dx

C

+ 69,87dy

C

+46,14dx

D

+ 28,91dy

D

+ 9,89

v

8

= – 43,70dx

D

– 98,78dy

D

Tabela 8. Stabelaryzowane równania poprawek

[

opracowanie własne]

Współczynniki przy niewiadomych

Nr

poprawki

a

b

c

d

Wyrazy wolne

dα [

″

]

1

81,65

–

112,09

0

0

0

2

– 79,21

42,22

– 2,44

69,87

– 12,89

3

– 66,08

– 73,43

2,44

– 69,87

2,31

4

63,64

143,30

0

0

0

5

0

0

– 38,03

104,24

0

6

2,44

– 69,87

35,95

– 34,37

– 4,87

7

– 2,44

69,87

46,14

28,91

9,89

8

0

0

– 43,70

– 98,97

0

4. Ułożenie układu równań normalnych i jego rozwiązanie

[aa] dx

C

+ [ab] dy

C

+ [ac] dx

D

+ [ad] dy

P

+ [adα] = 0

[ab] dx

C

+ [bb] dy

C

+ [bc] dx

D

+ [bc] dy

P

+ [bdα] = 0

[ac] dx

C

+ [bc] dy

C

+ [cc] dx

D

+ [cd] dy

P

+ [cdα] = 0

[ad] dx

C

+ [bd] dy

C

+ [cd] dx

D

+ [dd] dy

P

+ [ddα] = 0

21369,4698dx

C

+ 1134,5061dy

C

+ 7,1736dx

D

– 1071,7963dy

D

+ 832,3577 = 0

1134,5061 dx

C

+ 50037,1852dy

C

+ 429,7893dx

D

+ 12501,8391dy

D

+ 317,4421 = 0

7,1736dx

C

+ 429,7893dy

C

+ 6789,1802dx

D

+ 113,7121dy

D

+ 318,3361 = 0

−

1071,7963dx

C

+ 12501,8391dy

C

+ 113,7121dx

D

+ 32421,9733dy

D

– 608,7222 = 0

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

48

Pierwiastek krakowianowy

146,1830dx

C

+ 7,7609dy

C

+ 0,0491dx

D

– 7,3319dy

D

+ 5,6939 = 0

223,5552dy

C

+ 1,9208dx

D

+ 56,1774dy

D

+ 1,2223 = 0

82,3741dx

D

+ 0,0749dy

D

+ 3,8326 = 0

170,9161dy

D

– 3,7207 = 0

dy

D

= 0,0218

dx

D

=

−

0,0465

dy

C

=

−

0,0105

dx

C

=

−

0.0373

5. Określenie przyrostów niewiadomych

dx

C

=

−

0,037

dy

C

=

−

0,010

dx

D

=

−

0,046

dy

D

= 0,022

6. Obliczenie poprawek

(

)

(

)

"

1

v

81, 65

0, 037

112, 09

0, 010

1,87

=

⋅ −

−

⋅ −

= −

(

)

(

)

(

)

"

2

v

79, 21

0, 037

42, 22

0, 010

2, 44

0, 046

69,87 0, 022 12,89

8, 74

= −

⋅ −

+

⋅ −

−

⋅ −

+

⋅

−

= −

(

)

(

)

(

)

"

3

v

66, 08

0, 037

73, 43

0, 010

2, 44

0, 046

69,87 0, 022 2, 31 3,91

= −

⋅ −

−

⋅ −

+

⋅ −

−

⋅

+

=

(

)

(

)

"

4

v

63, 64

0, 037

143, 30

0, 010

3,88

=

⋅ −

+

⋅ −

= −

(

)

"

5

v

38, 03

0, 046

104, 24 0, 022

4, 04

= −

⋅ −

+

⋅

=

(

)

(

)

(

)

"

6

v

2, 44

0, 037

69,87

0, 010

35, 95

0, 046

34, 37 0, 022 4,87

6, 65

=

⋅ −

−

⋅ −

+

⋅ −

−

⋅

−

= −

(

)

(

)

(

)

"

7

v

2, 44

0, 037

69,87

0, 010

46,14

0, 046

28,91 0, 022 9,89

7, 73

= −

⋅ −

+

⋅ −

+

⋅ −

+

⋅

+

=

(

)

"

8

v

43, 70

0, 046

98, 78 0, 022 12,89

0,12

= −

⋅ −

−

⋅

−

= −

7. Kontrola ogólna

[adα]dx

C

+ [bdα]dy

C

+ [cdα]dx

D

+ [ddα]dy

D

+ [dαdα] = [vv]

(

)

(

)

(

)

(

)

832, 3577

0, 0373

317, 4421

0, 0105

318, 3361

0, 0465

608, 7222 0, 0218 293, 0172

230, 56

⋅ −

+

⋅ −

+

⋅ −

+

+ −

⋅

+

=

[vv] = 230,54

Zachodzi, więc równość w granicach dokładności obliczeń L

P

≈

8. Obliczenie niewiadomych – współrzędnych wyrównanych.

C

0

C

X

X

dx

3202, 267 0, 037

3202, 230

=

+

=

−

=

C

0

C

Y

Y

dy

2875, 771 0, 010

2875, 761

=

+

=

−

=

D

0

D

X

X

dx

253, 670 0, 046

253, 624

=

+

=

−

=

D

0

D

Y

Y

dy

2772, 591 0, 022

2772, 613

=

+

=

+

=

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

49

9. Spostrzeżenia wyrównane

'

"

"

'

"

1

1 v

53 55 45

1,87

53 55 43,13

+ =

−

=

∢

'

"

"

'

"

2

2

v

34 0313

8, 74

34 03 04, 26

+

=

−

=

∢

'

"

"

'

"

3

3 v

25 56 57

3, 91

25 57 00, 91

+

=

+

=

∢

'

"

"

'

"

4

4

v

66 0317

3,88

66 0313,12

+

=

−

=

∢

'

"

"

'

"

5

5 v

69 57 26

4, 04

69 57 30, 04

+

=

+

=

∢

'

"

"

'

"

6

6

v

18 02 24

6, 65

18 0217, 35

+

=

−

=

∢

'

"

"

'

"

7

7

v

25 5159

7, 73

25 52 06, 73

+

=

+

=

∢

'

"

"

'

"

8

8 v

66 08 06

0,12

66 08 05,88

+

=

−

=

∢

10. Kontrola ostateczna

Tabela 9. Obliczenie wartości

kątów z wyrównanych współrzędnych

[

opracowanie własne]

Nr

kąta

α

m

α

obl.

α

obl.

−−−−

α

m

v

(z równań

poprawek)

1.

'

"

53 55 45

'

"

53 55 43,13

"

1,87

−

"

1,87

−

2.

'

"

34 0313

'

"

34 03 04, 26

"

8, 74

−

"

8, 74

−

3.

'

"

25 56 57

'

"

25 57 00, 91

"

3, 91

+

"

3, 91

+

4.

'

"

66 0317

'

"

66 0313,12

"

3,88

−

"

3,88

−

5.

'

"

69 57 26

'

"

69 57 30, 04

"

4, 04

+

"

4, 04

+

6.

'

"

18 02 24

'

"

18 0217, 35

"

6, 65

−

"

6, 65

−

7.

'

"

25 5159

'

"

25 52 06, 73

"

7, 73

+

"

7, 73

+

8.

'

"

66 08 06

'

"

66 08 05,88

"

0,12

−

"

0,12

−

11. Ocena dokładności

Średni błąd pomiaru kąta.

[ ]

n

vv

m

n

= ±

n

n

– liczba spostrzeżeń nadliczbowych

n

n

= n – u = 8 – 4 = 4

"

230,54

m

7, 59

4

= ±

= ±

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

50

4.2.2. Pytania sprawdzające

Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczenia.

1.

Co to są spostrzeżenia pośredniczące?

2.

Jak układamy równanie poprawek w metodzie pośredniczącej?

3.

Jak układamy równanie normalne w metodzie pośredniczącej?

4.

Z jakich etapów składa się wyrównanie spostrzeżeń metodą pośredniczącą?

5.

Czym różni się wyrównanie spostrzeżeń jednakowo dokładnych od wyrównania
spostrzeżeń niejednakowo dokładnych?

6.

Do czego służą współczynniki wagowe „Q”?

4.2.3. Ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Posługując się danymi uzyskanymi z pomiaru wyrównaj metodą pośredniczącą kąty

w czworoboku geodezyjnym, w którym długość zmierzonej bazy jest znana.

Rysunek do ćwiczenia 1. Czworobok geodezyjny

[

opracowanie własne]

Tabela do ćwiczenia: Dane uzyskane z pomiaru

[

opracowanie własne]:

Nr kąta

Kąt

24

o

30

’

49

”

79

o

12

’

28

”

55

o

54

’

50

”

24

o

21

’

54”

16

o

47

’

58

”

82

o

55

’

20

”

66

o

55

’

54

”

13

o

20

’

45

”

Długość pomierzonej bazy B

103-104

zmienia się według wzoru: 1000m + nr dz. 100 m;

nr dz. – numer ucznia w dzienniku

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

51

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:

1)

odszukać w materiałach dydaktycznych rozdziały dotyczące metody pośredniczącej,

2)

zapoznać się z przykładem „wyrównania sieci kątowej w postaci czworoboku
geodezyjnego” zamieszczonym poniżej,

3)

dokonać wyrównania w oparciu o wiedzę teoretyczną i przykład praktyczny.

Wyposażenie stanowiska pracy:

−

papier formatu A4,

−

„Poradnik dla ucznia”,

−

kalkulator funkcyjny.

4.2.4. Sprawdzian postępów

Czy potrafisz:

Tak

Nie

1)

zdefiniować spostrzeżenia pośredniczące?

2)

ułożyć równania poprawek?

3)

ułożyć równania normalne?

4)

wymienić etapy wyrównania spostrzeżeń metodą pośredniczącą?

5)

określić różnicę pomiędzy wyrównaniem spostrzeżeń jednakowo
dokładnych a wyrównaniem spostrzeżeń niejednakowo dokładnych?

6)

określić do czego służą współczynniki wagowe „Q”?

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

52

4.3.

Wyrównanie spostrzeżeń metodą warunkową

4.3.1.

Materiał nauczania

Metoda warunkowa

Spostrzeżeniami zawarunkowanymi nazywamy wyniki pomiarów geodezyjnych

odnoszące się do takich wielkości, których wartości prawdziwe muszą spełniać z góry
wiadome i ściśle określone równania matematyczne, zwane warunkami. W ramach
wyrównania spostrzeżeń zawarunkowanych przyjmowane jest założenie, że równania
warunkowe muszą spełniać nie tylko wartości prawdziwe mierzonych wartości, lecz także
spostrzeżenia wyrównane (L+v).

W postaci ogólnej równanie warunkowe można przedstawić jako równość funkcji

spostrzeżeń wyrównanych „f” i określanych wartości liczbowych „w”.

f

1

(L

1

+v

1

,L

2

+v

2

,…L

n

+v

n

) = w

1

f

2

(L

1

+v

1

,L

2

+v

2

,…L

n

+v

n

) = w

2

……………………………………………….

f

r

(L

1

+v

1

,L

2

+v

2

,…L

n

+v

n

) = w

r

W przypadku gdy funkcje f

1

,f

2

,,…f

n

są funkcjami nieliniowymi, należy je doprowadzić

do postaci liniowej rozwijając funkcję na szereg Taylora z pominięciem wyrazów o potędze
wyższej niż pierwsza.
Do sprawdzenia obliczeń wykorzystujemy kontrolę ogólną

[

]

[

]

pvv

w k

= −

⋅

Kontrola generalna wyrównania polega na sprawdzeniu spełnienia wyjściowych warunków
podstawiając do nich spostrzeżenia wyrównane (L+v). Ocena dokładności spostrzeżeń
zawarunkowanych polega na obliczeniu średniego błędu pojedynczego spostrzeżenia „m”.

[ ]

vv

m

r

= ±

lub spostrzeżenia typowego „

0

m

”

[

]

0

pvv

m

r

= ±

średnie błędy poszczególnych spostrzeżeń niejednakowo dokładnych obliczamy ze wzoru:

0

i

i

m

m

p

= ±

Równania warunkowe

Podczas układania równań warunkowych należy przestrzegać następujących zasad:

a)

liczba warunków „r” musi być równa liczbie spostrzeżeń nadliczbowych „n

n

”,

b)

warunki należy układać tak, aby liczba zawartych w nich spostrzeżeń była jak
najmniejsza, lecz jednocześnie w układzie równań warunkowych muszą wystąpić
wszystkie spostrzeżenia danego zadania,

c)

warunki muszą być niezależne od siebie tzn. takie, aby żadnego z nich nie można było
wyliczyć z pozostałych równań warunkowych.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

53

Prostymi przykładami równań warunkowych są:
a)

przy wyrównaniu kątów zmierzonych na jednym stanowisku (rys. 24 ) mamy daną liczbę
„n” kątów pomierzonych oraz znaną liczbę „k” kierunków które mamy wyznaczyć. Do
wyznaczenia „k” kierunków trzeba wyznaczyć „k –1” kątów czyli liczba warunków „r”
równa się liczbie spostrzeżeń nadliczbowych „n

n

”

r = n

n

r = n – (k –1) = n –k +1

Przykład 14

Ułóż równania warunkowe dla kątów mierzonych z jednego stanowiska

Rys. 23. Pomiar kątów na stanowisku do 4 kierunków

[

opracowanie własne]

n = 6
k = 4

r = 6 – 4 + 1 = 3

Liczba równań warunkowych wynosi 3, są to:

1.

o

5

6

360

+

=

∢

∢

2.

1

2

5

+

=

∢

∢

∢

3.

3

4

6

+

=

∢

∢

∢

b)

W siatkach niwelacyjnych z każdego obwodu zamkniętego wynika, że suma różnic
wysokości równa się zero [h] = 0. W ciągach niwelacyjnych otwartych suma
poszczególnych różnic wysokości jest równa różnicy wysokości reperów

[h] = H

RpA

– H

RpB

Ogólnie rzecz ujmując, w siatkach niwelacyjnych wysokość co najmniej jednego reperu jest
znana. Zatem do wyznaczenia każdego następnego punktu potrzebna jest jedna różnica
wysokości, a do wyznaczenia „x” punktów potrzebnych jest „x” różnic wysokości. Liczba
warunków powinna spełniać poniższą równość:

r = n

n

= n – x

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

54

gdzie:

n – jest to liczba pomierzonych różnic wysokości
x – jest to liczba nieznanych reperów

Przykład 15

Ułóż równania warunkowe dla siatki niwelacyjnej (rys. 24)

Rys. 24.

Przykład siatki niwelacyjnej

[

opracowanie własne]

liczba pomierzonych różnic wysokości – 9

n = 9

liczba nieznanych reperów – 4

x = 4

r = n

n

= n – x = 9 – 4 = 5

1.

h

3

+ h

6

– h

2

= 0

2.

h

4

+ h

5

– h

3

= 0

3.

h

1

+ h

4

+ h

5

= H

B

– H

A

4.

h

1

+ h

3

+ h

8

= H

C

– H

A

5.

h

1

+ h

2

+ h

7

= H

D

– H

A

a)

przy wyrównaniu siatki triangulacyjnej musimy uwzględniać następujące warunki:

−

warunek bazowy – każda siatka musi mieć jedną bazę,

−

warunek trójkątów – każdy trójkąt z trzema pomierzonymi kątami daje warunek
sumy kątów równej 180°,

−

warunek sinusów – wszędzie tam, gdzie do obliczenia długości boków stosujemy
twierdzenie sinusów , to mamy tyle warunków sinusowych ile twierdzeń
sinusowych,

−

warunek horyzontu – suma kątów równa się 360° dla kątów zamykających horyzont
na stanowisku,

−

warunek nawiązania azymutalnego – liczba nawiązań do dwóch boków
o znanych azymutach.

Łączna liczba warunków w siatkach triangulacyjnych jest sumą spostrzeżeń

nadliczbowych wszystkich wymienionych warunków.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

55

Liczba warunków „r” jest zawsze mniejsza od liczby spostrzeżeń „n” ponieważ

w przeciwnym wypadku wielkości występujące w równaniach jako niewiadome, dałoby się
wyznaczyć na podstawie równań warunkowych.

Przykład 16

Wyrównaj metodą warunkową kąty pomierzone w trójkącie (rys. 25)

Rys. 25. Pomiar kątów w trójkącie

[

opracowanie własne]

Dane:

α = 67

0

15

’

25

”

β = 78

0

20

’

30

”

γ = 34

0

24

’

35

”

1.

Ułożenie równań warunkowych

n = 3

u = 2

r = n – u = 3 – 2 = 1
Mamy tutaj do czynienia z jedną obserwacją nadliczbową, a więc tylko z jednym

warunkiem

(α + v

1

) + (β + v

2

) + (γ + v

3

) = 180°

2.

Obliczenie odchyłek

ω

a

= α + β + γ – 180°

ω

a

30

= −

”

3.

Zestawienie równań poprawek

v

1

+ v

2

+ v

3

– 30

”

= 0

poprawki

v

1

v

2

v

3

ω

a

+1

+1

+1

-30

4.

Zestawienie równań poprawek wyrażonych przez korelaty

v

i

= a

i

.

k

a

v

1

= k

a

v

2

= k

a

v

3

= k

a

5.

Zestawienie równań normalnych korelat

[aa]

.

k

a

+ ω

a

= 0

3k

a

– 30

”

= 0

k

a

= 10

”

β

γ

α

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

56

6.

Obliczenie wartości poprawek wyrażonych przez korelaty

v

1

= 10

”

v

2

= 10

”

v

3

= 10

”

7.

Kontrola ogólna

[vv] = 300

– [k

.

ω] = 300

[vv] = − [k

.

ω] 300 = 300

8.

Spostrzeżenia wyrównane

α + v

1

= 67

0

15

’

35

”

β + v

2

= 78

0

20

’

40

”

γ + v

3

= 34

0

24

’

45

”

9.

Kontrola generalna

(α + v

1

) + (β + v

2

) + (γ + v

3

) = 67°15

’

35

”

180° + 78

0

20

’

40

”

+ 34°24

’

45

”

= 180°

10.

Obliczenie średniego błędu spostrzeżenia

[ ]

vv

m

r

= ±

"

3

,

17

1

300

±

=

±

=

m

Zastosowanie metody warunkowej

Ponieważ wyrównanie spostrzeżeń wykonywane metodą pośredniczącą i warunkową

daje identyczne wyniki, więc istnieje problem ustalenia kryterium dokonania wyboru metody
wyrównania. Przy tradycyjnych metodach wykonywania obliczeń głównym kryterium
wyboru była liczba równań normalnych, niezbędnych do rozwiązania danego zadania.
W metodzie pośredniczącej liczba ta jest równa liczbie niewiadomych „u”, natomiast
w metodzie warunkowej ilość równań normalnych jest równa liczbie warunków „r”.

r = n – u

czyli

u = n – r

Biorąc pod uwagę kryterium liczby równań normalnych:

−

wybieramy metodę pośredniczącą w przypadku gdy:

r >

n

2

−

wybieramy metodę warunkową gdy:

r <

n

2

Przy zastosowaniu współczesnej techniki obliczeniowej różnice w ilości równań

normalnych nie mają istotnego znaczenia dla procesu rachunkowego, dlatego w ramach

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

57

układania komputerowych programów obliczeniowych z reguły wykorzystuje się wyrównanie
metodą pośredniczącą, która zapewnia lepszą jednolitość i przejrzystość postępowania oraz
wygodniejszą ocenę dokładności.

Programy obliczeniowe do wyrównania spostrzeżeń metodami ścisłymi

Wyrównania ścisłe osnów geodezyjnych można wykonać metodą pośredniczącą lub

warunkową. Obie te metody zostały wcześniej omówione. Obecnie wyrównanie osnów tymi
metodami przeprowadzane jest z wykorzystaniem komputerowych technik obliczeniowych.
Najpopularniejszymi programami służącymi do ścisłego wyrównania osnów są m.in. program
C-GEO stworzony przez firmę Softline z Wrocławia i GEONET stworzony przez
prof. dr hab. inż. R. Kadaja z Akademii Rolniczej w Krakowie. Programy te są stosowane
z wielkim powodzeniem w całej Polsce.

Przykład 17

Wyrównaj spostrzeżenia metodą warunkową

Posługując się danymi uzyskanymi z pomiary wyrównaj metodą warunkową różnice
wysokości w siatce niwelacyjnej nawiązanej jednopunktowo (rys. 26).

Rys. 26. Siatka niwelacyjna

[

opracowanie własne]

Tabela 10. Dane uzyskane z pomiaru

[

opracowanie własne]

Nr ciągu

Długość ciągu [km]

Różnica wysokości [m]

1.

2,174

- 5,236

2.

2,192

+3,184

3.

2,235

-1,594

4.

2,850

+3,650

5.

2,953

+8,408

6.

2,989

-4,785

n = 6

u = 3

r = n

n

= n – u = 6 – 3 = 3

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

58

1.

Ułożenie równań warunkowych

I (h

1

+ v

1

) + (h

5

+ v

5

) – (h

2

+ v

2

) = 0

II

−

(h

1

+ v

1

) + (h

3

+ v

3

) – (h

4

+ v

4

) = 0

III

(h

2

+ v

2

) + (h

6

+ v

6

) – (h

3

+ v

3

) = 0

2.

Obliczenie odchyłek

ω

a

= h

1

+ h

5

– h

2

ω

b

=

−

h

1

+ h

3

– h

4

ω

c

= h

2

+ h

6

– h

3

ω

a

=

−

5236 + 8408 – 3184 =

−

12 mm

ω

b

= 5236 – 1594 – 3650 =

−

8mm

ω

c

= 3184 – 4785 + 1594 =

−

7mm

3.

Zestawienie równań poprawek.

I v

1

– v

2

+ v

5

– 12 = 0

II

−

v

1

– v

3

−

v

4

– 8 = 0

III v

2

– v

3

+ v

6

– 7 = 0

Tabela 11. Stabelaryzowane równania poprawek

[

opracowanie własne]

Warunki

Poprawka

v

1

v

2

v

3

v

4

v

5

v

6

ω

ω

ω

ω

I

a

+1

-1

0

0

+1

0

-12

II

b

-1

0

+1

-1

0

0

-8

III

c

0

+1

-1

0

0

+1

-7

4.

Zestawienie równań poprawek wyrażonych przez korelaty:

i

i

i

i

a

b

c

i

i

i

a

b

c

v

k

k

k

p

p

p

=

⋅ + ⋅ + ⋅

dla ciągów niwelacyjnych wagi spostrzeżeń przyjmujemy z zasady jako:

i

i

1

p

L

=

⇒

i

i

1

L

p

=

gdzie L – długość ciągu w km

v

1

= 2,174

.

k

a

– 2,174

.

k

b

v

2

= - 2,191

.

k

a

+ 2,193

.

k

c

v

3

= 2,235

.

k

b

– 2,235

.

k

c

v

4

= – 2,850

.

k

b

v

5

= 2,953

.

k

a

v

6

= 2,989

.

k

c

5.

Zestawienie równań normalnych korelat

a

b

c

1

aa

ab

ac

k

k

k

0

p

p

p

ω













⋅ +

⋅ +

⋅ +

=

























a

b

c

2

ab

bb

bc

k

k

k

0

p

p

p

ω













⋅ +

⋅ +

⋅ +

=

























a

b

c

3

ac

bc

cc

k

k

k

0

p

p

p

ω













⋅ +

⋅ +

⋅ +

=

























„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

59

a

b

c

7, 319k

2,174k

2,192k

12

0

−

−

− =

a

b

c

2,174k

7, 259k

2, 235k

8

0

−

+

−

− =

a

b

c

2,192k

2, 235k

7, 416k

7

0

−

−

+

− =

6.

Rozwiązanie układu równań normalnych korelat przy pomocy pierwiastka krakowianowego:

a

b

c

2, 705k

0,804k

0,810k

4, 436

0

−

−

−

=

b

c

2, 571k

1,123k

4, 4494

0

−

−

=

c

2, 345k

6, 672

0

−

=

k

c

= 2,845

k

b

= 2,992

k

a

= 3,381

7.

Obliczenie wartości poprawek wyrażonych przez korelaty:

v

1

= 2,174

.

3,381 – 2,174

.

2,992 = 0,85

v

2

=

−

2,192

.

3,381 + 2,192

.

2,845 =

−

1,17

v

3

= 2,235

.

2,992 – 2,235

.

2,845 = 0,33

v

4

=

−

2,850

.

2,992 = – 8,53

v

5

= 2,953

.

3,381 = 9,98

v

6

= 2,989

.

2,845 = 8,50

8.

Kontrola ogólna:

[pvv] = 84,44

−

[k

.

ω] = 84,42

[pvv] =

−

[k

.

ω]

9.

Spostrzeżenia wyrównane:

h

1

+ v

1

=

−

5236 + 0,850 =

−

5235,15 mm

h

2

+ v

2

= 3184

−

1,17 = 3182,83 mm

h

3

+ v

3

=

−

1594 + 0,33 = – 1593,67 mm

h

4

+ v

4

= 3650 – 8,53 = 3641,47 mm

h

5

+ v

5

= 8408 + 9,98 = 8417,98 mm

h

6

+ v

6

= – 4785 + 8,50 = – 4776,50 mm

10.

Kontrola ostateczna:

I (h

1

+ v

1

) + (h

5

+ v

5

) – (h

2

+ v

2

) =

−

5235,15 + 8417,98

−

3182,83 = 0

II

−

(h

1

+ v

1

) + (h

3

+ v

3

) – (h

4

+ v

4

) = 5235,15

−

1593,67 – 3641,47 = 0,01

III (h

2

+ v

2

) + (h

6

+ v

6

) – (h

3

+ v

3

) = 3182,83 – 4776,50 + 1593,67 = 0

11.

Obliczenie średniego błędu typowego spostrzeżenia (dla ciągu o długości 1 km):

[ ]

0

pvv

m

r

= ±

[

]

0

84, 44

mm

m

5, 31

3

km

= ±

= ±

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

60

12.

Obliczenie średnich błędów poszczególnych spostrzeżeń:

0

i

i

m

m

p

=

1

5, 31

m

7,83mm

1

2,174

=

= ±

2

5, 31

m

7,86mm

1

2,192

=

= ±

3

5, 31

m

7, 94mm

1

2, 235

=

= ±

4

5, 31

m

8, 96mm

1

2,850

=

= ±

5

5, 31

m

9,12mm

1

2, 953

=

= ±

6

5, 31

m

9,18mm

1

2, 989

=

= ±

4.3.2. Pytania sprawdzające

Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.

1.

Co to są spostrzeżenia warunkowe?

2.

Jak układamy równania normalne?

3.

Co to są korelaty i do czego służą?

4.

Jak układamy równania normalne korelat?

5.

W jaki sposób wybieramy metodę wyrównania spostrzeżeń?

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

61

4.3.3. Ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Posługując się danymi uzyskanymi z pomiaru wyrównaj metodą warunkową różnice

wysokości w siatce niwelacyjnej nawiązanej wielopunktowo.

Rysunek do ćwiczenia 1. Siatka niwelacyjna

[

opracowanie własne]

Tabela do ćwiczenia: Dane uzyskane z pomiaru

[

opracowanie własne]

Nr ciągu

1

2

3

4

5

6

7

Różnica wysokości [m]

3,852

0,947

0,452

0,210

0,487

2,909

1,724

Długość [km]

4,7

5,9

3,8

1,5

2,7

3,1

2,0

Wysokości reperów nawiązania:

H

A

= 96,267m

H

B

= 95,599m

H

C

= 94,142m

Sposób wykonania ćwiczenia:

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:

1)

odszukać w materiałach dydaktycznych rozdziały dotyczące metody warunkowej,

2)

zapoznać się z przykładem „wyrównanie metodą warunkową różnic wysokości
w siatce niwelacyjnej w celu wyznaczenia wysokości trzech reperów” zamieszczonym
poniżej,

3)

ustalić dane wyjściowe do wykonania ćwiczenia,

4)

dokonać wyrównania w oparciu o wiedzę teoretyczną i przykład praktyczny.

Wyposażenie stanowiska pracy:

−

kalkulator funkcyjny,

−

papier formatu A4,

−

„Poradnik dla ucznia”.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

62

4.3.4. Sprawdzian postępów

Czy potrafisz:

Tak

Nie

1)

zdefiniować spostrzeżenia zawarunkowane?

2)

ułożyć równania normalne przy wyrównaniu kątów?

3)

ułożyć równania normalne w siatkach niwelacyjnych?

4)

zdefiniować pojęcie korelaty?

5)

ułożyć równania normalne korelat?

6)

wybrać metodę wyrównania spostrzeżeń?

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

63

5.

SPRAWDZIAN OSIĄGNIĘĆ

INSTRUKCJA DLA UCZNIA

1.

Przeczytaj uważnie instrukcję.

2.

Podpisz imieniem i nazwiskiem kartę odpowiedzi.

3.

Zapoznaj się z zestawem zadań testowych.

4.

Test zawiera 20 zadań. Do każdego zadania dołączone są 4 możliwości odpowiedzi.
Tylko jedna jest prawidłowa.

5.

Udzielaj odpowiedzi na załączonej karcie odpowiedzi, stawiając w odpowiedniej rubryce
znak „x”. W przypadku pomyłki należy błędną odpowiedź zaznaczyć kółkiem,
a następnie ponownie zakreślić odpowiedź prawidłową.

6.

Zadania wymagają prostych obliczeń, które powinieneś wykonać przed wskazaniem
poprawnego wyniku.

7.

Pracuj samodzielnie, bo tylko wtedy będziesz miał satysfakcję z wykonywanego zadania.

8.

Jeżeli udzielenie odpowiedzi będzie Ci sprawiało trudność, wtedy odłóż jego rozwiązanie
i wróć do niego, gdy zostanie Ci wolny czas.

9.

Na rozwiązanie testu masz 45 minut.

Powodzenia!

ZESTAW ZADAŃ TESTOWYCH

1.

Wyniki pomiarów geodezyjnych są
a)

zawsze bezbłędne.

b)

wartościami prawdziwymi mierzonych wielkości.

c)

wartościami przybliżonymi wielkości prawdziwych.

d)

podstawą podziału błędów na trzy grupy.

2.

Błędy systematyczne powstają wskutek
a)

nieuwagi obserwatora.

b)

działania ustalonych prawidłowości w określonych warunkach pomiaru.

c)

przyczyn trudnych do ścisłego określenia.

d)

zbyt dużej liczby pomiarów.

3.

Błędy przypadkowe są
a)

możliwe do wyznaczenia na podstawie dużej liczby obserwacji.

b)

niemożliwe do wyznaczenia i wyeliminowania.

c)

możliwe do wyznaczenia na postawie znajomości źródeł błędów.

d)

stałe co do znaku i wartości liczbowej.

4.

Z przebiegu krzywej prawdopodobieństwa popełnienia błędu przypadkowego wynika, że
a)

prawdopodobieństwo błędu większego jest większe niż prawdopodobieństwo błędu
mniejszego.

b)

prawdopodobieństwo błędu mniejszego jest większe niż prawdopodobieństwo błędu
większego.

c)

przy zmniejszaniu liczby spostrzeżeń suma błędów przypadkowych dąży do zera.

d)

prawdopodobieństwo błędów o tej samej wartości bezwzględnej lecz z różnymi
znakami jest równe zero.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

64

5.

Błąd względny jest równy
a)

błędowi średniemu.

b)

błędowi granicznemu.

c)

średniemu błędowi bezwzględnemu przypadającemu na całą mierzoną wielkość.

d)

dwukrotnej wartości błędu średniego.

6.

Średnia arytmetyczna obliczona dla spostrzeżeń jednakowo dokładnych jest równa
a)

sumie spostrzeżeń.

b)

sumie spostrzeżeń podzielonej przez liczbę pomiarów.

c)

liczbie pomiarów.

d)

wartości przybliżonej mierzonej wielkości.

7.

Prawo przenoszenia się błędów średnich służy do obliczania
a)

błędu średniego funkcji obserwacji.

b)

błędu względnego funkcji obserwacji.

c)

pochodnych cząstkowych funkcji obserwacji.

d)

błędów średnich bezpośrednio obserwowanych wielkości.

8.

Do obliczenia błędu średniego przewyższenia, korzystamy z funkcji h = d

.

tgα i wówczas

d

h

∂

∂

równa się

a)

d

.

sinα.

b)

tgα.

c)

d

.

cosα.

d)

d.

9.

Pomierzona przekątna działki w kształcie kwadratu wynosi 100m. Jeżeli przekątną
pomierzyliśmy z błędem ±0,1 m, to powierzchnię tej działki obliczymy z błędem
a)

±5 m

2

.

b)

±10 m

2

.

c)

±20 m

2

.

d)

±100 m

2

.

10.

Na mapie zmierzono odległość pomiędzy dwoma punktami, przy czym błąd przyłożenia
podziałki wynosi ±0,1 mm a błąd odczytu ±0,15mm. Przy zmierzonej długości należy
oczekiwać błędu
a)

±0,1 mm.

b)

±0,15 mm.

c)

±0,18 mm.

d)

±0,25 mm.

11.

Do obliczania wartości kąta nachylenia terenu pomiędzy dwoma punktami, przy
pomierzonej poziomej odległości między nimi „d” i różnicy wysokości „h” stosujemy

wzór

d

h

tg

=

α

. Przy obliczaniu błędu średniego tego kąta korzystamy z funkcji

a)

tgα.

b)

ctgα,

c)

arc tgα.

d)

arc ctgα.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

65

12.

Średnia arytmetyczna ogólna obliczana dla spostrzeżeń bezpośrednich niejednakowo
dokładnych jest równa sumie
a)

spostrzeżeń podzielonych przez sumę wag.

b)

spostrzeżeń podzielonej przez liczbę pomiarów.

c)

iloczynów spostrzeżeń i odpowiadających im wag podzielonej przez sumę wag.

d)

iloczynów spostrzeżeń i odpowiadających im wag podzielonej przez liczbę wag.

13.

Przy pomiarach ciągów poligonowych, przyjmuje się najczęściej wagi odnoszące się do
boków jako
a)

wprost proporcjonalne do długości boków.

b)

odwrotnie proporcjonalne do długości ciągów.

c)

równe liczbie przyłożeń taśmy na danym ciągu.

d)

równe błędom średnim pomierzonych boków.

14.

Jeżeli za spostrzeżenie typowe przyjmiemy spostrzeżenie o średnim błędzie ±3

”

, to waga

dla spostrzeżenia o średnim błędzie ±1

”

wynosi

a)

9.

b)

6.

c)

3.

d)

1.

15.

Mamy trzy spostrzeżenia niejednakowo dokładne o średnich błędach m

1

= ±2 cm,

m

2

= ±1 cm, m

3

= ±5 cm. Spostrzeżeniom tym odpowiadają wagi

a)

p

1

=0,25; p

2

=1; p

3

=0,04.

b)

p

1

=6; p

2

=25; p

3

=1.

c)

p

1

=4; p

2

=16; p

3

=0,5.

d)

p

1

=0,5; p

2

=1; p

3

=0,1.

16.

Spostrzeżenia pośredniczące
a)

odnoszą się bezpośrednio do szukanych wielkości.

b)

służą do wyznaczenia niewiadomych za pomocą ustalonych związków funkcyjnych.

c)

służą do wyznaczenia wartości prawdziwych mierzonych wielkości.

d)

pozwalają określić ilość spostrzeżeń nadliczbowych.

17.

Jeżeli funkcja, którą się posługujemy przy wyrównywaniu spostrzeżeń, nie jest funkcją
liniową to należy rozwinąć ją na szereg
a)

Taylora.

b)

Maclaurina.

c)

Taylora z odrzuceniem wyrazów rzędu wyższego niż pierwszy.

d)

Maclaurina z odrzuceniem wyrazów rzędu wyższego niż pierwszy.

18.

Liczba spostrzeżeń nadliczbowych jest równa
a)

liczbie spostrzeżeń niezależnych od siebie.

b)

liczbie spostrzeżeń niezbędnych do rozwiązania danego zadania geodezyjnego.

c)

różnicy liczby spostrzeżeń uzyskanych z pomiaru i liczby spostrzeżeń niezależnych
od siebie.

d)

różnicy liczby spostrzeżeń uzyskanych z pomiaru i liczby spostrzeżeń niezbędnych
do rozwiązania danego zadania geodezyjnego.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

66

19.

Pomierzyliśmy 5 ciągów niwelacyjnych w celu wyznaczenia wysokości trzech nowych
reperów.

Siatka niwelacyjna nawiązana jednopunktowo

[

opracowanie własne]

Liczba warunków wynosi
a)

1.

b)

2.

c)

3.

d)

4.

20.

Korelaty są to
a)

poprawki do spostrzeżeń.

b)

wartości najbardziej prawdopodobne niewiadomych.

c)

współczynniki nieoznaczone występujące jako dodatkowe niewiadome.

d)

odchyłki, których suma jest równa zero.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

67

KARTA ODPOWIEDZI

Imię i Nazwisko……………………………………………………………….

Wykorzystywanie teorii błędów do opracowania pomiarów geodezyjnych

Zakreśl poprawną odpowiedź znakiem X.

Nr

zadania

Odpowiedź

Punkty

1

a

b

c

d

2

a

b

c

d

3

a

b

c

d

4

a

b

c

d

5

a

b

c

d

6

a

b

c

d

7

a

b

c

d

8

a

b

c

d

9

a

b

c

d

10

a

b

c

d

11

a

b

c

d

12

a

b

c

d

13

a

b

c

d

14

a

b

c

d

15

a

b

c

d

16

a

b

c

d

17

a

b

c

d

18

a

b

c

d

19

a

b

c

d

20

a

b

c

d

Razem:

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

68

6. LITERATURA

1.

Adamczewski Z.: „Rachunek wyrównawczy w 15 wykładach”. Oficyna Wydawnicza
Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2005

2.

Adamczewski Z.: „Teoria błędów dla geodetów”. Oficyna Wydawnicza Politechniki
Warszawskiej, Warszawa 2005

3.

Baran W.: „Teoretyczne podstawy opracowania wyników pomiarów geodezyjnych”.
PWN Warszawa 1999

4.

Chojnicki W.: „Geodezyjny rachunek wyrównawczy w zadaniach”. PPWK, Warszawa
1968

5.

Hausbrandt S.: „Rachunek wyrównawczy i obliczenia geodezyjne”. PPWK, Warszawa
1970

6.

Jagielski A.: „Geodezja II”. Stabill, Kraków 2003

7.

Sadownik T.: „Geodezja dla klasy IV”. PPWK, Warszawa 1980

8.

Szczęsny J., Wysocki K.: „Matematyka dla techników geodezyjnych”. PWSZ, Warszawa
1964

9.

Warchałowski E.: „Rachunek wyrównawczy dla geodetów”. PWN, Warszawa 1955

10.

Wiśniewski Z.: „Rachunek wyrównawczy w geodezji z przykładami” Wydawnictwo
Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego, Olsztyn 2005