W
W
Y
Y
K
K
Ł
Ł
A
A
D
D
1
1
0
0
R
R
Ó
Ó
W
W
N
N
A
A
N
N
I
I
E
E
N
N
A
A
V
V
I
I
E
E
R
R
A
A
–
–
S
S
T
T
O
O
K
K
E
E
S
S
A
A
“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer
W
W
Y
Y
K
K
Ł
Ł
A
A
D
D
1
1
0
0
R
R
Ó
Ó
W
W
N
N
A
A
N
N
I
I
E
E
N
N
A
A
V
V
I
I
E
E
R
R
A
A
–
–
S
S
T
T
O
O
K
K
E
E
S
S
A
A
“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer
W
W
Y
Y
P
P
R
R
O
O
W
W
A
A
D
D
Z
Z
E
E
N
N
I
I
E
E
R
R
Ó
Ó
W
W
N
N
A
A
N
N
I
I
E
E
R
R
U
U
C
C
H
H
U
U
D
D
L
L
A
A
P
P
Ł
Ł
Y
Y
N
N
U
U
N
N
E
E
W
W
T
T
O
O
N
N
A
A
Wychodzimy
z równania Cauchy’ego. Przypomnijmy to równanie
dla składowych
i tensor
naprężenia dla płynu Newtona
i
k
l
ik
ik
ik
k
i
l
v
v
v
T
p
x
x
x
ik
k
k
k
T
dv
F
dt
x
Wstawmy definicję tensora do równania Cauchy’go. Dostaniemy
wtedy :
k
k
k
k
dv
F
v
div v
dt
x
Dla gazu, którego cząsteczki mają właściwości zderzeniowe kulek
sprężystych, suma lepkości dynamicznej i objętościowej jest
równa:
Dla gazu o niesymetrycznych własnościach zderzeniowych:
3
'
3
druga lepkość
R
R
Ó
Ó
W
W
N
N
A
A
N
N
I
I
A
A
N
N
A
A
V
V
I
I
E
E
R
R
A
A
-
-
S
S
T
T
O
O
K
K
E
E
S
S
A
A
Biorąc pod uwagę powyższe informacje dostaniemy
trzy
równania
ruchu
dla płynu Newtona zwane równaniami Naviera – Stokesa.
Postać równań dla składowych k=1,2,3:
Forma wektorowa:
k
i
k
k
k
k
i
dv
v
p
F
v
'
dt
x
3
x
x
dv
F grad p
v
' grad diw v
dt
3
przyspieszenie
pole sił
zewnętrznych
siły wynikające
z ciśnienia
siły wynikające z lepkości
Równania Naviera - Stokesa są równaniami ruchu. Wiążą one
pole przyspieszeń z polem sił zewnętrznych, polem sił
ciśnieniowych i siłami wynikającymi z lepkości.
Zawiera
ją trzy pola: wektorowe pole prędkości i dwa pola
skalarne
-
ciśnienia i masy właściwej, czyli pięć niewiadomych:
v
1
, v
2
, v
3
, p, ρ
Aby znaleźć rozwiązania równań Naviera – Stokesa trzeba
dołączyć:
Równanie ciągłości
R
ównanie energii wraz z określeniem energii wewnętrznej i
wektora strumienia ciepła oraz pomocnicze związki opisujące
lepkości, itp.,
Warunek
początkowy na pole prędkości
Prędkość brzegową, określoną tak, by dawała zbilansowaną
masę.
T
T
R
R
U
U
D
D
N
N
O
O
Ś
Ś
C
C
I
I
W
W
Y
Y
N
N
I
I
K
K
A
A
J
J
Ą
Ą
C
C
E
E
P
P
R
R
Z
Z
Y
Y
R
R
O
O
Z
Z
W
W
I
I
Ą
Ą
Z
Z
Y
Y
W
W
A
A
N
N
I
I
U
U
R
R
Ó
Ó
W
W
N
N
A
A
Ń
Ń
N
N
A
A
V
V
I
I
E
E
R
R
A
A
-
-
S
S
T
T
O
O
K
K
E
E
S
S
A
A
Równanie N - S jest
równaniem drugiego rzędu –
potrzeba więcej danych
granicznych niż dla
równania Eulera
1
2
Równanie N - S jest równaniem o
niewielkim współczynniku przy
najwyższych pochodnych (lepkość µ
jest dla wielu ważnych przypadków
niewielka). Powoduje to
niestateczność rozwiązania, czyli
istotną zmianę rozwiązania przy
niewielkiej zmianie danych
3
Aby uzyskać dobrą
aproksymację rozwiązania
równania N - S przy użyciu
metod numerycznych trzeba
wprowadzić wiele punktów
dyskretyzacji
U
U
P
P
R
R
O
O
S
S
Z
Z
C
C
Z
Z
E
E
N
N
I
I
E
E
R
R
Ó
Ó
W
W
N
N
A
A
N
N
I
I
A
A
N
N
A
A
V
V
I
I
E
E
R
R
A
A
–
–
S
S
T
T
O
O
K
K
E
E
S
S
A
A
D
D
L
L
A
A
C
C
I
I
E
E
C
C
Z
Z
Y
Y
Gęstość jest stała –
ρ = const
Równanie ciągłości
Równanie N - S
+ warunki początkowe i brzegowe.
Dla szczególnie prostych kształtów obszaru ruchu i przy wielu
założeniach dotyczących kinematyki równania N – S można
rozwiązać analitycznie
diw v
0
dv
F grad p
v
dt
P
P
R
R
Z
Z
Y
Y
K
K
Ł
Ł
A
A
D
D
1
1
Drgająca wzdłużnie płyta w nieograniczonym zbiorniku
wypełnionym cieczą. Płyta wykonuje ruch w kierunku 0x
2
.
x
1
x
2
v
2
0
Pole prędkości ma jedyną niezerową
składową:
v
2
= v
2
(t, x
1
)
.
Prędkość
v
2
nie zależy od
x
2
, bo wobec
nieograniczoności płyty i zbiornika, dla
każdego
x
2
ruch jest taki sam.
Równanie ciągłości:
Równanie ruchu w kierunku
0x
2
:
2
2
2
1
2
v
diw v
0,
bo
v
v
t, x
x
2
2
2
1
2
2
1
2
0
0
2
v
v
v
1
p
v
v
v
t
x
x
x
Po rozpisaniu laplasjanu i uproszczeniu otrzymamy:
2
2
2
2
2
1
v
v
1
p
t
x
x
Określmy ciśnienie. Z równania ruchu dla kierunku
0x
1
wobec znikania
v
1
pozostaje
1
1
p
0
x
Stąd
p = f(x
2
)
– nie zależy od
x
1
.
Dla wielkich
x
1
ciśnienie jest takie samo jak na powierzchni płyty. Ale
dostatecznie daleko od miejsca wzbudzenia ruchu prędkość znika, a
ciśnienie jest stałe:
2
f (x )
const
p
const
Równanie ruchu po uproszczeniu ma postać:
2
2
2
2
1
v
v
t
x
Jeśli płyta drga harmonicznie to wtedy
1
i t
2 x 0
v
A e
a
daleko od płyty ruch zanika i
1
2 x
v
0
Rozwiązaniem zadania jest:
1
x
1
i
t
2
2
2
1
1
v (t, x )
Be
x e
P
P
R
R
Z
Z
Y
Y
K
K
Ł
Ł
A
A
D
D
2
2
Ruch ustalony w nieskończenie długim przewodzie o
niezmiennym przekroju.
x
3
x
3
x
2
x
2
x
1
Rura ma nie
ograniczoną długość, więc dla każdego
x
1
ruch jest taki
sam a pole prędkości nie zależy od
x
1
.
Załóżmy też, że
2
3
1
1
2
3
v
v
0 i v
v (x , x )
To równanie ruchu dla kierunku
0x
1
ma postać:
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
2
1
2
3
1
2
3
v
v
v
v
v
v
p
v
v
v
t
x
x
x
x
x
x
0
0
0
0
Dla pozostałych kierunków wobec znikania
2
3
v i v
mamy:
1
2
3
p
p
0 i
0
p
p x
x
x
Równanie ruchu upraszcza się do postaci:
2
2
1
1
2
3
1
2
3
dp(x )
v x , x
dx
x
x
Wniosek:
lewa strona musi mieć wartość niezależną od x
1,
czyli stałą!
zależy od x
1
zależy od x
2
i x
3
Zatem:
2
2
1
1
2
3
1
2
3
dp(x )
v x , x
dx
x
x
Ciśnienie:
Prędkość:
0
1
p
p
x
Jest liniową funkcją długości
przewodu
x
1
p(x
1
)
p
0
1
1 brzeg
v
v
0
Wyraża warunek przylepienia cieczy
do rury.
Zagadnienie Dirichleta
Dla przewodu kołowego:
Rozwiązanie:
Ostatecznie
x
2
x
3
r
θ
2R
1
1
1 r R
1 d
d
v
r
v
r dr dr
v
0
2
1
v
r
A ln r
B
4
A=0
bo
r = 0
należy do
obszaru ruchu,
B
wyznaczamy z
warunku brzegowego
2
2
1
1
dp dx
v
R
r
4
Rozkład prędkości jest
paraboliczny