Ćwiczenie nr 9
− „Całki równań Naviera−Stokesa”.
Równanie Naviera
−Stokesa
Równanie bilansu pędu płynu dla różniczkowej objętości dV płynu uzyskane na podstawie II zasady
dynamiki Newtona
τ
⋅
∇
+
ρ
=
∇
⋅
ρ
+
∂
∂
ρ
f
u
u
t
u
r
r
r
r
)
(
Akumulacja pędu + (Odpływ pędu – Dopływ pędu) = Siły masowe + Siły powierzchniowe
W płynach newtonowskich naprężenia lepkie są wprost proporcjonalne do szybkości odkształceń
kątowych (naprężenia styczne) i objętościowych (dodatkowe naprężenia normalne w płynach
ściśliwych). Współczynnikiem proporcjonalności jest lepkość dynamiczna,
µ. Tensor naprężenia
dla płynu newtonowskiego dany jest wzorem
D
u
p
µ
+
δ
∇
µ
−
δ
−
=
τ
2
3
2
r
,
gdzie
δ
to tensor jednostkowy o składowych równych
≠
=
=
δ
j
i
j
i
j
i
dla
0
dla
1
,
zaś
D to tensor szybkości deformacji o składowych równych
∂
∂
+
∂
∂
=
i
j
j
i
j
i
x
u
x
u
D
2
1
.
Stąd równanie Naviera
−Stokesa dla płynów newtonowskich przyjmuje postać
⋅
∇
+
∆
µ
+
−
ρ
=
∇
⋅
ρ
+
∂
∂
ρ
)
(
3
1
grad
)
(
u
grad
u
p
f
u
u
t
u
r
r
r
r
r
r
Równanie Naviera
−Stokesa wraz z równaniem ciągłości
0
)
(
=
ρ
⋅
∇
+
∂
ρ
∂
u
t
r
oraz warunkami początkowymi i brzegowymi tworzą układ równań, którego rozwiązanie pozwala
uzyskać czasoprzestrzenne rozkłady prędkości i ciśnienia płynu.
Dla płynów nieściśliwych równania ciągłości i Naviera
−Stokesa upraszczają się do postaci:
0
=
⋅
∇ ur
,
u
p
f
u
u
t
u
r
r
r
r
r
∆
µ
+
−
ρ
=
∇
⋅
ρ
+
∂
∂
ρ
grad
)
(
.
Analityczne rozwiązania powyższego układu równań można otrzymać dla układów o
nieskomplikowanej geometrii w warunkach przepływu laminarnego.
Metodyka rozwiązywania równania ciągłości i Naviera
−Stokesa.
1. Określić jakie czynniki wywołują przepływ np.:
a) różnica ciśnień pomiędzy wlotem i wylotem z układu (przepływ ciśnieniowy),
b) ruch jednej lub kilku ścian układu (przepływ wleczony Cuette’a),
c) siła grawitacji (przepływ grawitacyjny).
2. Wybrać odpowiedni układ współrzędnych i właściwą dla tego układu formę równań N-S np.:
a) przepływ płynu pomiędzy płaskimi płytami lub spływ po płaskiej płycie należy opisywać w
układzie współrzędnych prostokątnych,
b) przepływ przez rurę lub szczelinę pomiędzy współosiowymi cylindrami, spływ po
powierzchni cylindrycznej należy opisywać w układzie współrzędnych cylindrycznych.
3. Wyznaczyć ogólną postać zależności na składowe prędkości płynu i ciśnienie:
a) określić czy przepływ jest stacjonarny czy niestacjonarny,
b) określić czy płyn jest ściśliwy czy nieściśliwy,
Ćwiczenie nr 9, strona 1
c) określić przewidywany kierunek przepływu tzn. określić, które składowe wektora prędkości
są niezerowe,
d) określić, od których współrzędnych zależą niezerowe składowe prędkości i ciśnienie.
4. Sformułować warunki brzegowe i/lub warunki początkowe np.:
a) brak
poślizgu na powierzchni styku ciecz – ciało stałe,
b) brak
naprężeń stycznych na powierzchni swobodnej cieczy,
c) równość prędkości i naprężeń stycznych na powierzchni miedzyfazowej ciecz – ciecz,
d) warunek symetrii, np. gdy rozkład prędkości ma płaszczyznę symetrii, to w płaszczyźnie
symetrii zeruje się pochodna prędkości w kierunku prostopadłym do płaszczyzny,
e) płyn jest w stanie spoczynku na początku procesu lub porusza się z zadaną prędkością
początkową.
5. Uprościć i rozwiązać układ równań ciągłości i Naviera–Stokesa.
Zadanie 1
Rozważyć grawitacyjny spływ warstewki cieczy po płycie nachylonej do poziomu. Wyznaczyć:
a) rozkład prędkości,
b) rozkład naprężeń stycznych,
c) wydatek objętościowy cieczy na jednostkę szerokości płyty.
Zadanie 2
Zbadać przepływ ciśnieniowy w szczelinie pierścieniowej pomiędzy współosiowymi cylindrami.
Wyznaczyć:
a) rozkład prędkości,
b) rozkład naprężeń stycznych,
c) wydatek objętościowy.
Zadanie 3
Zanalizować przepływ wleczony w szczelinie pierścieniowej pomiędzy współosiowymi cylindrami;
które mogą obracać się z zadaną prędkością kątową wokół osi symetrii. Wyznaczyć:
a) rozkład prędkości,
b) rozkład naprężeń stycznych,
c) rozkład prędkości i naprężeń, gdy promień cylindra zewnętrznego dąży do nieskończoności,
Zadanie 4
Ciecz nieściśliwa i newtonowska o lepkości
µ=20 Pa·s i gęstości ρ=950 kg/m
3
jest transportowana
przez poziomy prostokątny kanał o szerokości B=0.1 m, wysokości H=0.008 m i długości L=1.2 m.
Przepływ płynu wywołuje ruch górnej ścianki kanału z prędkością v=0.009 m/s równolegle do
ścianek bocznych kanału. Zaniedbując wpływ efektów wlotowych i wylotowych należy:
a) wyznaczyć wydatek objętościowy cieczy transportowanej przez kanał przy braku ciśnienia
zwrotnego,
b) wyznaczyć ciśnienie zwrotne, przy którym wydatek objętościowy cieczy spadnie do zera,
c) sporządzić wykresy prędkości i naprężeń stycznych w przekroju poprzecznym kanału dla
przepływu opisanego w punktach a) i b).
Ciśnienie zwrotne to różnica pomiędzy ciśnieniem na wylocie i wlocie do kanału.
Ćwiczenie nr 9, strona 2
RÓWNANIA CIĄGŁOŚCI I NAVIERA-STOKESA
Ogólna postać równania ciągłości we współrzędnych prostokątnych.
(
)
(
)
(
)
0
=
⋅
ρ
∂
∂
+
⋅
ρ
∂
∂
+
⋅
ρ
∂
∂
+
∂
ρ
∂
z
y
x
u
z
u
y
u
x
t
Ogólna postać równania ruchu we współrzędnych prostokątnych.
1. składowa x
∂
τ
∂
+
∂
τ
∂
+
∂
τ
∂
ρ
+
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
y
x
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
zx
yx
xx
x
x
z
x
y
x
x
x
1
2. składowa y
∂
τ
∂
+
∂
τ
∂
+
∂
τ
∂
ρ
+
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
y
x
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
zy
yy
xy
y
y
z
y
y
y
x
y
1
3. składowa z
∂
τ
∂
+
∂
τ
∂
+
∂
τ
∂
ρ
+
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
y
x
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
zz
yz
xz
z
z
z
z
y
z
x
z
1
Składowe tensora naprężenia w płynach newtonowskich we współrzędnych prostokątnych.
1. naprężenia normalne
(
)
⋅
∇
−
∂
∂
µ
+
−
=
τ
u
x
u
p
x
xx
r
3
1
2
(
)
⋅
∇
−
∂
∂
µ
+
−
=
τ
u
y
u
p
y
yy
r
3
1
2
(
)
⋅
∇
−
∂
∂
µ
+
−
=
τ
u
z
u
p
z
zz
r
3
1
2
(
)
z
u
y
u
x
u
u
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
⋅
∇ r
2. naprężenia styczne
∂
∂
+
∂
∂
µ
=
τ
=
τ
x
u
y
u
y
x
yx
xy
∂
∂
+
∂
∂
µ
=
τ
=
τ
y
u
z
u
z
y
zy
yz
∂
∂
+
∂
∂
µ
=
τ
=
τ
z
u
x
u
x
z
xz
zx
Równanie ciągłości we współrzędnych prostokątnych dla płynu nieściśliwego (
ρ=const).
0
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
⋅
∇
z
u
y
u
x
u
u
z
y
x
r
Ćwiczenie nr 9, strona 3
Równanie ruchu we współrzędnych prostokątnych dla płynu newtonowskiego o stałej gęstości
i lepkości (
ρ=const i µ=const).
1. składowa x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
µ
+
∂
∂
ρ
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
1
z
u
y
u
x
u
x
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
x
x
x
x
x
z
x
y
x
x
x
2. składowa y
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
µ
+
∂
∂
ρ
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
1
z
u
y
u
x
u
y
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
y
y
y
y
y
z
y
y
y
x
y
3. składowa z
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
µ
+
∂
∂
ρ
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
1
z
u
y
u
x
u
z
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
z
z
z
z
z
z
z
y
z
x
z
Układ współrzędnych cylindrycznych.
z
y
x
z
r
u
r
u
u
z
1. transformacja współrzędnych przestrzennych
θ
⋅
=
cos
r
x
2
2
y
x
r
+
=
θ
⋅
=
sin
r
y
( )
x
y
tg
arc
=
θ
z
z
=
2. transformacja składowych prędkości
θ
⋅
θ
−
⋅
θ
=
u
u
u
r
x
sin
cos
θ
⋅
θ
+
⋅
θ
=
u
u
u
r
y
cos
sin
z
z
u
u
=
y
x
r
u
u
u
⋅
θ
+
⋅
θ
=
sin
cos
y
x
u
u
u
⋅
θ
+
⋅
θ
−
=
θ
cos
sin
z
z
u
u
=
Ogólna postać równania ciągłości we współrzędnych cylindrycznych.
(
)
(
)
(
)
0
1
1
=
⋅
ρ
∂
∂
+
⋅
ρ
θ
∂
∂
+
⋅
⋅
ρ
∂
∂
+
∂
ρ
∂
θ
z
r
u
z
u
r
u
r
r
r
t
Ogólna postać równania ruchu we współrzędnych cylindrycznych.
1. składowa promieniowa, r
(
)
∂
τ
∂
+
τ
−
θ
∂
τ
∂
+
τ
⋅
∂
∂
ρ
+
=
∂
∂
+
−
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
θθ
θ
θ
θ
z
r
r
r
r
r
f
z
u
u
r
u
u
r
u
r
u
u
t
u
rz
r
rr
r
r
z
r
r
r
r
1
1
1
2
2. składowa obwodowa,
θ
(
)
∂
τ
∂
+
θ
∂
τ
∂
+
τ
⋅
∂
∂
ρ
+
=
∂
∂
+
⋅
+
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
θ
θθ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
z
r
r
r
r
f
z
u
u
r
u
u
u
r
u
r
u
u
t
u
z
r
z
r
r
1
1
1
2
2
3. składowa osiowa, z
(
)
∂
τ
∂
+
θ
∂
τ
∂
+
τ
⋅
∂
∂
ρ
+
=
∂
∂
+
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
θ
θ
z
r
r
r
r
f
z
u
u
u
r
u
r
u
u
t
u
zz
z
rz
z
z
z
z
z
r
z
1
1
1
Ćwiczenie nr 9, strona 4
Składowe tensora naprężenia w płynach newtonowskich we współrzędnych cylindrycznych.
1. naprężenia normalne
(
)
⋅
∇
−
∂
∂
µ
+
−
=
τ
u
r
u
p
r
rr
r
3
1
2
(
)
⋅
∇
−
+
θ
∂
∂
µ
+
−
=
τ
θ
θθ
u
r
u
u
r
p
r
r
3
1
1
2
(
)
⋅
∇
−
∂
∂
µ
+
−
=
τ
u
z
u
p
z
zz
r
3
1
2
(
)
(
)
z
u
u
r
u
r
r
r
u
z
r
∂
∂
+
θ
∂
∂
+
⋅
∂
∂
⋅
=
⋅
∇
θ
1
1
r
2. naprężenia styczne
θ
∂
∂
+
∂
∂
µ
=
τ
=
τ
θ
θ
θ
r
r
r
u
r
r
u
r
r
1
θ
∂
∂
+
∂
∂
µ
=
τ
=
τ
θ
θ
θ
z
z
z
u
r
z
u
1
∂
∂
+
∂
∂
µ
=
τ
=
τ
z
u
r
u
r
z
rz
zr
Równanie ciągłości we współrzędnych cylindrycznych dla płynu nieściśliwego (
ρ=const).
(
)
0
1
1
=
∂
∂
+
θ
∂
∂
+
⋅
∂
∂
=
⋅
∇
θ
z
u
u
r
u
r
r
r
u
z
r
r
Równanie ruchu we współrzędnych cylindrycznych dla płynu newtonowskiego o stałej
gęstości i lepkości (
ρ=const i µ=const).
1. składowa r
( )
∂
∂
+
θ
∂
∂
−
θ
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
ρ
µ
+
∂
∂
ρ
−
=
∂
∂
+
−
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
θ
θ
θ
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
z
u
u
u
r
r
u
r
r
r
r
p
f
z
u
u
r
u
u
r
u
r
u
u
t
u
r
r
r
r
r
z
r
r
r
r
2. składowa
θ
( )
∂
∂
+
θ
∂
∂
+
θ
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
ρ
µ
+
θ
∂
∂
ρ
−
=
∂
∂
+
+
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
2
2
2
2
2
2
1
1
1
z
u
u
u
r
r
ru
r
r
p
r
f
z
u
u
r
u
u
u
r
u
r
u
u
t
u
r
z
r
r
3. składowa z
∂
∂
+
θ
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
ρ
µ
+
∂
∂
ρ
−
=
∂
∂
+
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
θ
2
2
2
2
2
1
1
1
z
u
u
r
r
u
r
r
r
z
p
f
z
u
u
u
r
u
r
u
u
t
u
z
z
z
z
z
z
z
z
r
z
Ćwiczenie nr 9, strona 5