Ćwiczenie nr 9
− „Całki równań Naviera−Stokesa”.
Równanie Naviera
−Stokesa
Równanie bilansu pędu płynu dla różniczkowej objętości dV płynu uzyskane na podstawie II zasady
dynamiki Newtona
τ
⋅
∇
+
ρ
=
∇
⋅
ρ
+
∂
∂
ρ
f
u
u
t
u
r
r
r
r
)
(
Akumulacja pędu + (Odpływ pędu – Dopływ pędu) = Siły masowe + Siły powierzchniowe
W płynach newtonowskich naprężenia lepkie są wprost proporcjonalne do szybkości odkształceń
kątowych (naprężenia styczne) i objętościowych (dodatkowe naprężenia normalne w płynach
ściśliwych). Współczynnikiem proporcjonalności jest lepkość dynamiczna,
µ. Tensor naprężenia
dla płynu newtonowskiego dany jest wzorem
D
u
p
µ
+
δ
∇
µ
−
δ
−
=
τ
2
3
2
r
,
gdzie
δ
to tensor jednostkowy o składowych równych
≠
=
=
δ
j
i
j
i
j
i
dla
0
dla
1
,
zaś
D to tensor szybkości deformacji o składowych równych
∂
∂
+
∂
∂
=
i
j
j
i
j
i
x
u
x
u
D
2
1
.
Stąd równanie Naviera
−Stokesa dla płynów newtonowskich przyjmuje postać
⋅
∇
+
∆
µ
+
−
ρ
=
∇
⋅
ρ
+
∂
∂
ρ
)
(
3
1
grad
)
(
u
grad
u
p
f
u
u
t
u
r
r
r
r
r
r
Równanie Naviera
−Stokesa wraz z równaniem ciągłości
0
)
(
=
ρ
⋅
∇
+
∂
ρ
∂
u
t
r
oraz warunkami początkowymi i brzegowymi tworzą układ równań, którego rozwiązanie pozwala
uzyskać czasoprzestrzenne rozkłady prędkości i ciśnienia płynu.
Dla płynów nieściśliwych równania ciągłości i Naviera
−Stokesa upraszczają się do postaci:
0
=
⋅
∇ ur
,
u
p
f
u
u
t
u
r
r
r
r
r
∆
µ
+
−
ρ
=
∇
⋅
ρ
+
∂
∂
ρ
grad
)
(
.
Analityczne rozwiązania powyższego układu równań można otrzymać dla układów o
nieskomplikowanej geometrii w warunkach przepływu laminarnego.
Metodyka rozwiązywania równania ciągłości i Naviera
−Stokesa.
1. Określić jakie czynniki wywołują przepływ np.:
a) różnica ciśnień pomiędzy wlotem i wylotem z układu (przepływ ciśnieniowy),
b) ruch jednej lub kilku ścian układu (przepływ wleczony Cuette’a),
c) siła grawitacji (przepływ grawitacyjny).
2. Wybrać odpowiedni układ współrzędnych i właściwą dla tego układu formę równań N-S np.:
a) przepływ płynu pomiędzy płaskimi płytami lub spływ po płaskiej płycie należy opisywać w
układzie współrzędnych prostokątnych,
b) przepływ przez rurę lub szczelinę pomiędzy współosiowymi cylindrami, spływ po
powierzchni cylindrycznej należy opisywać w układzie współrzędnych cylindrycznych.
3. Wyznaczyć ogólną postać zależności na składowe prędkości płynu i ciśnienie:
a) określić czy przepływ jest stacjonarny czy niestacjonarny,
b) określić czy płyn jest ściśliwy czy nieściśliwy,
Ćwiczenie nr 9, strona 1
c) określić przewidywany kierunek przepływu tzn. określić, które składowe wektora prędkości
są niezerowe,
d) określić, od których współrzędnych zależą niezerowe składowe prędkości i ciśnienie.
4. Sformułować warunki brzegowe i/lub warunki początkowe np.:
a) brak
poślizgu na powierzchni styku ciecz – ciało stałe,
b) brak
naprężeń stycznych na powierzchni swobodnej cieczy,
c) równość prędkości i naprężeń stycznych na powierzchni miedzyfazowej ciecz – ciecz,
d) warunek symetrii, np. gdy rozkład prędkości ma płaszczyznę symetrii, to w płaszczyźnie
symetrii zeruje się pochodna prędkości w kierunku prostopadłym do płaszczyzny,
e) płyn jest w stanie spoczynku na początku procesu lub porusza się z zadaną prędkością
początkową.
5. Uprościć i rozwiązać układ równań ciągłości i Naviera–Stokesa.
Zadanie 1
Rozważyć grawitacyjny spływ warstewki cieczy po płycie nachylonej do poziomu. Wyznaczyć:
a) rozkład prędkości,
b) rozkład naprężeń stycznych,
c) wydatek objętościowy cieczy na jednostkę szerokości płyty.
Zadanie 2
Zbadać przepływ ciśnieniowy w szczelinie pierścieniowej pomiędzy współosiowymi cylindrami.
Wyznaczyć:
a) rozkład prędkości,
b) rozkład naprężeń stycznych,
c) wydatek objętościowy.
Zadanie 3
Zanalizować przepływ wleczony w szczelinie pierścieniowej pomiędzy współosiowymi cylindrami;
które mogą obracać się z zadaną prędkością kątową wokół osi symetrii. Wyznaczyć:
a) rozkład prędkości,
b) rozkład naprężeń stycznych,
c) rozkład prędkości i naprężeń, gdy promień cylindra zewnętrznego dąży do nieskończoności,
Zadanie 4
Ciecz nieściśliwa i newtonowska o lepkości
µ=20 Pa·s i gęstości ρ=950 kg/m
3
jest transportowana
przez poziomy prostokątny kanał o szerokości B=0.1 m, wysokości H=0.008 m i długości L=1.2 m.
Przepływ płynu wywołuje ruch górnej ścianki kanału z prędkością v=0.009 m/s równolegle do
ścianek bocznych kanału. Zaniedbując wpływ efektów wlotowych i wylotowych należy:
a) wyznaczyć wydatek objętościowy cieczy transportowanej przez kanał przy braku ciśnienia
zwrotnego,
b) wyznaczyć ciśnienie zwrotne, przy którym wydatek objętościowy cieczy spadnie do zera,
c) sporządzić wykresy prędkości i naprężeń stycznych w przekroju poprzecznym kanału dla
przepływu opisanego w punktach a) i b).
Ciśnienie zwrotne to różnica pomiędzy ciśnieniem na wylocie i wlocie do kanału.
Ćwiczenie nr 9, strona 2
RÓWNANIA CIĄGŁOŚCI I NAVIERA-STOKESA
Ogólna postać równania ciągłości we współrzędnych prostokątnych.
(
)
(
)
(
)
0
=
⋅
ρ
∂
∂
+
⋅
ρ
∂
∂
+
⋅
ρ
∂
∂
+
∂
ρ
∂
z
y
x
u
z
u
y
u
x
t
Ogólna postać równania ruchu we współrzędnych prostokątnych.
1. składowa x
∂
τ
∂
+
∂
τ
∂
+
∂
τ
∂
ρ
+
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
y
x
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
zx
yx
xx
x
x
z
x
y
x
x
x
1
2. składowa y
∂
τ
∂
+
∂
τ
∂
+
∂
τ
∂
ρ
+
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
y
x
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
zy
yy
xy
y
y
z
y
y
y
x
y
1
3. składowa z
∂
τ
∂
+
∂
τ
∂
+
∂
τ
∂
ρ
+
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
y
x
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
zz
yz
xz
z
z
z
z
y
z
x
z
1
Składowe tensora naprężenia w płynach newtonowskich we współrzędnych prostokątnych.
1. naprężenia normalne
(
)
⋅
∇
−
∂
∂
µ
+
−
=
τ
u
x
u
p
x
xx
r
3
1
2
(
)
⋅
∇
−
∂
∂
µ
+
−
=
τ
u
y
u
p
y
yy
r
3
1
2
(
)
⋅
∇
−
∂
∂
µ
+
−
=
τ
u
z
u
p
z
zz
r
3
1
2
(
)
z
u
y
u
x
u
u
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
⋅
∇ r
2. naprężenia styczne
∂
∂
+
∂
∂
µ
=
τ
=
τ
x
u
y
u
y
x
yx
xy
∂
∂
+
∂
∂
µ
=
τ
=
τ
y
u
z
u
z
y
zy
yz
∂
∂
+
∂
∂
µ
=
τ
=
τ
z
u
x
u
x
z
xz
zx
Równanie ciągłości we współrzędnych prostokątnych dla płynu nieściśliwego (
ρ=const).
0
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
⋅
∇
z
u
y
u
x
u
u
z
y
x
r
Ćwiczenie nr 9, strona 3
Równanie ruchu we współrzędnych prostokątnych dla płynu newtonowskiego o stałej gęstości
i lepkości (
ρ=const i µ=const).
1. składowa x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
µ
+
∂
∂
ρ
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
1
z
u
y
u
x
u
x
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
x
x
x
x
x
z
x
y
x
x
x
2. składowa y
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
µ
+
∂
∂
ρ
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
1
z
u
y
u
x
u
y
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
y
y
y
y
y
z
y
y
y
x
y
3. składowa z
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
µ
+
∂
∂
ρ
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
1
z
u
y
u
x
u
z
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
z
z
z
z
z
z
z
y
z
x
z
Układ współrzędnych cylindrycznych.
z
y
x
z
r
u
r
u
u
z
1. transformacja współrzędnych przestrzennych
θ
⋅
=
cos
r
x
2
2
y
x
r
+
=
θ
⋅
=
sin
r
y
( )
x
y
tg
arc
=
θ
z
z
=
2. transformacja składowych prędkości
θ
⋅
θ
−
⋅
θ
=
u
u
u
r
x
sin
cos
θ
⋅
θ
+
⋅
θ
=
u
u
u
r
y
cos
sin
z
z
u
u
=
y
x
r
u
u
u
⋅
θ
+
⋅
θ
=
sin
cos
y
x
u
u
u
⋅
θ
+
⋅
θ
−
=
θ
cos
sin
z
z
u
u
=
Ogólna postać równania ciągłości we współrzędnych cylindrycznych.
(
)
(
)
(
)
0
1
1
=
⋅
ρ
∂
∂
+
⋅
ρ
θ
∂
∂
+
⋅
⋅
ρ
∂
∂
+
∂
ρ
∂
θ
z
r
u
z
u
r
u
r
r
r
t
Ogólna postać równania ruchu we współrzędnych cylindrycznych.
1. składowa promieniowa, r
(
)
∂
τ
∂
+
τ
−
θ
∂
τ
∂
+
τ
⋅
∂
∂
ρ
+
=
∂
∂
+
−
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
θθ
θ
θ
θ
z
r
r
r
r
r
f
z
u
u
r
u
u
r
u
r
u
u
t
u
rz
r
rr
r
r
z
r
r
r
r
1
1
1
2
2. składowa obwodowa,
θ
(
)
∂
τ
∂
+
θ
∂
τ
∂
+
τ
⋅
∂
∂
ρ
+
=
∂
∂
+
⋅
+
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
θ
θθ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
z
r
r
r
r
f
z
u
u
r
u
u
u
r
u
r
u
u
t
u
z
r
z
r
r
1
1
1
2
2
3. składowa osiowa, z
(
)
∂
τ
∂
+
θ
∂
τ
∂
+
τ
⋅
∂
∂
ρ
+
=
∂
∂
+
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
θ
θ
z
r
r
r
r
f
z
u
u
u
r
u
r
u
u
t
u
zz
z
rz
z
z
z
z
z
r
z
1
1
1
Ćwiczenie nr 9, strona 4
Składowe tensora naprężenia w płynach newtonowskich we współrzędnych cylindrycznych.
1. naprężenia normalne
(
)
⋅
∇
−
∂
∂
µ
+
−
=
τ
u
r
u
p
r
rr
r
3
1
2
(
)
⋅
∇
−
+
θ
∂
∂
µ
+
−
=
τ
θ
θθ
u
r
u
u
r
p
r
r
3
1
1
2
(
)
⋅
∇
−
∂
∂
µ
+
−
=
τ
u
z
u
p
z
zz
r
3
1
2
(
)
(
)
z
u
u
r
u
r
r
r
u
z
r
∂
∂
+
θ
∂
∂
+
⋅
∂
∂
⋅
=
⋅
∇
θ
1
1
r
2. naprężenia styczne
θ
∂
∂
+
∂
∂
µ
=
τ
=
τ
θ
θ
θ
r
r
r
u
r
r
u
r
r
1
θ
∂
∂
+
∂
∂
µ
=
τ
=
τ
θ
θ
θ
z
z
z
u
r
z
u
1
∂
∂
+
∂
∂
µ
=
τ
=
τ
z
u
r
u
r
z
rz
zr
Równanie ciągłości we współrzędnych cylindrycznych dla płynu nieściśliwego (
ρ=const).
(
)
0
1
1
=
∂
∂
+
θ
∂
∂
+
⋅
∂
∂
=
⋅
∇
θ
z
u
u
r
u
r
r
r
u
z
r
r
Równanie ruchu we współrzędnych cylindrycznych dla płynu newtonowskiego o stałej
gęstości i lepkości (
ρ=const i µ=const).
1. składowa r
( )
∂
∂
+
θ
∂
∂
−
θ
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
ρ
µ
+
∂
∂
ρ
−
=
∂
∂
+
−
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
θ
θ
θ
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
z
u
u
u
r
r
u
r
r
r
r
p
f
z
u
u
r
u
u
r
u
r
u
u
t
u
r
r
r
r
r
z
r
r
r
r
2. składowa
θ
( )
∂
∂
+
θ
∂
∂
+
θ
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
ρ
µ
+
θ
∂
∂
ρ
−
=
∂
∂
+
+
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
2
2
2
2
2
2
1
1
1
z
u
u
u
r
r
ru
r
r
p
r
f
z
u
u
r
u
u
u
r
u
r
u
u
t
u
r
z
r
r
3. składowa z
∂
∂
+
θ
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
ρ
µ
+
∂
∂
ρ
−
=
∂
∂
+
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
θ
2
2
2
2
2
1
1
1
z
u
u
r
r
u
r
r
r
z
p
f
z
u
u
u
r
u
r
u
u
t
u
z
z
z
z
z
z
z
z
r
z
Ćwiczenie nr 9, strona 5
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
10 Rownanie Naviera Stokesaid 1 Nieznany (2)
6 Równanie Naviera Stokesa str 46
10 Rownanie Naviera Stokesaid 1 Nieznany (2)
6 Równanie Naviera Stokesa str 46
81 Przalalizować przypadki szczególne rówanań Naviera Stokesa
HYDRAULIKA rownanie Bernoulliego (2)
Rozwiązywanie układów równań
38 Zawory hydrauliczne
Równanie Laplace’a
Rownanie Maxwella
Właściwości hydrauliczne
Rozwiązywanie układów równań metodą wyznaczników
więcej podobnych podstron