Krzywe Rotacji Galaktyk

Urszula N¦dzi«ska

∗

26 stycznia 2010

Streszczenie

Krzywymi rotacji galaktyk zwane s¡ wykresy funkcji v

c

(R)

- pr¦d-

ko±ci liniowej materii na galaktycznych orbitach w funkcji odlegªo±ci

od centrum galaktyki, gdzie zakªada si¦ ruch materii w galaktyce po

orbitach koªowych. Stanowi¡ one wa»ne narz¦dzie do badania rozkªadu

materii w Galaktyce Drogi Mlecznej, jak równie» w innych obser-

wowanych galaktykach. Krzywe rotacji galaktyki (KRG) wykre±la

si¦ na podstawie prostych rozwa»a« geometrycznych. Rozwa»aniom

tym zostaªy po±wi¦cone rozdziaªy 3.2 i 4, gdzie osobno omówiono

metody wykre±lania KRG dla naszej Galaktyki i dla pozostaªych obser-

wowanych galaktyk. KRG nabieraj¡ zycznego znaczenia w oparciu o

teori¦ potencjaªów grawitacyjnych pochodz¡cych od ró»nych rozkªadów

masy, wprowadzenie do tego tematu jest tre±ci¡ rozdziaªu 2. W prak-

tyce wykre±lanie KRG wymaga obserwacji prowadzonych, w pªaszczy¹nie

dysku co stanowi powa»ne wyzwanie ze wzgl¦du na ekstynkcj¦ ±wiatªa

gwiazd. Informacje na temat praktycznych zagadnie« zwi¡zanych z

wykre±laniem KRG odnale¹¢ mo»na w 3.1. Rozdziaª 3.3 zostaª oparty

na jednym z najnowszych artykuªów w dziedzinie KRG i stanowi przykªad

bada« prowadzonych dzisiaj, jednocze±nie rozdziaª ten jest dobrym

podsumowaniem i powtórk¡ cz¦±ci teoretycznej.

∗

E-mail: [e-mail]

1

Spis tre±ci

1 Wst¦p

3

2 Teoria potencjaªów a krzywe rotacji galaktyk.

3

2.1 Potencjaª masy punktowej i jednorodnej sfery. . . . . . . . . .

3

2.2 Potencjaªy wykªadnicze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.3 Potencjaªy ukªadów spªaszczonych. . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.4 Potencjaª dysku - dysk eksponencjalny. . . . . . . . . . . . . .

6

3 Krzywa rotacji Galaktyki Drogi Mlecznej.

9

3.1 Obserwacje prowadz¡ce do uzyskania krzywej rotacji Galak-

tyki. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.2 Ogólny wzór na rotacj¦ Galaktyki, metody wyznaczania KRG

na ró»nych przedziaªach R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 KRG Drogi Mlecznej jako superpozycja KRG grubego dysku,

cienkiego dysku i halo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Krzywe rotacji obserwowanych galaktyk.

18

4.1 Sposoby wykre±lania KRT dla obserwowanych galaktyk. . . . . 18

5 Podsumowanie.

19

Literatura

22

2

1 Wst¦p

Krzywe rotacji galaktyk to wykresy, przedstawiaj¡ce pr¦dko±¢ v

c

w ruchu po

okr¦gu masy testowej umieszczonej w punkcie galaktyki, w funkcji odlegªo±ci

od centrum galaktyki R. Wówczas pr¦dko±¢ v

c

powi¡zana jest z siª¡ do±rod-

kow¡ wzorem :

F

= mv

2

/R

⇒

v

2

=

1

m

F · R.

(1)

Dlatego aby postulowa¢ ksztaªty krzywych rotacji galaktyk, lub te» aby

wyci¡ga¢ istotne wnioski z danych obserwacyjnych trzeba zbada¢ siªy dziaªa-

j¡ce na poszczególne gwiazdy w galaktyce i na materi¦. Jak wiadomo, pole

grawitacyjne pochodz¡ce od ogromnej ilo±ci skupionych w obszarze galaktyki

gwiazd dogodnie jest opisa¢ wyidealizowanym, gªadkim potencjaªem Φ, który

speªnia równanie Poissona :

∇

2

Φ = 4πGρ,

(2)

gdzie ρ to g¦sto±¢ a G to staªa grawitacyjna. Znaj¡c potencjaª mo»na

wyliczy¢ siª¦:

F

= −m∇Φ.

(3)

A zatem, gdy rozkªad masy i potencjaª maj¡ symetri¦ sferyczn¡, otrzy-

mujemy, »e:

v

2

c

=|

−R

m

dΦ
dR

| ⇒ v

2

c

=| −R

dΦ
dR

|

(4)

Mówimy tu o masach testowych i zazwyczaj wstawiamy m = 1.

2 Teoria potencjaªów a krzywe rotacji galak-

tyk.

2.1 Potencjaª masy punktowej i jednorodnej sfery.

Potencjaª pochodz¡cy od masy punktowej ma posta¢

3

Φ = −GM/R

(5)

a zatem:

v

c

=

p

GM/R

(6)

Z twierdzenia Newtona wiemy, »e masa testowa umieszczona wewn¡trz

sferycznie symetrycznego rozkªady masy, nie czuje przyczynku do siªy od

warstw wzgl¦dem niej zewn¦trznych, za± oddziaªywaj¡cy na ni¡ potencjaª to

potencjaª od caªkowitej masy wzgl¦dem niej wewn¦trznej, umieszczonej w

centrum sfery.

A zatem, podstawiaj¡c do powy»szego wzoru na v

c

, mas¦: M =

4
3

πR

3

ρ

otrzymujemy v

c

=

q

4πGρ

3

R

. Niech nasz¡ najprymitywniejsz¡ prób¡ uzyska-

nia KRG b¦dzie wªa±nie model jednorodnej sfery patrz rys. (2).

2.2 Potencjaªy wykªadnicze.

Z obserwacji w dziedzinie optycznej wynika, »e rozkªady jasno±ci wielu galak-

tyk mo»na opisa¢ rozkªadami pot¦gowymi, co oznacza, »e nat¦»enie promieniowa-

nia galaktyki spada wraz z pewn¡ pot¦g¡ promienia. Poniewa» mo»na za-

ªo»y¢, »e g¦sto±¢ rozkªadu masy takiej galaktyki jest proporcjonalna do g¦s-

to±ci rozkªadu promieniowania, warto rozwa»y¢ potencjaªy generowanie przez

rozkªady masy o postaci:

ρ(r) = ρ

0



r

r

0



α

(7)

jedynie dla α < 3 caªka wyra»aj¡ca caªkowit¡ mas¦ takiego ukªadu jest

zbie»na:

M (r) =

ˆ

r

0

ρdV =

4πρr

α

0

3 − α

r

(3−α)

.

(8)

Z ogólnego dla rozkªadów sferycznych równania v

c

=

pGM/R

, pr¦dko±¢

w ruchu po okr¦gu dla cz¡stki umieszczonej w potencjale rozkªadu (7) mamy

dan¡ przez równanie:

v

2

c

=

4πGρ

0

r

α

0

3 − α

r

(2−α)

.

(9)

4

Z trzeciego rozdziaªu niniejszego opracowania mo»na dowiedzie¢ si¦, »e dla

KRG galaktyk spiralnych, wyznaczonych z obserwacji dla wi¦kszych R pr¦d-

ko±¢ v

c

utrzymuje si¦ na staªym poziomie i podlega jedynie niewielkim uk-

tuacjom, a zatem dla du»ych warto±ci promienia α ≈ 2, taki rozkªad masy

zwany jest izotermiczn¡ sfer¡ i ma on zastosowanie do modelowania galakty-

cznego halo (ciemnej materii), b¦dzie jeszcze o nim mowa w kolejnym para-

grae. Z drugiej strony, bezpo±rednio z obserwacji wynika, »e dla wielu galak-

tyk eliptycznych rozkªad nat¦»enia promieniowania zachowuje si¦ zgodnie z
prawem Hubble'a-Reynoldsa: I

H

=

I

0

R

2
H

(R+R

H

)

2

znalezienie g¦sto±ci promieniowa-

nia opowiadaj¡cej dokªadnie temu prolowi stanowi »mudne zadanie, a wi¦c

przyj¦to nast¦puj¡c¡ jej posta¢ 10

j

h

(r) = j

0

[1 + (

r

a

)

2

]

−

3
2

,

(10)

gdzie r

2

= R

2

+ z

2

, j

0

to g¦stos¢ w centrum, a to staªa wyra»aj¡ca rozmiar

galaktyki.

Mo»emy sprawdzi¢, przez scaªkowanie, »e j

h

generuje tzw. zmodykowany

prol Hubble' a :

I

h

(R) = 2

ˆ

∞

0

j(r)dz =

2j

0

a

1 + (R/a)

2

,

(11)

który równie dobrze opisuje g¦sto±¢ promieniowana galaktyki eliptycznej.

A zatem, je±li wyko»ystamy zaªo»enie, »e:ρ ∼ j

h

, to w przypadku galaktyk

eliptycznych otrzymamy α ≈ 3, co wynika z równa« (7) i (10).

2.3 Potencjaªy ukªadów spªaszczonych.

Istnieje ogólna teoria potencjaªów pochodz¡cych od elipsoidalnych rozkªadów

masy, prowadzi ona jednak do bardzo »mudnych rachunków wykorzystuje

funkcje specjalne oraz caªki eliptyczne. Wykªad na ten temat mo»na znale¹¢

w [1] W tym opracowaniu ogranicz¦ si¦ do prostego modelu zwanego od

nazwisk autorów potencjaªem Kuzmin'a-Plummer'a, dokªadniejsze wyprowadzenia

dost¦pne s¡ w tym samym ¹ródle.

Rozwa»my sferycznie symetryczny potencjaª:

Φ

P

= −

GM

√

r

2

+ b

2

,

(12)

w my±l twierdzenia Poissona jest on generowany przez rozkªad masy:

5

ρ =

1

4πG

∇

2

Φ

P

=

3M

4πb

3

!

1 +

r

2

b

2

!

−

5
2

.

(13)

We¹my teraz potencjaª o postaci:

Φ

K

(R, z) = −

GM

pR

2

+ (a+ | z |)

2

,

(14)

ten potencjaª generowany jest przez innitezymalnie pªaski (tj. powierzch-

niowy) rozkªad masy o postaci:

Σ

K

(R) =

aM

2π(R

2

+ a

2

)

3
2

.

(15)

Interesuj¡cy nas potencjaª od rozkªadu nieco spªaszczonego, b¦dzie pewnym

zªo»eniem tych dwóch potencjaªów:

Φ

M

(R, z) = −

GM

q

R

2

+ (a +

√

z

2

+ b

2

)

2

,

(16)

za± generuj¡cy go rozkªad masy, z równania Poissona ma posta¢ :

ρ

M

(R, z) = (

b

2

M

4π

)

aR

2

+ (a + 3

√

z

2

+ b

2

)(a +

√

z

2

+ b

2

)

2

[R

2

+ (a +

√

z

2

+ b

2

)

2

]

5
2

(z

2

+ b

2

)

3
2

.

(17)

Na rysunku (1) przedstawione s¡ kontury staªej g¦sto±ci w tym modelu.

2.4 Potencjaª dysku - dysk eksponencjalny.

W tym paragrae otrzymamy potencjaª pochodz¡cy od innitezymalnie cienkiego

dysku za pomoc¡ funkcji Bessela. Szukamy potencjaªu poza dyskiem, w ob-

szrze gdzie, ρ = 0, ponadto zakªadamy, »e ma on symetrie cylindryczn¡, a

zatem aby otrzyma¢ interesuj¡cy nas potencjaª oraz rozkªad masy generuj¡cy

go, rozwi¡»emy równanie Laplace'a we wspóªrz¦dnych cylindrycznych:

1

R

∂

∂R

(R

∂Φ

∂R

) +

∂

2

Φ

∂z

2

= 0.

(18)

Podstawiaj¡c do niego rozwi¡zanie o postaci

6

Rysunek 1: Linie staªej g¦sto±ci w rozkªadzie Kuzmin'a-Plummer'a. Rysunek

pochodzi z [1].

Φ(R, z) = J (R)Z(z),

(19)

otrzymamy równanie o rozseparowanych zmiennych, które rozwi¡zujemy stan-

dardow¡ metod¡:

d

2

Z

dz

2

− k

2

Z = 0.

(20)

Rozwi¡zanie równania (20) ma posta¢ Z(z)=Sexp(±kz).

1

R

d

dR

(R

dJ

dR

) + k

2

J (R) = 0

(21)

W równaniu (21) podstawiamy u = kR:

u

d

du



u

dJ

du



+ u

2

J = 0,

(22)

i zauwa»amy, »e spo±ród mo»liwych rozwi¡za« interesuje nas to, speªniaj¡ce

odpowiedni warunek brzegowy - jest sko«czone na u = 0. Tak¡ funkcj¦

nazywamy cylindryczn¡ funkcj¡ Bessel'a zerowego rz¦du i oznaczamy przez
J

0

. A zatem nasze rozwi¡zanie równiania Laplace'a przybiera posta¢:

7

Φ

±

(R, z) = exp(±kz)J

0

(kR).

(23)

Aby speªnione byªy warunki brzegowe wªa±ciwe dla potencjaªu tj. znikanie

potencjaªu w niesko«czono±ci, wybieramy rozwi¡zanie Φ

−

dla z > 0 iΦ

+

dla

z < 0

.Rozwi¡zanie to nie speªnia równania Laplace'a na pªaszczy¹nie z = 0,

wykorzystuj¡c twierdzenie Gaussa mo»na znale¹¢ powierzchniowy rozkªad

g¦sto±ci powoduj¡cy t¡ nieci¡gªo±¢:

Σ

k

(R) = −

k

2πG

J

0

(kR).

(24)

Teraz, dzi¦ki ostatnim dwóm równaniom mo»emy otrzyma¢ potencjaª

pochodz¡cy od dysku od jakiejkolwiek g¦sto±ci powierzchniowej Σ. Je±li zna-

jdziemy funkcj¦ S(k) speªniaj¡c¡:

Σ(R) =

ˆ

∞

0

S(k)Σ

k

(R)dk = −

1

2πG

ˆ

∞

0

S

k

J

0

(kR)kdk,

(25)

otrzymamy równie», »e:

Φ(R, z) =

ˆ

∞

0

S(k)Φ

k

(R, z)dk =

ˆ

∞

0

S(k)J

0

(kR)e

−k|z|

dk.

(26)

Oznacza to, »e S(k) jest transformacj¡ Henkel'a g¦sto±ci Σ. Transformacja

Henkel'a posiada transformacj¦ odwrotn¡:

S(k) = −2πG

ˆ

∞

0

J

0

(kR)Σ(R)RdR,

(27)

co pozwala wyeliminowa¢ S(k) z równania na potencjaª :

Φ(R, z) = −2πG

ˆ

∞

0

dke

−k|z|

J

0

(kR)

ˆ

∞

0

Σ(R

0

)J

0

(kR

0

)R

0

dR

0

.

(28)

Interesuj¡c¡ nas wielko±ci¡ jest pr¦dko±¢ liniowa pr¦dko±¢ na orbicie koªowej.

Z ogólnego równania (4) otrzymujemy:

v

2

c

= R(

∂Φ

∂R

)

z=0

= −R

ˆ

∞

0

S(k)J

1

(kR)kdk.

(29)

W rozdziale (3.3) tego eseju, pokazane zostaªo jak nasze teoretyczne

rozwa»ania na temat ró»norakich potencjaªów znajduj¡ zastosowanie w pro-

fesjonalnych badaniach. Autorzy artykuªu [5] na temat KRG Drogi Mlecznej

8

dopasowali szereg modeli do KRG naszej Galaktyki, w tym izotermiczne halo

oraz dysk o eksponencjalnym rozkªadzie masy, dlatego teraz jako przykªad za-

stosowania wzorów (28) i (29) prze±ledzimy wªa±nie eksponencjalny dysk. Do
równania (27) podstawimy powierzchniowy rozkªad o postaci Σ(R) = Σ

0

e

−

R

Rd

otrzymujemy funkcj¦ S(k):

S(k) = −

2πGΣ

0

R

2
d

[1 + (kR

d

)

2

]

3
2

,

(30)

oraz potencjaª dysku eksponencjalnego:

Φ(R, z) = −2πGΣ

0

R

2
d

ˆ

∞

0

J

0

(kR)e

−k|z|

[1 + (kR

d

)

2

]

3
2

dk.

(31)

Dla z=0 otrzymujemy (32).

Φ(R, 0) = −πGΣ

0

R[I

0

(y)K

1

(y) − I

1

(y)K

0

(y)], gdzie : y =

R

2R

d

,

(32)

gdzie I

i

oraz K

i

s¡ zmodykowanymi funkcjami Bessel'a pierwszego i drugiego

rodzaju a y =

R

2R

d

.

v

2

c

(R) = R

∂Φ

∂R

= 4πGΣ

0

R

d

y

2

[I

0

(y)K

0

(y) − I

0

K

0

(y)].

(33)

Równanie (33) wyra»a poszukiwan¡ przez nas pr¦dko±¢ liniowa na orbicie

koªowej. Wykres tej funkcji widnieje na rysunku 2, dla porównania przery-

wan¡ lini¡ zaznaczono KRG o rozkªadzie jednorodnej sfery o tej samej masie

co dysk.

3 Krzywa rotacji Galaktyki Drogi Mlecznej.

3.1 Obserwacje prowadz¡ce do uzyskania krzywej ro-

tacji Galaktyki.

Z dwóch przyczyn obserwacje gwiazd w zakresie optycznym nie s¡ najlep-

szym narz¦dziem do pomiaru odlegªo±ci oraz pr¦dko±ci radialnych potrzeb-

nych do wyznaczenia KRG. Po pierwsze ±wiatªo gwiazd podlega silnej ek-

stynkcji wewn¡trz Galaktyki, po drugie nale»y pami¦ta¢, »e z teoretycznego

9

Rysunek 2: KRG dysku - linia ci¡gªa oraz jednorodnej sfery - linia przery-

wana. Rysunek pochodzi z [1].

punktu widzenia KRG wykre±lamy przy zaªo»eniu, »e materia obiega centrum

Galaktyki po orbicie koªowej. Cho¢ rozwa»amy ruch gwiazd w Galaktyce jako

ruch w wyidealizowanym, wygªadzonym potencjale, jest to jednak tylko pier-

wsze przybli»enie, je±li doda¢ do niego zaburzaj¡ce czªony pochodz¡ce od

najbli»szych "nierównomierno±ci" w rozkªadzie masy w Galaktyce okazuje

si¦ »e pocz¡tkowo "koªowe" orbity gwiazd cz¦sto przybieraj¡ ksztaªty elip-

tyczne i "pofalowane", w praktyce oznacza to, »e w zadanej obj¦to±ci masy

galaktyki napotka¢ mo»na gwiazdy o znacz¡co ró»nych wªa±ciwo±ciach kine-

tycznych, wówczas dane do KRG mo»na uzyska¢ jedynie u±redniaj¡c pr¦d-

ko±ci wewn¡trz takich testowych obj¦to±ci Galaktyki. Trudno jest jednak

udowodni¢, »e ±rednia z kilku lub kilkunastu pr¦dko±civ

c

gwiazd poªo»onych

na ró»nych, zaburzonych orbitach, da akurat w wyniku pr¦dko±ci v

c

, reprezen-

tacyjne dla danego R. Pomimo to, przy pewnych zaªo»eniach do wyznaczania

"odcinków" KGR wykorzystywane byªy z pewnym powodzeniem obserwacje

gwiazd, o czym b¦dzie mowa w kolejnych cz¦±ciach. Dogodnym, w za-

sadzie wolnym od powy»szych efektów, narz¦dziem do wyznaczania pr¦dko±ci

koªowych materii w galaktyce jest udost¦pniona dzi¦ki rozwojowi radioas-

tronomii linia neutralnego wodoru na 21 cm. Ze wzgl¦du na znaczn¡ dªu-

go±¢ fali, materia wewn¡trz Galaktyki jest dla niej praktycznie prze¹roczysta,

dodatkowo pochodzi ona nie od pojedynczych gwiazd lecz od ogromnych

obªoków neutralnego wodoru - ich znaczny przekrój czynny na zderzenia

10

Rysunek 3: Ruch gwiazd po orbitach koªowych w Galaktyce.

powoduje, »e obªoki wodoru rotuj¡ wokóª galaktyki -zgodnie z zaªo»eniem-

na orbitach niemal dokªadnie koªowych.

3.2 Ogólny wzór na rotacj¦ Galaktyki, metody wyz-

naczania KRG na ró»nych przedziaªach R.

Podobnie jak inne galaktyki spiralne, równie» Galaktyka Drogi Mlecznej ro-

tuje w sposób ró»nicowy, oznacza to nie tylko, »e na ró»nych odlegªo±ciach od

centrum Galaktyki materia posiada ró»ne pr¦dko±ci v

c

, ale tak»e, »e w kole-

jnych przedziaªach R przebieg krzywej v

c

(R)

podlega ró»nym prawom. Na

przykªad dla najbardziej wewn¦trznych cz¦±ci dysku (R < 3kpc) KRG przy-

pomina krzyw¡ rotacji ciaªa sztywnego, z pr¦dko±ci¡ v

c

wzrastaj¡c¡ wraz z

promieniem, w rejonie "grubego dysku" mamy do czynienia z rotacj¡ w przy-

bli»eniu keplerowsk¡- v

c

maleje wraz z promieniem, a» do osi¡gni¦cia pewnej

staªej warto±ci, w najdalej zbadanych rejonach KRG nadal nie wida¢ ±ladu

ponownego "opadania" wykresu, za± v

c

(R)

utrzymuje si¦ na ±rednim staªym

poziomie, nie licz¡c drobnych uktuacji (patrz rys.(4)).

Aby zrozumie¢ opis ruchu materii po orbitach koªowych w galaktyce, z

punktu widzenia Sªo«ca najwygodniej posªu»y¢ si¦ rysunkiem 3.

Z rysunku ªatwo odczyta¢, »e pr¦dko±ci radialna i tangencjonalna gwiazdy,

11

widziane przez ziemskiego obserwatora wyra»aj¡ si¦ nast¦puj¡cymi wzorami:

v

r

= Θ cos α − Θ

0

sin l,

(34)

v

t

= Θ sin α − Θ

0

cos l.

(35)

Posªuguj¡c si¦ wzorami sinusów i kosinusów:

sin l

R

=

sin(90 + α)

R

0

=

cos(α)

R

0

,

(36)

R sin(α) = R

0

cos(l) − d,

(37)

mo»na przedstawi¢ powy»sze w bardziej pouczaj¡cej postaci:

v

r

= (

ΘR

0

R

) sin l − Θ

0

sin l = (ω − ω

0

)R

0

sin l,

(38)

v

t

= (

Θ

R

)(R

0

cos l − d) − Θ

0

cos l = (ω − ω

0

)R

0

cos l − ωd,

(39)

gdzie ω

0

to pr¦dko±¢ k¡towa Sªo«ca w ruchu po okr¦gu wokóª centrum Galak-

tyki a ω to pr¦dko±¢ k¡towa gwiazdy, Θ

0

i Θ to odpowiednio pr¦dko±ci liniowe

Sªo«ca i gwiazdy.

Ten sam rysunek(rys.3), (zaznaczone na czerwono elementy) pokazuje

ide¦ wyznaczania v

c

, w oparciu o bezpo±rednio obserwowalne warto±ci v

r

.

Siª¡ tej metody jest fakt, »e dla l zawartego w kwadrancie pierwszym i

drugim (patrz rys.) do wyznaczenia v

c

nie potrzebujemy ju» dodatkowej

informacji o odlegªo±ci gwiazdy (a raczej obªoku HI). Trzeba jedynie zaªo»y¢,

»e ω(R) jest funkcj¡ monotonicznie malej¡c¡ w przedziale R < R

0

(rysunek 4

dowodzi sªuszno±ci tego zaªo»enia). Nast¦pnie wybierzmy pewne, ustalone l

wewn¡trz kwadrantu I i powiedzmy, »e zwracamy w t¦ stron¦ radioteleskop.

Dociera do nas promieniowanie od obªoków o ró»nych odlegªo±ciach d od

Sªo«ca i R od centrum Galaktyki. W my±l naszego zaªo»enia o malej¡cej

wraz z promieniem pr¦dko±ci k¡towej widzimy materi¦ uciekaj¡c¡ od nas,

co wi¦cej materia kr¡»¡ca po orbitach bli»szych centrum Galaktyki ucieka od

nas szybciej ni» materia na orbitach o nieco wi¦kszym R. Na prostej wyznac-

zonej przez wybór l znajduje si¦ charakterystyczny punkt - zaznaczony na rys

kolorem czerwonym - jest to tak zwany punkt tangencjonalny. Jego znaczenie

jest nast¦puj¡ce: materia kr¡»¡ca po orbicie przecinaj¡cej ten punkt (który,

12

Rysunek 4: KRG Drogi Mlecznej ze zunikowanych danych. Rysunek

pochodzi z [5].

oczywi±cie, jest przypisany danemu ustalonemu l) ucieka od nas najszybciej-

zarówno materia oddalona o d < d

t

jak i d > d

t

od Sªo«ca ucieka od nas

wolniej. Jednocze±nie, dla tego punktu zachodzi:

R = R − T = R

0

sin l,

(40)

v

c

= v

r

.

(41)

A zatem wybieraj¡c ro»ne l z zakresu kwadrantu I otrzymujemy ró»ne

punkty tangencjonalne, a dla nich z powy»szych wzorów jednoznacznie wyz-

naczamy v

c

i R.

Dyskusja dla kwadrantu II jest identyczna, z tym »e mamy do czynienia

z materi¡ przybli»aj¡c¡ si¦ do nas najpierw coraz szybciej, a poza punktem

tangencjonalnym coraz wolniej. Niestety, w pozostaªych dwóch kwadrantach

metoda ta, z przyczyn geometrycznych, nie ma zastosowania i potrzebne s¡

dodatkowe dane co do odlegªo±ci obserwowanych gwiazd i obªoków HII.

3.3 KRG Drogi Mlecznej jako superpozycja KRG grubego

dysku, cienkiego dysku i halo.

Niniejszy rozdziaª jest streszczeniem artykuªu [5]. Autorzy wykre±lili KRG

dla naszej Galaktyki wykorzystuj¡c wszystkie dotychczasowe dane uzyskany

z ró»nych obserwacji na przestrzeni wielu lat. Jak wiadomo z poprzednich

13

cz¦±ci tego opracowania do wyliczenia v

c

z obserwacji konieczne jest ustalenie

dwóch parametrów - odlegªo±ci Sªo«ca od centrum Galaktyki oraz pr¦dko±ci

Sªo«ca (R

0

, v

0

)

. Autorzy zunikowali wszystkie dost¦pne dane, powtarza-

j¡c rachunki dla staªych: R

0

= 8.0kpc

oraz v

0

= 200km/s

. W wyniku

otrzymali KRG widoczny na rys. 4. Chc¡c wyznaczy¢ rozkªad masy oraz

ksztaªt Galaktyki autorzy dokonali analizy swego wykresu. Dopasowanie

trzech gªównych, standardowych modeli - tj. modelu centralnego zgrubi-

enia de Vaucouleurs (ang. central bulge), modelu eksponencjalnego dysku

oraz semi-izotermalnego halo pozwoliªo z grubsza oszacowa¢ caªkowite masy

i promienie niektórych elementów - patrz rys. 8.

ρ(r) =

1

π

ˆ

∞

r

dΣ

b

(x)

dx

1

√

x

2

− r

2

dx,

(42)

gdzie:

Σ

b

(r) = Σ

be

exp



−κ

 r

R

b



1
4

− 1



gdzie : Σ

be

= 2142.0

κ = 7.6695.

(43)

Równanie (42) to postulowany rozkªad g¦sto±ci w centralnym zgrubieniu

wraz z dopasowany mymi parametrami. Galaktyczny dysk byª modelowany

rozkªadem masy o postaci:

Σ

d

(r) − Σ

dc

exp(−r/R

d

) + ∆,

(44)

gdzie ∆ stanowi zaburzaj¦ce poprawki, o których za chwil¦. Zastosowano te»

model semi-izotermicznego halo, o którym mo»na wi¦cej przeczyta¢ w [2]:

ρ

h

(r) = ρ

hc



1 +



r

R

h



2



−1

.

(45)

Okazaªo si¦ »e pewne charakterystyczne cechy obserwowanego KRG nie

poddaj¡ si¦ próbom itowania jedynie trzech gªównych modeli. Chodzi mi-

anowicie o zagª¦bienia KRG na okoªo r = 3kpc oraz r = 9kpc. W swym

artykule, autorzy rozwa»aj¡ mo»liwe powody istnienia tych zagª¦bie«. Nale»¡

do nich - spiralne ramiona Galaktyki, poprzeczka oraz pier±cienie. Wszys-

tkie trzy elementy zostaªy uwzgl¦dnione jako perturbacje dysku - ∆. Spi-

ralne ramiona niew¡tpliwie istniej¡ w naszej Galaktyce jednak chocia» ich

uwzgl¦dnienie prowadzi do pewnego pofalowania KRG, powstaªa krzywa

nie pokrywa si¦ z obserwacjami - patrz rys.5.

14

Rysunek 5: Próba modelowania KRG Drogo Mlecznej przez centralne zgru-

bienie, dysk z ramionami spiralnymi i halo. Rysunek pochdzi z [5].

Autorzy ostatecznie przychylaj¡ si¦ do opinii »e wewn¦trzna dolinka KRG

na r = 3kpc zwi¡zana jest jest z istnieniem poprzeczki (cho¢ zaznaczaj¡,

»e towanie poprzeczki nie doprowadziªo do uzyskania satysfakcjonuj¡cej

amplitudy dolinki). Za najbardziej zaskakuj¡c¡ cech¦ KRG Galaktyki uz-

nawana jest dolinka na r = 9 kpc, autorzy artykuªu [5] postuluj¡ istnienie

tzw. wielkiego pier±cienia czyli lokalnego zag¦szczenia materii na okoªo
r = 11kpc

, patrz rys. 6.

Na rysunku 7 widoczny jest efekt towania obserwowanego KRG, przez

gªówne elementy oraz dwa pier±cienie (wewnetrzny pier±cie« zamiast poprzeczki)

cho¢ efekty wydaje si¦ by¢ bardzo zadowalaj¡cy, autorzy rezygnuj¡ z kon-

cepcji wewn¦trznego pier±cienia, by¢ mo»e dlatego »e poprzeczki obserwuje

si¦ nagminnie w innych galaktykach, pier±cienie za± rzadko. W oryginalnym

artykule wspomniana zostaªa te» teoria, i» za dolink¦ odpowiada charak-

terystyczny sposób poª¡czenia KRG dysku i halo (gdzie nie potrzebne jest

istnienie dodatkowych lokalnych struktur w dysku). Argumentem przeciw

tej ostatniej hipotezie jest postulowany ci¡gªy rozkªad masy.

15

Rysunek 6: G¦sto±¢ elementów modelu: górna przerywana linia - suma

wszystkich skªadników, linia przerywana o dªugich kreskach - halo, linia

prosta dysk, linia pofalowana - dysk + dwa pier±cienie, linia znikaj¡ca przy

R=5 - centralne zgrubienie. Rysunek pochodzi z [5].

Rysunek 7: Próba modelowania KRG Drogi Mlecznej przez centralne zgru-

bienie, halo oraz dysk z dwoma pier±cieniami. Rysunek pochodzi z [5].

16

Rysunek 8: Zestawienie parametrów Galaktyki otrzymanych z KRG. Tabela

pochodzi z [5]

17

Rysunek 9: Ukªad odniesienia obserwowanej galaktyki zrzutowany na

pªaszczyzne nieba. Rysunek pochodzi z [3].

4 Krzywe rotacji obserwowanych galaktyk.

4.1 Sposoby wykre±lania KRT dla obserwowanych galak-

tyk.

Dzisiaj do bada« KRG mo»na wykorzystywa¢ dane zarówno z zakresu optycznego-

linie absorpcyjne gwiazd, emisyjne obszarów HII jak i dane radioastronomiczne

z λ = 21cm. Przed powstaniem VLA (Very Large Array) niska zdolno±¢

rozdzielcza pojedynczych anten powodowaªa znaczne znieksztaªcone mapy

pr¦dko±ci radialnych.

Nie wszystkie galaktyki spiralne da si¦ obserwowa¢. Konieczne jest by k¡t

inklinacji pªaszczyzny dysku galaktyki do pªaszczyzny nieba byª w przedziale

(0-90). Sytuacj¦ ilustruje rys.

Na podstawie geometrycznych rozwa»a« otrzymujemy nast¦puj¡cy wzór

18

na pr¦dko±¢ radialn¡:

v

r

(ρ, φ) = v

0

+ Π(R, θ) sin θ sin i + Θ(R, θ) cos θ sin i + Z(R, θ) cos i,

(46)

gdzie Π, Θ to pr¦dko±ci radialna i tangencjonalna obiektu w pªaszczy¹nie

galaktyki a Z to ruch w pªaszczy¹nie prostopadªej do dysku. Wyznaczenie

punktów KRG z danych optycznych przebiega w prosty sposób: K¡t inkli-

nacji otrzymujemy ze wzoru i = cos

−1

(b/a)

, gdzie a i b to póªosie obrazu

galaktyki na niebie. Poniewa» mo»emy uzna¢, »e rotcja to dominuj¡cy ruch

wyst¦puj¡cy w galaktykach spiralnych zakªadamy, »eΠ = Z = 0 i przeksztaª-

caj¡c wzór (46), otrzymujemy:

Θ(R) =

v

r

− v

0

cos θ sin i

.

(47)

Prowadz¡c obserwacje w dziedzinie radiowej na λ = 21cm mo»na uzyska¢

mapy v

r

dla caªych galaktyk. Przykªady takich map widoczne s¡ na Rysunku

10. Rysunek 11 ilustruje zale»no±¢ pomi¦dzy obserwowanymi rozkªadami

pr¦dko±ci radialnych a caªymi KRG galaktyk spiralnych. Na rysunku widz-

imy, »e w rejonie j¡dra galaktyki linie staªej pr¦dko±ci radialnej s¡ liniami

prostymi, maksimum KRG koresponduje z zamykaj¡cymi si¦ liniami staªej

pr¦dko±ci radialnej, a je±li na mapie v

r

nie obserwuje si¦ takich zamkni¦tych

konturów, oznacza to, »e KRG nie opada wraz z rosn¡cym R, jest funkcj¡

monotoniczne rosn¡c¡ lub staª¡. Oczywi±cie równie» dla obserwowanych

galaktyk mo»na, i prowadzi si¦ badania w oparciu KRG. Podobnie jak opisano

w rozdziale 3.3 modeluje si¦ rozklad materii, ksztaªty i uªo»enie galaktyk

wzgl¦dem obserwatora, zagadkowym tematem odkrytym dzi¦ki KRG po-

zostaje tzw. ciemna materia.

5 Podsumowanie.

Powstawanie oraz ewolucja galaktyk to tematy wielu dzisiejszych bada« artykuªów

naukowych. W±ród wielu technik obserwacyjnych, obserwacje radiowe ju» od

lat 30-tych ubiegªego stulecia odgrywaj¡ ogromn¡ rol¦, poniewa» neutralny

wodór posiadaj¡cy w tej dziedzinie lini¦ emisyjn¡ wypeªnia wi¦kszo±¢ galak-

tyk. To wªa±nie dzi¦ki temu narz¦dziu otrzymuje si¦ KRG naszej, oraz in-

nych obserwowanych galaktyk. Dzi¦ki KRG, na drodze prostych i logicznych

przeksztaªce« geometrycznych, i bez u»ycia nadmiaru dodatkowych zaªo»e«

19

Rysunek 10: Mapa galaktyki NGC5033. Biaªe linie oznaczaj¡ poziomice

staªej pr¦dko±ci radialnej. Rysunek pochodzi z [3]

Rysunek 11: Modelowa KRG i koresponduj¡cy do niej rozkªad pr¦dko±ci

radialnych w obrazie galaktyki. Rysunek pochodzi z [3].

20

i przybli»e«, obejrze¢ mo»na (przez modelowanie) rozkªad materii w danej

galaktyce. Co szczególnie wa»ne, dzi¦ki KRG obserwuje si¦ rozkªad wszelkiej

materii, a nie tylko tej ±wiec¡cej. Caªkiem niedawno, bo w latach 80 zeszªego

stulecia astronomowie zdali sobie spraw¦, »e we wszech±wiecie musi istnie¢

znacznie wi¦cej materii ni» obserwujemy, do takich przeªomowych wniosków

dotarli wªa±nie studiuj¡c KRG. Ten esej wprowadza podstawowe zagadnienia,

praktyczne i teoretyczne, zwi¡zane z KRG. Licznych przykªadów zastosowa«

narz¦dzi, opisanych w eseju mo»na szuka¢ w±ród najnowszych artykuªów w

bazach takich jak ADS lub Arxiv.

21

Literatura

[1] J. Binney and S. Tremaine. Galactic dynamics. Princeton Univ Pr, 1987.

[2] KK Kwee, CA Muller, and G. Westerhout. The rotation of the inner

parts of the Galactic system. Bulletin of the Astronomical Institutes of

the Netherlands, 12:211222, 1954.

[3] D. Mihalas and J. Binney. Galactic astronomy: Structure and kinematics.

1981.

[4] E. Noordermeer. The rotation curves of attened Sersic bulges. Monthly

Notices of the Royal Astronomical Society, 385(3):13591364, 2008.

[5] Y. Sofue, M. Honma, and T. Omodaka. Unied Rotation Curve of the

Galaxy Decomposition into de Vaucouleurs Bulge, Disk, Dark Halo, and

the 9-kpc Rotation Dip. Publications of the Astronomical Society of

Japan, 61:227, 2009.

22