A. Zaborski, Krzywe interakcji M – N

Krzywe interakcji N- M

No no przekroju zginanego i rozci ganego
Je eli w przekroju działa moment zginaj cy oraz siła osiowa, to osi gni cie stanu granicznego

no no ci mo e by zobrazowane w układzie sił przekrojowych N - M jako pewna krzywa

zamkni ta. Krzywe takie, dla stanu granicznej no no ci spr ystej oraz stanu granicznej

no no ci plastycznej, nazywamy krzywymi interakcji albo krzywymi no no ci. Punktem

wyj cia konstrukcji krzywych interakcji jest rozkład napr enia normalnego w przekroju dla

odpowiedniego stanu granicznego. Ka demu z mo liwych rozkładów odpowiada punkt (N,

M) na krzywej interakcji, okre lany na podstawie warunków równowa no ci (całkowania

napr e w przekroju).

Charakterystyczn wła ciwo ci krzywych interakcji jest to, e s zawsze to krzywe wypukłe,

o czym mo emy si przekona na przytoczonych poni ej przykładach.

Obszar wewn trzny, ograniczony czterema odcinkami prostymi, stanowi obszar pracy

spr ystej przekroju. Brzeg tego obszaru odpowiada no no ci granicznej spr ystej. Obszar

przylegaj cy do niego okre la zakres spr ysto-plastycznej pracy przekroju, a jego brzeg

odpowiada osi gni ciu no no ci granicznej plastycznej. Obwiednia ta determinuje zakres

mo liwych rozwi za , tj. punkty na zewn trz jej s statycznie niedopuszczalne (dla przyj tej

schematyzacji Prandtla). Oznacza to e napr enia, równowa ne takim warto ciom sił

przekrojowych, musiałyby przekracza granic plastyczno ci. Jak wida z ogólnej postaci

równa , obwiednia dla granicznej no no ci plastycznej jest, generalnie, lini krzyw .

Zakres spr ysty
W zakresie spr ystym, którego przypadkiem granicznym jest stan granicznej no no ci

spr ystej, obowi zuje zasada superpozycji, a wi c napr enia mog zosta wyra one

bezpo rednio poprzez siły przekrojowe:

skr

y

x

z

I

M

F

N +

=

σ

,

gdzie przez z

skr

oznaczono poło enie włókien skrajnych (górnych i dolnych). Jak wida ze

wzoru, zale no pomi dzy siłami przekrojowymi jest liniowa. Do narysowania krzywej

interakcji w stanie granicznym no no ci spr ystej wystarcza wi c znajomo 4 punktów

"skrajnych": dla ekstremalnej siły podłu nej i ekstremalnego momentu zginaj cego, zarówno

dodatnich jak i ujemnych.

Łatwo wywnioskowa , e ekstremalna siła podłu na zostanie osi gni ta dla jednorodnego

pola napr enia odpowiadaj cemu prostemu rozci ganiu lub ciskaniu, czyli dla pełnego

uplastycznienia przekroju i M = 0.

Dla jakiego rozkładu napr e wyst pi ekstremalny moment zginaj cy? Zapisuj c liniowy

rozkład napr e w ogólnej postaci i obliczaj c z warunku równowa no ci moment

zginaj cy:

=

+

=

+

=

=

+

=

F

F

F

y

y

y

x

x

bI

bI

aS

dF

z

b

zdF

a

zdF

M

bz

a

2

σ

σ

,

dochodzimy do wniosku, e ekstremalny moment wyst pi dla ekstremalnej warto ci

parametru b. Kiedy to b dzie miało miejsce? Odpowied na to pytanie jest ju

natychmiastowa: dla jednoczesnego uplastycznienia włókien skrajnych górnych i dolnych,

przy przeciwnych znakach i osi oboj tnej w połowie wysoko ci przekroju.

Zakres spr ysto-plastyczny
W zakresie spr ysto-plastycznym, którego granicznym przypadkiem jest stan granicznej

no no ci plastycznej, nie obowi zuje zasada superpozycji napr e od sił przekrojowych N i

A. Zaborski, Krzywe interakcji M – N

M

. Wiemy jedynie, e w stanie granicznym no no ci plastycznej, rozkład napr e jest

odcinkami stały (prostok tny):

<

>

±

=

0

0

dla

,

dla

,

z

z

R

z

z

R

e

e

x

σ

,

a zale no pomi dzy siłami przekrojowymi jest, ogólnie, nieliniowa:

(

)

(

)

−

±

=

=

−

±

=

=

F

y

y

e

x

F

e

x

S

S

R

zdF

M

F

F

R

dF

N

2

1

2

1

,

σ

σ

.

Z pierwszego z równa powy szego układu wynika e, podobnie jak w stanie granicznym

no no ci spr ystej, ekstremalna siła podłu na zostanie osi gni ta dla prostego rozci gania

albo ciskania. O ekstremalnej warto ci momentu zginaj cego nic nie wiadomo, z uwagi na

dowolno kształtu przekroju. Warto t mo emy, po wykonaniu całkowania warunków

równowa no ci, okre li poszukuj c poło enia osi oboj tnej dla którego warto momentu

b dzie ekstremalna:

N

M

z

z

M

ekstr

,

0

)

(

0

0

=

∂

∂

.

Przykład - Krzywe interakcji dla trójk ta równoramiennego b ×××× h

Zakres spr ysty
Rozkład napr e normalnych jest dany wzorem:

z

bh

M

bh

N

x

2

36

2 +

=

σ

.

Obliczamy punkty skrajne dla ekstremalnych warto ci siły podłu nej i momentu zginaj cego:

- dla prostego rozci gania (M = 0):

,

0

,

2

1

=

=

=

M

bhR

N

R

e

e

x

σ

albo dla prostego ciskania:

,

0

,

2

1

=

−

=

−

=

M

bhR

N

R

e

e

x

σ

jest to jednocze nie ekstremalna siła podłu na, jaka mo e by przenoszona przez

przekrój.

- jednoczesne uplastycznienie skrajnych włókien, o znakach napr e przeciwnych,

odpowiadaj ce ekstremalnemu momentowi zginaj cemu:

,

,

,

)

(

,

)

(

2

18

1

6

1

3

1

3

2

e

e

e

x

e

x

R

bh

M

bhR

N

R

h

z

R

h

z

−

=

=

−

=

−

=

=

=

σ

σ

albo:

,

,

,

)

(

,

)

(

2

18

1

6

1

3

1

3

2

e

e

e

x

e

x

R

bh

M

bhR

N

R

h

z

R

h

z

=

−

=

=

−

=

−

=

=

σ

σ

Zakres spr ysto-plastyczny
Rozkład napr e normalnych jest prostok tny:

Z uwagi na symetri przekroju i napr e , obliczenia przeprowadzamy dla połowy jego

szeroko ci, danej równaniem:

3

2

)

(

2

1

b

z

h

b

z

b

+

−

=

.

Warunki równowa no ci:

−

−

=

=

+

−

=

−

36

1

3

2

2

2

2

0

2

2

0

)

(

0

)

(

0

3

2

1

3

2

2

1

h

z

h

z

bhR

dy

dz

dy

dz

R

N

e

z

b

h

z

z

b

z

h

e

ob

ob

,

+

−

=

=

+

−

=

−

81

4

3

2

3

2

2

2

2

0

3

3

0

2

)

(

0

)

(

0

3

2

1

3

2

2

1

h

z

h

z

R

bh

dy

zdz

dy

zdz

R

M

e

z

b

h

z

z

b

z

h

e

ob

ob

.

A. Zaborski, Krzywe interakcji M – N

Ekstremalna siła podłu na wyst pi dla osi oboj tnej w niesko czono ci (M = 0). Dla

ekstremalnego momentu poło enie osi oboj tnej wyniesie:

,

0

0

=

=

∂

∂

o

z

z

M

drugi pierwiastek nie ma sensu fizycznego.

Moment ekstremalny i odpowiadaj ca mu siła podłu na wynosz wi c:

e

e

e

e

bhR

bhR

z

N

R

bh

R

bh

z

M

0556

.

0

)

0

(

0988

.

0

)

0

(

18

1

0

2

2

81

8

0

−

=

−

=

=

=

=

=

.

Analogiczne obliczenia mo emy przeprowadzi dla rozkładu napr e o przeciwnych

znakach. Wówczas i rozwi zanie zmienia znaki.

Wyniki przedstawia poni szy wykres dla bezwymiarowych sił przekrojowych.

Krzywe interakcji M(N) dla trójk ta

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

Przykład - Krzywe interakcji dla teownika
Przyjmujemy dane do oblicze : półka 5

× 1 cm, rodnik 1 × 5 cm, R

e

= 200 MPa. Obliczamy

poło enie rodka ci ko ci, z = 4 cm, oraz moment bezwładno ci I

y

= 33.33 cm

4

.

Zakres spr ysty
Ekstremalna siła podłu na, dla rozci gania i ciskania, wynosi: N = R

e

F =

± 200 kN, przy

czym M = 0.

Ekstremalny moment osi gni ty zostanie dla równoczesnego uplastycznienia skrajnych

włókien i osi oboj tnej w połowie wysoko ci przekroju, czyli dla:

e

e

e

e

x

R

b

R

a

z

R

R

bz

a

3

100

3

1

,

3

100

3

)

(

±

=

±

=

+

±

=

+

±

=

σ

.

Jest wi c:

67

.

66

=

= aF

N

kN,

22

.

2

±

=

=

y

bI

M

kNm.

Zakres spr ysto-plastyczny
Ekstremalna siła podłu na wyst pi, podobnie jak dla granicznej no no ci spr ystej, dla

prostego rozci gania i ciskania.

W stanie granicznym plastycznym, prostok tny rozkład napr e jest osi gany dla dwóch

przypadkach szczególnych poło enia osi oboj tnej:
1. o oboj tna przechodzi przez półk , 0.01

≤ z

0

≤ 0.02,

2. o oboj tna przechodzi przez rodnik, -0.04

≤ z

0

≤ 0.01.

Całkuj c warunki równowa no ci w pierwszym przypadku, dostajemy:

(

)

(

)

[

]

(

)

7

0

0

0

10

01

.

0

2

05

.

0

01

.

0

01

.

0

05

.

0

02

.

0

05

.

0

z

z

z

R

N

e

−

±

=

⋅

−

−

−

−

±

=

,

(

) (

)

(

) (

)

[

]

(

)

7

2

0

0

0

0

0

10

0004

.

0

015

.

0

01

.

0

05

.

0

01

.

0

5

.

0

01

.

0

05

.

0

02

.

0

5

.

0

02

.

0

05

.

0

z

z

z

z

z

R

M

e

−

±

=

⋅

⋅

+

+

−

−

+

−

±

=

.

Ekstremum momentu le y poza przedziałem.

A. Zaborski, Krzywe interakcji M – N

W drugim przypadku, mamy:

(

)

(

)

[

]

(

)

6

0

0

0

10

01

.

0

4

04

.

0

01

.

0

01

.

0

01

.

0

01

.

0

05

.

0

z

z

z

R

N

e

−

±

=

+

−

−

+

⋅

±

=

,

(

) (

)

(

) (

)

[

]

(

)

6

2

0

0

0

0

0

10

0016

.

0

2

04

.

0

5

.

0

04

.

0

01

.

0

01

.

0

5

.

0

01

.

0

01

.

0

015

.

0

01

.

0

05

.

0

z

z

z

z

z

R

M

e

−

±

=

−

+

−

+

−

+

⋅

⋅

±

=

.

Ekstremum momentu wyst pi dla z

0

= 0: N = 40 kN, M = 3.2 kNm.

Krzywe interakcji M(N) dla teownika

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200