Document Outline

Zale˙zno ´sci korelacyjne

Szkic wykładu

Regresja liniowa

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´sci korelacyjne

Przykłady

Badaj ˛

ac ró˙znego rodzaju zjawiska, np. społeczne,

ekonomiczne, psychologiczne, przyrodniczne itp.
stwierdzamy niemal zawsze, ˙ze ka˙zde z nich jest
uwarunkowane działaniem innych zjawisk.

Istnienie zwi ˛

azków pomi ˛edzy zjawiskami

charakteryzuj ˛

acymi badane zbiorowo´sci bywa cz ˛esto

przedmiotem docieka ´n i eksperymentów naukowych.

Przykład:

David Buss w publikacji z 2001 roku pt.

”Psychologia ewolucyjna. Jak wytłumaczy´c społeczne
zachowania człowieka?”, opisał badanie, w którym
sprawdzał,

czy istnieje zwi ˛

azek mi ˛edzy szybko´sci ˛

chodzenia a pozycj ˛

a społeczn ˛

Okazało si ˛e, ˙ze zwi ˛

azek

ten jest do´s´c wyra´zny w´sród m ˛e˙zczyzn, natomiast w
mniejszym stopniu w´sród kobiet.

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´sci korelacyjne

Przykłady

Badaj ˛

ac ró˙znego rodzaju zjawiska, np. społeczne,

ekonomiczne, psychologiczne, przyrodniczne itp.
stwierdzamy niemal zawsze, ˙ze ka˙zde z nich jest
uwarunkowane działaniem innych zjawisk.

Istnienie zwi ˛

azków pomi ˛edzy zjawiskami

charakteryzuj ˛

acymi badane zbiorowo´sci bywa cz ˛esto

przedmiotem docieka ´n i eksperymentów naukowych.

Przykład:

David Buss w publikacji z 2001 roku pt.

”Psychologia ewolucyjna. Jak wytłumaczy´c społeczne
zachowania człowieka?”, opisał badanie, w którym
sprawdzał,

czy istnieje zwi ˛

azek mi ˛edzy szybko´sci ˛

chodzenia a pozycj ˛

a społeczn ˛

Okazało si ˛e, ˙ze zwi ˛

azek

ten jest do´s´c wyra´zny w´sród m ˛e˙zczyzn, natomiast w
mniejszym stopniu w´sród kobiet.

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´sci korelacyjne

Przykłady

Badaj ˛

ac ró˙znego rodzaju zjawiska, np. społeczne,

ekonomiczne, psychologiczne, przyrodniczne itp.
stwierdzamy niemal zawsze, ˙ze ka˙zde z nich jest
uwarunkowane działaniem innych zjawisk.

Istnienie zwi ˛

azków pomi ˛edzy zjawiskami

charakteryzuj ˛

acymi badane zbiorowo´sci bywa cz ˛esto

przedmiotem docieka ´n i eksperymentów naukowych.

Przykład:

David Buss w publikacji z 2001 roku pt.

”Psychologia ewolucyjna. Jak wytłumaczy´c społeczne
zachowania człowieka?”, opisał badanie, w którym
sprawdzał,

czy istnieje zwi ˛

azek mi ˛edzy szybko´sci ˛

chodzenia a pozycj ˛

a społeczn ˛

Okazało si ˛e, ˙ze zwi ˛

azek

ten jest do´s´c wyra´zny w´sród m ˛e˙zczyzn, natomiast w
mniejszym stopniu w´sród kobiet.

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´sci korelacyjne

Przykłady

Inny przykład:

Allison i Cicchetti w pracy ”Sleep in mammals”

(Science, 194, 1976) opisali badania przeprowadzone w´sród
przedstawicieli 62 gatunkach ssaków. Przedmiotem obserwacji
(pomiarów) były m.in. nast ˛epuj ˛

ace charakterystyki:

długo´s´c snu w ci ˛

agu doby (godz/dob ˛e),

maksymalna długo´sci ˙zycia (lata),
masa ciała (kg),
masa mózgu (g),
czas trwania ci ˛

a˙zy (dni).

Cel badania:

Ustalenie, czy istniej ˛

a jakiekolwiek zale˙zno´sci

pomi ˛edzy wymienionymi charakterystykami, a je´sli tak, to jaka
jest siła tych zale˙zno´sci.

Wyniki bada ´

B ˛ed ˛

a przedstawione dalej.

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´sci korelacyjne

Przykłady

Inny przykład:

Allison i Cicchetti w pracy ”Sleep in mammals”

(Science, 194, 1976) opisali badania przeprowadzone w´sród
przedstawicieli 62 gatunkach ssaków. Przedmiotem obserwacji
(pomiarów) były m.in. nast ˛epuj ˛

ace charakterystyki:

długo´s´c snu w ci ˛

agu doby (godz/dob ˛e),

maksymalna długo´sci ˙zycia (lata),
masa ciała (kg),
masa mózgu (g),
czas trwania ci ˛

a˙zy (dni).

Cel badania:

Ustalenie, czy istniej ˛

a jakiekolwiek zale˙zno´sci

pomi ˛edzy wymienionymi charakterystykami, a je´sli tak, to jaka
jest siła tych zale˙zno´sci.

Wyniki bada ´

B ˛ed ˛

a przedstawione dalej.

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´sci korelacyjne

Przykłady

Inny przykład:

Allison i Cicchetti w pracy ”Sleep in mammals”

(Science, 194, 1976) opisali badania przeprowadzone w´sród
przedstawicieli 62 gatunkach ssaków. Przedmiotem obserwacji
(pomiarów) były m.in. nast ˛epuj ˛

ace charakterystyki:

długo´s´c snu w ci ˛

agu doby (godz/dob ˛e),

maksymalna długo´sci ˙zycia (lata),

masa ciała (kg),
masa mózgu (g),
czas trwania ci ˛

a˙zy (dni).

Cel badania:

Ustalenie, czy istniej ˛

a jakiekolwiek zale˙zno´sci

pomi ˛edzy wymienionymi charakterystykami, a je´sli tak, to jaka
jest siła tych zale˙zno´sci.

Wyniki bada ´

B ˛ed ˛

a przedstawione dalej.

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´sci korelacyjne

Przykłady

Inny przykład:

Allison i Cicchetti w pracy ”Sleep in mammals”

(Science, 194, 1976) opisali badania przeprowadzone w´sród
przedstawicieli 62 gatunkach ssaków. Przedmiotem obserwacji
(pomiarów) były m.in. nast ˛epuj ˛

ace charakterystyki:

długo´s´c snu w ci ˛

agu doby (godz/dob ˛e),

maksymalna długo´sci ˙zycia (lata),
masa ciała (kg),

masa mózgu (g),
czas trwania ci ˛

a˙zy (dni).

Cel badania:

Ustalenie, czy istniej ˛

a jakiekolwiek zale˙zno´sci

pomi ˛edzy wymienionymi charakterystykami, a je´sli tak, to jaka
jest siła tych zale˙zno´sci.

Wyniki bada ´

B ˛ed ˛

a przedstawione dalej.

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´sci korelacyjne

Przykłady

Inny przykład:

Allison i Cicchetti w pracy ”Sleep in mammals”

(Science, 194, 1976) opisali badania przeprowadzone w´sród
przedstawicieli 62 gatunkach ssaków. Przedmiotem obserwacji
(pomiarów) były m.in. nast ˛epuj ˛

ace charakterystyki:

długo´s´c snu w ci ˛

agu doby (godz/dob ˛e),

maksymalna długo´sci ˙zycia (lata),
masa ciała (kg),
masa mózgu (g),

czas trwania ci ˛

a˙zy (dni).

Cel badania:

Ustalenie, czy istniej ˛

a jakiekolwiek zale˙zno´sci

pomi ˛edzy wymienionymi charakterystykami, a je´sli tak, to jaka
jest siła tych zale˙zno´sci.

Wyniki bada ´

B ˛ed ˛

a przedstawione dalej.

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´sci korelacyjne

Przykłady

Inny przykład:

Allison i Cicchetti w pracy ”Sleep in mammals”

(Science, 194, 1976) opisali badania przeprowadzone w´sród
przedstawicieli 62 gatunkach ssaków. Przedmiotem obserwacji
(pomiarów) były m.in. nast ˛epuj ˛

ace charakterystyki:

długo´s´c snu w ci ˛

agu doby (godz/dob ˛e),

maksymalna długo´sci ˙zycia (lata),
masa ciała (kg),
masa mózgu (g),
czas trwania ci ˛

a˙zy (dni).

Cel badania:

Ustalenie, czy istniej ˛

a jakiekolwiek zale˙zno´sci

pomi ˛edzy wymienionymi charakterystykami, a je´sli tak, to jaka
jest siła tych zale˙zno´sci.

Wyniki bada ´

B ˛ed ˛

a przedstawione dalej.

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´sci korelacyjne

Przykłady

Inny przykład:

Allison i Cicchetti w pracy ”Sleep in mammals”

(Science, 194, 1976) opisali badania przeprowadzone w´sród
przedstawicieli 62 gatunkach ssaków. Przedmiotem obserwacji
(pomiarów) były m.in. nast ˛epuj ˛

ace charakterystyki:

długo´s´c snu w ci ˛

agu doby (godz/dob ˛e),

maksymalna długo´sci ˙zycia (lata),
masa ciała (kg),
masa mózgu (g),
czas trwania ci ˛

a˙zy (dni).

Cel badania:

Ustalenie, czy istniej ˛

a jakiekolwiek zale˙zno´sci

pomi ˛edzy wymienionymi charakterystykami, a je´sli tak, to jaka
jest siła tych zale˙zno´sci.

Wyniki bada ´

B ˛ed ˛

a przedstawione dalej.

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´sci korelacyjne

Przykłady

Inny przykład:

Allison i Cicchetti w pracy ”Sleep in mammals”

(Science, 194, 1976) opisali badania przeprowadzone w´sród
przedstawicieli 62 gatunkach ssaków. Przedmiotem obserwacji
(pomiarów) były m.in. nast ˛epuj ˛

ace charakterystyki:

długo´s´c snu w ci ˛

agu doby (godz/dob ˛e),

maksymalna długo´sci ˙zycia (lata),
masa ciała (kg),
masa mózgu (g),
czas trwania ci ˛

a˙zy (dni).

Cel badania:

Ustalenie, czy istniej ˛

a jakiekolwiek zale˙zno´sci

pomi ˛edzy wymienionymi charakterystykami, a je´sli tak, to jaka
jest siła tych zale˙zno´sci.

Wyniki bada ´

B ˛ed ˛

a przedstawione dalej.

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´sci korelacyjne

Przykłady

Kolejny przykład:

Zwi ˛

azek pomi ˛edzy wag ˛

a a wzrostem człowieka próbuje si ˛e

wyrazi´c za pomoc ˛

a tzw. wska´znika BMI (Body Mass

Index):

BMI =

waga

(

wzrost w metrach)

Przyjmuje si ˛e, ˙ze warto´s´c BMI dla osób z prawidłow ˛

mas ˛

a ciała zawiera si ˛e mniej wi ˛ecej w przedziale

18, 5 ≤ BMI < 25. Jednak BMI kształtuje si ˛e na poziomie
indywidualnym dla konkretnych osób i mo˙ze znacznie
przekracza´c warto´s´c 25.

Przykład ten wskazuje, ˙ze zale˙zno´s´c mi ˛edzy wag ˛

a a

wzrostem

nie jest ´sci ´sle funkcyjna

. Podana formuła

opisuje tylko w przybli˙zeniu t ˛e zale˙zno´sci.

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´sci korelacyjne

Przykłady

Kolejny przykład:

Zwi ˛

azek pomi ˛edzy wag ˛

a a wzrostem człowieka próbuje si ˛e

wyrazi´c za pomoc ˛

a tzw. wska´znika BMI (Body Mass

Index):

BMI =

waga

(

wzrost w metrach)

Przyjmuje si ˛e, ˙ze warto´s´c BMI dla osób z prawidłow ˛

mas ˛

a ciała zawiera si ˛e mniej wi ˛ecej w przedziale

18, 5 ≤ BMI < 25. Jednak BMI kształtuje si ˛e na poziomie
indywidualnym dla konkretnych osób i mo˙ze znacznie
przekracza´c warto´s´c 25.

Przykład ten wskazuje, ˙ze zale˙zno´s´c mi ˛edzy wag ˛

a a

wzrostem

nie jest ´sci ´sle funkcyjna

. Podana formuła

opisuje tylko w przybli˙zeniu t ˛e zale˙zno´sci.

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´sci korelacyjne

Przykłady

Kolejny przykład:

Zwi ˛

azek pomi ˛edzy wag ˛

a a wzrostem człowieka próbuje si ˛e

wyrazi´c za pomoc ˛

a tzw. wska´znika BMI (Body Mass

Index):

BMI =

waga

(

wzrost w metrach)

Przyjmuje si ˛e, ˙ze warto´s´c BMI dla osób z prawidłow ˛

mas ˛

a ciała zawiera si ˛e mniej wi ˛ecej w przedziale

18, 5 ≤ BMI < 25. Jednak BMI kształtuje si ˛e na poziomie
indywidualnym dla konkretnych osób i mo˙ze znacznie
przekracza´c warto´s´c 25.

Przykład ten wskazuje, ˙ze zale˙zno´s´c mi ˛edzy wag ˛

a a

wzrostem

nie jest ´sci ´sle funkcyjna

. Podana formuła

opisuje tylko w przybli˙zeniu t ˛e zale˙zno´sci.

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´s ´c korelacyjna

Przy analizie współzale˙zno´sci pomi ˛edzy wzrostem i wag ˛

nie oczekujemy, aby zale˙zno´s´c ta była ´sci´sle funkcyjna,
tzn. aby istniała jednoznacznie okre´slona funkcja
matematyczna y = f (x ), podaj ˛

aca wag ˛e y konkretnej

osoby z ustalonym wzrostem x .

Mimo tego wydaje si ˛e, ˙ze ”jaka´s” zale˙zno´s´c pomi ˛edzy
wag ˛

a i wzrostem istnieje.

Obserwuj ˛

ac obie cechy w du˙zej zbiorowo´sci osób,

dojdziemy do przekonania, ˙ze ´srednia waga jest wi ˛eksza
w grupie osób wy˙zszych i na odwrót.

Zwi ˛

azek mi ˛edzy wag ˛

a i wzrostem jest przykładem tzw.

zwi ˛

azku korelacyjnego

, w skrócie –

korelacji.

korelacj ˛

mamy do czynienia wtedy, gdy wraz ze

zmian ˛

a warto´sci jednej cechy zmienia si ˛e ´srednia warto´s´c

drugiej cechy.

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´s ´c korelacyjna

Przy analizie współzale˙zno´sci pomi ˛edzy wzrostem i wag ˛

nie oczekujemy, aby zale˙zno´s´c ta była ´sci´sle funkcyjna,
tzn. aby istniała jednoznacznie okre´slona funkcja
matematyczna y = f (x ), podaj ˛

aca wag ˛e y konkretnej

osoby z ustalonym wzrostem x .

Mimo tego wydaje si ˛e, ˙ze ”jaka´s” zale˙zno´s´c pomi ˛edzy
wag ˛

a i wzrostem istnieje.

Obserwuj ˛

ac obie cechy w du˙zej zbiorowo´sci osób,

dojdziemy do przekonania, ˙ze ´srednia waga jest wi ˛eksza
w grupie osób wy˙zszych i na odwrót.

Zwi ˛

azek mi ˛edzy wag ˛

a i wzrostem jest przykładem tzw.

zwi ˛

azku korelacyjnego

, w skrócie –

korelacji.

korelacj ˛

mamy do czynienia wtedy, gdy wraz ze

zmian ˛

a warto´sci jednej cechy zmienia si ˛e ´srednia warto´s´c

drugiej cechy.

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´s ´c korelacyjna

Przy analizie współzale˙zno´sci pomi ˛edzy wzrostem i wag ˛

nie oczekujemy, aby zale˙zno´s´c ta była ´sci´sle funkcyjna,
tzn. aby istniała jednoznacznie okre´slona funkcja
matematyczna y = f (x ), podaj ˛

aca wag ˛e y konkretnej

osoby z ustalonym wzrostem x .

Mimo tego wydaje si ˛e, ˙ze ”jaka´s” zale˙zno´s´c pomi ˛edzy
wag ˛

a i wzrostem istnieje.

Obserwuj ˛

ac obie cechy w du˙zej zbiorowo´sci osób,

dojdziemy do przekonania, ˙ze ´srednia waga jest wi ˛eksza
w grupie osób wy˙zszych i na odwrót.

Zwi ˛

azek mi ˛edzy wag ˛

a i wzrostem jest przykładem tzw.

zwi ˛

azku korelacyjnego

, w skrócie –

korelacji.

korelacj ˛

mamy do czynienia wtedy, gdy wraz ze

zmian ˛

a warto´sci jednej cechy zmienia si ˛e ´srednia warto´s´c

drugiej cechy.

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´s ´c korelacyjna

Przy analizie współzale˙zno´sci pomi ˛edzy wzrostem i wag ˛

nie oczekujemy, aby zale˙zno´s´c ta była ´sci´sle funkcyjna,
tzn. aby istniała jednoznacznie okre´slona funkcja
matematyczna y = f (x ), podaj ˛

aca wag ˛e y konkretnej

osoby z ustalonym wzrostem x .

Mimo tego wydaje si ˛e, ˙ze ”jaka´s” zale˙zno´s´c pomi ˛edzy
wag ˛

a i wzrostem istnieje.

Obserwuj ˛

ac obie cechy w du˙zej zbiorowo´sci osób,

dojdziemy do przekonania, ˙ze ´srednia waga jest wi ˛eksza
w grupie osób wy˙zszych i na odwrót.

Zwi ˛

azek mi ˛edzy wag ˛

a i wzrostem jest przykładem tzw.

zwi ˛

azku korelacyjnego

, w skrócie –

korelacji.

korelacj ˛

mamy do czynienia wtedy, gdy wraz ze

zmian ˛

a warto´sci jednej cechy zmienia si ˛e ´srednia warto´s´c

drugiej cechy.

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´s ´c korelacyjna

Przy analizie współzale˙zno´sci pomi ˛edzy wzrostem i wag ˛

nie oczekujemy, aby zale˙zno´s´c ta była ´sci´sle funkcyjna,
tzn. aby istniała jednoznacznie okre´slona funkcja
matematyczna y = f (x ), podaj ˛

aca wag ˛e y konkretnej

osoby z ustalonym wzrostem x .

Mimo tego wydaje si ˛e, ˙ze ”jaka´s” zale˙zno´s´c pomi ˛edzy
wag ˛

a i wzrostem istnieje.

Obserwuj ˛

ac obie cechy w du˙zej zbiorowo´sci osób,

dojdziemy do przekonania, ˙ze ´srednia waga jest wi ˛eksza
w grupie osób wy˙zszych i na odwrót.

Zwi ˛

azek mi ˛edzy wag ˛

a i wzrostem jest przykładem tzw.

zwi ˛

azku korelacyjnego

, w skrócie –

korelacji.

korelacj ˛

mamy do czynienia wtedy, gdy wraz ze

zmian ˛

a warto´sci jednej cechy zmienia si ˛e ´srednia warto´s´c

drugiej cechy.

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´s ´c korelacyjna

Przykład korelacji wagi i wzrostu

Agnieszka Rossa

Współczynnik korelacji Pearsona

Przykład korelacji wagi i wzrostu – c.d.

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´s ´c korelacyjna

Inne przykłady

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´s ´c korelacyjna

Wst ˛epne wnioski z przedstawionych przykładów

Zwi ˛

azek korelacyjny mo˙zna odkry´c obserwuj ˛

ac du˙z ˛

a liczb ˛e

przypadków. Nie ujawnia si ˛e w pojedycznych
obserwacjach.

Zale˙zno´s´c korelacyjna mo˙ze by´c prostoliniowa (w skrócie –
liniowa) lub krzywoliniowa, silna lub słaba.

Na podstawie obserwacji wykresu rozproszenia mo˙zemy w
przybli˙zeniu oceni´c charakter zale˙zno´sci i jej sił ˛e.

Potrzebujemy miary, która pomógłaby wyrazi´c sił ˛e
zale˙zno´sci

w sposób liczbowy

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´s ´c korelacyjna

Wst ˛epne wnioski z przedstawionych przykładów

Zwi ˛

azek korelacyjny mo˙zna odkry´c obserwuj ˛

ac du˙z ˛

a liczb ˛e

przypadków. Nie ujawnia si ˛e w pojedycznych
obserwacjach.

Zale˙zno´s´c korelacyjna mo˙ze by´c prostoliniowa (w skrócie –
liniowa) lub krzywoliniowa, silna lub słaba.

Na podstawie obserwacji wykresu rozproszenia mo˙zemy w
przybli˙zeniu oceni´c charakter zale˙zno´sci i jej sił ˛e.

Potrzebujemy miary, która pomógłaby wyrazi´c sił ˛e
zale˙zno´sci

w sposób liczbowy

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´s ´c korelacyjna

Wst ˛epne wnioski z przedstawionych przykładów

Zwi ˛

azek korelacyjny mo˙zna odkry´c obserwuj ˛

ac du˙z ˛

a liczb ˛e

przypadków. Nie ujawnia si ˛e w pojedycznych
obserwacjach.

Zale˙zno´s´c korelacyjna mo˙ze by´c prostoliniowa (w skrócie –
liniowa) lub krzywoliniowa, silna lub słaba.

Na podstawie obserwacji wykresu rozproszenia mo˙zemy w
przybli˙zeniu oceni´c charakter zale˙zno´sci i jej sił ˛e.

Potrzebujemy miary, która pomógłaby wyrazi´c sił ˛e
zale˙zno´sci

w sposób liczbowy

Agnieszka Rossa

Zale˙zno ´s ´c korelacyjna

Wst ˛epne wnioski z przedstawionych przykładów

Zwi ˛

azek korelacyjny mo˙zna odkry´c obserwuj ˛

ac du˙z ˛

a liczb ˛e

przypadków. Nie ujawnia si ˛e w pojedycznych
obserwacjach.

Zale˙zno´s´c korelacyjna mo˙ze by´c prostoliniowa (w skrócie –
liniowa) lub krzywoliniowa, silna lub słaba.

Na podstawie obserwacji wykresu rozproszenia mo˙zemy w
przybli˙zeniu oceni´c charakter zale˙zno´sci i jej sił ˛e.

Potrzebujemy miary, która pomógłaby wyrazi´c sił ˛e
zale˙zno´sci

w sposób liczbowy

Agnieszka Rossa

Pomiar siły korelacji liniowej

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona

Załó˙zmy, ˙ze mi ˛edzy cechami X i Y wyst ˛epuje zale˙zno´s´c
korelacyjna o charakterze liniowym.

Współczynnikiem słu˙z ˛

acym do pomiaru siły tego zwi ˛

azku

jest

współczynnik korelacji liniowej Pearsona

okre´slony

wzorem

r =

1
n

n
i=1

(

− ¯

x )(y

− ¯

y )

· s

gdzie ¯

x , ¯

y oznaczaj ˛

a ´srednie arytmetyczne, natomiast

– odchylenia standardowe zmiennych odpowiednio

X i Y .

Agnieszka Rossa

Pomiar siły korelacji liniowej

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona

Załó˙zmy, ˙ze mi ˛edzy cechami X i Y wyst ˛epuje zale˙zno´s´c
korelacyjna o charakterze liniowym.

Współczynnikiem słu˙z ˛

acym do pomiaru siły tego zwi ˛

azku

jest

współczynnik korelacji liniowej Pearsona

okre´slony

wzorem

r =

1
n

n
i=1

(

− ¯

x )(y

− ¯

y )

· s

gdzie ¯

x , ¯

y oznaczaj ˛

a ´srednie arytmetyczne, natomiast

– odchylenia standardowe zmiennych odpowiednio

X i Y .

Agnieszka Rossa

Pomiar siły korelacji liniowej

Srednie arytmetyczne i odchylenia standardowe – przypomnienie

Srednie arytmetyczne:

x =

1
n

i=1

y =

1
n

i=1

Odchylenia standardowe:

v
u
u
t

1
n

i=1

(

− ¯

x )

v
u
u
t

1
n

i=1

(

− ¯

y )

Agnieszka Rossa

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona

Własno ´sci

Współczynnik r korelacji liniowej Pearsona przyjmuje
zawsze warto´sci z przedziału

[−

1, 1]

Znak współczynnika informuje o kierunku korelacji (liniowa
ujemna lub liniowa dodatnia).

Warto´s´c bezwzgl ˛edna

|r |

informuje o sile korelacji liniowej.

W szczególnym przypadku, gdy

|r | = 1

, wówczas mamy

do czynienia z korelacj ˛

a funkcyjn ˛

a (tzn. zale˙zno´s´c Y od X

mo˙zna wyrazi´c za pomoc ˛

a funkcji Y = aX + b, gdzie a, b

s ˛

a pewnymi stałymi).

Współczynnik r mierzy

tylko

korelacj ˛e o charakterze

prostoliniowym.

Gdy

r = 0

, wówczas mówimy, ˙ze nie ma korelacji liniowej

(ale mo˙ze by´c krzywoliniowa).

Agnieszka Rossa

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona

Własno ´sci

Współczynnik r korelacji liniowej Pearsona przyjmuje
zawsze warto´sci z przedziału

[−

1, 1]

Znak współczynnika informuje o kierunku korelacji (liniowa
ujemna lub liniowa dodatnia).

Warto´s´c bezwzgl ˛edna

|r |

informuje o sile korelacji liniowej.

W szczególnym przypadku, gdy

|r | = 1

, wówczas mamy

do czynienia z korelacj ˛

a funkcyjn ˛

a (tzn. zale˙zno´s´c Y od X

mo˙zna wyrazi´c za pomoc ˛

a funkcji Y = aX + b, gdzie a, b

s ˛

a pewnymi stałymi).

Współczynnik r mierzy

tylko

korelacj ˛e o charakterze

prostoliniowym.

Gdy

r = 0

, wówczas mówimy, ˙ze nie ma korelacji liniowej

(ale mo˙ze by´c krzywoliniowa).

Agnieszka Rossa

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona

Własno ´sci

Współczynnik r korelacji liniowej Pearsona przyjmuje
zawsze warto´sci z przedziału

[−

1, 1]

Znak współczynnika informuje o kierunku korelacji (liniowa
ujemna lub liniowa dodatnia).

Warto´s´c bezwzgl ˛edna

|r |

informuje o sile korelacji liniowej.

W szczególnym przypadku, gdy

|r | = 1

, wówczas mamy

do czynienia z korelacj ˛

a funkcyjn ˛

a (tzn. zale˙zno´s´c Y od X

mo˙zna wyrazi´c za pomoc ˛

a funkcji Y = aX + b, gdzie a, b

s ˛

a pewnymi stałymi).

Współczynnik r mierzy

tylko

korelacj ˛e o charakterze

prostoliniowym.

Gdy

r = 0

, wówczas mówimy, ˙ze nie ma korelacji liniowej

(ale mo˙ze by´c krzywoliniowa).

Agnieszka Rossa

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona

Własno ´sci

Współczynnik r korelacji liniowej Pearsona przyjmuje
zawsze warto´sci z przedziału

[−

1, 1]

Znak współczynnika informuje o kierunku korelacji (liniowa
ujemna lub liniowa dodatnia).

Warto´s´c bezwzgl ˛edna

|r |

informuje o sile korelacji liniowej.

W szczególnym przypadku, gdy

|r | = 1

, wówczas mamy

do czynienia z korelacj ˛

a funkcyjn ˛

a (tzn. zale˙zno´s´c Y od X

mo˙zna wyrazi´c za pomoc ˛

a funkcji Y = aX + b, gdzie a, b

s ˛

a pewnymi stałymi).

Współczynnik r mierzy

tylko

korelacj ˛e o charakterze

prostoliniowym.

Gdy

r = 0

, wówczas mówimy, ˙ze nie ma korelacji liniowej

(ale mo˙ze by´c krzywoliniowa).

Agnieszka Rossa

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona

Własno ´sci

Współczynnik r korelacji liniowej Pearsona przyjmuje
zawsze warto´sci z przedziału

[−

1, 1]

Znak współczynnika informuje o kierunku korelacji (liniowa
ujemna lub liniowa dodatnia).

Warto´s´c bezwzgl ˛edna

|r |

informuje o sile korelacji liniowej.

W szczególnym przypadku, gdy

|r | = 1

, wówczas mamy

do czynienia z korelacj ˛

a funkcyjn ˛

a (tzn. zale˙zno´s´c Y od X

mo˙zna wyrazi´c za pomoc ˛

a funkcji Y = aX + b, gdzie a, b

s ˛

a pewnymi stałymi).

Współczynnik r mierzy

tylko

korelacj ˛e o charakterze

prostoliniowym.

Gdy

r = 0

, wówczas mówimy, ˙ze nie ma korelacji liniowej

(ale mo˙ze by´c krzywoliniowa).

Agnieszka Rossa

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona

Własno ´sci

Współczynnik r korelacji liniowej Pearsona przyjmuje
zawsze warto´sci z przedziału

[−

1, 1]

Znak współczynnika informuje o kierunku korelacji (liniowa
ujemna lub liniowa dodatnia).

Warto´s´c bezwzgl ˛edna

|r |

informuje o sile korelacji liniowej.

W szczególnym przypadku, gdy

|r | = 1

, wówczas mamy

do czynienia z korelacj ˛

a funkcyjn ˛

a (tzn. zale˙zno´s´c Y od X

mo˙zna wyrazi´c za pomoc ˛

a funkcji Y = aX + b, gdzie a, b

s ˛

a pewnymi stałymi).

Współczynnik r mierzy

tylko

korelacj ˛e o charakterze

prostoliniowym.

Gdy

r = 0

, wówczas mówimy, ˙ze nie ma korelacji liniowej

(ale mo˙ze by´c krzywoliniowa).

Agnieszka Rossa

Współczynniki korelacji liniowej Pearsona

Allison i Cicchetti – Wyniki bada ´

n ssaków

macierz współczynników

masa

czas snu

maks. długo ´s ´c

czas

korelacji liniowej Pearsona

ciała (kg)

mózgu (g)

(godz/dob ˛e)

˙zycia (lata)

ci ˛

a˙zy (dni)

masa ciała (kg)

0,93

-0,31

0,30

0,65

masa mózgu (g)

0,93

-0,36

0,51

0,75

czas snu (godz/dob ˛e)

-0,31

-0,36

-0,41

-0,63

maks. długo ´s ´c ˙zycia (lata)

0,30

0,51

-0,41

0,61

czas ci ˛

a˙zy (dni)

0,65

0,75

-0,63

0,61

Kilka wybranych uwag podsumowania:

wszystkie cechy s ˛

a ze sob ˛

a wzajemnie powi ˛

azane (w mniejszym lub wi ˛ekszym stopniu),

mo˙zna zauwa˙zy´c siln ˛

a, dodatni ˛

a korelacj ˛e liniow ˛

a mi ˛edzy mas ˛

a mózgu i ciała,

umiarkowana, ujemna korelacja liniowa mi ˛edzy czasem snu a czasem ˙zycia,

do´s´c silna korelacja (dodatnia lub ujemna) czasu ci ˛

a˙zy z innymi zmiennymi,

Pytanie:

Jak opisa ´c zale˙zno ´s ´c np. czasu ci ˛

a˙zy od wszystkich pozostałych zmiennych jednocze ´snie?

Odpowiedzi dostarcza analiza regresji.

Agnieszka Rossa

Współczynniki korelacji liniowej Pearsona

Allison i Cicchetti – Wyniki bada ´

n ssaków

macierz współczynników

masa

czas snu

maks. długo ´s ´c

czas

korelacji liniowej Pearsona

ciała (kg)

mózgu (g)

(godz/dob ˛e)

˙zycia (lata)

ci ˛

a˙zy (dni)

masa ciała (kg)

0,93

-0,31

0,30

0,65

masa mózgu (g)

0,93

-0,36

0,51

0,75

czas snu (godz/dob ˛e)

-0,31

-0,36

-0,41

-0,63

maks. długo ´s ´c ˙zycia (lata)

0,30

0,51

-0,41

0,61

czas ci ˛

a˙zy (dni)

0,65

0,75

-0,63

0,61

Kilka wybranych uwag podsumowania:

wszystkie cechy s ˛

a ze sob ˛

a wzajemnie powi ˛

azane (w mniejszym lub wi ˛ekszym stopniu),

mo˙zna zauwa˙zy´c siln ˛

a, dodatni ˛

a korelacj ˛e liniow ˛

a mi ˛edzy mas ˛

a mózgu i ciała,

umiarkowana, ujemna korelacja liniowa mi ˛edzy czasem snu a czasem ˙zycia,

do´s´c silna korelacja (dodatnia lub ujemna) czasu ci ˛

a˙zy z innymi zmiennymi,

Pytanie:

Jak opisa ´c zale˙zno ´s ´c np. czasu ci ˛

a˙zy od wszystkich pozostałych zmiennych jednocze ´snie?

Odpowiedzi dostarcza analiza regresji.

Agnieszka Rossa

Współczynniki korelacji liniowej Pearsona

Allison i Cicchetti – Wyniki bada ´

n ssaków

macierz współczynników

masa

czas snu

maks. długo ´s ´c

czas

korelacji liniowej Pearsona

ciała (kg)

mózgu (g)

(godz/dob ˛e)

˙zycia (lata)

ci ˛

a˙zy (dni)

masa ciała (kg)

0,93

-0,31

0,30

0,65

masa mózgu (g)

0,93

-0,36

0,51

0,75

czas snu (godz/dob ˛e)

-0,31

-0,36

-0,41

-0,63

maks. długo ´s ´c ˙zycia (lata)

0,30

0,51

-0,41

0,61

czas ci ˛

a˙zy (dni)

0,65

0,75

-0,63

0,61

Kilka wybranych uwag podsumowania:

wszystkie cechy s ˛

a ze sob ˛

a wzajemnie powi ˛

azane (w mniejszym lub wi ˛ekszym stopniu),

mo˙zna zauwa˙zy´c siln ˛

a, dodatni ˛

a korelacj ˛e liniow ˛

a mi ˛edzy mas ˛

a mózgu i ciała,

umiarkowana, ujemna korelacja liniowa mi ˛edzy czasem snu a czasem ˙zycia,

do´s´c silna korelacja (dodatnia lub ujemna) czasu ci ˛

a˙zy z innymi zmiennymi,

Pytanie:

Jak opisa ´c zale˙zno ´s ´c np. czasu ci ˛

a˙zy od wszystkich pozostałych zmiennych jednocze ´snie?

Odpowiedzi dostarcza analiza regresji.

Agnieszka Rossa

Współczynniki korelacji liniowej Pearsona

Allison i Cicchetti – Wyniki bada ´

n ssaków

macierz współczynników

masa

czas snu

maks. długo ´s ´c

czas

korelacji liniowej Pearsona

ciała (kg)

mózgu (g)

(godz/dob ˛e)

˙zycia (lata)

ci ˛

a˙zy (dni)

masa ciała (kg)

0,93

-0,31

0,30

0,65

masa mózgu (g)

0,93

-0,36

0,51

0,75

czas snu (godz/dob ˛e)

-0,31

-0,36

-0,41

-0,63

maks. długo ´s ´c ˙zycia (lata)

0,30

0,51

-0,41

0,61

czas ci ˛

a˙zy (dni)

0,65

0,75

-0,63

0,61

Kilka wybranych uwag podsumowania:

wszystkie cechy s ˛

a ze sob ˛

a wzajemnie powi ˛

azane (w mniejszym lub wi ˛ekszym stopniu),

mo˙zna zauwa˙zy´c siln ˛

a, dodatni ˛

a korelacj ˛e liniow ˛

a mi ˛edzy mas ˛

a mózgu i ciała,

umiarkowana, ujemna korelacja liniowa mi ˛edzy czasem snu a czasem ˙zycia,

do´s´c silna korelacja (dodatnia lub ujemna) czasu ci ˛

a˙zy z innymi zmiennymi,

Pytanie:

Jak opisa ´c zale˙zno ´s ´c np. czasu ci ˛

a˙zy od wszystkich pozostałych zmiennych jednocze ´snie?

Odpowiedzi dostarcza analiza regresji.

Agnieszka Rossa

Współczynniki korelacji liniowej Pearsona

Allison i Cicchetti – Wyniki bada ´

n ssaków

macierz współczynników

masa

czas snu

maks. długo ´s ´c

czas

korelacji liniowej Pearsona

ciała (kg)

mózgu (g)

(godz/dob ˛e)

˙zycia (lata)

ci ˛

a˙zy (dni)

masa ciała (kg)

0,93

-0,31

0,30

0,65

masa mózgu (g)

0,93

-0,36

0,51

0,75

czas snu (godz/dob ˛e)

-0,31

-0,36

-0,41

-0,63

maks. długo ´s ´c ˙zycia (lata)

0,30

0,51

-0,41

0,61

czas ci ˛

a˙zy (dni)

0,65

0,75

-0,63

0,61

Kilka wybranych uwag podsumowania:

wszystkie cechy s ˛

a ze sob ˛

a wzajemnie powi ˛

azane (w mniejszym lub wi ˛ekszym stopniu),

mo˙zna zauwa˙zy´c siln ˛

a, dodatni ˛

a korelacj ˛e liniow ˛

a mi ˛edzy mas ˛

a mózgu i ciała,

umiarkowana, ujemna korelacja liniowa mi ˛edzy czasem snu a czasem ˙zycia,

do´s´c silna korelacja (dodatnia lub ujemna) czasu ci ˛

a˙zy z innymi zmiennymi,

Pytanie:

Jak opisa ´c zale˙zno ´s ´c np. czasu ci ˛

a˙zy od wszystkich pozostałych zmiennych jednocze ´snie?

Odpowiedzi dostarcza analiza regresji.

Agnieszka Rossa

Współczynniki korelacji liniowej Pearsona

Allison i Cicchetti – Wyniki bada ´

n ssaków

macierz współczynników

masa

czas snu

maks. długo ´s ´c

czas

korelacji liniowej Pearsona

ciała (kg)

mózgu (g)

(godz/dob ˛e)

˙zycia (lata)

ci ˛

a˙zy (dni)

masa ciała (kg)

0,93

-0,31

0,30

0,65

masa mózgu (g)

0,93

-0,36

0,51

0,75

czas snu (godz/dob ˛e)

-0,31

-0,36

-0,41

-0,63

maks. długo ´s ´c ˙zycia (lata)

0,30

0,51

-0,41

0,61

czas ci ˛

a˙zy (dni)

0,65

0,75

-0,63

0,61

Kilka wybranych uwag podsumowania:

wszystkie cechy s ˛

a ze sob ˛

a wzajemnie powi ˛

azane (w mniejszym lub wi ˛ekszym stopniu),

mo˙zna zauwa˙zy´c siln ˛

a, dodatni ˛

a korelacj ˛e liniow ˛

a mi ˛edzy mas ˛

a mózgu i ciała,

umiarkowana, ujemna korelacja liniowa mi ˛edzy czasem snu a czasem ˙zycia,

do´s´c silna korelacja (dodatnia lub ujemna) czasu ci ˛

a˙zy z innymi zmiennymi,

Pytanie:

Jak opisa ´c zale˙zno ´s ´c np. czasu ci ˛

a˙zy od wszystkich pozostałych zmiennych jednocze ´snie?

Odpowiedzi dostarcza analiza regresji.

Agnieszka Rossa

Współczynniki korelacji liniowej Pearsona

Allison i Cicchetti – Wyniki bada ´

n ssaków

macierz współczynników

masa

czas snu

maks. długo ´s ´c

czas

korelacji liniowej Pearsona

ciała (kg)

mózgu (g)

(godz/dob ˛e)

˙zycia (lata)

ci ˛

a˙zy (dni)

masa ciała (kg)

0,93

-0,31

0,30

0,65

masa mózgu (g)

0,93

-0,36

0,51

0,75

czas snu (godz/dob ˛e)

-0,31

-0,36

-0,41

-0,63

maks. długo ´s ´c ˙zycia (lata)

0,30

0,51

-0,41

0,61

czas ci ˛

a˙zy (dni)

0,65

0,75

-0,63

0,61

Kilka wybranych uwag podsumowania:

wszystkie cechy s ˛

a ze sob ˛

a wzajemnie powi ˛

azane (w mniejszym lub wi ˛ekszym stopniu),

mo˙zna zauwa˙zy´c siln ˛

a, dodatni ˛

a korelacj ˛e liniow ˛

a mi ˛edzy mas ˛

a mózgu i ciała,

umiarkowana, ujemna korelacja liniowa mi ˛edzy czasem snu a czasem ˙zycia,

do´s´c silna korelacja (dodatnia lub ujemna) czasu ci ˛

a˙zy z innymi zmiennymi,

Pytanie:

Jak opisa ´c zale˙zno ´s ´c np. czasu ci ˛

a˙zy od wszystkich pozostałych zmiennych jednocze ´snie?

Odpowiedzi dostarcza analiza regresji.

Agnieszka Rossa

Korelacja a zale˙zno ´sci pozorne – Przykład

Czy w krajach, w których jest wi ˛ecej bocianów rodzi si ˛e wi ˛ecej dzieci?

Wyniki analizy korelacji liniowej dla 17 krajów europejskich
(dane z 1990 roku) pomi ˛edzy powierzchni ˛

a, liczb ˛

mieszka ´nców, liczb ˛

a urodze ´n oraz liczb ˛

a bocianów (!):

macierz współczynników

powierzchnia

liczba bocianów

liczba mieszka ´

nców

liczba urodze ´

korelacji liniowej Pearsona

powierzchnia

0,579

0,812

0,923

liczba bocianów

0,579

0,354

0,620

liczba mieszka ´

nców

0,812

0,354

0,851

liczba urodze ´

0,923

0,620

0,851

Zaskoczeniem mo˙ze by´c do´s´c wysoka warto´s´c współczynnika korelacji liniowej dla liczby bocianów i liczby urodze ´n.

Pytania:

Czy w krajach, w których jest wi ˛ecej bocianów rodzi si ˛e, ´srednio rzecz bior ˛

ac, wi ˛ecej dzieci? Odpowied´z

brzmi – tak, potwierdzaj ˛

a to uzyskane wyniki.

Czy na tej podstawie mo˙zemy s ˛

adzi´c, ˙ze liczba bocianów oddziałuje na liczb ˛e noworodków (lub odwrotnie)?

Odpowied´z brzmi – nie, poniewa˙z pomi ˛edzy badanymi zmiennymi nie ma bezpo´sredniej zale˙zno´sci
przyczynowo-skutkowej. Jest to przykład zale˙zno´sci pozornej.

Agnieszka Rossa

Korelacja a zale˙zno ´sci pozorne – Przykład

Czy w krajach, w których jest wi ˛ecej bocianów rodzi si ˛e wi ˛ecej dzieci?

Wyniki analizy korelacji liniowej dla 17 krajów europejskich
(dane z 1990 roku) pomi ˛edzy powierzchni ˛

a, liczb ˛

mieszka ´nców, liczb ˛

a urodze ´n oraz liczb ˛

a bocianów (!):

macierz współczynników

powierzchnia

liczba bocianów

liczba mieszka ´

nców

liczba urodze ´

korelacji liniowej Pearsona

powierzchnia

0,579

0,812

0,923

liczba bocianów

0,579

0,354

0,620

liczba mieszka ´

nców

0,812

0,354

0,851

liczba urodze ´

0,923

0,620

0,851

Zaskoczeniem mo˙ze by´c do´s´c wysoka warto´s´c współczynnika korelacji liniowej dla liczby bocianów i liczby urodze ´n.

Pytania:

Czy w krajach, w których jest wi ˛ecej bocianów rodzi si ˛e, ´srednio rzecz bior ˛

ac, wi ˛ecej dzieci? Odpowied´z

brzmi – tak, potwierdzaj ˛

a to uzyskane wyniki.

Czy na tej podstawie mo˙zemy s ˛

adzi´c, ˙ze liczba bocianów oddziałuje na liczb ˛e noworodków (lub odwrotnie)?

Odpowied´z brzmi – nie, poniewa˙z pomi ˛edzy badanymi zmiennymi nie ma bezpo´sredniej zale˙zno´sci
przyczynowo-skutkowej. Jest to przykład zale˙zno´sci pozornej.

Agnieszka Rossa

Korelacja a zale˙zno ´sci pozorne – Przykład

Czy w krajach, w których jest wi ˛ecej bocianów rodzi si ˛e wi ˛ecej dzieci?

Wyniki analizy korelacji liniowej dla 17 krajów europejskich
(dane z 1990 roku) pomi ˛edzy powierzchni ˛

a, liczb ˛

mieszka ´nców, liczb ˛

a urodze ´n oraz liczb ˛

a bocianów (!):

macierz współczynników

powierzchnia

liczba bocianów

liczba mieszka ´

nców

liczba urodze ´

korelacji liniowej Pearsona

powierzchnia

0,579

0,812

0,923

liczba bocianów

0,579

0,354

0,620

liczba mieszka ´

nców

0,812

0,354

0,851

liczba urodze ´

0,923

0,620

0,851

Zaskoczeniem mo˙ze by´c do´s´c wysoka warto´s´c współczynnika korelacji liniowej dla liczby bocianów i liczby urodze ´n.

Pytania:

Czy w krajach, w których jest wi ˛ecej bocianów rodzi si ˛e, ´srednio rzecz bior ˛

ac, wi ˛ecej dzieci? Odpowied´z

brzmi – tak, potwierdzaj ˛

a to uzyskane wyniki.

Czy na tej podstawie mo˙zemy s ˛

adzi´c, ˙ze liczba bocianów oddziałuje na liczb ˛e noworodków (lub odwrotnie)?

Odpowied´z brzmi – nie, poniewa˙z pomi ˛edzy badanymi zmiennymi nie ma bezpo´sredniej zale˙zno´sci
przyczynowo-skutkowej. Jest to przykład zale˙zno´sci pozornej.

Agnieszka Rossa

Korelacja a zale˙zno ´sci pozorne – Przykład c.d.

Zale˙zno´s´c przyczynowo-skutkowa pomi ˛edzy liczb ˛

urodze ´n i liczb ˛

a bocianów jest

pozorna

, gdy˙z ma tu

miejsce jedynie współwyst ˛epowanie obu zjawisk (wi ˛ekszej
liczbie bocianów towarzyszy na ogół wi ˛eksza liczba
urodze ´n i na odwrót).

Pozorna zale˙zno´s´c ma miejsce tak˙ze mi ˛edzy liczb ˛

urodze ´n i powierzchni ˛

a kraju.

Układ zale˙zno´sci przyczynowo-skutkowych w tym
przykładzie mo˙zna zilustrowa´c graficznie:

Agnieszka Rossa

Korelacja a zale˙zno ´sci pozorne – Przykład c.d.

Zale˙zno´s´c przyczynowo-skutkowa pomi ˛edzy liczb ˛

urodze ´n i liczb ˛

a bocianów jest

pozorna

, gdy˙z ma tu

miejsce jedynie współwyst ˛epowanie obu zjawisk (wi ˛ekszej
liczbie bocianów towarzyszy na ogół wi ˛eksza liczba
urodze ´n i na odwrót).
Pozorna zale˙zno´s´c ma miejsce tak˙ze mi ˛edzy liczb ˛

urodze ´n i powierzchni ˛

a kraju.

Układ zale˙zno´sci przyczynowo-skutkowych w tym
przykładzie mo˙zna zilustrowa´c graficznie:

Agnieszka Rossa

Korelacja a zale˙zno ´sci pozorne – Przykład c.d.

Zale˙zno´s´c przyczynowo-skutkowa pomi ˛edzy liczb ˛

urodze ´n i liczb ˛

a bocianów jest

pozorna

, gdy˙z ma tu

urodze ´n i powierzchni ˛

a kraju.

Układ zale˙zno´sci przyczynowo-skutkowych w tym
przykładzie mo˙zna zilustrowa´c graficznie:

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rang Spearmana

Przykład

Przypu´s´cmy, ˙ze porz ˛

adkujemy 4 studentów w zale˙zno´sci

od stopnia ich zdolno´sci matematycznych, zaczynaj ˛

ac od

studenta najlepszego, któremu przydzielamy numer 1,
a ko ´ncz ˛

ac na studencie najsłabszym, któremu

przydzielamy numer 4 (ocen ˛e zdolno´sci powierzamy np.
ekspertowi).

Mówimy wówczas, ˙ze studenci zostali

uporz ˛

adkowani w

kolejno ´sci rang

, a numer studenta jest jego

rang ˛

Oznaczmy rangi poszczególnych studentów przez a

Przykładowo, niech:

4, a

2, a

3, a

oznacza, i˙z w badanej grupie, ustawionej w kolejno´sci
alfabetycznej, pierwszy student (oznaczmy go umownie
liter ˛

a A) jest najsłabszy, student B – dobry, student C –

słaby, a student D – najlepszy.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rang Spearmana

Przykład

Przypu´s´cmy, ˙ze porz ˛

adkujemy 4 studentów w zale˙zno´sci

od stopnia ich zdolno´sci matematycznych, zaczynaj ˛

ac od

studenta najlepszego, któremu przydzielamy numer 1,
a ko ´ncz ˛

ac na studencie najsłabszym, któremu

przydzielamy numer 4 (ocen ˛e zdolno´sci powierzamy np.
ekspertowi).

Mówimy wówczas, ˙ze studenci zostali

uporz ˛

adkowani w

kolejno ´sci rang

, a numer studenta jest jego

rang ˛

Oznaczmy rangi poszczególnych studentów przez a

Przykładowo, niech:

4, a

2, a

3, a

oznacza, i˙z w badanej grupie, ustawionej w kolejno´sci
alfabetycznej, pierwszy student (oznaczmy go umownie
liter ˛

a A) jest najsłabszy, student B – dobry, student C –

słaby, a student D – najlepszy.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rang Spearmana

Przykład

Przypu´s´cmy, ˙ze porz ˛

adkujemy 4 studentów w zale˙zno´sci

od stopnia ich zdolno´sci matematycznych, zaczynaj ˛

ac od

studenta najlepszego, któremu przydzielamy numer 1,
a ko ´ncz ˛

ac na studencie najsłabszym, któremu

przydzielamy numer 4 (ocen ˛e zdolno´sci powierzamy np.
ekspertowi).

Mówimy wówczas, ˙ze studenci zostali

uporz ˛

adkowani w

kolejno ´sci rang

, a numer studenta jest jego

rang ˛

Oznaczmy rangi poszczególnych studentów przez a

Przykładowo, niech:

4, a

2, a

3, a

oznacza, i˙z w badanej grupie, ustawionej w kolejno´sci
alfabetycznej, pierwszy student (oznaczmy go umownie
liter ˛

a A) jest najsłabszy, student B – dobry, student C –

słaby, a student D – najlepszy.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rang Spearmana

Przykład

Załó˙zmy, ˙ze w podobny sposób uporz ˛

adkowali´smy tych

samych studentów z punktu widzenia ich zdolno´sci
muzycznych. Niech b

b ˛ed ˛

a rangami poszczególnych

studentów:

2, b

1, b

3, b

W ten sposób ka˙zdemu studentowi przyporz ˛

adkowali´smy

po dwie rangi a

oraz b

Pytanie:

Jak na tej podstawie mo˙zemy oceni´c, czy istnieje

zale˙zno´s´c mi ˛edzy zdolno´sciami matematycznymi oraz
muzycznymi w badanej grupie. Innymi słowy, jak oceni´c
stopie ´n zgodno´sci (lub niezgodno´sci) rang a

Uwaga:

W przypadku danych rangowych nie mo˙zemy

zastosowa´c współczynnika korelacji Pearsona.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rang Spearmana

Przykład

Załó˙zmy, ˙ze w podobny sposób uporz ˛

adkowali´smy tych

samych studentów z punktu widzenia ich zdolno´sci
muzycznych. Niech b

b ˛ed ˛

a rangami poszczególnych

studentów:

2, b

1, b

3, b

W ten sposób ka˙zdemu studentowi przyporz ˛

adkowali´smy

po dwie rangi a

oraz b

Pytanie:

Jak na tej podstawie mo˙zemy oceni´c, czy istnieje

zale˙zno´s´c mi ˛edzy zdolno´sciami matematycznymi oraz
muzycznymi w badanej grupie. Innymi słowy, jak oceni´c
stopie ´n zgodno´sci (lub niezgodno´sci) rang a

Uwaga:

W przypadku danych rangowych nie mo˙zemy

zastosowa´c współczynnika korelacji Pearsona.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rang Spearmana

Przykład

Załó˙zmy, ˙ze w podobny sposób uporz ˛

adkowali´smy tych

samych studentów z punktu widzenia ich zdolno´sci
muzycznych. Niech b

b ˛ed ˛

a rangami poszczególnych

studentów:

2, b

1, b

3, b

W ten sposób ka˙zdemu studentowi przyporz ˛

adkowali´smy

po dwie rangi a

oraz b

Pytanie:

Jak na tej podstawie mo˙zemy oceni´c, czy istnieje

zale˙zno´s´c mi ˛edzy zdolno´sciami matematycznymi oraz
muzycznymi w badanej grupie. Innymi słowy, jak oceni´c
stopie ´n zgodno´sci (lub niezgodno´sci) rang a

Uwaga:

W przypadku danych rangowych nie mo˙zemy

zastosowa´c współczynnika korelacji Pearsona.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rang Spearmana

Przykład

Załó˙zmy, ˙ze w podobny sposób uporz ˛

adkowali´smy tych

samych studentów z punktu widzenia ich zdolno´sci
muzycznych. Niech b

b ˛ed ˛

a rangami poszczególnych

studentów:

2, b

1, b

3, b

W ten sposób ka˙zdemu studentowi przyporz ˛

adkowali´smy

po dwie rangi a

oraz b

Pytanie:

Jak na tej podstawie mo˙zemy oceni´c, czy istnieje

zale˙zno´s´c mi ˛edzy zdolno´sciami matematycznymi oraz
muzycznymi w badanej grupie. Innymi słowy, jak oceni´c
stopie ´n zgodno´sci (lub niezgodno´sci) rang a

Uwaga:

W przypadku danych rangowych nie mo˙zemy

zastosowa´c współczynnika korelacji Pearsona.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rang Spearmana

Jednym ze współczynników korelacji obliczanych dla
danych rangowych jest

współczynnik korelacji rang

Spearmana

, okre´slony wzorem

1 −

n
i=1

n(n

− 1)

gdzie d

− b

Własno ´sci:

Współczynnik r

przymuje warto´sci z przedziału

[−

1, 1]

Warto´s´c

oznacza, ˙ze istnieje całkowita zgodno´s´c

uporz ˛

adkowa ´n wg rang a

i b

Warto´s´c

= −

oznacza z kolei pełn ˛

a przeciwstawno´s´c

uporz ˛

adkowa ´n mi ˛edzy rangami.

Warto´s´c

oznacza brak korelacji rang.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rang Spearmana

Jednym ze współczynników korelacji obliczanych dla
danych rangowych jest

współczynnik korelacji rang

Spearmana

, okre´slony wzorem

1 −

n
i=1

n(n

− 1)

gdzie d

− b

Własno ´sci:

Współczynnik r

przymuje warto´sci z przedziału

[−

1, 1]

Warto´s´c

oznacza, ˙ze istnieje całkowita zgodno´s´c

uporz ˛

adkowa ´n wg rang a

i b

Warto´s´c

= −

oznacza z kolei pełn ˛

a przeciwstawno´s´c

uporz ˛

adkowa ´n mi ˛edzy rangami.

Warto´s´c

oznacza brak korelacji rang.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rang Spearmana

Jednym ze współczynników korelacji obliczanych dla
danych rangowych jest

współczynnik korelacji rang

Spearmana

, okre´slony wzorem

1 −

n
i=1

n(n

− 1)

gdzie d

− b

Własno ´sci:

Współczynnik r

przymuje warto´sci z przedziału

[−

1, 1]

Warto´s´c

oznacza, ˙ze istnieje całkowita zgodno´s´c

uporz ˛

adkowa ´n wg rang a

i b

Warto´s´c

= −

oznacza z kolei pełn ˛

a przeciwstawno´s´c

uporz ˛

adkowa ´n mi ˛edzy rangami.

Warto´s´c

oznacza brak korelacji rang.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rang Spearmana

Jednym ze współczynników korelacji obliczanych dla
danych rangowych jest

współczynnik korelacji rang

Spearmana

, okre´slony wzorem

1 −

n
i=1

n(n

− 1)

gdzie d

− b

Własno ´sci:

Współczynnik r

przymuje warto´sci z przedziału

[−

1, 1]

Warto´s´c

oznacza, ˙ze istnieje całkowita zgodno´s´c

uporz ˛

adkowa ´n wg rang a

i b

Warto´s´c

= −

oznacza z kolei pełn ˛

a przeciwstawno´s´c

uporz ˛

adkowa ´n mi ˛edzy rangami.

Warto´s´c

oznacza brak korelacji rang.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rang Spearmana

Jednym ze współczynników korelacji obliczanych dla
danych rangowych jest

współczynnik korelacji rang

Spearmana

, okre´slony wzorem

1 −

n
i=1

n(n

− 1)

gdzie d

− b

Własno ´sci:

Współczynnik r

przymuje warto´sci z przedziału

[−

1, 1]

Warto´s´c

oznacza, ˙ze istnieje całkowita zgodno´s´c

uporz ˛

adkowa ´n wg rang a

i b

Warto´s´c

= −

oznacza z kolei pełn ˛

a przeciwstawno´s´c

uporz ˛

adkowa ´n mi ˛edzy rangami.

Warto´s´c

oznacza brak korelacji rang.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rang Spearmana

Jednym ze współczynników korelacji obliczanych dla
danych rangowych jest

współczynnik korelacji rang

Spearmana

, okre´slony wzorem

1 −

n
i=1

n(n

− 1)

gdzie d

− b

Własno ´sci:

Współczynnik r

przymuje warto´sci z przedziału

[−

1, 1]

Warto´s´c

oznacza, ˙ze istnieje całkowita zgodno´s´c

uporz ˛

adkowa ´n wg rang a

i b

Warto´s´c

= −

oznacza z kolei pełn ˛

a przeciwstawno´s´c

uporz ˛

adkowa ´n mi ˛edzy rangami.

Warto´s´c

oznacza brak korelacji rang.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rang Spearmana

Przykład

Student

rangi a

rangi b

ró˙znice rang d

-3

Razem

Zródło: Dane umowne.

Warto´s´c współczynnika korelacji rang Spearmana w tym
przykładzie wynosi:

1 −

6 · 14

4(16 − 1)

= −

0, 4

co ´swiadczy o stosunkowo słabej korelacji mi ˛edzy

zdolno´sciami matematycznymi i muzycznymi badanych
studentów.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rang Spearmana

Przykład

Student

rangi a

rangi b

ró˙znice rang d

-3

Razem

Zródło: Dane umowne.

Warto´s´c współczynnika korelacji rang Spearmana w tym
przykładzie wynosi:

1 −

6 · 14

4(16 − 1)

= −

0, 4

co ´swiadczy o stosunkowo słabej korelacji mi ˛edzy

zdolno´sciami matematycznymi i muzycznymi badanych
studentów.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rangowej Kendalla

Innym współczynnikiem zaliczanym do mierników korelacji
rangowej jest

współczynnik Kendalla

Zaló˙zmy, ˙ze obserwujemy dwie cechy ilo´sciowe X i Y
w pewnej n-elementowej zbiorowo´sci.

Jednostki zbiorowo´sci ł ˛

aczymy w dwuelementowe

podzbiory.

Dla n-elementowej zbiorowo´sci mo˙zna utworzy´c ł ˛

acznie

N = n·(n−1)

takich podzbiorów (tj. uporz ˛

adkowanych par).

Współczynnik korelacji Kendalla obliczamy na podstawie
zbiorowo´sci dwuelementowych podzbiorów, utworzonych z
elementów zbioru wyj´sciowego.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rangowej Kendalla

Innym współczynnikiem zaliczanym do mierników korelacji
rangowej jest

współczynnik Kendalla

Zaló˙zmy, ˙ze obserwujemy dwie cechy ilo´sciowe X i Y
w pewnej n-elementowej zbiorowo´sci.

Jednostki zbiorowo´sci ł ˛

aczymy w dwuelementowe

podzbiory.

Dla n-elementowej zbiorowo´sci mo˙zna utworzy´c ł ˛

acznie

N = n·(n−1)

takich podzbiorów (tj. uporz ˛

adkowanych par).

Współczynnik korelacji Kendalla obliczamy na podstawie
zbiorowo´sci dwuelementowych podzbiorów, utworzonych z
elementów zbioru wyj´sciowego.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rangowej Kendalla

Innym współczynnikiem zaliczanym do mierników korelacji
rangowej jest

współczynnik Kendalla

Zaló˙zmy, ˙ze obserwujemy dwie cechy ilo´sciowe X i Y
w pewnej n-elementowej zbiorowo´sci.

Jednostki zbiorowo´sci ł ˛

aczymy w dwuelementowe

podzbiory.

Dla n-elementowej zbiorowo´sci mo˙zna utworzy´c ł ˛

acznie

N = n·(n−1)

takich podzbiorów (tj. uporz ˛

adkowanych par).

Współczynnik korelacji Kendalla obliczamy na podstawie
zbiorowo´sci dwuelementowych podzbiorów, utworzonych z
elementów zbioru wyj´sciowego.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rangowej Kendalla

Innym współczynnikiem zaliczanym do mierników korelacji
rangowej jest

współczynnik Kendalla

Zaló˙zmy, ˙ze obserwujemy dwie cechy ilo´sciowe X i Y
w pewnej n-elementowej zbiorowo´sci.

Jednostki zbiorowo´sci ł ˛

aczymy w dwuelementowe

podzbiory.

Dla n-elementowej zbiorowo´sci mo˙zna utworzy´c ł ˛

acznie

N = n·(n−1)

takich podzbiorów (tj. uporz ˛

adkowanych par).

Współczynnik korelacji Kendalla obliczamy na podstawie
zbiorowo´sci dwuelementowych podzbiorów, utworzonych z
elementów zbioru wyj´sciowego.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rangowej Kendalla

Niech

dla

j = 1, 2, . . . , N

b ˛ed ˛

a zmiennymi przyjmuj ˛

acymi

warto´sci 1 lub -1, zgodnie z nast ˛epuj ˛

acymi zasadami:

, gdy warto´s´c cechy X dla pierwszego elementu

w j-tej parze jest wi ˛eksza ni˙z dla drugiego elementu.

= −

, gdy warto´s´c cechy X dla pierwszego elementu

w j-tej parze jest mniejsza ni˙z dla drugiego elementu.

W podobny sposób zdefiniujmy zmienne

dla

j = 1, 2, . . . , N

, odwołuj ˛

ac si ˛e do analogicznego sposobu

uporz ˛

adkowa ´n warto´sci cechy Y w poszczególnych

parach.

Uwaga:

Dalej zakłada´c b ˛edziemy, ˙ze zarówno warto´sci

cechy X , jak i cechy Y nie powtarzaj ˛

a si ˛e w badanej

zbiorowo´sci (w przeciwnym przypadku trzeba skorzysta´c z
pewnej skorygowanej formuły na współczynnik Kendalla,
która tutaj nie b ˛edzie przytoczona).

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rangowej Kendalla

Niech

dla

j = 1, 2, . . . , N

b ˛ed ˛

a zmiennymi przyjmuj ˛

acymi

warto´sci 1 lub -1, zgodnie z nast ˛epuj ˛

acymi zasadami:

, gdy warto´s´c cechy X dla pierwszego elementu

w j-tej parze jest wi ˛eksza ni˙z dla drugiego elementu.

= −

, gdy warto´s´c cechy X dla pierwszego elementu

w j-tej parze jest mniejsza ni˙z dla drugiego elementu.

W podobny sposób zdefiniujmy zmienne

dla

j = 1, 2, . . . , N

, odwołuj ˛

ac si ˛e do analogicznego sposobu

uporz ˛

adkowa ´n warto´sci cechy Y w poszczególnych

parach.

Uwaga:

Dalej zakłada´c b ˛edziemy, ˙ze zarówno warto´sci

cechy X , jak i cechy Y nie powtarzaj ˛

a si ˛e w badanej

zbiorowo´sci (w przeciwnym przypadku trzeba skorzysta´c z
pewnej skorygowanej formuły na współczynnik Kendalla,
która tutaj nie b ˛edzie przytoczona).

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rangowej Kendalla

Niech

dla

j = 1, 2, . . . , N

b ˛ed ˛

a zmiennymi przyjmuj ˛

acymi

warto´sci 1 lub -1, zgodnie z nast ˛epuj ˛

acymi zasadami:

, gdy warto´s´c cechy X dla pierwszego elementu

w j-tej parze jest wi ˛eksza ni˙z dla drugiego elementu.

= −

, gdy warto´s´c cechy X dla pierwszego elementu

w j-tej parze jest mniejsza ni˙z dla drugiego elementu.

W podobny sposób zdefiniujmy zmienne

dla

j = 1, 2, . . . , N

, odwołuj ˛

ac si ˛e do analogicznego sposobu

uporz ˛

adkowa ´n warto´sci cechy Y w poszczególnych

parach.

Uwaga:

Dalej zakłada´c b ˛edziemy, ˙ze zarówno warto´sci

cechy X , jak i cechy Y nie powtarzaj ˛

a si ˛e w badanej

zbiorowo´sci (w przeciwnym przypadku trzeba skorzysta´c z
pewnej skorygowanej formuły na współczynnik Kendalla,
która tutaj nie b ˛edzie przytoczona).

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rangowej Kendalla

Przykład

Niech

oznacza liczb ˛e przypadków (par)

zgodnie

uporz ˛

adkowanych

, tj. liczb ˛e par, dla których warto´sci U

s ˛

a równe V

Podobnie, niech

oznacza liczb ˛e przypadków (par)

niezgodnie uporz ˛

adkowanych

, tj. liczb ˛e par, dla których

warto´sci U

oraz V

s ˛

a przeciwnego znaku.

Przy tych oznaczeniach współczynniki korelacji Kendalla
wyra˙za si ˛e wzorem:

τ =

P − Q

n(n − 1)

Podobnie, jak współczynnik korelacji Spearmanna,
współczynnik

(tau) przyjmuje zawsze warto´sci z

przedziału

[−

1, 1]

. Jest równie˙z podobnie interpretowany.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rangowej Kendalla

Przykład

Niech

oznacza liczb ˛e przypadków (par)

zgodnie

uporz ˛

adkowanych

, tj. liczb ˛e par, dla których warto´sci U

s ˛

a równe V

Podobnie, niech

oznacza liczb ˛e przypadków (par)

niezgodnie uporz ˛

adkowanych

, tj. liczb ˛e par, dla których

warto´sci U

oraz V

s ˛

a przeciwnego znaku.

Przy tych oznaczeniach współczynniki korelacji Kendalla
wyra˙za si ˛e wzorem:

τ =

P − Q

n(n − 1)

Podobnie, jak współczynnik korelacji Spearmanna,
współczynnik

(tau) przyjmuje zawsze warto´sci z

przedziału

[−

1, 1]

. Jest równie˙z podobnie interpretowany.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rangowej Kendalla

Przykład

Niech

oznacza liczb ˛e przypadków (par)

zgodnie

uporz ˛

adkowanych

, tj. liczb ˛e par, dla których warto´sci U

s ˛

a równe V

Podobnie, niech

oznacza liczb ˛e przypadków (par)

niezgodnie uporz ˛

adkowanych

, tj. liczb ˛e par, dla których

warto´sci U

oraz V

s ˛

a przeciwnego znaku.

Przy tych oznaczeniach współczynniki korelacji Kendalla
wyra˙za si ˛e wzorem:

τ =

P − Q

n(n − 1)

Podobnie, jak współczynnik korelacji Spearmanna,
współczynnik

(tau) przyjmuje zawsze warto´sci z

przedziału

[−

1, 1]

. Jest równie˙z podobnie interpretowany.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rangowej Kendalla

Przykład

Niech

oznacza liczb ˛e przypadków (par)

zgodnie

uporz ˛

adkowanych

, tj. liczb ˛e par, dla których warto´sci U

s ˛

a równe V

Podobnie, niech

oznacza liczb ˛e przypadków (par)

niezgodnie uporz ˛

adkowanych

, tj. liczb ˛e par, dla których

warto´sci U

oraz V

s ˛

a przeciwnego znaku.

Przy tych oznaczeniach współczynniki korelacji Kendalla
wyra˙za si ˛e wzorem:

τ =

P − Q

n(n − 1)

Podobnie, jak współczynnik korelacji Spearmanna,
współczynnik

(tau) przyjmuje zawsze warto´sci z

przedziału

[−

1, 1]

. Jest równie˙z podobnie interpretowany.

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rangowej Kendalla

Przykład

Wró´cmy do przykładu dotycz ˛

acego zdolno´sci matematycznych

i muzycznych grupy studentów (A, B, C, D). W tym przykładzie
mo˙zna utworzy´c ł ˛

acznie 4·(4− 1) = 12 dwuelementowych

podzbiorów ze zbioru 4-elementowego (por. pierwsza kolumna
tablicy).
Dalsze kolumny prezentuj ˛

a uporz ˛

adkowane w parach warto´sci

cech, w tym przypadku rang a

oraz b

, a tak˙ze warto´sci U

Pary

dla pierwszej

uporz ˛

adkowanie U

dla pierwszej

uporz ˛

adkowanie V

studentów

i drugiej osoby w parze

(A,B)

4; 2

2; 1

(A,C)

4; 3

2; 3

-1

(A,D)

4; 1

2; 4

-1

(B,A)

2; 4

-1

1; 2

-1

(B,C)

2; 3

-1

1; 3

-1

(B,D)

2; 1

1; 4

-1

(C,A)

3; 4

-1

3; 2

(C,B)

3; 2

3; 1

(C,D)

3; 1

3; 4

-1

(D,A)

1; 4

-1

4; 2

(D,B)

1; 2

-1

4; 1

(D,C)

1; 3

-1

4; 3

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rangowej Kendalla

Przykład

Wró´cmy do przykładu dotycz ˛

acego zdolno´sci matematycznych

i muzycznych grupy studentów (A, B, C, D). W tym przykładzie
mo˙zna utworzy´c ł ˛

acznie 4·(4− 1) = 12 dwuelementowych

podzbiorów ze zbioru 4-elementowego (por. pierwsza kolumna
tablicy).
Dalsze kolumny prezentuj ˛

a uporz ˛

adkowane w parach warto´sci

cech, w tym przypadku rang a

oraz b

, a tak˙ze warto´sci U

Pary

dla pierwszej

uporz ˛

adkowanie U

dla pierwszej

uporz ˛

adkowanie V

studentów

i drugiej osoby w parze

(A,B)

4; 2

2; 1

(A,C)

4; 3

2; 3

-1

(A,D)

4; 1

2; 4

-1

(B,A)

2; 4

-1

1; 2

-1

(B,C)

2; 3

-1

1; 3

-1

(B,D)

2; 1

1; 4

-1

(C,A)

3; 4

-1

3; 2

(C,B)

3; 2

3; 1

(C,D)

3; 1

3; 4

-1

(D,A)

1; 4

-1

4; 2

(D,B)

1; 2

-1

4; 1

(D,C)

1; 3

-1

4; 3

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rangowej Kendalla

Przykład

Liczba

przypadków (par) zgodnie uporz ˛

adkowanych w

naszym przykładzie wynosi

P = 4

(oznaczone w tablicy

kolorem niebieskim).

Z kolei liczba

przypadków (par) niezgodnie

uporz ˛

adkowanych wynosi

Q = 8

(oznaczone w tablicy

kolorem czerwonym).

Współczynniki Kendalla dla n = 4, P = 4, Q = 8 wynosi:

τ = −

≈ −0, 33

co wskazuje na słab ˛

a korelacj ˛e mi ˛edzy zdolno´sciami

matematycznymi i muzycznymi w badanej grupie
studentów (podobna warto´s´c, jak współczynnika r

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rangowej Kendalla

Przykład

Liczba

przypadków (par) zgodnie uporz ˛

adkowanych w

naszym przykładzie wynosi

P = 4

(oznaczone w tablicy

kolorem niebieskim).

Z kolei liczba

przypadków (par) niezgodnie

uporz ˛

adkowanych wynosi

Q = 8

(oznaczone w tablicy

kolorem czerwonym).

Współczynniki Kendalla dla n = 4, P = 4, Q = 8 wynosi:

τ = −

≈ −0, 33

co wskazuje na słab ˛

a korelacj ˛e mi ˛edzy zdolno´sciami

matematycznymi i muzycznymi w badanej grupie
studentów (podobna warto´s´c, jak współczynnika r

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rangowej Kendalla

Przykład

Liczba

przypadków (par) zgodnie uporz ˛

adkowanych w

naszym przykładzie wynosi

P = 4

(oznaczone w tablicy

kolorem niebieskim).

Z kolei liczba

przypadków (par) niezgodnie

uporz ˛

adkowanych wynosi

Q = 8

(oznaczone w tablicy

kolorem czerwonym).

Współczynniki Kendalla dla n = 4, P = 4, Q = 8 wynosi:

τ = −

≈ −0, 33

co wskazuje na słab ˛

a korelacj ˛e mi ˛edzy zdolno´sciami

matematycznymi i muzycznymi w badanej grupie
studentów (podobna warto´s´c, jak współczynnika r

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rangowej Kendalla

Uwagi

Zauwa˙zymy, ˙ze je´sli dla pewnej pary elementów, np. (A, B)
warto´s´c U

wynosi 1, to dla pary (B, A) musi by´c U

= −

Oznacza to, ˙ze zamiast bada´c zbiorowo´s´c wszystkich
podzbiorów dwuelementowych, w´sród których niektóre
pary składaj ˛

a si ˛e z tych samych elementów, a ró˙zni ˛

a si ˛e

jedynie ich kolejno´sci ˛

a (np. (A, B) i (B, A) lub (A, C)

i (C, A) itd.), mo˙zna ograniczy´c rozwa˙zania do mniejszej
zbiorowo´sci par, w której podzbiór o okre´slonych
elementach wyst ˛epuje tylko raz.

Jednak w takiej zbiorowo´sci liczba wszystkich mo˙zliwych
par byłaby równa

n(n−1)

, a warto´sci P i Q byłyby o połow ˛e

mniejsze, a wi ˛ec wzór na współczynnik τ przyj ˛

ałby posta´c:

τ =

2(P

− Q

)

n(n − 1)

gdzie

1
2

P, Q

1
2

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rangowej Kendalla

Uwagi

Zauwa˙zymy, ˙ze je´sli dla pewnej pary elementów, np. (A, B)
warto´s´c U

wynosi 1, to dla pary (B, A) musi by´c U

= −

Oznacza to, ˙ze zamiast bada´c zbiorowo´s´c wszystkich
podzbiorów dwuelementowych, w´sród których niektóre
pary składaj ˛

a si ˛e z tych samych elementów, a ró˙zni ˛

a si ˛e

jedynie ich kolejno´sci ˛

a (np. (A, B) i (B, A) lub (A, C)

i (C, A) itd.), mo˙zna ograniczy´c rozwa˙zania do mniejszej
zbiorowo´sci par, w której podzbiór o okre´slonych
elementach wyst ˛epuje tylko raz.

Jednak w takiej zbiorowo´sci liczba wszystkich mo˙zliwych
par byłaby równa

n(n−1)

, a warto´sci P i Q byłyby o połow ˛e

mniejsze, a wi ˛ec wzór na współczynnik τ przyj ˛

ałby posta´c:

τ =

2(P

− Q

)

n(n − 1)

gdzie

1
2

P, Q

1
2

Agnieszka Rossa

Inne miary korelacji – współczynnik korelacji rangowej Kendalla

Uwagi

Zauwa˙zymy, ˙ze je´sli dla pewnej pary elementów, np. (A, B)
warto´s´c U

wynosi 1, to dla pary (B, A) musi by´c U

= −

Oznacza to, ˙ze zamiast bada´c zbiorowo´s´c wszystkich
podzbiorów dwuelementowych, w´sród których niektóre
pary składaj ˛

a si ˛e z tych samych elementów, a ró˙zni ˛

a si ˛e

jedynie ich kolejno´sci ˛

a (np. (A, B) i (B, A) lub (A, C)

i (C, A) itd.), mo˙zna ograniczy´c rozwa˙zania do mniejszej
zbiorowo´sci par, w której podzbiór o okre´slonych
elementach wyst ˛epuje tylko raz.

Jednak w takiej zbiorowo´sci liczba wszystkich mo˙zliwych
par byłaby równa

n(n−1)

, a warto´sci P i Q byłyby o połow ˛e

mniejsze, a wi ˛ec wzór na współczynnik τ przyj ˛

ałby posta´c:

τ =

2(P

− Q

)

n(n − 1)

gdzie

1
2

P, Q

1
2

Agnieszka Rossa

Analiza regresji

Wprowadzenie

Jak ju˙z wcze´sniej wspomniano, na ogół powi ˛

azania

pomi ˛edzy cechami (zmiennymi) nie maj ˛

a charakteru

matematycznego, który dałoby si ˛e zapisa´c jednoznacznie
w postaci:

Y = f (X

, . . . ,

gdzie f oznacza pewn ˛

a funkcj ˛e opisuj ˛

ac ˛

a zale˙zno´s´c

zmiennej Y od zmiennych X

, . . . ,

Zapis taki oznaczałby, ˙ze zale˙zno´s´c pomi ˛edzy Y a
pozostałymi cechamy jest ´sci´sle funkcyjna, tj. konkretnym
warto´sciom obserwowanych cech X

, . . . ,

odpowiada dokładnie jedna warto´s´c cechy Y .

W przypadku zjawisk społecznych, ekonomicznych,
przyrodniczych itp. zale˙zno´sci funkcyjne rzadko wyst ˛epuj ˛

cz ˛e´sciej natomiast wyst ˛epuj ˛

a zale˙zno´sci korelacyjne.

Agnieszka Rossa

Analiza regresji

Wprowadzenie

Jak ju˙z wcze´sniej wspomniano, na ogół powi ˛

azania

pomi ˛edzy cechami (zmiennymi) nie maj ˛

a charakteru

matematycznego, który dałoby si ˛e zapisa´c jednoznacznie
w postaci:

Y = f (X

, . . . ,

gdzie f oznacza pewn ˛

a funkcj ˛e opisuj ˛

ac ˛

a zale˙zno´s´c

zmiennej Y od zmiennych X

, . . . ,

Zapis taki oznaczałby, ˙ze zale˙zno´s´c pomi ˛edzy Y a
pozostałymi cechamy jest ´sci´sle funkcyjna, tj. konkretnym
warto´sciom obserwowanych cech X

, . . . ,

odpowiada dokładnie jedna warto´s´c cechy Y .

W przypadku zjawisk społecznych, ekonomicznych,
przyrodniczych itp. zale˙zno´sci funkcyjne rzadko wyst ˛epuj ˛

cz ˛e´sciej natomiast wyst ˛epuj ˛

a zale˙zno´sci korelacyjne.

Agnieszka Rossa

Analiza regresji

Wprowadzenie

Jak ju˙z wcze´sniej wspomniano, na ogół powi ˛

azania

pomi ˛edzy cechami (zmiennymi) nie maj ˛

a charakteru

matematycznego, który dałoby si ˛e zapisa´c jednoznacznie
w postaci:

Y = f (X

, . . . ,

gdzie f oznacza pewn ˛

a funkcj ˛e opisuj ˛

ac ˛

a zale˙zno´s´c

zmiennej Y od zmiennych X

, . . . ,

Zapis taki oznaczałby, ˙ze zale˙zno´s´c pomi ˛edzy Y a
pozostałymi cechamy jest ´sci´sle funkcyjna, tj. konkretnym
warto´sciom obserwowanych cech X

, . . . ,

odpowiada dokładnie jedna warto´s´c cechy Y .

W przypadku zjawisk społecznych, ekonomicznych,
przyrodniczych itp. zale˙zno´sci funkcyjne rzadko wyst ˛epuj ˛

cz ˛e´sciej natomiast wyst ˛epuj ˛

a zale˙zno´sci korelacyjne.

Agnieszka Rossa

Analiza regresji

Wprowadzenie

W statystyce zale˙zno´sci o charakterze korelacyjnym
pomi ˛edzy zmienn ˛

a Y a pewnym zespołem zmiennych

, . . . ,

wyra˙za si ˛e cz ˛esto w postaci zbli˙zonej do

przedstawionej powy˙zej, ale z pewn ˛

a istotn ˛

a zmian ˛

Mianowicie:

Y = f (x

, . . . ,

) +

, . . . ,

reprezentuj ˛

a tu konkretne (ustalone) warto´sci

zmiennych X

, . . . ,

;

jest składnikiem losowym reprezentuj ˛

acym sumaryczny

(nieobserwowany) wpływ innych czynników;

Doł ˛

aczenie składnika losowego powoduje, ˙ze konkretnym

warto´sciom x

, . . . ,

mog ˛

a odpowiada´c nie takie

same, ale

ró˙zne

warto´sci zmiennej Y .

Agnieszka Rossa

Analiza regresji

Wprowadzenie

W statystyce zale˙zno´sci o charakterze korelacyjnym
pomi ˛edzy zmienn ˛

a Y a pewnym zespołem zmiennych

, . . . ,

wyra˙za si ˛e cz ˛esto w postaci zbli˙zonej do

przedstawionej powy˙zej, ale z pewn ˛

a istotn ˛

a zmian ˛

Mianowicie:

Y = f (x

, . . . ,

) +

, . . . ,

reprezentuj ˛

a tu konkretne (ustalone) warto´sci

zmiennych X

, . . . ,

;

jest składnikiem losowym reprezentuj ˛

acym sumaryczny

(nieobserwowany) wpływ innych czynników;

Doł ˛

aczenie składnika losowego powoduje, ˙ze konkretnym

warto´sciom x

, . . . ,

mog ˛

a odpowiada´c nie takie

same, ale

ró˙zne

warto´sci zmiennej Y .

Agnieszka Rossa

Analiza regresji

Wprowadzenie

W statystyce zale˙zno´sci o charakterze korelacyjnym
pomi ˛edzy zmienn ˛

a Y a pewnym zespołem zmiennych

, . . . ,

wyra˙za si ˛e cz ˛esto w postaci zbli˙zonej do

przedstawionej powy˙zej, ale z pewn ˛

a istotn ˛

a zmian ˛

Mianowicie:

Y = f (x

, . . . ,

) +

, . . . ,

reprezentuj ˛

a tu konkretne (ustalone) warto´sci

zmiennych X

, . . . ,

;

jest składnikiem losowym reprezentuj ˛

acym sumaryczny

(nieobserwowany) wpływ innych czynników;

Doł ˛

aczenie składnika losowego powoduje, ˙ze konkretnym

warto´sciom x

, . . . ,

mog ˛

a odpowiada´c nie takie

same, ale

ró˙zne

warto´sci zmiennej Y .

Agnieszka Rossa

Analiza regresji

Wprowadzenie

W statystyce zale˙zno´sci o charakterze korelacyjnym
pomi ˛edzy zmienn ˛

a Y a pewnym zespołem zmiennych

, . . . ,

wyra˙za si ˛e cz ˛esto w postaci zbli˙zonej do

przedstawionej powy˙zej, ale z pewn ˛

a istotn ˛

a zmian ˛

Mianowicie:

Y = f (x

, . . . ,

) +

, . . . ,

reprezentuj ˛

a tu konkretne (ustalone) warto´sci

zmiennych X

, . . . ,

;

jest składnikiem losowym reprezentuj ˛

acym sumaryczny

(nieobserwowany) wpływ innych czynników;

Doł ˛

aczenie składnika losowego powoduje, ˙ze konkretnym

warto´sciom x

, . . . ,

mog ˛

a odpowiada´c nie takie

same, ale

ró˙zne

warto´sci zmiennej Y .

Agnieszka Rossa

Analiza regresji

Terminologia

Zmienna obja ´sniana

(zmienna zale˙zna) – zmienna

b ˛ed ˛

aca przedmiotem badania. Na ogół oznaczamy j ˛

symbolem Y .

Zmienne obja ´sniaj ˛

ace

(zmienne niezale˙zne) – zmienne,

za pomoc ˛

a których chcemy obja´sni´c zmiany zmiennej

zale˙znej. Na ogół oznaczamy je symbolami X

, . . .

Funkcja regresji

– funkcja odwzorowuj ˛

aca zale˙zno´s´c

pomi ˛edzy zmienn ˛

a obja´snian ˛

a Y a zmiennymi

obja´sniaj ˛

acymi.

W przypadku wielu zmiennych obja´sniaj ˛

acych mówimy o

regresji wielorakiej

, natomiast w przypadku jednej

zmiennej obja´sniaj ˛

acej – o

regresji jednej zmiennej

Agnieszka Rossa

Analiza regresji

Terminologia

Zmienna obja ´sniana

(zmienna zale˙zna) – zmienna

b ˛ed ˛

aca przedmiotem badania. Na ogół oznaczamy j ˛

symbolem Y .

Zmienne obja ´sniaj ˛

ace

(zmienne niezale˙zne) – zmienne,

za pomoc ˛

a których chcemy obja´sni´c zmiany zmiennej

zale˙znej. Na ogół oznaczamy je symbolami X

, . . .

Funkcja regresji

– funkcja odwzorowuj ˛

aca zale˙zno´s´c

pomi ˛edzy zmienn ˛

a obja´snian ˛

a Y a zmiennymi

obja´sniaj ˛

acymi.

W przypadku wielu zmiennych obja´sniaj ˛

acych mówimy o

regresji wielorakiej

, natomiast w przypadku jednej

zmiennej obja´sniaj ˛

acej – o

regresji jednej zmiennej

Agnieszka Rossa

Analiza regresji

Terminologia

Zmienna obja ´sniana

(zmienna zale˙zna) – zmienna

b ˛ed ˛

aca przedmiotem badania. Na ogół oznaczamy j ˛

symbolem Y .

Zmienne obja ´sniaj ˛

ace

(zmienne niezale˙zne) – zmienne,

za pomoc ˛

a których chcemy obja´sni´c zmiany zmiennej

zale˙znej. Na ogół oznaczamy je symbolami X

, . . .

Funkcja regresji

– funkcja odwzorowuj ˛

aca zale˙zno´s´c

pomi ˛edzy zmienn ˛

a obja´snian ˛

a Y a zmiennymi

obja´sniaj ˛

acymi.

W przypadku wielu zmiennych obja´sniaj ˛

acych mówimy o

regresji wielorakiej

, natomiast w przypadku jednej

zmiennej obja´sniaj ˛

acej – o

regresji jednej zmiennej

Agnieszka Rossa

Analiza regresji

Terminologia

Zmienna obja ´sniana

(zmienna zale˙zna) – zmienna

b ˛ed ˛

aca przedmiotem badania. Na ogół oznaczamy j ˛

symbolem Y .

Zmienne obja ´sniaj ˛

ace

(zmienne niezale˙zne) – zmienne,

za pomoc ˛

a których chcemy obja´sni´c zmiany zmiennej

zale˙znej. Na ogół oznaczamy je symbolami X

, . . .

Funkcja regresji

– funkcja odwzorowuj ˛

aca zale˙zno´s´c

pomi ˛edzy zmienn ˛

a obja´snian ˛

a Y a zmiennymi

obja´sniaj ˛

acymi.

W przypadku wielu zmiennych obja´sniaj ˛

acych mówimy o

regresji wielorakiej

, natomiast w przypadku jednej

zmiennej obja´sniaj ˛

acej – o

regresji jednej zmiennej

Agnieszka Rossa

Regresja liniowa jednej zmiennej

Dalej przyjmiemy nast ˛epuj ˛

ace

zało˙zenia:

Składnik losowy ma warto´s´c ´sredni ˛

a równ ˛

a 0 i pewn ˛

dodatni ˛

a wariancj ˛e oznaczan ˛

a symbolem σ

Mamy tylko jedn ˛

a zmienn ˛

a obja´sniaj ˛

ac ˛

a X .

Funkcja f nale˙zy do klasy funkcji liniowych.

Model regresji liniowej:

Przy podanych zało˙zeniach, zale˙zno´s´c pomi ˛edzy cechami
Y i X mo˙zemy zapisa´c w postaci

Y = a + bx + ,

gdzie a i b s ˛

a pewnymi parametrami.

Model ten nazywamy

modelem regresji liniowej jednej

zmiennej

. Parametry a i b nazywamy odpowiednio

wyrazem wolnym

współczynnikiem regresji

Agnieszka Rossa

Regresja liniowa jednej zmiennej

Dalej przyjmiemy nast ˛epuj ˛

ace

zało˙zenia:

Składnik losowy ma warto´s´c ´sredni ˛

a równ ˛

a 0 i pewn ˛

dodatni ˛

a wariancj ˛e oznaczan ˛

a symbolem σ

Mamy tylko jedn ˛

a zmienn ˛

a obja´sniaj ˛

ac ˛

a X .

Funkcja f nale˙zy do klasy funkcji liniowych.

Model regresji liniowej:

Przy podanych zało˙zeniach, zale˙zno´s´c pomi ˛edzy cechami
Y i X mo˙zemy zapisa´c w postaci

Y = a + bx + ,

gdzie a i b s ˛

a pewnymi parametrami.

Model ten nazywamy

modelem regresji liniowej jednej

zmiennej

. Parametry a i b nazywamy odpowiednio

wyrazem wolnym

współczynnikiem regresji

Agnieszka Rossa

Regresja liniowa jednej zmiennej

Dalej przyjmiemy nast ˛epuj ˛

ace

zało˙zenia:

Składnik losowy ma warto´s´c ´sredni ˛

a równ ˛

a 0 i pewn ˛

dodatni ˛

a wariancj ˛e oznaczan ˛

a symbolem σ

Mamy tylko jedn ˛

a zmienn ˛

a obja´sniaj ˛

ac ˛

a X .

Funkcja f nale˙zy do klasy funkcji liniowych.

Model regresji liniowej:

Przy podanych zało˙zeniach, zale˙zno´s´c pomi ˛edzy cechami
Y i X mo˙zemy zapisa´c w postaci

Y = a + bx + ,

gdzie a i b s ˛

a pewnymi parametrami.

Model ten nazywamy

modelem regresji liniowej jednej

zmiennej

. Parametry a i b nazywamy odpowiednio

wyrazem wolnym

współczynnikiem regresji

Agnieszka Rossa

Regresja liniowa jednej zmiennej

Dalej przyjmiemy nast ˛epuj ˛

ace

zało˙zenia:

Składnik losowy ma warto´s´c ´sredni ˛

a równ ˛

a 0 i pewn ˛

dodatni ˛

a wariancj ˛e oznaczan ˛

a symbolem σ

Mamy tylko jedn ˛

a zmienn ˛

a obja´sniaj ˛

ac ˛

a X .

Funkcja f nale˙zy do klasy funkcji liniowych.

Model regresji liniowej:

Przy podanych zało˙zeniach, zale˙zno´s´c pomi ˛edzy cechami
Y i X mo˙zemy zapisa´c w postaci

Y = a + bx + ,

gdzie a i b s ˛

a pewnymi parametrami.

Model ten nazywamy

modelem regresji liniowej jednej

zmiennej

. Parametry a i b nazywamy odpowiednio

wyrazem wolnym

współczynnikiem regresji

Agnieszka Rossa

Regresja liniowa jednej zmiennej

Dalej przyjmiemy nast ˛epuj ˛

ace

zało˙zenia:

Składnik losowy ma warto´s´c ´sredni ˛

a równ ˛

a 0 i pewn ˛

dodatni ˛

a wariancj ˛e oznaczan ˛

a symbolem σ

Mamy tylko jedn ˛

a zmienn ˛

a obja´sniaj ˛

ac ˛

a X .

Funkcja f nale˙zy do klasy funkcji liniowych.

Model regresji liniowej:

Przy podanych zało˙zeniach, zale˙zno´s´c pomi ˛edzy cechami
Y i X mo˙zemy zapisa´c w postaci

Y = a + bx + ,

gdzie a i b s ˛

a pewnymi parametrami.

Model ten nazywamy

modelem regresji liniowej jednej

zmiennej

. Parametry a i b nazywamy odpowiednio

wyrazem wolnym

współczynnikiem regresji

Agnieszka Rossa

Regresja liniowa jednej zmiennej

Dalej przyjmiemy nast ˛epuj ˛

ace

zało˙zenia:

Składnik losowy ma warto´s´c ´sredni ˛

a równ ˛

a 0 i pewn ˛

dodatni ˛

a wariancj ˛e oznaczan ˛

a symbolem σ

Mamy tylko jedn ˛

a zmienn ˛

a obja´sniaj ˛

ac ˛

a X .

Funkcja f nale˙zy do klasy funkcji liniowych.

Model regresji liniowej:

Przy podanych zało˙zeniach, zale˙zno´s´c pomi ˛edzy cechami
Y i X mo˙zemy zapisa´c w postaci

Y = a + bx + ,

gdzie a i b s ˛

a pewnymi parametrami.

Model ten nazywamy

modelem regresji liniowej jednej

zmiennej

. Parametry a i b nazywamy odpowiednio

wyrazem wolnym

współczynnikiem regresji

Agnieszka Rossa

Regresja liniowa jednej zmiennej

Funkcj ˛e

f (x ) = a + bx

nazywamy

prost ˛

a regresji

Podstawowym problemem, jaki pojawia si ˛e przy
wyznaczaniu równania prostej regresji, która opisywałaby
mo˙zliwie wiernie zale˙zno´s´c pomi ˛edzy konkretnymi
zmiennymi Y i X , jest okre´slenie liczbowych warto´sci
parametrów a i b.

Dokonujemy tego na podstawie obserwacji warto´sci cech
Y i X w badanej zbiorowo´sci, stosuj ˛

ac tzw.

metod ˛e

najmniejszych kwadratów

MNK.

Agnieszka Rossa

Regresja liniowa jednej zmiennej

Funkcj ˛e

f (x ) = a + bx

nazywamy

prost ˛

a regresji

Dokonujemy tego na podstawie obserwacji warto´sci cech
Y i X w badanej zbiorowo´sci, stosuj ˛

ac tzw.

metod ˛e

najmniejszych kwadratów

MNK.

Agnieszka Rossa

Regresja liniowa jednej zmiennej

Funkcj ˛e

f (x ) = a + bx

nazywamy

prost ˛

a regresji

Dokonujemy tego na podstawie obserwacji warto´sci cech
Y i X w badanej zbiorowo´sci, stosuj ˛

ac tzw.

metod ˛e

najmniejszych kwadratów

MNK.

Agnieszka Rossa

Regresja liniowa jednej zmiennej

Przykład

Agnieszka Rossa

Regresja liniowa jednej zmiennej

Przykład

Agnieszka Rossa

Regresja liniowa jednej zmiennej

Przykład – jak wyznaczy ´c prost ˛

a regresji?

W tym przykładzie chcieliby´smy, ˙zeby prosta najlepiej
przybli˙zała dana chmur ˛e punktów, czyli by warto´sci ró˙znic
y

− ˆ

(tzw. warto´sci resztowe lub inaczej – warto´sci

składnika losowego) były jak najmniejsze dla wszystkich
badanych jednostek.

Jak łatwo zauwa˙zy´c, przesuni ˛ecie prostej w kierunku
jednego z punktów mo˙ze spowodowa´c odsuni ˛ecie od
innych punktów. Tak wiec postulat, aby jednocze´snie
minimalizowa´c wszystkie warto´sci resztowe nie jest
mo˙zliwy do realizacji.

Jako kryterium dopasowania prostej regresji do danych
empirycznych przyjmuje si ˛e

minimalizacj ˛e sumy

kwadratów warto ´sci resztowych

Agnieszka Rossa

Regresja liniowa jednej zmiennej

Przykład – jak wyznaczy ´c prost ˛

a regresji?

W tym przykładzie chcieliby´smy, ˙zeby prosta najlepiej
przybli˙zała dana chmur ˛e punktów, czyli by warto´sci ró˙znic
y

− ˆ

(tzw. warto´sci resztowe lub inaczej – warto´sci

składnika losowego) były jak najmniejsze dla wszystkich
badanych jednostek.

Jako kryterium dopasowania prostej regresji do danych
empirycznych przyjmuje si ˛e

minimalizacj ˛e sumy

kwadratów warto ´sci resztowych

Agnieszka Rossa

Regresja liniowa jednej zmiennej

Przykład – jak wyznaczy ´c prost ˛

a regresji?

W tym przykładzie chcieliby´smy, ˙zeby prosta najlepiej
przybli˙zała dana chmur ˛e punktów, czyli by warto´sci ró˙znic
y

− ˆ

(tzw. warto´sci resztowe lub inaczej – warto´sci

składnika losowego) były jak najmniejsze dla wszystkich
badanych jednostek.

Jako kryterium dopasowania prostej regresji do danych
empirycznych przyjmuje si ˛e

minimalizacj ˛e sumy

kwadratów warto ´sci resztowych

Agnieszka Rossa

Metoda najmniejszych kwadratów

Niech

(

), (

), . . . , (

b ˛edzie n-elementowym zbiorem warto´sci zmiennych Y i X .

Rozwa˙zmy sum ˛e kwadratów warto´sci resztowych

i=1

(

− ˆ

)

lub równowa˙znie

i=1

(

− (a + bx

))

któr ˛

a oznaczymy symbolem S(a, b).

Funkcj ˛e regresji, dla której warto´sci parametrów a, b
wyznaczone zostały w drodze minimalizacji sumy S(a, b)
nazywamy

prost ˛

a regresji MNK

i oznaczamy przez ˆ

y .

Agnieszka Rossa

Metoda najmniejszych kwadratów

Niech

(

), (

), . . . , (

b ˛edzie n-elementowym zbiorem warto´sci zmiennych Y i X .

Rozwa˙zmy sum ˛e kwadratów warto´sci resztowych

i=1

(

− ˆ

)

lub równowa˙znie

i=1

(

− (a + bx

))

któr ˛

a oznaczymy symbolem S(a, b).

Funkcj ˛e regresji, dla której warto´sci parametrów a, b
wyznaczone zostały w drodze minimalizacji sumy S(a, b)
nazywamy

prost ˛

a regresji MNK

i oznaczamy przez ˆ

y .

Agnieszka Rossa

Metoda najmniejszych kwadratów

Niech

(

), (

), . . . , (

b ˛edzie n-elementowym zbiorem warto´sci zmiennych Y i X .

Rozwa˙zmy sum ˛e kwadratów warto´sci resztowych

i=1

(

− ˆ

)

lub równowa˙znie

i=1

(

− (a + bx

))

któr ˛

a oznaczymy symbolem S(a, b).

Funkcj ˛e regresji, dla której warto´sci parametrów a, b
wyznaczone zostały w drodze minimalizacji sumy S(a, b)
nazywamy

prost ˛

a regresji MNK

i oznaczamy przez ˆ

y .

Agnieszka Rossa

Metoda najmniejszych kwadratów

Troch ˛e matematyki, czyli jak obliczy ´c a i b

Po zro˙zniczkowaniu sumy S(a, b) wzgl ˛edem a i b
i przyrównaniu obu pochodnych cz ˛

astkowych do 0, mamy

∂

S(a, b)

∂

= −

i=1

(

− (a + bx

)) =

∂

S(a, b)

∂

= −

i=1

(

− (a + bx

)) =

Zapisuj ˛

ac inaczej, mamy układ dwóch równa ´n

i=1

− na − b

i=1

− a

i=1

− b

i=1

Agnieszka Rossa

Metoda najmniejszych kwadratów

Troch ˛e matematyki, czyli jak obliczy ´c a i b

Po zro˙zniczkowaniu sumy S(a, b) wzgl ˛edem a i b
i przyrównaniu obu pochodnych cz ˛

astkowych do 0, mamy

∂

S(a, b)

∂

= −

i=1

(

− (a + bx

)) =

∂

S(a, b)

∂

= −

i=1

(

− (a + bx

)) =

Zapisuj ˛

ac inaczej, mamy układ dwóch równa ´n

i=1

− na − b

i=1

− a

i=1

− b

i=1

Agnieszka Rossa

Metoda najmniejszych kwadratów

Troch ˛e matematyki

Z pierwszego równania natychmiast otrzymujemy, ˙ze

a =

1
n

i=1

− b

i=1

y − b¯

Po wstawieniu powy˙zszego wyra˙zenia do drugiego
równania mamy tak˙ze

i=1

− (¯

y − b¯

x )

i=1

− b

i=1

co po przekształceniach daje

b =

n
i=1

(

− ¯

x )(y

− ¯

y )

n
i=1

(

− ¯

x )

Agnieszka Rossa

Metoda najmniejszych kwadratów

Troch ˛e matematyki

Z pierwszego równania natychmiast otrzymujemy, ˙ze

a =

1
n

i=1

− b

i=1

y − b¯

Po wstawieniu powy˙zszego wyra˙zenia do drugiego
równania mamy tak˙ze

i=1

− (¯

y − b¯

x )

i=1

− b

i=1

co po przekształceniach daje

b =

n
i=1

(

− ¯

x )(y

− ¯

y )

n
i=1

(

− ¯

x )

Agnieszka Rossa

Metoda najmniejszych kwadratów

Troch ˛e matematyki

Z pierwszego równania natychmiast otrzymujemy, ˙ze

a =

1
n

i=1

− b

i=1

y − b¯

Po wstawieniu powy˙zszego wyra˙zenia do drugiego
równania mamy tak˙ze

i=1

− (¯

y − b¯

x )

i=1

− b

i=1

co po przekształceniach daje

b =

n
i=1

(

− ¯

x )(y

− ¯

y )

n
i=1

(

− ¯

x )

Agnieszka Rossa

Metoda najmniejszych kwadratów

Podsumowanie

Równanie prostej regresji MNK

y = a + bx

znajdziemy,

obliczaj ˛

ac wyraz wolny a oraz współczynnik regresji b,

które s ˛

a okre´slone nast ˛epuj ˛

acymi wzorami

a = ¯

y − b¯

x ,

b =

n
i=1

(

− ¯

x )(y

− ¯

y )

n
i=1

(

− ¯

x )

lub równowa˙znie

b =

1
n

n
i=1

(

− ¯

x )(y

− ¯

y )

gdzie

(

), (

), . . . , (

s ˛

a warto´sciami zmiennych Y i X w badanej zbiorowo´sci.

Agnieszka Rossa

Relacja ł ˛

acz ˛

aca współczynnik regresji i współczynnik korelacji

liniowej Pearsona

Porównajmy wzory na współczynnik regresji b oraz
współczynnik korelacji liniowej Pearsona r :

b =

1
n

n
i=1

(

− ¯

x )(y

− ¯

y )

r =

1
n

n
i=1

(

− ¯

x )(y

− ¯

y )

· s

Wniosek 1:

Pomi ˛edzy współczynnikami b i r zachodzi

równo´s´c

b = r ·

Wniosek 2:

Współczynniki b i r maj ˛

a zawsze ten sam

znak, przy czym współczynnik b nie musi nale˙ze´c do
przedziału [−1, 1], w przeciwie ´nstwie do współczynnika r
korelacji liniowej Pearsona.

Agnieszka Rossa

Relacja ł ˛

acz ˛

aca współczynnik regresji i współczynnik korelacji

liniowej Pearsona

Porównajmy wzory na współczynnik regresji b oraz
współczynnik korelacji liniowej Pearsona r :

b =

1
n

n
i=1

(

− ¯

x )(y

− ¯

y )

r =

1
n

n
i=1

(

− ¯

x )(y

− ¯

y )

· s

Wniosek 1:

Pomi ˛edzy współczynnikami b i r zachodzi

równo´s´c

b = r ·

Wniosek 2:

Współczynniki b i r maj ˛

a zawsze ten sam

znak, przy czym współczynnik b nie musi nale˙ze´c do
przedziału [−1, 1], w przeciwie ´nstwie do współczynnika r
korelacji liniowej Pearsona.

Agnieszka Rossa

Relacja ł ˛

acz ˛

aca współczynnik regresji i współczynnik korelacji

liniowej Pearsona

Porównajmy wzory na współczynnik regresji b oraz
współczynnik korelacji liniowej Pearsona r :

b =

1
n

n
i=1

(

− ¯

x )(y

− ¯

y )

r =

1
n

n
i=1

(

− ¯

x )(y

− ¯

y )

· s

Wniosek 1:

Pomi ˛edzy współczynnikami b i r zachodzi

równo´s´c

b = r ·

Wniosek 2:

Współczynniki b i r maj ˛

a zawsze ten sam

znak, przy czym współczynnik b nie musi nale˙ze´c do
przedziału [−1, 1], w przeciwie ´nstwie do współczynnika r
korelacji liniowej Pearsona.

Agnieszka Rossa

Regresja liniowa jednej zmiennej

Przykład c.d.

Agnieszka Rossa

Ocena ”dobroci” dopasowania prostej regresji MNK

Jak wiemy, zmienno´s´c ka˙zdej cechy ilo´sciowej, a wi ˛ec
równie˙z zmiennej obja´snianej Y , mo˙zemy ocenia´c np. za
pomoc ˛

a wariancji s

1
n

i=1

(

− ¯

y )

gdzie y

, . . . ,

jest n-elementowym zbiorem

zaobserowanych warto´sci tej zmiennej.

Pomijaj ˛

ac składnik 1/n w powy˙zszym wyra˙zeniu,

otrzymujemy wzór na tzw. całkowit ˛

a sum ˛e kwadratów

SST =

i=1

(

− ¯

y )

Mo˙zna pokaza´c, ˙ze SST daje si ˛e rozbi´c na dwie sumy,
które tak˙ze interpretujemy w kategoriach zmienno´sci.

Agnieszka Rossa

Ocena ”dobroci” dopasowania prostej regresji MNK

Jak wiemy, zmienno´s´c ka˙zdej cechy ilo´sciowej, a wi ˛ec
równie˙z zmiennej obja´snianej Y , mo˙zemy ocenia´c np. za
pomoc ˛

a wariancji s

1
n

i=1

(

− ¯

y )

gdzie y

, . . . ,

jest n-elementowym zbiorem

zaobserowanych warto´sci tej zmiennej.

Pomijaj ˛

ac składnik 1/n w powy˙zszym wyra˙zeniu,

otrzymujemy wzór na tzw. całkowit ˛

a sum ˛e kwadratów

SST =

i=1

(

− ¯

y )

Mo˙zna pokaza´c, ˙ze SST daje si ˛e rozbi´c na dwie sumy,
które tak˙ze interpretujemy w kategoriach zmienno´sci.

Agnieszka Rossa

Ocena ”dobroci” dopasowania prostej regresji MNK

Jak wiemy, zmienno´s´c ka˙zdej cechy ilo´sciowej, a wi ˛ec
równie˙z zmiennej obja´snianej Y , mo˙zemy ocenia´c np. za
pomoc ˛

a wariancji s

1
n

i=1

(

− ¯

y )

gdzie y

, . . . ,

jest n-elementowym zbiorem

zaobserowanych warto´sci tej zmiennej.

Pomijaj ˛

ac składnik 1/n w powy˙zszym wyra˙zeniu,

otrzymujemy wzór na tzw. całkowit ˛

a sum ˛e kwadratów

SST =

i=1

(

− ¯

y )

Mo˙zna pokaza´c, ˙ze SST daje si ˛e rozbi´c na dwie sumy,
które tak˙ze interpretujemy w kategoriach zmienno´sci.

Agnieszka Rossa

Ocena ”dobroci” dopasowania prostej regresji MNK

Mianowicie

SST =

i=1

(

− ˆ

)

i=1

(ˆ

− ¯

y )

gdzie ˆ

a + bx

Pierwszy ze składników nosi nazw ˛e

sumy kwadratów

bł ˛edów

, poniewa˙z jest sum ˛

a kwadratów warto´sci

resztowych. Jest oznaczany przez SSE . Drugi składnik
nosi miano

regresyjnej sumy kwadratów

i jest oznaczany

symbolem SSR.

Suma SSR jest cz ˛e´sci ˛

a zmienno´sci całkowitej SST , któr ˛

mo˙zna obja´sni´c za pomoc ˛

a regresji mi ˛edzy zmienn ˛

obja´snian ˛

a Y i zmienn ˛

a obja´sniaj ˛

ac ˛

a X .

Z kolei sum ˛e SSE traktujemy jako t ˛e cz ˛e´s´c zmienno´sci
SST , która nie jest wyja´sniona przez model regresji.

Agnieszka Rossa

Ocena ”dobroci” dopasowania prostej regresji MNK

Mianowicie

SST =

i=1

(

− ˆ

)

i=1

(ˆ

− ¯

y )

gdzie ˆ

a + bx

Pierwszy ze składników nosi nazw ˛e

sumy kwadratów

bł ˛edów

, poniewa˙z jest sum ˛

a kwadratów warto´sci

resztowych. Jest oznaczany przez SSE . Drugi składnik
nosi miano

regresyjnej sumy kwadratów

i jest oznaczany

symbolem SSR.

Suma SSR jest cz ˛e´sci ˛

a zmienno´sci całkowitej SST , któr ˛

mo˙zna obja´sni´c za pomoc ˛

a regresji mi ˛edzy zmienn ˛

obja´snian ˛

a Y i zmienn ˛

a obja´sniaj ˛

ac ˛

a X .

Z kolei sum ˛e SSE traktujemy jako t ˛e cz ˛e´s´c zmienno´sci
SST , która nie jest wyja´sniona przez model regresji.

Agnieszka Rossa

Ocena ”dobroci” dopasowania prostej regresji MNK

Mianowicie

SST =

i=1

(

− ˆ

)

i=1

(ˆ

− ¯

y )

gdzie ˆ

a + bx

Pierwszy ze składników nosi nazw ˛e

sumy kwadratów

bł ˛edów

, poniewa˙z jest sum ˛

a kwadratów warto´sci

resztowych. Jest oznaczany przez SSE . Drugi składnik
nosi miano

regresyjnej sumy kwadratów

i jest oznaczany

symbolem SSR.

Suma SSR jest cz ˛e´sci ˛

a zmienno´sci całkowitej SST , któr ˛

mo˙zna obja´sni´c za pomoc ˛

a regresji mi ˛edzy zmienn ˛

obja´snian ˛

a Y i zmienn ˛

a obja´sniaj ˛

ac ˛

a X .

Z kolei sum ˛e SSE traktujemy jako t ˛e cz ˛e´s´c zmienno´sci
SST , która nie jest wyja´sniona przez model regresji.

Agnieszka Rossa

Ocena ”dobroci” dopasowania prostej regresji MNK

Mianowicie

SST =

i=1

(

− ˆ

)

i=1

(ˆ

− ¯

y )

gdzie ˆ

a + bx

Pierwszy ze składników nosi nazw ˛e

sumy kwadratów

bł ˛edów

, poniewa˙z jest sum ˛

a kwadratów warto´sci

resztowych. Jest oznaczany przez SSE . Drugi składnik
nosi miano

regresyjnej sumy kwadratów

i jest oznaczany

symbolem SSR.

Suma SSR jest cz ˛e´sci ˛

a zmienno´sci całkowitej SST , któr ˛

mo˙zna obja´sni´c za pomoc ˛

a regresji mi ˛edzy zmienn ˛

obja´snian ˛

a Y i zmienn ˛

a obja´sniaj ˛

ac ˛

a X .

Z kolei sum ˛e SSE traktujemy jako t ˛e cz ˛e´s´c zmienno´sci
SST , która nie jest wyja´sniona przez model regresji.

Agnieszka Rossa

Ocena ”dobroci” dopasowania prostej regresji MNK

Iloraz

SSR
SST

n
i=1

(ˆ

− ¯

y )

n
i=1

(

− ¯

y )

jest nazwany

współczynnikiem determinacji

jest miar ˛

a stopnia dopasowania funkcji regresji do

danych empirycznych.

W przypadku regresji liniowej jednej zmiennej
współczynnik determinacji R

równy jest kwadratowi

współczynnika korelacji liniowej Pearsona.

Agnieszka Rossa

Ocena ”dobroci” dopasowania prostej regresji MNK

Iloraz

SSR
SST

n
i=1

(ˆ

− ¯

y )

n
i=1

(

− ¯

y )

jest nazwany

współczynnikiem determinacji

jest miar ˛

a stopnia dopasowania funkcji regresji do

danych empirycznych.

W przypadku regresji liniowej jednej zmiennej
współczynnik determinacji R

równy jest kwadratowi

współczynnika korelacji liniowej Pearsona.

Agnieszka Rossa

Ocena ”dobroci” dopasowania prostej regresji MNK

Iloraz

SSR
SST

n
i=1

(ˆ

− ¯

y )

n
i=1

(

− ¯

y )

jest nazwany

współczynnikiem determinacji

jest miar ˛

a stopnia dopasowania funkcji regresji do

danych empirycznych.

W przypadku regresji liniowej jednej zmiennej
współczynnik determinacji R

równy jest kwadratowi

współczynnika korelacji liniowej Pearsona.

Agnieszka Rossa

Ocena ”dobroci” dopasowania prostej regresji MNK

Przykład c.d.

Agnieszka Rossa

Przewidywanie na podstawie funkcji regresji

Funkcj ˛e regresji mo˙zna wykorzysta´c do przewidywania
warto´sci zmiennej obja´snianej Y na podstawie znanych
warto´sci zmiennej obja´sniaj ˛

acych (

ekstrapolacja

Tego rodzaju przewidywanie ma sens przy zało˙zeniu, ˙ze
charakter zale˙zno´sci i oddziaływania czynników nie
uwzgl ˛ednionych w modelu s ˛

a podobne do zaobserwo-

wanych w badanej zbiorowo´sci.

W naszym przykładzie otrzymali´smy prost ˛

a regresji:

y = 5, 17 + 1, 76 · x

Na tej podstawie mo˙zemy oceni´c np.

oczekiwany wynik z egzaminu dla osoby, która otrzymałaby
z kolokwium 18 punktów. Mamy:

(

x =18)

5, 17 + 1, 76 · 18 = 36, 85 ≈ 37 pkt

Nale˙zy jednak pami ˛eta´c, ˙ze przy tego rodzaju przewidywa-
niach mo˙zemy si ˛e myli´c o pewn ˛

a warto´s´c. W celu oceny

skali bł ˛edu obliczamy tzw.

´sredni bł ˛

ad przewidywania

Agnieszka Rossa

Przewidywanie na podstawie funkcji regresji

Funkcj ˛e regresji mo˙zna wykorzysta´c do przewidywania
warto´sci zmiennej obja´snianej Y na podstawie znanych
warto´sci zmiennej obja´sniaj ˛

acych (

ekstrapolacja

Tego rodzaju przewidywanie ma sens przy zało˙zeniu, ˙ze
charakter zale˙zno´sci i oddziaływania czynników nie
uwzgl ˛ednionych w modelu s ˛

a podobne do zaobserwo-

wanych w badanej zbiorowo´sci.

W naszym przykładzie otrzymali´smy prost ˛

a regresji:

y = 5, 17 + 1, 76 · x

Na tej podstawie mo˙zemy oceni´c np.

oczekiwany wynik z egzaminu dla osoby, która otrzymałaby
z kolokwium 18 punktów. Mamy:

(

x =18)

5, 17 + 1, 76 · 18 = 36, 85 ≈ 37 pkt

Nale˙zy jednak pami ˛eta´c, ˙ze przy tego rodzaju przewidywa-
niach mo˙zemy si ˛e myli´c o pewn ˛

a warto´s´c. W celu oceny

skali bł ˛edu obliczamy tzw.

´sredni bł ˛

ad przewidywania

Agnieszka Rossa

Przewidywanie na podstawie funkcji regresji

Funkcj ˛e regresji mo˙zna wykorzysta´c do przewidywania
warto´sci zmiennej obja´snianej Y na podstawie znanych
warto´sci zmiennej obja´sniaj ˛

acych (

ekstrapolacja

Tego rodzaju przewidywanie ma sens przy zało˙zeniu, ˙ze
charakter zale˙zno´sci i oddziaływania czynników nie
uwzgl ˛ednionych w modelu s ˛

a podobne do zaobserwo-

wanych w badanej zbiorowo´sci.

W naszym przykładzie otrzymali´smy prost ˛

a regresji:

y = 5, 17 + 1, 76 · x

Na tej podstawie mo˙zemy oceni´c np.

oczekiwany wynik z egzaminu dla osoby, która otrzymałaby
z kolokwium 18 punktów. Mamy:

(

x =18)

5, 17 + 1, 76 · 18 = 36, 85 ≈ 37 pkt

Nale˙zy jednak pami ˛eta´c, ˙ze przy tego rodzaju przewidywa-
niach mo˙zemy si ˛e myli´c o pewn ˛

a warto´s´c. W celu oceny

skali bł ˛edu obliczamy tzw.

´sredni bł ˛

ad przewidywania

Agnieszka Rossa

Przewidywanie na podstawie funkcji regresji

Funkcj ˛e regresji mo˙zna wykorzysta´c do przewidywania
warto´sci zmiennej obja´snianej Y na podstawie znanych
warto´sci zmiennej obja´sniaj ˛

acych (

ekstrapolacja

Tego rodzaju przewidywanie ma sens przy zało˙zeniu, ˙ze
charakter zale˙zno´sci i oddziaływania czynników nie
uwzgl ˛ednionych w modelu s ˛

a podobne do zaobserwo-

wanych w badanej zbiorowo´sci.

W naszym przykładzie otrzymali´smy prost ˛

a regresji:

y = 5, 17 + 1, 76 · x

Na tej podstawie mo˙zemy oceni´c np.

oczekiwany wynik z egzaminu dla osoby, która otrzymałaby
z kolokwium 18 punktów. Mamy:

(

x =18)

5, 17 + 1, 76 · 18 = 36, 85 ≈ 37 pkt

Nale˙zy jednak pami ˛eta´c, ˙ze przy tego rodzaju przewidywa-
niach mo˙zemy si ˛e myli´c o pewn ˛

a warto´s´c. W celu oceny

skali bł ˛edu obliczamy tzw.

´sredni bł ˛

ad przewidywania

Agnieszka Rossa

Przewidywanie na podstawie funkcji regresji

Rozwa˙zmy pierwiastek kwadratowy sumy kwadratów
bł ˛edów SSE podzielony przez liczebno´s´c zbiorowo´sci,
pomniejszon ˛

a o liczb ˛e parametrów funkcji regresji

(w przypadku regresji liniowej jednej zmiennej liczba
parametrów równa jest 2). Mamy:

SSE

n − 2

v
u
u
t

n − 2

i=1

(

− ˆ

)

Powy˙zsze wyra˙zenie nazywamy ´srednim bł ˛edem
przewidywania. W naszym przykładzie S

jest równe:

r 69, 26

19 − 2

≈ 2, 02

zatem przewiduj ˛

ac wynik z egzaminu na podstawie wy-

znaczonej prostej regresji, mylimy si ˛e ´srednio o ok. 2 pkt.

Agnieszka Rossa

Przewidywanie na podstawie funkcji regresji

Rozwa˙zmy pierwiastek kwadratowy sumy kwadratów
bł ˛edów SSE podzielony przez liczebno´s´c zbiorowo´sci,
pomniejszon ˛

a o liczb ˛e parametrów funkcji regresji

(w przypadku regresji liniowej jednej zmiennej liczba
parametrów równa jest 2). Mamy:

SSE

n − 2

v
u
u
t

n − 2

i=1

(

− ˆ

)

Powy˙zsze wyra˙zenie nazywamy ´srednim bł ˛edem
przewidywania. W naszym przykładzie S

jest równe:

r 69, 26

19 − 2

≈ 2, 02

zatem przewiduj ˛

ac wynik z egzaminu na podstawie wy-

znaczonej prostej regresji, mylimy si ˛e ´srednio o ok. 2 pkt.

Agnieszka Rossa