1

Równania różniczkowe zwyczajne

Definicja

Równaniem różniczkowym rzędu pierwszego nazywamy

równanie postaci

F (x, y, y

0

) = 0,

gdzie

F

jest funkcją ciągłą na pewnym obszarze

∆ ⊂ R

3 , zaś

y = y(x)

jest szukaną (niewiadomą) funkcją.

Jeżeli równanie

F (x, y, y

0

) = 0

można rozwiązać ze względu na

y

0

, to otrzymujemy tzw. postać normalną równania różniczkowego

rzędu pierwszego:

y

0

= f (x, y),

gdzie

f

jest funkcją ciągłą na pewnym obszarze

D ⊂ R

2 .

2

Przykłady równań różniczkowych rz. 1:

y

0

+ 2y

2

sin x = 0

y

0

= 3x − y

xy

0

+ 2y (ln y − ln x) = 0

Definicja

Rozwiązaniem rr

y

0

= f (x, y)

na przedziale

I

nazywamy każdą funkcję

y = y(x)

o ciągłej pochodnej w

I

i

wykresie zawartym w obszarze

D

, która równanie to przeprowadza

w tożsamość, tj.

∀

x∈I

y

0

(x) ≡ f ( x , y(x) ).

Rozwiązanie rr nazywamy także całką rr.

3

Przykład

Najprostszym rr rz. 1 jest równanie:

y

0

= f (x),

gdzie

f

jest daną funkcją ciągłą w przedziale

I

.

Rozwiązanie tego równania ma postać:

y(x) =

Z

f (x) dx = F (x) + C

• Pojedyńcze rozwiązanie rr nazywamy całką szczególną (CS) rr.

• Rodzinę wszystkich rozwiązań postaci

y = y(x; C)

nazywamy

całką ogólną (rozwiązaniem ogólnym) rr.

NP.

y

0

=

1

x

4

Definicja

(Zagadnienia początkowego - Cauchy’ego)

Niech funkcja

f = f (x, y)

jest określona w obszarze

D

. Dla

zadanego punktu

(x

0

, y

0

) ∈ D

wyznaczyć takie rozwiązanie (CS)

y = y(x)

równania

y

0

= f (x, y)

, aby

y(x

0

) = y

0 . Tak postawiony

problem rozwiązania rr nazywamy zagadnieniem początkowym

(Cauch’ego), warunek

y(x

0

) = y

0 nazywamy warunkiem początkowym.

Zagadnienie początkowe zapisujemy:











































y

0

= f (x, y)

y(x

0

) = y

0

5

Twierdzenie

(O istnieniu i jednoznaczności rozwiązań rr)

Jeżeli funkcja

f (x, y)

oraz jej pochodna cząstkowa

f

y

(x, y)

są

ciągłe na obszarze

D

oraz

(x

0

, y

0

) ∈ D

, to zagadnienie początkowe











































y

0

= f (x, y)

y(x

0

) = y

0

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Przykład

Korzystając z podanego twierdzenia uzasadnić, że

zagadnienie początkowe

y

0

= ln(1 + y

2

),

y(0) = 0

ma dokłdnie jedno rozwiazanie.

6

Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Jest to równanie postaci:

y

0

= h(x) · g(y)

gdzie funkcje

h(x)

i

g(y)

są danymi funkcjami ciągłymi.

Twierdzenie

Jeżeli funkcje

h(x)

i

g(y)

są ciągłe odpowiednio w

przedziałach

(a, b)

i

(c, d)

, przy czym

g(y) 6= 0

dla

y ∈ (c, d)

oraz

x

0

∈ (a, b) y

0

∈ (c, d)

, to zagadnienie początkowe

y

0

= h(x) · g(y),

y(x

0

) = y

0

,

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

7

Uwaga

Sposób rozwiązywania rr o zmiennych rozdzielonych

y

0

= h(x)g(y)

:

dy

dx

= h(x) · g(y)

dy = h(x) · g(y) dx

dy

g(y)

= h(x) dx

Z

dy

g(y)

=

Z

h(x) dx

Całkę ogólną otrzymujemy z ostatniej tożsamości.

Uwaga

Jeżeli

y

∗

jest taką liczbą, że

g(y

∗

) = 0

, to funkcja

stała

y(x) = y

∗

,

x ∈ (a, b)

jest też rozwiązaniem równania

y

0

= h(x)g(y)

.

8

Przykład

Znaleźć całkę ogólną równania:

y

0

= 2x (y − 3)

Przykład

Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego:

y

0

=

cos x

3y

2

,

y






π

2






= −1

9

Równania sprowadzalne do

równań o zmiennych rozdzielonych

• Równanie jednorodne - jest to równanie postaci

y

0

= f






y

x






,

gdzie

f (u)

jest funkcją ciągłą w pewnym przedziale.

Równanie to sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych

przez podstawienie:

u(x) =

y(x)

x

Przykład

Znaleźć całkę ogólną równania:

y

0

=

x

3

+ y

3

xy

2

10

• Równanie postaci:

y

0

= f (ax + by + c) ,

gdzie

a 6= 0, b 6= 0

i

f (u)

jest funkcją ciągłą w pewnym

przedziale.

Równanie to sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych

przez podstawienie:

u(x) = ax + by(x) + c

Przykład

Rozwiązać równanie różniczkowe:

y

0

= (y + 4x − 3)

2

11

Równanie liniowe rzędu pierwszego

Równanie postaci:

y

0

+ p(x) y = f (x),

gdzie

p(x)

i

f (x)

są funkcjami ciągłymi w pewnym przedziale

I

,

nazywamy równaniem liniowym rzędu pierwszego.

• Jeżeli

f (x) ≡ 0

, to równanie powyższe nazywamy równaniem

liniowym jednorodnym.

• Jeżeli

f (x)

nie jest tożsamościowo równe 0 na przedziale

I

, to

równanie powyższe nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym.

12

• Przykłady równań liniowych:

y

0

+ 2 y = cos x,

y

0

+ x y = e

x

,

y

0

+ y ln x = 0

• Przykłady równań, które nie są liniowe:

y

0

+ y

2

= sin x,

y

0

+ 2 x = e

y

,

y

0

+ x ln y = 0

Uwaga Równanie liniowe jednorodne jest równaniem o rozdzielonych

zmiennych.

Twierdzenie

(O budowie całki ogólnej równania liniowego

niejednorodnego

i

jednoznaczności

rozwiązania

zagadnienia

początkowego)

13

Załóżmy, że w równaniu

y

0

+ p(x) y = f (x),

funkcje

p(x)

i

f (x)

są funkcjami ciągłymi w pewnym przedziale

I

. Wówczas:

• jeżeli

y = y

0

(x; C), x ∈ I, C ∈ R

jest całką ogólną równania

jednorodnego

y

0

+ p(x) y

=

0

oraz

y = y

S

(x), x ∈ I

jest dowolną całką szczególną równania niejednorodnego, to całka

ogólna równania niejednorodnego ma postać:

y = y

0

(x; C) + y

S

(x),

x ∈ I, C ∈ R.

14

• zagadnienie początkowe











































y

0

+ p(x) y = f (x)

y(x

0

) = y

0

,

x

0

∈ I

ma dokładnie jedno rozwiązanie określone w całym przedziale

I

. Można je otrzymać z całki ogólnej poprzez odpowiedni dobór

stałej

C

.

Przykład

Znaleźć całkę szczególną równania

y

0

−

1

x

y = 2x

2

spełniającą warunek początkowy

y(−1) = 3

.

Przykład

Rozwiązać równanie:

y

0

+ cos x y = sin x cos x