Równania różniczkowe zwyczajne. Zagadnienia początkowe 1. W mieszalniku o objętości V = 100 m3 stężenie pewnej substancji chemicznej w stanie ustalonym wynosi 10 mg/m3. W chwili t = 0 stężenie rozważanej substancji w strumieniu wejściowym zwiększa się gwałtownie do 50 mg/m3. Natężenia przepływu strumieni wpływającego do i wypływającego z mieszalnika są takie same i wynoszą F = 5 m3/min.

Zmiana stężenia rozważanej substancji w mieszalniku jest opisana następującym równaniem różniczkowym

dC

V

= FC − FC

dt

we

gdzie [ V] = m3, [ F] = m3/min, [ C] = mg/m3, [ t] = min. Jak zmienia się stężenie substancji w mieszalniku w ciągu 100 min? Sporządź odpowiedni wykres. Jakie będzie końcowe stężenie substancji w zbiorniku? Po jakim czasie stężenie substancji w zbiorniku osiągnie wartość 40 mg/m3? Użyj metody lokalizacji zdarzeń, aby znaleźć dokładnie ten czas.

2. W instalacji składającej się z pięciu mieszalników natężenia przepływów poszczególnych strumieni wejściowych, pośrednich i wyjściowych są stałe o wartościach w m3/min takich jak pokazano na rysunku . Stężenia rozważanej substancji chemicznej w strumieniach wejściowych również podano na rysunku. Ze względu na dobre mieszanie stężenia tej substancji w strumieniach wyjściowych z poszczególnych mieszalników są takie same jak w tych mieszalnikach. Natomiast początkowe stężenia tej substancji (w mg/m3) we wszystkich mieszalnikach są równe zeru. Objętości poszczególnych zbiorników są następujące V1 = 50 m3, V2 = 20 m3, V3 = 40 m3, V4 = 80 m3 i V5 = 100 m3. Jak zmienia się w ciągu 100 min. stężenie rozważanej substancji w poszczególnych zbiornikach?

Sporządź odpowiednie wykresy. Za pomocą funkcji subplot rozmieść je tak samo jak są położone zbiorniki na rysunku. Po jakim czasie stężenie substancji w poszczególnych zbiornikach osiągnie wartość 10 mg/m3? Użyj metody lokalizacji zdarzeń, aby znaleźć

dokładnie ten czas. Układ równań różniczkowych opisujący zmiany stężenia substancji w poszczególnych zbiornikach ma następującą postać

dC 1

V

= F C + F C − F C − F C

1

01

01

31

3

12

1

15

1

dt

dC 2

V

= F C − F C − F C − F C

2

12

1

23

2

24

2

25

2

dt

dC 3

V

= F C + F C − F C − F C

3

03

03

23

2

31

3

34

3

dt

dC 4

V

= F C + F C + F C − F C

4

24

2

34

3

54

5

44

4

dt

dC 5

V

= F C + F C − F C − F C

5

15

1

25

2

54

5

55

5

dt

F

=

= 2

55

5

c5

F = 3

15

1

F =

= 2

54

5

F = 1

25

2

F = 5

F = 3

F =

= 1

F = 11

1

01

0

12

1

24

44

4

c

c

c

1

2

4

c

=

= 10

01

0

F = 1

23

2

F = 1

F =

= 8

31

3

34

3

F = 8

8

c

03

0

3

c

=

= 20

03

3. W reaktorze rurowym w fazie gazowej zachodzi endotermiczna reakcja krakowania acetonu opisana równaniem

CH3COCH3 → CH2CO + CH4

Strumień czystego acetonu o objętościowym natężeniu przepływu v 0 = 0.002 m3/s jest wprowadzany do reaktora w temperaturze T 0 = 1035 K i pod ciśnieniem P 0 = 162000 Pa.

Reaktor o objętości VR = 0.001 m3 jest otoczony płaszczem w którym płynie gaz grzewczy

o temperaturze Ta = 1200 K. Współczynnik przenikania ciepła U = 110 W/(m2K), natomiast powierzchnia wymiany ciepła a = 150 m2/m3 reaktora. Stała szybkości reakcji







1

1





k = 3.58 ex 

p 3422 

2

− 



 T

T

0



−

gdzie [T] = K, [k] =s 1. Ciepło reakcji wyraża się zależnością

∆ H

R = 80770 + 6.8 ⋅ ( T − 29 )

8 − 5.75 ⋅10 3

− ( 2

T − 2982 ) −1.27 ⋅10 6

− ( 3

T − 2983)

przy czym [∆ HR] = J/mol. Ciepła molowe acetonu, ketenu oraz metanu opisują kolejno następujące wzory

6

−

2

C

= 26.63 + 0.1830 T − 4 .

5 86 ⋅10 T

p A

−6 2

C

= 20.04 + 0.0945 T − 30.95⋅10 T

pB

−6 2

C

=1 .

3 39 + .

0 0770 T −1 .

8 71⋅10 T

pC

gdzie [ Cp] = J/(mol⋅K). Szybkość reakcji dana jest wzorem 1− X T

r = − kC

0

⋅

A

A 0 1+ X T

gdzie X jest stopniem konwersji, zaś stężenie acetonu na wlocie do reaktora wynosi P 1

( − X )

0

C

=

A 0

RT 0

przy czym R = 8.314 J/(mol⋅K), [ CA 0] = mol/m3. Profil temperatury reaktora w stanie ustalonym opisany jest następującym układem równań różniczkowych dX

rA

= −

dV

F

A 0

dT

Ua( T − T ) + r

H

∆

a

A

R

=

dV

F ( C

+ X C

∆ )

A 0

p

p

A

gdzie V jest objętością reaktora, F

⋅

A 0 = CA 0 v 0 jest molowym natężeniem przepływu acetonu (w mol/s) na wlocie do reaktora, T jest temperaturą reaktora, zaś C

∆

= C + C − C

p

pB

pC

p A

Wyznaczyć stopień konwersji acetonu wzdłuż reaktora oraz profil temperatury reaktora.

Sporządzić odpowiednie wykresy. Na osi odciętych zamiast objętości V reaktora przyjmij względną objętość reaktora V/ VR. Za pomocą lokalizacji zdarzeń znajdź w którym miejscu reaktora (wyrażonym jako objętość reaktora liczona od miejsca zasilania) a. konwersja acetonu osiągnie wartość 0.7

b. temperatura reaktora osiągnie wartość 1050 K.

Które z tych zdarzeń zajdzie wcześniej?