Równania róŜniczkowe zwyczajne. Zagadnienia początkowe 1. W mieszalniku o objętości V = 100 m3 stęŜenie pewnej substancji chemicznej w stanie ustalonym wynosi 10 mg/m3. W chwili t = 0 stęŜenie rozwaŜanej substancji w strumieniu wejściowym zwiększa się gwałtownie do 50 mg/m3. NatęŜenia przepływu strumieni wpływającego do i wypływającego z mieszalnika są takie same i wynoszą F = 5 m3/min.
Zmiana stęŜenia rozwaŜanej substancji w mieszalniku jest opisana następującym równaniem róŜniczkowym
dC
V
= FC − FC
dt
we
gdzie [ V] = m3, [ F] = m3/min, [ C] = mg/m3, [ t] = min. Jak zmienia się stęŜenie substancji w mieszalniku w ciągu 100 min? Sporządź odpowiedni wykres. Jakie będzie końcowe stęŜenie substancji w zbiorniku? Po jakim czasie stęŜenie substancji w zbiorniku osiągnie wartość 40 mg/m3? UŜyj metody lokalizacji zdarzeń, aby znaleźć dokładnie ten czas.
2. W instalacji składającej się z pięciu mieszalników natęŜenia przepływów poszczególnych strumieni wejściowych, pośrednich i wyjściowych są stałe o wartościach w m3/min takich jak pokazano na rysunku . StęŜenia rozwaŜanej substancji chemicznej w strumieniach wejściowych równieŜ podano na rysunku. Ze względu na dobre mieszanie stęŜenia tej substancji w strumieniach wyjściowych z poszczególnych mieszalników są takie same jak w tych mieszalnikach. Natomiast początkowe stęŜenia tej substancji (w mg/m3) we wszystkich mieszalnikach są równe zeru. Objętości poszczególnych zbiorników są następujące V1 = 50 m3, V2 = 20 m3, V3 = 40 m3, V4 = 80 m3 i V5 = 100 m3. Jak zmienia się w ciągu 100 min. stęŜenie rozwaŜanej substancji w poszczególnych zbiornikach?
Sporządź odpowiednie wykresy. Za pomocą funkcji subplot rozmieść je tak samo jak są połoŜone zbiorniki na rysunku. Po jakim czasie stęŜenie substancji w poszczególnych zbiornikach osiągnie wartość 10 mg/m3? UŜyj metody lokalizacji zdarzeń, aby znaleźć
dokładnie ten czas. Układ równań róŜniczkowych opisujący zmiany stęŜenia substancji w poszczególnych zbiornikach ma następującą postać
dC 1
V
= F C + F C − F C − F C
1
01
01
31
3
12
1
15
1
dt
dC 2
V
= F C − F C − F C − F C
2
12
1
23
2
24
2
25
2
dt
dC 3
V
= F C + F C − F C − F C
3
03
03
23
2
31
3
34
3
dt
dC 4
V
= F C + F C + F C − F C
4
24
2
34
3
54
5
44
4
dt
dC 5
V
= F C + F C − F C − F C
5
15
1
25
2
54
5
55
5
dt
F
=
= 2
55
5
c5
F = 3
15
1
F =
= 2
54
5
F = 1
25
2
F = 5
F = 3
F =
= 1
F = 11
1
01
0
12
1
24
44
4
c
c
c
1
2
4
c
=
= 10
01
0
F = 1
23
2
F = 1
F =
= 8
31
3
34
3
F = 8
8
c
03
0
3
c
=
= 20
03
3. W reaktorze rurowym w fazie gazowej zachodzi endotermiczna reakcja krakowania acetonu opisana równaniem
CH3COCH3 → CH2CO + CH4
Strumień czystego acetonu o objętościowym natęŜeniu przepływu v 0 = 0.002 m3/s jest wprowadzany do reaktora w temperaturze T 0 = 1035 K i pod ciśnieniem P 0 = 162000 Pa.
Reaktor o objętości VR = 0.001 m3 jest otoczony płaszczem w którym płynie gaz grzewczy
o temperaturze Ta = 1200 K. Współczynnik przenikania ciepła U = 110 W/(m2K), natomiast powierzchnia wymiany ciepła a = 150 m2/m3 reaktora. Stała szybkości reakcji
1
1
k = 3.58 ex
p 3422
2
−
T
T
0
−
gdzie [T] = K, [k] =s 1. Ciepło reakcji wyraŜa się zaleŜnością
∆ H
R = 80770 + 6.8 ⋅ ( T − 29 )
8 − 5.75 ⋅10 3
− ( 2
T − 2982 ) −1.27 ⋅10 6
− ( 3
T − 2983)
przy czym [∆ HR] = J/mol. Ciepła molowe acetonu, ketenu oraz metanu opisują kolejno następujące wzory
6
−
2
C
= 26.63 + 0.1830 T − 4 .
5 86 ⋅10 T
p A
−6 2
C
= 20.04 + 0.0945 T − 30.95⋅10 T
pB
−6 2
C
=1 .
3 39 + .
0 0770 T −1 .
8 71⋅10 T
pC
gdzie [ Cp] = J/(mol⋅K). Szybkość reakcji dana jest wzorem 1− X T
r = − kC
0
⋅
A
A 0 1+ X T
gdzie X jest stopniem konwersji, zaś stęŜenie acetonu na wlocie do reaktora wynosi P 1
( − X )
0
C
=
A 0
RT 0
przy czym R = 8.314 J/(mol⋅K), [ CA 0] = mol/m3. Profil temperatury reaktora w stanie ustalonym opisany jest następującym układem równań róŜniczkowych dX
rA
= −
dV
F
A 0
dT
Ua( T − T ) + r
H
∆
a
A
R
=
dV
F ( C
+ X C
∆ )
A 0
p
p
A
gdzie V jest objętością reaktora, F
⋅
A 0 = CA 0 v 0 jest molowym natęŜeniem przepływu acetonu (w mol/s) na wlocie do reaktora, T jest temperaturą reaktora, zaś C
∆
= C + C − C
p
pB
pC
p A
Wyznaczyć stopień konwersji acetonu wzdłuŜ reaktora oraz profil temperatury reaktora.
Sporządzić odpowiednie wykresy. Na osi odciętych zamiast objętości V reaktora przyjmij względną objętość reaktora V/ VR. Za pomocą lokalizacji zdarzeń znajdź w którym miejscu reaktora (wyraŜonym jako objętość reaktora liczona od miejsca zasilania) a. konwersja acetonu osiągnie wartość 0.7
b. temperatura reaktora osiągnie wartość 1050 K.
Które z tych zdarzeń zajdzie wcześniej?