ELEMENTY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH

Równaniem różniczkowym nazywamy równość, w której niewiadomymi są pewna funkcja i jej pochodne.

Jeżeli niewiadoma funkcja zależy tylko od jednej zmiennej, to równanie nazywamy zwyczajnym, ponieważ pochodna funkcji jest zwyczajna ( nie jest pochodną cząstkową).

Rzędem równania różniczkowego nazywa się rząd najwyższej z pochodnych (funkcji niewiadomej) występujących w równaniu.

Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci
, gdzie F jest funkcją ciągłą swoich argumentów.

Rozwiązaniem lub całką równania różniczkowego nazywamy każdą funkcję
, która wraz ze swoją pochodną spełnia to równanie.

Rozwiązaniem ogólnym lub całką ogólną równania różniczkowego nazywamy wyrażenie
,
, w którym przyjmując dowolne wartości stałej C, otrzymujemy wszystkie rozwiązania tego równania.

Każde rozwiązanie otrzymane z rozwiązania ogólnego równania różniczkowego w wyniku przyjęcia konkretnej wartości dla stałej C nazywamy rozwiązaniem szczególnym lub całką szczególną tego równania. Rozwiązanie szczególne można też otrzymać przyjmując tzw. warunek początkowy
. Wtedy podstawiając do rozwiązania ogólnego, otrzymujemy postać
, której wyliczamy stałą
.

RÓWNANIE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH

Równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie różniczkowe postaci
, gdzie funkcje p oraz q są funkcjami ciągłymi odpowiednio w przedziałach
i
.

UWAGA - Jeżeli funkcja p przyjmuje wartości równe 1 dla każdego
to równanie różniczkowe ma postać
. Wtedy
, gdzie
.

Niech F(x) i G(y) będą odpowiednio funkcjami pierwotnymi funkcji q(x) oraz p(y). Wtedy rozwiązanie ogólne naszego równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych ma postać
,
.

RÓWNANIA RÓZNICZKOWE POSTACI

Równania różniczkowe postaci
, gdzie
i
, funkcja f jest funkcją ciągłą, rozwiązujemy, wprowadzając przez podstawienie nową funkcję u postaci
. Obliczając pochodną mamy

, skąd

Po podstawieniu do wyjściowego równania otrzymujemy:

Zakładając, że
rozwiązujemy równanie różniczkowe

, które jest równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE JEDNORODNE WZGLĘDEM X I Y

Równanie różniczkowe jednorodne względem x i y jest to równanie postaci
.

Często spotykanym przypadkiem jest równanie postaci:

, gdzie P i Q są wielomianami względem x i y tego samego stopnia n. Przez podzielenie licznika i mianownika przez
otrzymujemy równanie postaci
.

Równanie różniczkowe jednorodne rozwiązujemy przez podstawienie, wprowadzając nową funkcję u postaci
.

Mamy więc
, skąd po obliczeniu pochodnej otrzymujemy
.

Po podstawieniu do równania wyjściowego mamy
.

Zakładając, że
oraz
, otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych

RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LINIOWE

Równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci

,

gdzie p i q są funkcjami ciągłymi w pewnym przedziale
.

Jeżeli dla każdego

, to równanie powyższe nazywamy równaniem jednorodnym; w przeciwnym wypadku równanie nazywamy równaniem niejednorodnym.

Rozpatrzmy najpierw równanie jednorodne
. Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych. Zakładając, że
, mamy
. Zatem
czyli
. Podstawiając
,
, otrzymujemy rozwiązanie równania jednorodnego
.

Równanie niejednorodne - metoda uzmienniania stałej.

Mając rozwiązanie równania jednorodnego, uzmienniamy stała C, tzn. zastępujemy ją funkcją C(x) taka, aby funkcja
była rozwiązaniem równania jednorodnego. Obliczamy pochodną
. Podstawiając obliczoną pochodna i przyjętą funkcje do równania niejednorodnego, otrzymujemy

A po redukcji
, czyli
. W ten sposób otrzymaliśmy równanie o zmiennych rozdzielonych. Jego rozwiązanie ma postać
.

Zatem rozwiązaniem równania niejednorodnego jest następująca funkcja :

RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE BERNOULLIEGO

Równaniem różniczkowym Bernoulliego nazywamy równanie postaci
, n=1,2,..., gdzie p i q są funkcjami ciągłymi w przedziale

W celu rozwiązania powyższego równania dokonujemy podstawienia
. Po obliczeniu pochodnej
i przekształceniach mamy
. Z podstawienia otrzymujemy
. Zatem równanie różniczkowe przyjmuje postać

skąd po podzieleniu przez
i pomnożeniu przez (1-n) otrzymujemy równanie różniczkowe liniowe postaci

PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ RÓWNAN RÓŻNICZKOWYCH W EKONOMII

1. Model wzrostu Domara

Podstawowe przesłanki modelu Domara:

1. dochód Y(t) w chwili t jest proporcjonalny do zaangażowanego w tej chwili kapitału K(t), tzn
   

2. w każdej chwili t z dochodu przeznacza się stałą część s na inwestycje I(t), tzn.
   

3. inwestycje z chwili t to przyrost kapitału z chwili t, tzn.
   

Z założeń a i b wynika, że
- obliczamy pochodną
, a po uwzględnieniu c otrzymujemy
. W ten sposób otrzymaliśmy równanie różniczkowe rzędu pierwszego o zmiennych rozdzielonych. Równanie to można zapisać w postaci

gdzie C jest dowolną stałą. Widać z powyższego wzoru, że w modeli Domara inwestycje muszę rosnąć wykładniczo ze stopą
.

2. Model wzrostu Solowa

W modelu wzrostu Solowa bierze się pod uwagę w chwili t dwa czynniki produkcji, a mianowicie kapitał K(t) oraz pracę L(t). W dalszym ciągu stanowią stałą część s wytworzonego produktu narodowego, który oznaczamy przez Q, tzn.
, gdzie Q=F(K,L) jest funkcją kapitału i pracy.

Przyjmijmy założenie o stałej stopie przyrostu pracy L, tzn.
, gdzie
jest stałą.

Solow przyjął założenie, że funkcja F spełnia warunek
dla
. Jeżeli przyjmiemy, że
, to otrzymamy
. Oznaczając iloraz
symbolem k, możemy zdefiniować funkcję jednej zmiennej
, gdzie k jest kapitałem przypadającym na jednostkę pracy ( na jednego zatrudnionego) i nazywane jest technicznym uzbrojeniem pracy. Biorąc pod uwagę powyższe zależności mamy:

Dzieląc powyższe równanie przez L dochodzimy do równania Solowa

Ponieważ równanie to zawiera ogólne funkcje, więc nie możemy na jego podstawie otrzymać konkretnego rozwiązania. Ale jeżeli na przykład przyjmiemy, ze funkcja produkcji jest funkcją Cobba-Douglada postaci
, to możemy znaleźć rozwiązanie równania Solowa.

Widzimy, że
, a zatem równanie Solowa przyjmuje postać równania Bernoulliego

Zatem:
, podstawiając

Otrzymane równanie jest równaniem różniczkowym liniowym, które po zastosowaniu znanej metody uzmienniania stałej daje rozwiązanie postaci

gdzie C jest dowolną stałą.

Zatem
. Jeżeli za t podstawimy 0, to otrzymamy
, gdzie k(0) jest początkową wartością technicznego uzbrojenia pracy. Wobec tego
. Rozwiązanie to określa ścieżkę czasową dla k. Skoro
i
są dodatnie, to przy
wyrażenie wykładnicze dąży do zera:

, czyli

Oznacza to, że techniczne uzbrojenie pracy dąży do stałej wartości. Zauważmy, że
. Zatem w granicy stopa przyrostu kapitału wynosi
, a więc jest równa stopie przyrostu zasobów pracy. Ponadto mamy
, a więc
. Po obliczeniu pochodnej otrzymujemy

Wielkość
nazywana jest w teorii wzrostu stopą wzrostu inwestycyjnego. Ponieważ
, zatem widzimy, że w granicy stopa wzrostu inwestycji również dąży do
.

Wykorzystane było założenie, że funkcja produkcji była funkcją Cobba-Douglasa. Warunkiem powodzenia jakichkolwiek rozważań na ten temat jest nie tylko znajomość postaci funkcji produkcji, ale również jej parametrów.

5

---