41-44 Metody-Kita

NAUKA DLA BUDOWNICTWA

CZERWIEC 2004 PRZEGLÑD BUDOWLANY

Ostatecznie  równanie  wyglàda  nas-
t´pujàco:
x+0,6*(1-x)  =  0,75*x  +  (1-x),  stàd
x = wc = 0,62 i wt = 0,38
Obszar  mo˝liwych  rozwiàzaƒ  to
kwadrat  o  boku  1.  Punkty  A (1;  0,6)
i  B (0,75;1)  to  preferencje  zama-
wiajàcego,
Natomiast  prosta  „k”  o równaniu
0,62*zc+0,38*zt– 0,85=0  to  linia,
która  zawiera  pozostałe  rozwiàzania
równowa˝ne  ofertom  A i B.  WartoÊç
0,85 to ocena jakà otrzymujà punkty
le˝àce  na  prostej  „k”.  Obszar  H  to
obszar,  do  którego  nale˝à  punk-
ty  spełniajàce  preferencje  zama-
wiajàcego.
Je˝eli kryteriów jest wi´cej ni˝ dwa,
to  przy  wyznaczaniu  pomocna  jest
analiza  wielokryterialna.  Zapisujemy
tu  funkcj´  u˝ytecznoÊci  jako  sum´
poszczególnych  u˝ytecznoÊci  dla
ka˝dego  kryterium  u(x)=w1*u1
(x)+w2*u2(x)+.  .  .+wi*ui(x);  nas-
t´pnie  ustalamy  wartoÊci  Êredniej,
na  podstawie  opinii  decydenta.
Jednym  ze  sposobów  okreÊlenia
funkcji  u˝ytecznoÊci  jest  metoda
doboru loterii. Decydent podaje jego
zdaniem najbardziej i najmniej atrak-
cyjny wynik rozpatrywanej zmiennej.
Najgorszemu wynikowi przypisujemy
wartoÊç  (u˝ytecznoÊci)  równà  zero
i analogicznie najlepszy wynik otrzy-
muje wartoÊç jeden:
U(x*) = 1  U(x0) = 0
Proponujemy  teraz  decydentowi
wybór  spoÊród  dwóch  mo˝liwoÊci.
Pierwsza mo˝liwoÊç to wzi´cie udzia-
łu w loterii, gdzie mo˝e wygraç reali-
zacj´ inwestycji za 59 j, gdy wypadnie
orzeł  lub  przegraç  i  realizowaç  za
100  j,  gdy  wypadnie  reszka,  a dru-
ga  mo˝liwoÊç  to  wzi´cie  wartoÊci
zagwarantowanej  bez  udziału  w grze
– zagwarantowanà wartoÊç obliczamy

MGR IN˚. MARZENA KITA
POLITECHNIKA KRAKOWSKA

stalenie  wag  kryteriów
wyboru  to  bardzo  wa˝ny
element  w przygotowaniu

ka˝dego przetargu. O znaczeniu tego
zadania  Êwiadczy  fakt,  ˝e  ustalone
wagi  w przyszłoÊci  zadecydujà  o wy-
borze najkorzystniejszej oferty. Które
z nich sà najwa˝niejsze, a które mniej
wa˝ne,  jakie  zachowaç  proporcje
pomi´dzy  nimi,  to  najcz´stsze  pyta-
nia,  jakie  powinien  postawiç  sobie
zamawiajàcy.  Ustalajàc  wagi  nale˝y
pami´taç  o jednej  bardzo  wa˝nej
zasadzie, ˝e suma wag musi wynosiç
jeden  lub  sto  (jeÊli  wyra˝amy  wagi
w procentach).  Wydaje  si´  to  byç
oczywiste,  niestety  jednak  zama-
wiajàcy  popełniajà  ten  błàd,  tworzàc
np. taki zestaw wag:



cena 70 proc.



termin wykonania 26 proc.



gwarancja 3 - 4 proc.

W tym wypadku suma wag waha si´
od  99  do  100  proc.  Chcàc  uniknàç
tego  bł´du,  nale˝ało  oceniaç  gwa-
rancj´ np. w skali od 1 do 10 punktów
i przypisaç jej wag´ 4 proc.
Nie wszystkie kryteria sà jednakowo
wa˝ne.  Wprowadzenie  odpowiednich
wag, ukazujàcych wa˝noÊci pomi´dzy
poszczególnymi kryteriami,  powinno
byç  tak  ustalone,  aby  w przyszłoÊci
wygrała  oferta  najlepsza.  Nawet  nie
stosujàc  ˝adnych  istniejàcych  metod
wyznaczania wag, zamawiajàcy powi-
nien  dokonaç  próby  oszacowania  ich
wartoÊci  oraz  zastosowaç  proste
symulacje pozwalajàce na stwierdze-
nie, czy przyj´te wagi odzwierciedlajà
jego rzeczywiste wymagania.
Je˝eli  liczba  kryteriów  jest  równa
dwa,  to  mo˝na  na  podstawie  kilku
informacji  wyznaczyç  wartoÊci  wag,

stosujàc  proste  wzory  matematycz-
ne. Nale˝y rozpatrzyç dwa przypadki.
PrzypuÊçmy,  ˝e  mamy  dwa  kryteria
czas realizacji oraz cen´.
Zamawiajàcy  pragnie  zrealizowaç
przedsi´wzi´cie  w ciàgu  dziesi´ciu
miesi´cy i jest w stanie zapłaciç za to
82 j (j – dowolna jenostka pieni´˝na np.
100  000 zł) . Mo˝e on jednak zwi´kszyç
kwot´  o 30  proc.  pod  warunkiem,  ˝e
termin ulegnie skróceniu przynajmniej
o cztery  miesiàce.  Mamy  wi´c  dwie
równowa˝ne oferty:



oferta A

→ 82 j; 10 m-cy



oferta B

→ 107 j (dro˝sza o 30

proc.); 6 m-cy.
Taki  zapis  jest  zabezpieczeniem  dla
zamawiajàcego,  daje  mu  gwarancj´,
˝e  oferta  dro˝sza  b´dzie  jednak
atrakcyjna pod wzgl´dem czasu reali-
zacji. Po wyznaczeniu równowa˝nych
ofert  normalizujemy  dane  według
wzoru  Cmin/Ci,  je˝eli  rozpatrujemy
kryterium takie jak czas realizacji czy
cena (kryteria minimalizowane – tym
lepsza ocena czym mniejsza wartoÊç)
lub  według  wzoru  Gi/Gmax  (kryte-
rium  maksymalizowane  np.  gwaran-
cja).  Ostatecznie  oferty  zapisujemy
w nast´pujàcy sposób:



oferta A

(Cmin/Ca)*x+(Tmin/Ta)*(1-x) =Va



oferta B

(Cmin/Cb)*x+(Tmin/Tb)*(1-x) =Vb.
Gdzie  x  oznacza  wartoÊç  wagi  ceny
a poniewa˝  suma  wag  wynosi  1,
stàd  drugà  wag´  zapisujemy  jako
ró˝nic´  1 – x.  Va  i Vb,  to  wartoÊci
oceny  przypisane  poszczególnym
ofertom.  Poniewa˝  oferty  A i B sà
równowa˝ne,  stàd  otrzymujemy
jedno równanie z jednà niewiadomà:
(Cmin/Ca) *x + (Tmin/Ta) * (1-x) =
(Cmin/Cb) *x + (Tmin/Tb) * (1-x)
Ca=82 j, Cb=107 j

→ Cmin=82 j

Ta=10 m-cy, Tb=6 m-cy

→ Tmin=6 m-cy

Metody ustalania wag

kryteriów wyboru wykonawcy

PRZEGLÑD BUDOWLANY CZERWIEC 2004

NAUKA DLA BUDOWNICTWA

CZERWIEC 2004 PRZEGLÑD BUDOWLANY

ze wzoru (0,5) x (100 j) = (0,5) x (59  j)
=  79,5  j – za  tyle  zostanie  wykona-
ne  przedsi´wzi´cie.  PrzypuÊçmy,
˝e  decydent  po  przemyÊleniu  tej
sytuacji  decyduje  si´  braç  udział
w loterii.  Zadajemy  wi´c  mu  znów
podobne  pytanie  np.  realizacj´  za
78 j lub  loteri´,  w której  wygrana  to
realizacja  za  59 j, a przegrana  realiza-
cja  za  100 j.  Sytuacj´  t´  powtarzamy
a˝  decydent  przy  pewnej  kwocie
stwierdzi,  ˝e  jest  mu  to  oboj´tne,
czy  weêmie  udział  w loterii,  czy
zrezygnuje  z niej  i weêmie  wartoÊç
zagwarantowanà.  Załó˝my,  ˝e  taka
sytuacja  ma  miejsce  przy  wartoÊci
70 j.  WartoÊç  funkcji  u˝ytecznoÊci
dla  tej  sumy  wynosi  U(70j)=(0,5)x
1+(0,5)x0=(0,5).  Kontynuujemy  t´
procedur´,  przy  czym  rozpatrujemy

teraz  wartoÊç  70  j - 0,5  i 59  j – 1.
Znów  np.  dla  wartoÊci  65  j decydent
stwierdza,  ˝e  jest  mu  oboj´tne,  czy
bierze  udział  w loterii  czy  przyj-
muje  wartoÊç  pewnà.  Wówczas
u˝ytecznoÊç dla 65 j obliczamy w ten
sposób  U(65  j)=0,5x1+0,5 (0,5)=
0,75. Teraz mo˝e rozpatrzyç przedział
(70j – 100j)  i otrzymaç  wartoÊç  np.
85j, która jest oboj´tna dla decyden-
ta,  jeÊli  chodzi  o loteri´  czy  wartoÊç
gwarantowanà  i obliczyç  dla  niej
U(85j)x(0,5)x(0,5)+(0,5)x0=0,25
W ten  sposób  otrzymaliÊmy  cztery
punkty  U(100j)=0;  U(85j)=0,25;
U(70j)=0,5;  U(65j)=0,75;  U(59j)=1.
JeÊli chcemy wyznaczyç wi´cej punk-
tów  musimy  rozpatrzyç  dodatkowo
np.  przedziały  (100j– 85j)  i (65j–59j).
Nast´pnie  aproksymujemy  funkcj´

na  podstawie  wyznaczonych  punk-
tów.  W ten  sam  sposób  wyznaczamy
funkcj´  u˝ytecznoÊci  dla  pozosta-
łych  kryteriów.  W celu  okreÊlenia
wag  ustalamy  wa˝noÊç  poszczegól-
nych  kryteriów.  Mo˝na  to  osiàgnàç
w nast´pujàcy  sposób:  bierzemy
pod  uwag´  alternatyw´,  która  ma
najbardziej  niekorzystne  wartoÊci  na
wszystkich  wymiarach.  Nast´pnie
decydent  „poprawia”  któryÊ  z wy-
miarów  tak,  by  przyjàł  on  najlepszà
wartoÊç  z mo˝liwych.  Zakładamy
oczywiÊcie,  ˝e  wybór  padnie  na  ten
wymiar,  który  ma  najwy˝szà  wag´
w

. Procedur´ t´ powtarzamy, a˝ do

momentu  wyczerpania  wszystkich
wymiarów.
Majàc  tak  uporzàdkowane  wagi,
porównujemy  je  w nast´pujàcy  spo-
sób:  bierzemy  dwa  warianty  A (x01,
x2,  x03,  .  .  .  .  ,  x0n.  )  i B (x*1,  x02,
x03, . . . . , x0n) i szukamy przy jakim
x2  decydent  stwierdzi,  ˝e  alterna-
tywy  sà  dla  niego  porównywalne.
Znajàc  wartoÊç  U2(x2)  otrzymujemy
zale˝noÊç:
w2*U2(x2)=w1*U1(x1*) i U1(x1*)=1
stàd w 2*U2(x2)=w1
Tak  samo  post´pujemy  z pozosta-
łymi  kryteriami  i obliczamy  kolejne
wagi,  dodatkowo  mamy  równanie

Σw

=1. W ten sposób otrzymuje-

my  n-układów  z n-niewiadomymi.
Stosujàc  t´  metod´,  napotykamy
jednak  na  pewne  niedogodnoÊci.
Czasem  decydent  nie  jest  w stanie

Rys. 1.

Hierarchia

Warunki płatnoÊci

Termin wykonania

Cena

Terminy płatnoÊci faktur cz´Êciowych

Karencja

Termin płatnoÊci faktury koƒcowej

Tab. 1.

IntensywnoÊç

wa˝noÊci

Definicja

ObjaÊnienie

Równowaga

Dwie czynnoÊci majà identycznà wa˝noÊç

Słaba wa˝noÊç

Jedna czynnoÊç jest nieznacznie wa˝niejsza od drugiej

Znaczàca wa˝noÊç

Jedna czynnoÊç jest sporo wa˝niejsza od drugiej

Silna wa˝noÊç

Jedna czynnoÊç jest zdecydowanie wa˝niejsza od drugiej

Wa˝noÊç absolutna

Jedna czynnoÊç jest ewidentnie wa˝niejsza od drugiej

2,4,6,8

WartoÊci poÊrednie

Gdy oceniajàcy uwa˝a, ˝e ocena danego kryterium zawiera si´ pomi´dzy
wymienionymi wy˝ej wartoÊciami.

PRZEGLÑD BUDOWLANY CZERWIEC 2004

NAUKA DLA BUDOWNICTWA

CZERWIEC 2004 PRZEGLÑD BUDOWLANY

poprawnie  za  pierwszym  razem
wyznaczyç  odpowiednich  wartoÊci
funkcji  u˝ytecznoÊci,  a tak˝e  mo˝e
mieç  problemy  z jednoznacznym
wyznaczeniem  porównywalnej  alter-
natywy.  Wówczas  nale˝y  powtórzyç
procedur´.
Prostszym  sposobem  ustalania  wag
jest metoda oparta na systemie AHP
(Analitycal Hierarchy Proces). Składa
si´ on z trzech etapów:
a)  stworzenia  hierarchii  kryteriów
i podkryteriów,
b)  porównania ich w skali od 1 do 9,
c)  ostatecznego wyznaczenia wag.
Na  wst´pie  ustalamy  liczb´  i rodzaj
kryteriów  oraz  podajemy  zale˝noÊci
istniejàce  pomi´dzy  nimi.  Zwiàzki
te  zapisujemy  za  pomocà  hierarchii
(rys. 1).
W  etapie  drugim  porównujemy  kry-
teria parami, nadajàc im odpowiednie
wartoÊci,  które  oznaczajà  stopieƒ
wa˝noÊci,  jaki  istnieje  pomi´dzy
badanymi  kryteriami.  Opis  skali
podano w tabeli 1.
Porównywanie  zaczynamy  od  stwo-
rzenia  macierzy  kryteriów  (tab.  2)
i wpisania odpowiednich wartoÊci.
Na  przekàtnej  znajdujà  si´  same
jedynki, gdy˝ porównujemy dane kry-
terium  z nim  samym.  Rozpatrujemy
zawsze  elementy  z lewej  kolumny
z elementami  z górnego  wiersza
a wartoÊç  porównania  wpisujemy
na  ich  przeci´ciu.  Porównujàc  cen´
z  warunkami  płatnoÊci,  podano
wartoÊç  3 (1,2).  Oznacza  to,  ˝e
cena  jest  nieznacznie  wa˝niejsza  od
terminu  wykonania,  automatycz-
nie  na  przeci´ciu  drugiego  wiersza

Kryteria

Cena

Warunki płatnoÊci

Termin wykonania

1 Cena

2 Warunki płatnoÊci

1/3

3 Termin wykonania

1/7

1/5

Tab. 2

Podkryteria

Termin płatnoÊci

faktur cz´Êciowych

Termin płatnoÊci

faktury koƒcowej

Karencja

Termin płatnoÊci

faktur cz´Êciowych

Termin płatnoÊci

faktury koƒcowej

1/3

Karencja

1/7

1/4

Tab. 3

Tab. 4

Kryteria

Waga

Cena

0,65

Warunki płatnoÊci

0,29

Termin wykonania

0,06

Tab. 5

Kryteria

Wagi

globalne

Podkryteria

Wagi

lokalne

Ostateczne wagi

Cena

0,65

Warunki

płatnoÊci

0,29

Termin płatnoÊci

faktur cz´Êciowych

0,66

0,19

Termin płatnoÊci

faktury koƒcowej

0,27

0,08

Karencja

0,07

0,02

Termin

wykonania

0,06

PRZEGLÑD BUDOWLANY CZERWIEC 2004

NAUKA DLA BUDOWNICTWA

z pierwszà kolumnà wpisujemy 1/3
(2,1) . Identyczne tabele sporzàdzamy
dla podkryteria – warunki płatnoÊci
(tabela 3).
Nast´pnie

wyznaczamy

wagi.

W pierwszej kolejnoÊci obliczamy je
dla kryteriów (sposób obliczania poda-
no na przykładzie wag kryteriów).

cena

warunki płatnoÊci

termin wykonania

Waga  jest  sumà  ilorazów,  gdzie
liczniki  to  wartoÊci  z wiersza  dane-
go  kryterium  (np.:  dla  ceny  jest  to
wiersz  nr  1 i odpowiednio  wartoÊci
1,3,7),  a mianowniki  to  sumy  ele-
mentów  kolumn  (dla  ceny  jest  to
suma z kolumny pierwszej, nast´pnie
drugiej,  trzecie  i czwartej).  CałoÊç
dzielimy  przez  liczb´  kryteriów  (w
naszym wypadku jest to trzy). Wyniki
obliczeƒ podano w tabeli 4.
Analogicznie  obliczamy  wagi  dla
podkryterium, przy czym wagi kryte-
riów  traktujemy  jako  wagi  globalne,
a podkryteriów  jako  wagi  lokalne.

Ostateczne wartoÊci podaje tabela 5.
Koƒcowe  wyznaczenie  wag  uzysku-
jemy  w ten  sposób,  ˝e  wagi  kryte-
riów  równajà  si´  wagom  globalnym,
a wagi  podkryteriów  otrzymujemy
przemna˝ajàc  wagi  globalne  przez
wagi lokalne (np.: ostateczna waga dla
terminu płatnoÊci faktur cz´Êciowych
to 0,66*0,29=0,19).



BIBLIOGRAFIA
[1] Janusz Dolecki, Kryteria wyboru oferty
– cz´Êç druga, Zamówienia publiczne
DORADCA nr 6 (14) czerwiec 1998 , 5-9.
[2] Patrick Sik – Wah Fong, Sonia Kit – Yung
Choi, Final contractor selection using the
analytical hierarchy process, Construction
Management and Economics 18 (2000),
s. 547-557.
[3] Eric T. T. Wong, George Norman, Roger
Flanagan, A fuzzy stochastic technque for
project selection, Construction Management
and Economics 18 (2000), s. 407-414.