41

NAUKA DLA BUDOWNICTWA

CZERWIEC 2004 PRZEGLÑD BUDOWLANY

Ostatecznie równanie wyglàda nas-
t´pujàco:
x+0,6*(1-x) = 0,75*x + (1-x), stàd
x = wc = 0,62 i wt = 0,38
Obszar mo˝liwych rozwiàzaƒ to
kwadrat o boku 1. Punkty A (1; 0,6)
i B (0,75;1) to preferencje zama-
wiajàcego,
Natomiast prosta „k” o równaniu
0,62*zc+0,38*zt– 0,85=0 to linia,
która zawiera pozostałe rozwiàzania
równowa˝ne ofertom A i B. WartoÊç
0,85 to ocena jakà otrzymujà punkty
le˝àce na prostej „k”. Obszar H to
obszar, do którego nale˝à punk-
ty spełniajàce preferencje zama-
wiajàcego.
Je˝eli kryteriów jest wi´cej ni˝ dwa,
to przy wyznaczaniu pomocna jest
analiza wielokryterialna. Zapisujemy
tu funkcj´ u˝ytecznoÊci jako sum´
poszczególnych u˝ytecznoÊci dla
ka˝dego kryterium u(x)=w1*u1
(x)+w2*u2(x)+. . .+wi*ui(x); nas-
t´pnie ustalamy wartoÊci Êredniej,
na podstawie opinii decydenta.
Jednym ze sposobów okreÊlenia
funkcji u˝ytecznoÊci jest metoda
doboru loterii. Decydent podaje jego
zdaniem najbardziej i najmniej atrak-
cyjny wynik rozpatrywanej zmiennej.
Najgorszemu wynikowi przypisujemy
wartoÊç (u˝ytecznoÊci) równà zero
i analogicznie najlepszy wynik otrzy-
muje wartoÊç jeden:
U(x*) = 1 U(x0) = 0
Proponujemy teraz decydentowi
wybór spoÊród dwóch mo˝liwoÊci.
Pierwsza mo˝liwoÊç to wzi´cie udzia-
łu w loterii, gdzie mo˝e wygraç reali-
zacj´ inwestycji za 59 j, gdy wypadnie
orzeł lub przegraç i realizowaç za
100 j, gdy wypadnie reszka, a dru-
ga mo˝liwoÊç to wzi´cie wartoÊci
zagwarantowanej bez udziału w grze
– zagwarantowanà wartoÊç obliczamy

MGR IN˚. MARZENA KITA
POLITECHNIKA KRAKOWSKA

stalenie wag kryteriów
wyboru to bardzo wa˝ny
element w przygotowaniu

ka˝dego przetargu. O znaczeniu tego
zadania Êwiadczy fakt, ˝e ustalone
wagi w przyszłoÊci zadecydujà o wy-
borze najkorzystniejszej oferty. Które
z nich sà najwa˝niejsze, a które mniej
wa˝ne, jakie zachowaç proporcje
pomi´dzy nimi, to najcz´stsze pyta-
nia, jakie powinien postawiç sobie
zamawiajàcy. Ustalajàc wagi nale˝y
pami´taç o jednej bardzo wa˝nej
zasadzie, ˝e suma wag musi wynosiç
jeden lub sto (jeÊli wyra˝amy wagi
w procentach). Wydaje si´ to byç
oczywiste, niestety jednak zama-
wiajàcy popełniajà ten błàd, tworzàc
np. taki zestaw wag:



cena 70 proc.



termin wykonania 26 proc.



gwarancja 3 - 4 proc.

W tym wypadku suma wag waha si´
od 99 do 100 proc. Chcàc uniknàç
tego bł´du, nale˝ało oceniaç gwa-
rancj´ np. w skali od 1 do 10 punktów
i przypisaç jej wag´ 4 proc.
Nie wszystkie kryteria sà jednakowo
wa˝ne. Wprowadzenie odpowiednich
wag, ukazujàcych wa˝noÊci pomi´dzy
poszczególnymi kryteriami, powinno
byç tak ustalone, aby w przyszłoÊci
wygrała oferta najlepsza. Nawet nie
stosujàc ˝adnych istniejàcych metod
wyznaczania wag, zamawiajàcy powi-
nien dokonaç próby oszacowania ich
wartoÊci oraz zastosowaç proste
symulacje pozwalajàce na stwierdze-
nie, czy przyj´te wagi odzwierciedlajà
jego rzeczywiste wymagania.
Je˝eli liczba kryteriów jest równa
dwa, to mo˝na na podstawie kilku
informacji wyznaczyç wartoÊci wag,

stosujàc proste wzory matematycz-
ne. Nale˝y rozpatrzyç dwa przypadki.
PrzypuÊçmy, ˝e mamy dwa kryteria
czas realizacji oraz cen´.
Zamawiajàcy pragnie zrealizowaç
przedsi´wzi´cie w ciàgu dziesi´ciu
miesi´cy i jest w stanie zapłaciç za to
82 j (j – dowolna jenostka pieni´˝na np.
100 000 zł) . Mo˝e on jednak zwi´kszyç
kwot´ o 30 proc. pod warunkiem, ˝e
termin ulegnie skróceniu przynajmniej
o cztery miesiàce. Mamy wi´c dwie
równowa˝ne oferty:



oferta A

→ 82 j; 10 m-cy



oferta B

→ 107 j (dro˝sza o 30

proc.); 6 m-cy.
Taki zapis jest zabezpieczeniem dla
zamawiajàcego, daje mu gwarancj´,
˝e oferta dro˝sza b´dzie jednak
atrakcyjna pod wzgl´dem czasu reali-
zacji. Po wyznaczeniu równowa˝nych
ofert normalizujemy dane według
wzoru Cmin/Ci, je˝eli rozpatrujemy
kryterium takie jak czas realizacji czy
cena (kryteria minimalizowane – tym
lepsza ocena czym mniejsza wartoÊç)
lub według wzoru Gi/Gmax (kryte-
rium maksymalizowane np. gwaran-
cja). Ostatecznie oferty zapisujemy
w nast´pujàcy sposób:



oferta A

(Cmin/Ca)*x+(Tmin/Ta)*(1-x) =Va



oferta B

(Cmin/Cb)*x+(Tmin/Tb)*(1-x) =Vb.
Gdzie x oznacza wartoÊç wagi ceny
a poniewa˝ suma wag wynosi 1,
stàd drugà wag´ zapisujemy jako
ró˝nic´ 1 – x. Va i Vb, to wartoÊci
oceny przypisane poszczególnym
ofertom. Poniewa˝ oferty A i B sà
równowa˝ne, stàd otrzymujemy
jedno równanie z jednà niewiadomà:
(Cmin/Ca) *x + (Tmin/Ta) * (1-x) =
(Cmin/Cb) *x + (Tmin/Tb) * (1-x)
Ca=82 j, Cb=107 j

→ Cmin=82 j

Ta=10 m-cy, Tb=6 m-cy

→ Tmin=6 m-cy

Metody ustalania wag

kryteriów wyboru wykonawcy

U

42

PRZEGLÑD BUDOWLANY CZERWIEC 2004

NAUKA DLA BUDOWNICTWA

43

NAUKA DLA BUDOWNICTWA

CZERWIEC 2004 PRZEGLÑD BUDOWLANY

ze wzoru (0,5) x (100 j) = (0,5) x (59 j)
= 79,5 j – za tyle zostanie wykona-
ne przedsi´wzi´cie. PrzypuÊçmy,
˝e decydent po przemyÊleniu tej
sytuacji decyduje si´ braç udział
w loterii. Zadajemy wi´c mu znów
podobne pytanie np. realizacj´ za
78 j lub loteri´, w której wygrana to
realizacja za 59 j, a przegrana realiza-
cja za 100 j. Sytuacj´ t´ powtarzamy
a˝ decydent przy pewnej kwocie
stwierdzi, ˝e jest mu to oboj´tne,
czy weêmie udział w loterii, czy
zrezygnuje z niej i weêmie wartoÊç
zagwarantowanà. Załó˝my, ˝e taka
sytuacja ma miejsce przy wartoÊci
70 j. WartoÊç funkcji u˝ytecznoÊci
dla tej sumy wynosi U(70j)=(0,5)x
1+(0,5)x0=(0,5). Kontynuujemy t´
procedur´, przy czym rozpatrujemy

teraz wartoÊç 70 j - 0,5 i 59 j – 1.
Znów np. dla wartoÊci 65 j decydent
stwierdza, ˝e jest mu oboj´tne, czy
bierze udział w loterii czy przyj-
muje wartoÊç pewnà. Wówczas
u˝ytecznoÊç dla 65 j obliczamy w ten
sposób U(65 j)=0,5x1+0,5 (0,5)=
0,75. Teraz mo˝e rozpatrzyç przedział
(70j – 100j) i otrzymaç wartoÊç np.
85j, która jest oboj´tna dla decyden-
ta, jeÊli chodzi o loteri´ czy wartoÊç
gwarantowanà i obliczyç dla niej
U(85j)x(0,5)x(0,5)+(0,5)x0=0,25
W ten sposób otrzymaliÊmy cztery
punkty U(100j)=0; U(85j)=0,25;
U(70j)=0,5; U(65j)=0,75; U(59j)=1.
JeÊli chcemy wyznaczyç wi´cej punk-
tów musimy rozpatrzyç dodatkowo
np. przedziały (100j– 85j) i (65j–59j).
Nast´pnie aproksymujemy funkcj´

na podstawie wyznaczonych punk-
tów. W ten sam sposób wyznaczamy
funkcj´ u˝ytecznoÊci dla pozosta-
łych kryteriów. W celu okreÊlenia
wag ustalamy wa˝noÊç poszczegól-
nych kryteriów. Mo˝na to osiàgnàç
w nast´pujàcy sposób: bierzemy
pod uwag´ alternatyw´, która ma
najbardziej niekorzystne wartoÊci na
wszystkich wymiarach. Nast´pnie
decydent „poprawia” któryÊ z wy-
miarów tak, by przyjàł on najlepszà
wartoÊç z mo˝liwych. Zakładamy
oczywiÊcie, ˝e wybór padnie na ten
wymiar, który ma najwy˝szà wag´
w

i

. Procedur´ t´ powtarzamy, a˝ do

momentu wyczerpania wszystkich
wymiarów.
Majàc tak uporzàdkowane wagi,
porównujemy je w nast´pujàcy spo-
sób: bierzemy dwa warianty A (x01,
x2, x03, . . . . , x0n. ) i B (x*1, x02,
x03, . . . . , x0n) i szukamy przy jakim
x2 decydent stwierdzi, ˝e alterna-
tywy sà dla niego porównywalne.
Znajàc wartoÊç U2(x2) otrzymujemy
zale˝noÊç:
w2*U2(x2)=w1*U1(x1*) i U1(x1*)=1
stàd w 2*U2(x2)=w1
Tak samo post´pujemy z pozosta-
łymi kryteriami i obliczamy kolejne
wagi, dodatkowo mamy równanie

Σw

i

=1. W ten sposób otrzymuje-

my n-układów z n-niewiadomymi.
Stosujàc t´ metod´, napotykamy
jednak na pewne niedogodnoÊci.
Czasem decydent nie jest w stanie

Rys. 1.

Hierarchia

Warunki płatnoÊci

Termin wykonania

Cena

Terminy płatnoÊci faktur cz´Êciowych

Karencja

Termin płatnoÊci faktury koƒcowej

Tab. 1.

IntensywnoÊç

wa˝noÊci

Definicja

ObjaÊnienie

1

Równowaga

Dwie czynnoÊci majà identycznà wa˝noÊç

3

Słaba wa˝noÊç

Jedna czynnoÊç jest nieznacznie wa˝niejsza od drugiej

5

Znaczàca wa˝noÊç

Jedna czynnoÊç jest sporo wa˝niejsza od drugiej

7

Silna wa˝noÊç

Jedna czynnoÊç jest zdecydowanie wa˝niejsza od drugiej

9

Wa˝noÊç absolutna

Jedna czynnoÊç jest ewidentnie wa˝niejsza od drugiej

2,4,6,8

WartoÊci poÊrednie

Gdy oceniajàcy uwa˝a, ˝e ocena danego kryterium zawiera si´ pomi´dzy
wymienionymi wy˝ej wartoÊciami.

42

PRZEGLÑD BUDOWLANY CZERWIEC 2004

NAUKA DLA BUDOWNICTWA

43

NAUKA DLA BUDOWNICTWA

CZERWIEC 2004 PRZEGLÑD BUDOWLANY

poprawnie za pierwszym razem
wyznaczyç odpowiednich wartoÊci
funkcji u˝ytecznoÊci, a tak˝e mo˝e
mieç problemy z jednoznacznym
wyznaczeniem porównywalnej alter-
natywy. Wówczas nale˝y powtórzyç
procedur´.
Prostszym sposobem ustalania wag
jest metoda oparta na systemie AHP
(Analitycal Hierarchy Proces). Składa
si´ on z trzech etapów:
a) stworzenia hierarchii kryteriów
i podkryteriów,
b) porównania ich w skali od 1 do 9,
c) ostatecznego wyznaczenia wag.
Na wst´pie ustalamy liczb´ i rodzaj
kryteriów oraz podajemy zale˝noÊci
istniejàce pomi´dzy nimi. Zwiàzki
te zapisujemy za pomocà hierarchii
(rys. 1).
W etapie drugim porównujemy kry-
teria parami, nadajàc im odpowiednie
wartoÊci, które oznaczajà stopieƒ
wa˝noÊci, jaki istnieje pomi´dzy
badanymi kryteriami. Opis skali
podano w tabeli 1.
Porównywanie zaczynamy od stwo-
rzenia macierzy kryteriów (tab. 2)
i wpisania odpowiednich wartoÊci.
Na przekàtnej znajdujà si´ same
jedynki, gdy˝ porównujemy dane kry-
terium z nim samym. Rozpatrujemy
zawsze elementy z lewej kolumny
z elementami z górnego wiersza
a wartoÊç porównania wpisujemy
na ich przeci´ciu. Porównujàc cen´
z warunkami płatnoÊci, podano
wartoÊç 3 (1,2). Oznacza to, ˝e
cena jest nieznacznie wa˝niejsza od
terminu wykonania, automatycz-
nie na przeci´ciu drugiego wiersza

1

2

3

Kryteria

Cena

Warunki płatnoÊci

Termin wykonania

1 Cena

1

3

7

2 Warunki płatnoÊci

1/3

1

5

3 Termin wykonania

1/7

1/5

1

Tab. 2

Podkryteria

1

2

3

Termin płatnoÊci

faktur cz´Êciowych

Termin płatnoÊci

faktury koƒcowej

Karencja

1

Termin płatnoÊci

faktur cz´Êciowych

1

3

7

2

Termin płatnoÊci

faktury koƒcowej

1/3

1

4

3

Karencja

1/7

1/4

1

Tab. 3

Tab. 4

Kryteria

Waga

Cena

0,65

Warunki płatnoÊci

0,29

Termin wykonania

0,06

Tab. 5

Kryteria

Wagi

globalne

Podkryteria

Wagi

lokalne

Ostateczne wagi

Cena

0,65

-

0,65

0,65

Warunki

płatnoÊci

0,29

Termin płatnoÊci

faktur cz´Êciowych

0,66

0,19

Termin płatnoÊci

faktury koƒcowej

0,27

0,08

Karencja

0,07

0,02

Termin

wykonania

0,06

-

0,06

0,06

44

PRZEGLÑD BUDOWLANY CZERWIEC 2004

NAUKA DLA BUDOWNICTWA

z pierwszà kolumnà wpisujemy 1/3
(2,1) . Identyczne tabele sporzàdzamy
dla podkryteria – warunki płatnoÊci
(tabela 3).
Nast´pnie

wyznaczamy

wagi.

W pierwszej kolejnoÊci obliczamy je
dla kryteriów (sposób obliczania poda-
no na przykładzie wag kryteriów).

cena

warunki płatnoÊci

termin wykonania

Waga jest sumà ilorazów, gdzie
liczniki to wartoÊci z wiersza dane-
go kryterium (np.: dla ceny jest to
wiersz nr 1 i odpowiednio wartoÊci
1,3,7), a mianowniki to sumy ele-
mentów kolumn (dla ceny jest to
suma z kolumny pierwszej, nast´pnie
drugiej, trzecie i czwartej). CałoÊç
dzielimy przez liczb´ kryteriów (w
naszym wypadku jest to trzy). Wyniki
obliczeƒ podano w tabeli 4.
Analogicznie obliczamy wagi dla
podkryterium, przy czym wagi kryte-
riów traktujemy jako wagi globalne,
a podkryteriów jako wagi lokalne.

Ostateczne wartoÊci podaje tabela 5.
Koƒcowe wyznaczenie wag uzysku-
jemy w ten sposób, ˝e wagi kryte-
riów równajà si´ wagom globalnym,
a wagi podkryteriów otrzymujemy
przemna˝ajàc wagi globalne przez
wagi lokalne (np.: ostateczna waga dla
terminu płatnoÊci faktur cz´Êciowych
to 0,66*0,29=0,19).



BIBLIOGRAFIA
[1] Janusz Dolecki, Kryteria wyboru oferty
– cz´Êç druga, Zamówienia publiczne
DORADCA nr 6 (14) czerwiec 1998 , 5-9.
[2] Patrick Sik – Wah Fong, Sonia Kit – Yung
Choi, Final contractor selection using the
analytical hierarchy process, Construction
Management and Economics 18 (2000),
s. 547-557.
[3] Eric T. T. Wong, George Norman, Roger
Flanagan, A fuzzy stochastic technque for
project selection, Construction Management
and Economics 18 (2000), s. 407-414.