XXXI

I

I

OLIMPIAD

A

WIEDZY

TECHNICZNEJ

Za

w

o

dy

I

I

I

stopnia

Zadania dla grupy mechaniczno-budowlanej
Zadanie 1

Na skalistym, nieodksztaªcalnym i poziomym podªo»u wybudowano bardzo dªug¡ »elbetow¡

±cian¦ oporow¡ o przekroju poprzecznym w ksztaªcie litery

L

(rys.1). Wysoko±¢ ±ciany jest rów-

na

h

,grubo±¢ jej cz¦±ci pionowej jest

b

, grubo±¢ za± cz¦±ci poziomej

c

. Dªugo±¢ cz¦±ci poziomej

jest

x

i nale»y j¡ wyznaczy¢ z dalej podanych warunków zadania. ‘ciana oporowa utrzymuje

nasyp z dobrze zag¦szczonego gruntu o poziomym naziomie. Na caªy naziom mo»e dziaªa¢ ob-

ci¡»enie tªumem ludzi o intensywno±ci

q

. ‘ciana pod wpªywem poziomego parcia gruntu mo»e

ulec poziomemu przesuni¦ciu lub obrotowi wokóª punktu osi

A

A

. Przesuni¦ciu i obrotowi

przeciwdziaªa ci¦»ar wªasny ±ciany oraz pionowy nacisk gruntu na jej cz¦±¢ poziom¡ o dªugo±ci

x

oraz pionowe obci¡»enie

q

na tej»e dªugo±ci.

Nale»y wyznaczy¢ najmniejsz¡ dªugo±¢

x

poziomej cz¦±ci ±ciany tak, aby speªnione prze-

suni¦cie i obrót ±ciany nie wyst¡piªy, przy czym wymagane jest zachowanie wspóªczynników

bezpiecze«stwa: na przesuni¦cie

n

1 oraz na obrót

n

2. Wspóªczynnika tarcia posuwistego betonu

o podªo»e jest równy

f

.

Wskazówki:

1. Poniewa» ±ciana jest bardzo dªuga, to wystarczy zanalizowa¢ sytuacj¦ wyst¦puj¡c¡ tylko

na metrze jej dªugo±ci.

2. Rozpatruj¡c mo»liwo±¢przesuni¦cia i obrotu ±ciany, nale» j¡ traktowa¢ jako bryª¦ sztywn¡.
3. Na ±cian¦ dziaªa poziomo skierowana siªa parcia gruntu. Bryªa parcia gruntu jestw prze-

kroju poprzecznym trójk¡tem prostok¡tnym. K¡t mi¦dzy poziomym podªo»emi przeciw-

prostok¡tn¡ trójk¡ta jest równy

'

(jest to tzw. k¡t tarcia wewn¦trznego gruntu). Po-

zioma siªa parcia

Z

h

jest zaczepiona w ±rodku ci¦»ko±ci tego trójk¡ta. Pami¦ta¢ trzeba,

»e obci¡»ony naziom zwi¦ksza poziome parcie gruntu. Dlatego wysoko±¢ trójk¡ta powin-

na by¢ równa nie wysoko±ci sciany

h

lecz zwi¦kszona o tzw. wysoko±¢ zast¦pcz¡ gruntu

h

z

=

q

=

2.

4. Wzory na parcie gruntu s¡ w ka»dym poradniku. Na wszelki wypadek podano je jednak

poni»ej.

Partnerem Olimpiady jest rma Polkomtel S.A. operator sieci Plus GSM

1

Poziome parcie gruntu przy obci¡»onym naziomie (na metr dªugo±ci ±ciany)

Z

h

=

2

h

2



h

+

h

z



tg2

45



'

2

!

:

Siªa

Z

h

jest zaczepiona na wysoko±ci

e

od podªo»a, przy czym;

e

=

h

3

h

+ 3

h

z

h

+ 2

h

z

:

5. Zadania najlepiej jest rozwi¡za¢ stosuj¡c od razu dane liczbowe.

Dane liczbowe:

h

= 6 m;

b

= 0

;

5 m;

c

= 1

;

0 m;

q

= 4 kN/m2; ci¦»ar obj¦to±ciowy »elbetu

1 = 26 kN/m

3;

ci¦»ar obj¦to±ciowy gruntu

2 = 18kN/m

3; k¡t tarcia wewn¦trznego gruntu

'

= 30



;

n

1 = 1

;

2;

n

2 = 1

:

3;

f

= 0

;

5.

Rys.1

Autor:

W. Radomski

Koreferent: J. Bzowski

2

Zadanie 2

Na rys.1 pokazano ideowy schemat ªo»yskowanej ±lizgowo walcarki do walcowania grubej

blachy o nominalnym wymiarze

N

= 10 mm. Wymiary nominalne ±rednic walców 1 i ±rednic

otworów w korpusie 2 s¡ jednakowe i wynosz¡

D

w

=

D

o

= 40 mm. Wspóªrz¦dne rozstawienia

otworów w korpusie wzdªu» osi poziomej

X

= 40 mm, a wzdªu» osi pionowej

Y

= 30 mm.

›¡damy, aby grubo±¢ blachy po walcowaniu zawieraªa si¦ w granicach 9

;

9



N



10

;

1 mm.

Pasowanie walców w otworach jest jednakowe i wynosi



40

H

8

=f

8. Dla tego pasowania tolerancje

otworu

T

o

i waªka

T

w

s¡ sobie równe i wynosz¡

T

w

=

T

o

= 0

;

039 mm.

W rozwi¡zaniu zadania nale»y wykona¢:

1. wyznaczy¢ zale»no±¢ na wymiar wynikowy

N

.

2. obliczy¢ optymalne tolerancje

T

X

i

T

Y

wspóªrz¦dnych

X

,

Y

ze wzgl¦du na koszty wyko-

nania otworów w korpusie. Zakªadamy, »e zale»no±¢ kosztów od tolerancji wynosi:

K

X

=

C

T

X

;

K

Y

=

C

T

Y

;

gdzie

C

{ staªa kosztów stanowiska roboczego, na którym wykonywane s¡ otwory.

Wskazówka: Do wyznaczenia równania na tolerancj¦

T

N

=

f



T

X

;

T

Y



nale»y skorzysta¢ z wzoru na sum¦ tolerancji

T

N

=

X

(

i

)













@

N

@

T

Ai













T

Ai

:

Warto±ci pochodnych cz¡stkowych

@

N

@

T

Ai

wyliczamy zgodnie z nast¦puj¡cym przykªadem.

Przykªad. Zaªó»my »e pewna funkcja

F

(

U;

V

;

W

) ma posta¢ :

F

=

a

q

U

2 +

V

2 +

b

W

, gdzie

ÿa" i ÿb" to dowolne staªe. Pochodne cz¡stkowe takiej funkcji wynosz¡:

@

F

@

U

=

a

U

q

U

2 +

V

2 ;

@

F

@

V

=

a

V

q

U

2 +

V

2 ;

@

F

@

W

=

b

:

3

Rys.1. Schemat ideowy walcarki: 1 { walce, 2 { korpus

Autor:

J. Jezierski

Koreferent: J. Bzowski

Zadanie 3

Startuj¡cy samolot porusza si¦ poziomo po pasie startowym ze staªym przyspieszeniem

a

i pocz¡tkow¡ pr¦dko±ci¡ wynosz¡c¡

v

0. ‘migªo o ±rednicy

d

wykonuje

n

obrotów na minut¦.

‘migªo wykonane jest z materiaªu o wytrzymaªo±ci na rozrywanie



i g¦sto±ci



.

Zadanie

1. Wyznaczy¢ równanie ruchu ko«ca ±migªa (punkt

A

na rysunku).

2. Wyprowadzi¢ wzory na charakterystyczne parametry toru tego punktu.
3. Obliczy¢ caªkowit¡ pr¦dko±¢ i caªkowite przyspieszenie ko«ca ±migªa po czasie

t

od po-

cz¡tku ruchu.

4

4. Oszacowa¢ obroty przy których ±migªo ulegªo by rozerwaniu. Dla uproszczenia przyj¡¢, »e

±migªo stanowi belk¦ o staªym przekroju. Szacowanie przeprowadzi¢ dla trzech podanych

materiaªów { skomentowa¢ wyniki.

Dane liczbowe

t

= 10 s;

n

= 2000 obr/min;

a

= 3 m/s2;

d

= 2 m;

v

0 = 0 m/s

Materiaª



[Pa]





kg/m3



Kewlar 3

;

6

109

1440

Stal

1

;

0

109

7800

Drewno 1

;

0

108

700

Wskazówki i uwagi

1. Przyj¡¢ ukªad wspóªrz¦dnych zwi¡zany z ziemi¡ z osi¡ 0

x

pokrywaj¡c¡ si¦ z osi¡

obracaj¡cego si¦ ±migªa.

2. W chwili pocz¡tkowej rami¦ ±migªa ustawione byªo pionowo zgodnie z dodatnim kierun-

kiem osi 0

y

.

3. W punkcie 4 pomin¡¢ ±rednic¦ waªu do którego mocowane jest rami¦ ±migªa.
4. Równania ruchu stanowi¡ ukªad równa«:

x

=

x

(

t

);

y

=

y

(

t

);

z

=

z

(

t

).

Autor:

J. Bzowski

Koreferent: M. Jaworski

5