Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Elementy i Obwody Elektryczne

Element ( element obwodowy )

– jedno z podstawowych pojęć teorii obwodów.

Element jest modelem pewnego zjawiska lub cechy fizycznej związanej z
obwodem. Elementy ( jako modele ) mogą mieć różny stopień komplikacji.

i

u

ELEMENT

Funkcja zaciskowa

(obwodowa)

Zacisk

Zacisk

Końcówka

Końcówka

Element dwuzaciskowy (dwukońcówkowy) – DWÓJNIK

Funkcja zaciskowa

(obwodowa)

B

A

Strzałkowanie odbiornikowe !

Funkcje zaciskowe elementu: prąd elementu i oraz napięcie elementu u związane
są ze sobą równaniem elementu, które definiuje dany element i określa jego
podstawowe właściwości.
W TO Używane są elementy wielozaciskowe: trójnik, czwórnik itd.

Obwody, układy, sieci

Obwód – możliwie najprostsze połączenie elementów umożliwiające
przepływ prądu elektrycznego.

Dwójnik 2

Dwójnik 1

i

p [W] > 0

p [W]< 0

w [J]

w [J]

w [J]

i

u

Obwód

OtoczenieObwodu

p t

u t i t

w t

p

d

p t

d w t

d t

t

t

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

=

=

=

∫

[W]

[J]

τ τ

0

Układ ( obwód rozgałęziony ) –

struktura bardziej rozbudowana niż obwód.

Sieć –

bardzo duży układ.

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Podstawowe modele zjawisk w obwodzie

Zjawisko:

BEZSTRATNY PRZEPŁYW PRĄDU

Element:

ZWARCIE

( GALWANICZNE )

u

≡ 0

i

Równanie elementu:

∀u ≡ 0

i

Moc chwilowa z jaką zwarcie pobiera energię elektryczną z obwodu:

p

R

(t) = u(t)

i(t) = 0

⋅i

(t)

≡ 0

Energia chwilowa pobrana przez zwarcie w przedziale czasu < t

0

, t >:

w

t t

p

d

t

t

zw

( , )

( )

0

0

0

=

≡

∫

τ τ

Zjawisko:

BRAK PRZEPŁYWU PRĄDU

Element:

ROZWARCIE ( PRZERWA)

i

≡ 0

u

Równanie elementu:

∀i ≡ 0

u

Moc chwilowa z jaką rozwarcie pobiera energię elektryczną z obwodu:

p

R

(t) = u(t)

i(t) = u

(t)

⋅0 ≡ 0

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Energia chwilowa pobrana przez rozwarcie w przedziale < t

0

, t >:

w

t t

p

d

t

t

roz

( , )

( )

0

0

0

=

≡

∫

τ τ

Zjawisko: ROZPRASZANIE ( DYSSYPACJA )

ENERGII ELEKTRYCZNEJ

Element:

OPÓR LINIOWY

R (G)

i

u

Równanie elementu (

POSTULAT OHMA

):

u = R

⋅i

lub

i = G

⋅u

G = R

–1

Strzałkowanie odbiornikowe !

Jednostki: R:

[

Ω] – ohm

G:

[S]

–

simens

Opór jest elementem dyssypatywnym ( rozpraszającym ) bezinercyjnym.

Moc chwilowa z jaką opór pobiera energię elektryczną z obwodu:

p

R

(t) = u(t)

i(t) = R

i

2

(t) = G

u

2

(t)

≥ 0

Energia chwilowa pobrana przez opór w przedziale czasu < t

0

, t >:

w t t

p

d

R i

d

G u

d

t

t

t

t

t

t

R

( , )

( )

( )

( )

0

2

2

0

0

0

=

=

=

∫

∫

∫

τ τ

τ τ

τ τ

dw

t

dt

p

t

R

R

( )

( )

=

≥ 0

Przykład

Dane:

R = 5

Ω ( G =

1

5

1

Ω

⎡
⎣⎢

⎤
⎦⎥

= 0,2 S )

u(t) = 10

⋅1(t) – 15⋅1(t–2) + 5⋅1(t–3) [V]

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Obliczenia: i(t) = u(t)

⋅G = 2⋅1(t) – 3⋅1(t–2) + 1⋅1(t–3) [A]

–5

+10

u

(

t

) [V]

t

[s]

3

2

+2

–1

i

(

t

) [A]

t

[s]

3

2

p(t) =

G

⋅u

2

(t) =

R

⋅i

2

(t)

u

2

(t) = 100

⋅

1(t) – 75

⋅

1(t–2) – 25

⋅

1(t–3)

+100

+25

u

2

(t) [V

2

]

t [s]

3

2

+1

+4

i

2

(t) [A

2

]

t [s]

3

2

p(t)=G

⋅

u

2

(t) =

20

⋅

1(t) – 15

⋅

1(t–2) – 5

⋅

1(t–3)

(

)

(

)

w

t

p

d

d

d

d

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

R

( , )

( )

( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

0

20 1

15 1

2

5 1

3

20

15

2

2

5

3

3

0

0

0

0

=

=

−

−

−

−

=

⋅

−

− ⋅

− −

− ⋅

−

∫

∫

∫

∫

τ τ

τ τ

τ

τ

τ

τ

1

1

1

+20

+5

p(t) [W]

t [s]

3

2

45

w

R

(0,t) [J]

t [s]

1

3

2

20

40

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Zjawisko: GROMADZENIE ( KONSERWACJA )

ENERGII ELEKTRYCZNEJ

Element:

INDUKCYJNOŚĆ LINIOWA

L

i

u

Równania elementu :

ψ

= L

⋅i

u

d

dt

=

ψ

ψ

Strzałkowanie odbiornikowe !

Jednostki:

L: [H]

– henr = 1V

⋅1s⋅1A

–1

ψ: [Wb]

– weber = 1V

⋅1s

u t

d i t

d t

i t

u

d

i t

t

t

( )

( )

( )

( )

( )

=

=

+

∫

L

L

1

0

0

τ τ

Indukcyjność jest elementem konserwatywnym inercyjnym.

Przykład
1. i(t) = I

0

= const, t

∈(– ∞, + ∞ ):

u(t) = 0

2. i(t) = I

m

sin(

ωt + ϕ), t∈(– ∞, + ∞ ):

u(t) =

ωLI

m

cos(

ωt + ϕ) =

= U

m

sin(

ωt + ϕ + 90

o

)

3. i(t) = I

0

(1– e

–

α t

),

α > 0 ∧ t∈<0, + ∞ ): u(t) = αLI

0

e

–

α t

= U

0

e

–

α t

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Moc chwilowa z jaką energia elektryczna jest gromadzona w polu
magnetycznym indukcyjności:

[ ]

p t

u t

i t

d

t

dt

i t

L

W

( )

( ) ( )

( )

( )

=

⋅

=

⋅

ψ

p

L

(t) > 0 –

indukcyjność pobiera energię

p

L

(t) < 0 –

indukcyjność oddaje energię

Energia chwilowa pobrana przez indukcyjność liniową w przedziale
czasu < t

0

, t >:

w t t

p

d

i

d

L

i

di

t

t

t

t

i t

i t

L

( , )

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

0

0

0

0

=

=

=

∫

∫

∫

τ τ

τ ψ

τ

ψ

ψ

w t t

i t

i t

w t

w t

L

L

L

L

L

( , )

( )

( )

( )

( )

0

2

2

0

0

1

2

1

2

=

−

=

−

Dla i(t

0

) = 0

∧ ψ(t

0

) = 0

w t

t i t

i t

L

L

( )

( ) ( )

( )

=

=

≥

1

2

1

2

0

2

ψ

ψ

(t)

i (t)

ψ

[Wb]

i [A]

P

p

L

w

L

(t)

w

L

(t) = 0

w

L

(t) = 0,5

Li

2

(t)

Gromadzenie energii: p(t) > 0

Oddawanie energii: p(t) < 0

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Zjawisko: GROMADZENIE ( KONSERWACJA )

ENERGII ELEKTRYCZNEJ

Element:

POJEMNOŚĆ LINIOWA

C

i

u

Równania elementu :

q = C

⋅u

i

dq

dt

=

q

Strzałkowanie odbiornikowe !

Jednostki:

C: [F]

– farad = 1A

⋅1s⋅1V

–1

q:

[C]

–

kulomb

=

1A

⋅1s

i t

d u t

d t

u t

i

d

u t

t

t

( )

( )

( )

( )

( )

=

=

+

∫

C

C

1

0

0

τ τ

Pojemność jest elementem konserwatywnym inercyjnym.

Przykład
1. u(t) = U

0

= const, t

∈(– ∞, + ∞ ):

i(t) = 0;

2. u(t) = U

m

sin(

ωt + ϕ), t∈(– ∞, + ∞ ):

i(t) =

ωCU

m

cos(

ωt + ϕ) =

= I

m

sin(

ωt + ϕ + 90

o

);

3. u(t) = U

0

(1– e

–

α t

),

α > 0 ∧ t∈<0, + ∞ ):

i(t) =

αCU

0

e

–

α t

= I

0

e

–

α t

;

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Moc chwilowa z jaką energia elektryczna jest gromadzona w polu
elektrycznym pojemności:

[ ]

p t

u t

i t

u t

dq t

dt

L

W

( )

( ) ( )

( )

( )

=

⋅

=

⋅

p

L

(t) > 0 –

pojemność pobiera energię

p

L

(t) < 0 –

pojemność oddaje energię

Energia chwilowa pobrana przez pojemność liniową w przedziale
czasu < t

0

, t >:

w t t

p

d

u

dq

C

u

du

t

t

q t

q t

u t

u t

C

( , )

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

0

0

0

0

=

=

=

∫

∫

∫

τ τ

τ

τ

w t t

u t

u t

w t

w t

C

C

C

C

C

( , )

( )

( )

( )

( )

0

2

2

0

0

1

2

1

2

=

−

=

−

Dla u(t

0

) = 0

∧ q(t

0

) = 0

w t

t u t

u t

C

q

C

( )

( ) ( )

( )

=

=

≥

1

2

1

2

0

2

q(t)

u (t)

q [C]

u [V]

P

p

C

w

C

(t)

w

C

(t) = 0

w

C

(t) = 0,5

Cu

2

(t)

Gromadzenie energii: p(t) > 0

Oddawanie energii: p(t) < 0

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Zjawisko: DOSTARCZANIE LUB POBIERANIE

ENERGII ELEKTRYCZNEJ

Element: ŹRÓDŁO NAPIĘCIA

( DOWOLNA MOC CHWILOWA )

u

e

i

e

Równania elementu :

e –

dowolne ( zadane )

i

e

– wymuszone przez

obwód zewnętrzny

Strzałkowanie źródłowe !

p

e

< 0

p

e

> 0

E

i

P

p

i [A]

e [V]

Charakterystyka źródła napięcia o

stałej wartości: e(t) = E = const

e

i

!?

Moc chwilowa energii elektrycznej źródła napięcia:

[ ]

p t

u t

i t

e t

i t

e

e

W

( )

( ) ( )

( )

( )

=

⋅

=

⋅

p

e

(t) > 0 –

źródło oddaje energię

p

e

(t) < 0 –

źródło pobiera energię

Energia chwilowa źródła napięcia w przedziale czasu < t

0

, t >:

w t t

p

d

e

i

d

t

t

t

t

e

e

( , )

( )

( ) ( )

0

0

0

=

=

∫

∫

τ τ

τ

τ τ

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Zjawisko: DOSTARCZANIE LUB POBIERANIE

ENERGII ELEKTRYCZNEJ

Element: ŹRÓDŁO PRĄDU

( DOWOLNA MOC CHWILOWA )

j

i

u

j

Równania elementu :

j –

dowolne ( zadane )

u

j

– wymuszone przez

obwód zewnętrzny

Strzałkowanie źródłowe !

p

j

> 0

J

u

p

p

j

< 0

P

p

u [V]

j [A]

Charakterystyka źródła prądu o stałej

wydajności: j(t) = J = const

i

j

! ?

Moc chwilowa energii elektrycznej źródła prądu:

[ ]

p t

u t

i t

u t

j t

j

j

W

( )

( ) ( )

( )

( )

=

⋅

=

⋅

p

j

(t) > 0 –

źródło oddaje energię

p

j

(t) < 0 –

źródło pobiera energię

Energia chwilowa źródła prądu w przedziale czasu < t

0

, t >:

w t t

p

d

u

j

d

t

t

t

t

e

j

( , )

( )

( ) ( )

0

0

0

=

=

∫

∫

τ τ

τ

τ τ

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Element:

ŹRÓDŁO STEROWANE

u

2

k

u

1

i

1

≡0

i

2

ZNSN ( VCVS )

u

1

u

2

r

i

1

i

2

i

1

ZNSP ( CCVS )

u

1

≡0

u

2

g

u

1

i

2

u

1

ZPSN ( VCCS )

i

1

≡0

u

2

α

i

1

i

1

i

2

ZPSP ( CCCS )

u

1

≡0

W przypadku źródeł sterowanych moc chwilowa „pierwotna”

jest zawsze równa zero: p

1

(t)

≡ 0 co oznacza, że źródła nie pobierają

energii od strony sterowania.

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Postulaty Teorii Obwodów

Prądowy Postulat Kirchhoffa ( PPK )

i

∑

= 0

Algebraiczna suma prądów we węźle jest równa zero.

Napięciowy Postulat Kirchhoffa ( NPK )

u

∑

= 0

Algebraiczna suma napięć w oczku jest równa zero.

Postulat Ohma ( PO )

u

i

i

u

= ⋅

= ⋅

⎡
⎣⎢

⎤
⎦⎥

R lub

G

G [S] =

1

R

1

Ω

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Zjawisko: DOSTARCZANIE LUB POBIERANIE

ENERGII ELEKTRYCZNEJ

Element:

NAPIĘCIOWE ŹRÓDŁO ENERGII

( OGRANICZONA MOC CHWILOWA )

r

U

r

⋅I

E

I

Równania elementu :

E – dowolne ( zadane )
I – wymuszone

Strzałkowanie źródłowe !

NPK:

(+U) + (– E) + (+ r I) = 0

U = E – r I

p = U

⋅I = E⋅I – r⋅I

2

rI

p

I

p

U

0

= E

I [A]

U [V]

I

E

r

z

=

U

p

p < 0

p > 0

p < 0

P

p

(0,5I

z

,0,5E)

→

p

max

p

E

4 r

2

max

=

I [A]

p [W]

I

E

2 r

I

p

1
2

z

=

=

I

E

r

z

=

p < 0

p < 0

p > 0

Zadanie 1 Przedyskutować prądowe źródło energii i porównać jego

zachowanie w różnych stanach pracy ze źródłem prądu.