Elementy i Obwody Elektryczne

Element ( element obwodowy) –

jedno z podstawowych pojęć teorii obwodów.

Element jest modelem pewnego zjawiska lub cechy fizycznej związanej z
obwodem. Elementy (jako modele) mogą mieć różny stopień komplikacji.

i(t)

u(t)

ELEMENT

Funkcja zaciskowa

(obwodowa)

Zacisk

Zacisk

Końcówka

Końcówka

Element dwuzaciskowy (dwukońcówkowy) – DWÓJNIK

Funkcja zaciskowa

(obwodowa)

B

A

Strzałkowanie odbiornikowe !

Funkcje zaciskowe elementu: prąd elementu i(t) oraz napięcie elementu u(t)
związane są ze sobą równaniem elementu, które definiuje dany element i określa
jego podstawowe właściwości.
W TO Używane są elementy wielozaciskowe: trójnik, czwórnik itd.

Obwody, układy, sieci

Obwód – możliwie najprostsze połączenie elementów umożliwiające
przepływ prądu elektrycznego.

Układ ( obwód rozgałęziony ) –

struktura bardziej rozbudowana niż obwód.

Sieć –

bardzo duży układ.

Podstawowe modele zjawisk w obwodzie

Zjawisko:

BEZSTRATNY PRZEPŁYW PRĄDU

Element:

ZWARCIE

( GALWANICZNE )

u

≡

0

i

Równanie elementu:

∀

∀

∀

∀

u

≡≡≡≡

0

i

Moc chwilowa z jaką zwarcie pobiera energię elektryczną z obwodu:

p(t) = u(t)

i(t) = 0

⋅⋅⋅⋅

i

(t)

≡≡≡≡

0

Zjawisko:

BRAK PRZEPŁYWU PRĄDU

Element:

ROZWARCIE ( PRZERWA)

i

≡

0

u

Równanie elementu:

∀

∀

∀

∀

i

≡≡≡≡

0

u

Moc chwilowa z jaką rozwarcie pobiera energię elektryczną z obwodu:

p(t) = u(t)

i(t) = u

(t)

⋅⋅⋅⋅

0

≡≡≡≡

0

Zjawisko: ROZPRASZANIE ( DYSSYPACJA )
ENERGII ELEKTRYCZNEJ
Element:

OPÓR LINIOWY

R (G)

i

u

Równanie elementu (

POSTULAT OHMA

):

u = R

⋅⋅⋅⋅

i

lub

i = G

⋅⋅⋅⋅

u

G = R

–1

Strzałkowanie odbiornikowe !

Jednostki:

R: [

Ω

Ω

Ω

Ω

] – ohm

G: [S] – simens

Opór jest elementem dyssypatywnym (rozpraszającym) bezinercyjnym.

l

S

ρρρρ

I

U

S

l

I

U

R

ρ

=

=













⋅

Ω

m

mm

2

ρ

– opór właściwy materiału

Moc chwilowa z jaką opór przetwarza energię elektryczną:

p

R

(t) = u(t)

i(t) = R

i

2

(t) = G

u

2

(t)

≥≥≥≥

0

Przykład. Jaka jest rezystancja przewodu miedzianego o przekroju S= 2,5 mm

2

i długości

l= 50 m.

ODP

[ ]

[

]

m

Cu

⋅

Ω

=

=

⋅

Ω

µ

m

mm

2

0175

,

0

0175

,

0

ρ

– rezystancja właściwa miedzi

Ω

=

=

35

,

0

5

,

2

50

0175

,

0

R

Uwaga: średnica przewodu wynosi: D= 0,89 mm (dosyć cienki!)

Przykład. Z jaką mocą wydziela się energia elektryczna z przewodu z poprzedniego
zadania przy przepływie prądu i= 2 A.

ODP

W

4

,

1

)

(

2

=

⋅

=

i

R

t

p

Przykład Do jakiej temperatury T nagrzeje się przewód z poprzednich zadań podczas

godzinnej pracy. Temperatura początkowa T

0

= 293 K. Założenie: brak chłodzenia!

ODP

Wydzielona energia elektryczna:

kJ

04

,

5

=

⋅

=

t

p

W

T

V

k

T

m

k

Q

k

W

Cu

Cu

Cu

∆

⋅

⋅

⋅

⋅

=

∆

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

γ

c

c













⋅

=













⋅

=

K

g

cal

K

kg

kcal

c

Cu

092

,

0

092

,

0

– ciepło właściwe miedzi









⋅

=









=









=

3

3

3

Cu

m

g

m

kg

dm

kg

6

10

9

,

8

8900

9

,

8

γ

– gęstość miedzi









=

cal

J

1868

,

4

k

– przelicznik kalorii na dżule

Objętość przewodu:

3

3

dm

m

125

,

0

10

125

50

10

5

,

2

6

6

=

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

−

−

l

S

V

Masa przewodu:

kg

1125

,

1

125

,

0

9

8

=

⋅

=

⋅

=

,

V

m

Cu

γ

Przetworzona energia:

T

T

kQ

W

∆

⋅

=

∆

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

519

,

428

10

1125

,

1

092

,

0

1868

,

4

3

Przyrost temperatury:

K

76

,

11

519

,

428

5040

0

=

=

−

=

∆

T

T

T

Temperatura przewodu:

K

304,76

=

+

=

∆

+

=

76

,

11

293

0

T

T

T

C

T

o

76

,

31

=

Przykład

Dane:

R = 5

Ω

( G =

1

5

1

Ω







= 0,2 S )

u(t) = 10

⋅

1(t) – 15

⋅

1(t–2) + 5

⋅

1(t–3) [V]

Obliczenia: i(t) = u(t)

⋅

G = 2

⋅

1(t) – 3

⋅

1(t–2) + 1

⋅

1(t–3) [A]

–5

+1

u(t) [V]

t [s]

3

2

+2

–1

i(t) [A]

t [s]

3

2

p(t) =

G

⋅

u

2

(t) =

R

⋅

i

2

(t)

u

2

(t) = 100

⋅

1(t) – 75

⋅

1(t–2) – 25

⋅

1(t–3)

+100

+2

u

2

(

t) [V

2

]

t [s]

3

2

+1

+4

i

2

(

t) [A

2

]

t [s]

3

2

p(t)=G

⋅

u

2

(t) =

20

⋅

1(t) – 15

⋅

1(t–2) – 5

⋅

1(t–3)

+20

+5

p(t) [W]

t [s]

3

2

45

w

R

(0,t) [J]

t [s]

1

3

2

20

40

Zjawisko: GROMADZENIE ( KONSERWACJA )
ENERGII ELEKTRYCZNEJ
Element:

POJEMNOŚĆ LINIOWA

C

i

u

Równania elementu :

q = C

⋅⋅⋅⋅

u

dt

du

C

dt

dq

i

=

=

q

Strzałkowanie odbiornikowe !

Jednostki:

C: [F]

– farad = 1A

⋅⋅⋅⋅

1s

⋅⋅⋅⋅

1V

–1

q:

[C]

– kulomb = 1A

⋅⋅⋅⋅

1s

i t

d u t

d t

u t

i

d

u t

t

t

( )

( )

( )

( )

( )

=

=

+

∫

C

C

1

0

0

τ τ

Pojemność jest elementem konserwatywnym inercyjnym.

Moc chwilowa z jaką energia elektryczna jest gromadzona w polu
elektrycznym pojemności:

[ ]

W

C

dt

t

dq

t

u

t

i

t

u

t

p

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

⋅

=

⋅

=

S

d

εεεε

=

εεεε

w

⋅⋅⋅⋅

εεεε

0

+q

–q

d

S

u

q

C

ε

=

=

0

ε

ε

ε

w

=

– przenikalność elektryczna









⋅

=

−

m

F

π

9

0

10

36

1

ε

– przenikalność elektryczna próżni

Przykład Jaka jest przybliżona pojemność kondensatora powietrznego o
kołowych okładkach mających średnicę D= 30 cm i oddalonych o d= 0,3 mm.

ODP

ε

w

≅

1 – bo, powietrze ;

Powierzchnia okładek:

2

2

m

071

,

0

π

400

9

π

4

1

=

=

=

D

S

nF

2,1

F

10

48

1

3

10

400

9

9

4

10

7

4

9

0

p

=

⋅

=

⋅

π

⋅

⋅

π

=

ε

=

−

+

−

d

S

C

Przykład Jaka jest przybliżona pojemność kondensatora z poprzedniego
przykładu jeśli zostanie on wypełniony polistyrenem?

ODP

ε

w

≅

2,65 – przenikalność względna polistyrenu;

nF

nF

2,1

2,65

p

1

56

,

5

0

=

⋅

=

⋅

=

=

C

d

S

C

w

w

ε

ε

ε

Przykład Jaki ładunek zostanie zgromadzony na okładkach kondensatora z
poprzedniego przykładu jeśli podłączymy je do źródła o napięciu 200 V?
ODP

µ

C

113

,

1

200

10

56

,

5

9

=

⋅

⋅

=

=

−

CU

Q

Przykład Ile energii zostanie zgromadzonej w kondensatorze z poprzedniego
przykładu?
ODP

C

Q

CU

QU

W

2

2

2

2

2

=

=

=

W= 111,2

µ

J

Zjawisko: GROMADZENIE ( KONSERWACJA )
ENERGII ELEKTRYCZNEJ
Element:

INDUKCYJNOŚĆ LINIOWA

L

i

u

Równania elementu :

ψ

ψψ

ψ

= L

⋅⋅⋅⋅

i

dt

di

L

dt

d

u

=

ψ

=

ψ

Strzałkowanie odbiornikowe !

Jednostki:

L: [H]

– henr = 1V

⋅⋅⋅⋅

1s

⋅⋅⋅⋅

1A

–1

ψ

ψ

ψ

ψ

: [Wb]

– weber = 1V

⋅⋅⋅⋅

1s

u t

d i t

d t

i t

u

d

i t

t

t

( )

( )

( )

( )

( )

=

=

+

∫

L

L

1

0

0

τ τ

Indukcyjność jest elementem konserwatywnym inercyjnym.

Moc chwilowa z jaką energia elektryczna jest gromadzona w polu
magnetycznym indukcyjności:

[ ]

p t

u t

i t

d

t

dt

i t

L

W

( )

( ) ( )

( )

( )

=

⋅

=

⋅

ψ

Zjawisko: DOSTARCZANIE LUB POBIERANIE
ENERGII ELEKTRYCZNEJ
Element: ŹRÓDŁO NAPIĘCIA

( DOWOLNA MOC CHWILOWA )

u

e

i

e

Równania elementu :

e – dowolne ( zadane )
i

e

– wymuszone przez

obwód zewnętrzny

Strzałkowanie źródłowe !

p

e

< 0

p

e

> 0

E

i

P

p

i [A]

e [V]

Charakterystyka źródła napięcia o

stałej wartości:

e(t) = E = const

e

i

!?

Moc chwilowa energii elektrycznej źródła napięcia:

[ ]

p t

u t

i t

e t

i t

e

e

W

( )

( ) ( )

( )

( )

=

⋅

=

⋅

p

e

(t) > 0 –

ź

ródło oddaje energię

p

e

(t) < 0 –

ź

ródło pobiera energię

Zjawisko: DOSTARCZANIE LUB POBIERANIE
ENERGII ELEKTRYCZNEJ
Element: ŹRÓDŁO PRĄDU

( DOWOLNA MOC CHWILOWA )

j

i

u

j

Równania elementu :

j – dowolne ( zadane )
u

j

– wymuszone przez

obwód zewnętrzny

Strzałkowanie źródłowe !

p

j

> 0

J

u

p

p

j

< 0

P

p

u [V]

j [A]

Charakterystyka źródła prądu o stałej

wydajności:

j(t) = J = const

i

j

! ?

Moc chwilowa energii elektrycznej źródła prądu:

[ ]

p t

u t

i t

u t

j t

j

j

W

( )

( ) ( )

( )

( )

=

⋅

=

⋅

p

j

(t) > 0 –

ź

ródło oddaje energię

p

j

(t) < 0 –

ź

ródło pobiera energię

Element:

Ź

RÓDŁO STEROWANE

u

2

k

⋅

u

1

i

1

≡

0

i

2

ZNSN ( VCVS )

u

1

u

2

r

⋅

i

1

i

2

i

1

ZNSP ( CCVS )

u

1

≡

0

u

2

g

u

1

i

2

u

1

ZPSN ( VCCS )

i

1

≡

0

u

2

α

i

1

i

1

i

2

ZPSP ( CCCS )

u

1

≡

0

W przypadku źródeł sterowanych moc chwilowa „pierwotna” jest

zawsze równa zero: p

1

(t)

≡≡≡≡

0 co oznacza, że źródła nie pobierają

energii od strony sterowania.

Postulaty Teorii Obwodów

Prądowy Postulat Kirchhoffa ( PPK )

i

∑

=

0

Algebraiczna suma prądów we węźle jest równa zero.

Napięciowy Postulat Kirchhoffa ( NPK )

u

∑

=

0

Algebraiczna suma napięć w oczku jest równa zero.

Postulat Ohma ( PO )









Ω

⋅

=

⋅

=

1

R

1

=

[S]

G

G

lub

R

u

i

i

u

Zjawisko: DOSTARCZANIE LUB POBIERANIE

ENERGII ELEKTRYCZNEJ

Element:

NAPIĘCIOWE ŹRÓDŁO ENERGII

(OGRANICZONA MOC CHWILOWA)

r

U

r

⋅

I

E

I

Równania elementu :

E – dowolne ( zadane )
I – wymuszone

Strzałkowanie źródłowe !

NPK:

(+U) + (– E) + (+ r I) = 0

U = E – r I

p = U

⋅⋅⋅⋅

I = E

⋅⋅⋅⋅

I – r

⋅⋅⋅⋅

I

2

rI

p

I

p

U

0

= E

I [A]

U [V]

I

E

r

z

=

U

p

p < 0

p > 0

p < 0

P

p

(0,5I

z

,0,5E)

→

→

→

→

p

max

p

E

4 r

2

max

=

I [A]

p [W]

I

E

2 r

I

p

1
2

z

=

=

I

E

r

z

=

p

< 0

p

< 0

p

> 0

Zadanie 1 Przedyskutować prądowe źródło energii i porównać jego

zachowanie w różnych stanach pracy ze źródłem prądu.

Łączenie elementów bezźródłowych dwuzaciskowych

Połączenie szeregowe ( dzielnik napięcia )

i

1

u

u

1

u

2

i

2

i

……

B

A

B

A

i = i

1

= i

2

= …

u = u

1

+ u

2

+ …

D

z

D

2

D

1

Rezystory

R

R

R

R

z

k

=

+

+ =

∑

1

2

L

R

R

z

k

k

>

max

Indukcyjności

( bez sprzężeń )

L

L

L

L

z

k

=

+

+ =

∑

1

2

L

L

L

z

k

k

>

max

Indukcyjności

(ze sprzężeniem)

(

)

L

L

L

M

z

=

+

+ ⋅ ±

1

2

2

(+M) sprz. Zgodne

(–M) sprz. Przeciwne

Pojemności

1

1

1

1

1

2

C

C

C

C

z

k

=

+

+ =

∑

L

C

C

z

k

k

<

min

Rezystancyjny Dzielnik Napięcia (nie obciążony)

u

R

1

i

u

N

u

k

u

2

u

1

R

2

R

k

R

N

i

1

≡

0

u

R

R

u

R

R

u

k

k

i

i

N

k

z

=

⋅ =











⋅

=

∑

1

Przykład Jakie będzie napięcie U

2

na rezystorze R

2

jeśli nieobciążony dzielnik napięcia

zasilany jest napięciem U= 24 V. Dane: R

1

= 24

Ω

, R

2

= 47

Ω

, R

3

= 12

Ω

.

R

2

R

1

R

3

U

U

2

V

59

,

13

24

12

47

24

47

3

2

1

2

2

=

+

+

=

+

+

=

U

R

R

R

R

U

Przykład „Tradycyjne” żaróweczki stosowane do oświetlenia choinki mają moc P= 5 W
przy napięciu U= 14 V. Ile takich żaróweczek należy połączyć szeregowo, jeśli napięcie
sieci zasilającej wynosi U

z

= 230 V. Jaka jest moc elektryczna takiego „łańcucha świateł”?

43

,

16

=

=

U

U

N

z

;

N= 17

Rezystancja żaróweczki:

Ω

=

=

=

2

,

39

5

14

2

2

P

U

R

Rezystancja łańcucha:

Ω

=

⋅

=

⋅

=

4

,

666

2

,

39

17

0

R

N

R

Moc łańcucha:

W

38

,

79

0

2

0

=

=

R

U

P

z

Przykład Połączono szeregowo żaróweczkę o parametrach znamionowych U

1

= 12 V,

P

1

= 5 W z żarówką o parametrach znamionowych P

2

= 100 W, U

2

= 230 V i włączono na

napięcie U= 230 V. Co się stanie?

P

2

, U

2

U

P

1

, U

1

R

2

U

R

1

Ω

=

=

8

,

28

1

2

1

1

P

U

R

Ω

=

=

529

2

2

2

2

P

U

R

V

87

,

11

2

1

1

11

=

+

=

U

R

R

R

U

– świeci pełnym światłem

V

3

,

218

2

1

2

21

=

+

=

U

R

R

R

U

– świeci trochę słabiej

A

41

,

0

2

1

0

=

+

=

R

R

U

I

W

84

,

94

0

0

=

⋅

=

I

U

P

Połączenie równoległe ( dzielnik prądu )

i

1

u

1

i

2

……

A

B

u = u

1

= u

2

= …

i = i

1

+ i

2

+ …

u = u + u + …

u

i

B

A

D

z

D

2

D

1

i

N

D

N

i

k

i

u

1

u

N

Rezystory

∑

=

+

+

=

k

z

G

G

G

G

K

2

1

G

G

z

k

k

>

max

Indukcyjności

( bez sprzężeń )

1

1

1

1

1

2

L

L

L

L

z

k

=

+

+ =

∑

L

L

L

z

k

k

<

min

Indukcyjności

(ze sprzężeniem)

L

L L

M

L

L

M

z

=

−

+

− ⋅ ±

1

2

2

1

2

2 (

)

(+M) sprz.

Zgodne

(

–M) sprz.

Przeciwne

Kondensatory

C

C

C

C

z

k

=

+

+ =

∑

1

2

L

C

C

z

k

k

>

max

Konduktancyjny Dzielnik Prądu ( nie obciążony )

G

N

G

k

G

2

G

1

i

i

1

u

i

2

i

k

i

N

i

G

G

i

G

G

i

k

k

i

i

N

k

z

=

⋅ =











⋅

=

∑

1

Wybrane Zasady i Twierdzenia Teorii Obwodów

Przekształcenie „gwiazda

↔

↔

↔

↔

trójkąt”

A

C

B

R

B

R

A

R

C

A

C

B

G

BC

G

BA

G

CA

R

R R

R

R

R

R

R R

R

R

R

R

R R

R

R

R

A

AB

CA

AB

BC

CA

B

AB

BC

AB

BC

CA

C

BC

CA

AB

BC

CA

=

+

+

=

+

+

=

+

+

G

G G

G

G

G

G

G G

G

G

G

G

G G

G

G

G

AB

A

B

A

B

C

BC

B

C

A

B

C

CA

C

A

A

B

C

=

+

+

=

+

+

=

+

+

Przykład Przeliczyć wartości rezystorów symetrycznego czwórnika kształtu T na
wartości rezystorów symetrycznego czwórnika kształtu

Π

.

35,14

Ω

25,97

Ω

25,97

Ω

R

2

R

1

R

3

S

1055

,

0

14

,

35

1

97

,

25

2

0

=

+

=

+

+

=

C

B

A

G

G

G

G

S

S

S

01039

,

0

1055

,

0

14

,

35

1

97

,

25

1

01406

,

0

1055

,

0

97

,

25

1

97

,

25

1

01039

,

0

1055

,

0

14

,

35

1

97

,

25

1

3

2

1

=

⋅

=

=

⋅

=

=

⋅

=

G

G

G











Ω

=

Ω

=

Ω

=

25

,

96

13

,

71

25

,

96

3

2

1

R

R

R

Równoważność zaciskowa źródeł energii

G

i

u

j

e

R

i

u

B

B

A

A

i = j – G u

Warunki równoważności zaciskowej

R

⋅⋅⋅⋅

G = 1

e = R

⋅⋅⋅⋅

j

∨∨∨∨

j = G

⋅⋅⋅⋅

e

u = e – R i

OBC.

OBC.

PZE

NZE

Przykład 1

0,5 S

i

u

5 A

10 V

2

Ω

i

u

B

B

A

A

NZE:

U

0

= 10 V, I

z

= 5 A;

PZE:

U

0

= 10 V, I

z

= 5 A;

u = 10 – 2 i

i = 5 – 0,5 u

Przykład 2

i

w

w

u

10 A

40 V

4

Ω

i

u

B

A

A

5 A

B

10 V

2

Ω

i

u

30 V

6

Ω

A

B

B

5 A

A

i

u

1

6

S

1

2

S

1

4

S