Jednorodny pręt o długości l
e
. Opis w układzie lokalnym Ox
e
y
e
z
e
x
e
y
e
z
e
i
j
q
i1
q
1
(x
e
)
f
i1
f
i
β
, f
j
β
– siły węzłowe,
β
= 1, ..., 6
q
i
β
, q
j
β
– przemieszczenia węzłowe,
β
= 1, ..., 6
l
e
q
j1
f
j1
q
2
(x
e
)
q
3
(x
e
)
q
4
(x
e
)
q
6
(x
e
)
q
5
(x
e
)
q
i3
f
i3
q
i4
f
41
q
i2
f
i2
q
i5
f
i5
q
i6
f
i6
q
j4
f
j4
q
j3
f
j3
q
j5
f
j5
q
j6
f
j6
q
j2
f
j2
Metoda elementów skończonych w projektowaniu mechatronicznym
Pręt prosty – ogólny przypadek obciążenia
O
Warunki brzegowe
(przemieszczeniowe)
:
( )
( )
( )
( )
6
,
,
1
,
,
6
,
,
1
,
0
K
K
=
≡
=
≡
β
β
β
β
j
e
i
q
col
l
q
col
q
q
Wektor przemieszczeń uogólnionych przekroju pręta
o współrzędnej x
e
jest funkcją tylko tej współrzędnej
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
)
e
e
e
e
e
e
e
x
q
x
q
x
q
x
q
x
q
x
q
col
x
6
5
4
3
2
1
,
,
,
,
,
≡
q
Macierz funkcji kształtu
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
−
+
−
+
−
−
−
−
+
−
−
−
−
+
−
+
−
−
+
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
−
=
2
3
0
0
0
1
6
0
1
4
3
0
0
0
1
6
0
0
2
3
0
1
6
0
0
0
1
4
3
0
1
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
3
2
0
0
0
1
2
0
1
3
2
0
0
1
0
0
0
3
2
0
1
2
0
0
0
1
3
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
3
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
l
l
l
l
l
l
l
l
x
N
e
e
l
x
=
ξ
(
)
(
)
(
)
+
−
−
+
−
+
−
−
−
−
−
=
ze
ye
xe
e
ye
e
ye
e
ze
e
ze
e
ze
e
ze
ze
ye
e
ye
ye
xe
xe
e
ye
e
ye
e
ye
e
ye
e
ze
e
ze
e
ze
e
ze
e
e
e
e
I
sym
I
I
l
I
l
I
l
I
l
I
A
I
l
I
I
I
l
I
I
I
I
l
I
l
I
l
I
l
I
l
I
l
I
l
I
l
I
A
A
l
E
4
.
0
4
0
0
1
2
0
6
0
12
6
0
0
0
12
0
0
0
0
0
2
0
0
0
6
0
4
0
2
0
6
0
0
0
4
0
0
1
2
0
0
0
0
0
1
2
0
6
0
12
0
0
0
6
0
12
6
0
0
0
12
0
6
0
0
0
12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
2
2
ν
ν
ν
K
Macierz sztywności elementu skończonego typu pręt
– ogólny stan obciążenia –
A
e
– pole powierzchni przekroju, l
e
– długość pręta
I
xe
, I
ye
, I
ze
– geometryczne momenty bezwładności przekroju względem osi x
e
, y
e
, z
e
+
+
+
+
−
−
+
−
−
−
+
−
−
+
−
+
−
−
−
−
+
+
−
−
+
+
=
15
2
105
.
0
15
2
105
0
0
3
0
10
6
210
11
0
5
6
35
13
10
210
11
0
0
0
5
6
35
13
0
0
0
0
0
3
30
140
0
0
0
10
420
13
0
15
2
105
0
30
140
0
10
420
13
0
0
0
15
2
105
0
0
6
0
0
0
0
0
3
0
10
420
13
0
5
6
70
9
0
0
0
10
210
11
0
5
6
35
13
10
420
13
0
0
0
5
6
70
9
0
10
210
11
0
0
0
5
6
35
13
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ze
e
e
ye
e
e
xe
e
ye
e
e
e
ye
e
e
ze
e
e
e
ze
e
e
ze
e
e
e
ze
e
e
ze
e
e
ye
e
e
e
ye
e
e
ye
e
e
xe
xe
e
ye
e
e
e
ye
e
e
ye
e
e
e
ye
e
e
ze
e
e
e
ze
e
e
ze
e
e
e
ze
e
e
e
e
e
I
l
A
sym
I
l
A
I
l
I
l
A
l
I
A
l
I
l
A
l
I
A
A
I
l
A
l
I
l
A
I
l
A
I
l
A
l
I
l
A
I
l
A
I
I
l
I
l
A
l
I
A
l
I
l
A
l
I
A
l
I
l
A
l
I
A
l
I
l
A
l
I
A
A
A
l
ρ
M
Do obliczania drgań należy zdefiniować macierz bezwładności pręta
( ) ( )
( ) ( )
∫
∫
=
=
e
l
e
e
e
e
T
e
e
V
e
e
e
e
e
e
T
e
e
dx
x
x
A
dz
dy
dx
x
x
0
N
N
N
N
M
ρ
ρ
Traktując pręt jako układ zachowawczy (pominięcie rozproszenia
energii), zapisujemy macierzowe równanie Lagrange’a II rodzaju
e
e
e
e
e
e
e
U
T
T
dt
d
f
q
q
q
=
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
⋅
&
Energia kinetyczna pręta
Energia potencjalna(sprężysta)
e
e
T
e
e
T
q
M
q
&
&
2
1
=
e
e
T
e
e
U
q
K
q
2
1
=
Macierz tłumienia (proporcjonalna) – rozproszenie energii
e
e
e
K
M
L
β
α
+
=
Macierzowe równanie dynamiki
e
e
e
e
e
e
e
f
q
K
q
L
q
M
=
+
+
&
&
&