1
Modele matematyczne układów elementarnych
1. Wyznaczyć transmitancję operatorową nieobciążonego czwórnika wg poniższego schema-
tu.
( )
?
)
(
)
(
=
=
s
U
s
Y
s
G
Rozwiązanie:
( ) ( )
+
=
Cs
R
s
I
s
U
1
( ) ( )
−
=
Cs
R
s
I
s
Y
1
( )
( )
( )
1
1
1
1
+
−
=
+
−
=
=
RCs
RCs
Cs
R
Cs
R
s
U
s
Y
s
G
( )
1
1
+
−
=
Ts
Ts
s
G
;
T=RC
2. Wyznaczyć transmitancję operatorową nieobciążonego czwórnika wg poniższego
schematu.
2
( )
( )
( )
?
1
2
=
=
s
U
s
U
s
G
( )
( )
−
=
+
=
LsI
IR
s
U
LsI
IR
s
U
2
1
( )
( )
( )
(
)
(
)
I
Ls
R
I
Ls
R
s
U
s
U
s
G
+
−
=
=
1
2
( )
s
R
L
s
R
L
s
G
+
−
=
1
1
Ts
Ts
+
−
=
1
1
, gdzie
R
L
T
=
3. Wyznaczyć transmitancję operatorową nieobciążonego czwórnika wg poniższego schema-
tu.
( )
( )
( )
?
1
2
=
=
s
U
s
U
s
G
( )
( )
( )
(
)
Ls
R
R
R
Ls
R
Ls
R
R
R
Ls
R
Ls
R
R
s
U
s
U
s
G
2
2
1
1
1
2
2
1
1
2
1
2
+
+
+
=
+
+
=
=
( )
Ls
R
Ls
R
R
Ls
R
s
G
+
+
+
=
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
+
+
+
=
R
R
Ls
s
R
L
( ) (
)
1
1
2
1
1
+
+
+
=
s
T
T
s
T
s
G
,
2
2
1
1
;
R
L
T
R
L
T
gdzie
=
=
3
4. Wyznaczyć transmitancję operatorową nieobciążonego czwórnika wg poniższego
schematu.
( )
( )
( )
?
1
2
=
=
s
U
s
U
s
G
( )
( )
( )
(
)
(
)
1
1
1
1
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
+
+
+
=
+
+
=
+
+
=
=
Cs
R
R
R
Cs
R
R
R
Cs
R
R
R
R
Cs
R
Cs
R
R
s
U
s
U
s
G
( )
2
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
R
R
R
Cs
R
Cs
R
R
R
Cs
R
Cs
R
s
G
+
+
+
=
+
+
+
=
( )
(
)
1
1
+
+
=
KTs
Ts
K
s
G
,
2
1
2
1
;
gdzie
R
R
R
K
C
R
T
+
=
=
5. Dany jest nieobciążony nieliniowy czwórnik RC, w którym opór zależy od prądu wg wzoru
podanego na poniższym schemacie.
a)
Napisać równanie wiążące U
2
(t) z U
1
(t)
b)
Zlinearyzować to równanie wokół punk-
tu i=i
0
=0
c)
Wyznaczyć transmitancję od modelu
zlinearyzowanego od U
1
(t) do U
2
(t)
d)
Przeskalować równanie zlinearyzowane
do współczynników równych 1
4
Rozwiązanie
a)
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
t
U
i
R
t
i
t
U
+
=
(1)
( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
( )
=
+
+
⋅
=
dt
t
dU
C
t
i
t
U
t
i
R
t
i
t
U
2
2
2
0
1
1
(2)
(3)
( )
( )
( )
( )
t
U
dt
t
dU
C
R
dt
t
dU
C
R
t
U
1
3
2
3
0
2
0
2
=
+
+
b)
( )
2
0
0
i
R
R
i
R
+
=
(
) ( )
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
R
i
R
i
R
R
RN
i
di
dR
i
R
i
i
R
i
i
=
+
+
≈
+
∆
+
=
∆
+
=
Podstawiając zlinearyzowaną rezystancję do (1) otrzymuje się
( )
( )
( )
t
U
t
i
R
t
U
1
0
2
=
+
Teraz podstawiając za prąd wg (3) otrzymuje się równanie zlinearyzowane
( )
( )
( )
t
U
dt
t
dU
C
R
t
U
1
2
0
2
=
+
c)
Stosując transformację Laplace’a dla zerowych warunków początkowych otrzymuje się
( )
( )
( )
( )
s
T
Cs
R
U
U
s
G
s
U
s
CsU
R
s
U
0
0
1
2
1
2
0
2
1
1
1
1
+
=
+
=
=
=
+
, gdzie
C
R
T
0
0
=
d)
Wprowadźmy zmienne bezwymiarowe
01
1
1
U
U
y
=
,
02
2
2
U
U
y
=
,
t
0
ω
τ
=
,
( )
0
0
0
0
0
02
01
2
02
2
02
0
0
1
01
2
02
0
2
1
1
skąd
,
1
być
musi
wtedy
V,
1
Przyjmijmy
postać
przyjmuje
(4)
Równanie
.
mamy
pochodnej
dla
skąd
T
C
R
C
R
U
U
y
U
d
dy
U
C
R
y
U
d
dy
U
dt
dU
=
=
=
=
=
+
=
=
ω
ω
τ
ω
τ
τ
ω
( )
0
0
02
0
2
02
0
V
1
V
1
1
Mamy więc
.
zależności
z
otrzymamy
gdzie
,
wa
bezwymiaro
zmienna
prądu
Dla
R
C
R
C
U
C
i
d
dy
U
C
j
i
i
i
i
j
t
i
b
b
b
=
=
=
=
=
ω
τ
ω
5
6. Wyznaczyć transmitancję operatorową układu mechanicznego wg poniższego schematu.
m
K
B
P
Q
F(t) -WE
Y(t) -WY
X(t)
( )
( ) ( )
(
)
(
)
=
−
−
=
−
−
−
0
:
0
:
x
B
x
y
k
Q
t
x
t
y
k
y
m
t
f
P
&
&
&
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
−
−
+
=
s
sBX
s
kX
s
kY
s
kX
s
kY
s
Y
ms
s
F
2
( )(
)
( )
s
kY
k
Bs
s
X
=
+
Y
s
k
B
Y
k
Bs
k
X
+
=
+
=
1
1
F
k
Bs
k
k
ms
Y
=
+
−
+
2
2
( )
( )
( )
2
2
2
3
k
k
kBs
mks
mBs
k
Bs
s
F
s
Y
s
G
−
+
+
+
+
=
=
B
k
B
m
T
k
B
T
1
;
;
1
2
1
=
=
=
( )
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
s
T
s
T
T
s
T
k
s
s
B
m
s
k
m
s
k
B
B
s
B
ms
s
k
mB
s
k
B
s
G
6
7. Wyznaczyć transmitancję operatorową układu mechanicznego wg poniższego schematu.
( )
( )
( )
?
=
=
s
F
s
Y
s
G
( )
( )
(
)
(
)
=
−
−
=
−
−
−
0
:
0
:
2
BsY
Y
X
K
Q
Y
X
K
s
X
ms
s
F
P
KY
BsY
KX
+
=
Y
s
K
B
Y
K
K
Bs
X
+
=
+
=
1
( )
s
F
KY
Y
s
K
B
K
Y
s
K
B
ms
=
−
+
+
+
1
1
2
( )
s
F
Y
Bs
ms
K
Bms
=
+
+
2
3
( )
( )
( )
s
s
B
m
s
K
m
B
s
B
ms
s
K
Bm
s
F
s
Y
s
G
+
+
=
+
+
=
=
1
1
1
2
2
7
8. Wyznaczyć transmitancję operatorową układu mechanicznego wg poniższego schematu.
F(t)=U(t)
y(t)
x(t)
k
B1
B2
Rozwiązanie:
( )
(
)
(
)
(
) (
)
Y
X
k
Y
X
s
B
sX
B
X
Y
k
X
Y
s
B
s
F
−
+
−
=
−
−
+
−
=
1
2
1
1
}
(
) (
)
(
)
(
)
k
s
B
Y
X
s
B
k
s
B
X
k
s
B
Y
k
s
B
F
+
=
+
+
+
−
+
=
1
2
1
1
1
}
(
)
(
)
1
1
2
1
2
1
1
+
+
=
+
+
+
=
s
T
s
T
Y
k
s
B
B
k
s
B
Y
X
,
gdzie
k
B
T
1
1
=
,
k
B
B
T
2
1
2
+
=
(
) (
)
Y
s
T
s
T
k
s
B
Y
k
s
B
F
1
1
2
1
1
1
+
+
+
−
+
=
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
+
+
=
+
+
=
+
−
−
+
+
=
+
+
−
+
=
=
s
T
s
s
T
k
G
s
T
s
T
s
k
s
T
s
T
s
T
s
T
k
s
T
s
T
k
s
B
Y
F
G
gdzie
(
)
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
B
k
B
k
B
B
B
k
T
T
k
k
=
=
−
+
=
−
=
)
(
(
)
(
=
s
F
s
Y
s
G
8
9. Przeskalować zlinearyzowane równanie wahadła matematycznego, przyjmując za jednost-
kę czasu okres drgań.
Dane: zlinearyzowane równanie wahadła
( )
( )
0
2
2
=
+
t
l
g
dt
t
d
θ
θ
przy warunkach początkowych
( )
0
0
=
θ
;
( )
0
0
θ
θ
&
&
=
Rozwiązanie równania metodą operatorową:
( )
0
0
0
2
=
+
−
−
s
l
g
s
s
θ
θ
θ
θ
&
0
0
2
θ
θ
θ
&
+
=
−
s
l
g
s
( )
l
g
l
g
s
l
g
l
g
s
s
s
2
2
0
2
2
0
+
+
+
=
θ
θ
θ
&
( )
t
l
g
g
l
t
l
g
t
sin
cos
0
0
θ
θ
θ
&
+
=
,
skąd pulsacja drgań
l
g
T
f
=
=
=
π
π
ω
2
2
i okres drgań
f
T
1
=
ω
π
2
=
g
l
π
2
=
.
Przyjmując za jednostkę czasu okres drgań, zastępujemy czas t bezwymiarowym cza-
sem
t
T
1
=
τ
.
Teraz
2
2
2
2
2
2
2
2
4
1
τ
θ
π
τ
θ
θ
d
d
l
g
d
d
T
dt
d
=
=
i równanie przyjmuje postać
0
4
1
:
0
4
2
2
2
2
2
2
=
+
=
+
θ
τ
θ
π
θ
τ
θ
π
d
d
l
g
l
g
d
d
l
g
Rozwiązanie tego równania metodą operatorową
( )
2
2
0
2
2
2
0
2
0
0
2
2
0
0
2
2
4
4
4
4
1
4
1
0
4
1
π
θ
π
π
θ
π
θ
θ
θ
π
θ
θ
θ
θ
θ
π
+
+
+
=
+
=
+
=
+
−
−
s
s
s
s
s
s
s
s
&
&
&
( )
πτ
θ
π
πτ
θ
π
τ
θ
2
sin
2
2
cos
4
0
0
2
&
+
=
Zastosowanie bezwymiarowego czasu τ dało wynik uogólniony, ważny dla dowolnej
długości wahadła przy dowolnym przyspieszeniu grawitacyjnym.