1
Modele matematyczne układów elementarnych
1. Wyznaczyć transmitancję operatorową nieobciążonego czwórnika wg poniższego schema-
tu.
( )
?
)
(
)
(
=
=
s
U
s
Y
s
G
Rozwiązanie:
( ) ( )
+
=
Cs
R
s
I
s
U
1
( ) ( )
−
=
Cs
R
s
I
s
Y
1
( )
( )
( )
1
1
1
1
+
−
=
+
−
=
=
RCs
RCs
Cs
R
Cs
R
s
U
s
Y
s
G
( )
1
1
+
−
=
Ts
Ts
s
G
;
T=RC
2. Wyznaczyć transmitancję operatorową nieobciążonego czwórnika wg poniższego
schematu.
2
( )
( )
( )
?
1
2
=
=
s
U
s
U
s
G
( )
( )
−
=
+
=
LsI
IR
s
U
LsI
IR
s
U
2
1
( )
( )
( )
(
)
(
)
I
Ls
R
I
Ls
R
s
U
s
U
s
G
+
−
=
=
1
2
( )
s
R
L
s
R
L
s
G
+
−
=
1
1
Ts
Ts
+
−
=
1
1
, gdzie
R
L
T
=
3. Wyznaczyć transmitancję operatorową nieobciążonego czwórnika wg poniższego schema-
tu.
( )
( )
( )
?
1
2
=
=
s
U
s
U
s
G
( )
( )
( )
(
)
Ls
R
R
R
Ls
R
Ls
R
R
R
Ls
R
Ls
R
R
s
U
s
U
s
G
2
2
1
1
1
2
2
1
1
2
1
2
+
+
+
=
+
+
=
=
( )
Ls
R
Ls
R
R
Ls
R
s
G
+
+
+
=
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
+
+
+
=
R
R
Ls
s
R
L
( ) (
)
1
1
2
1
1
+
+
+
=
s
T
T
s
T
s
G
,
2
2
1
1
;
R
L
T
R
L
T
gdzie
=
=
3
4. Wyznaczyć transmitancję operatorową nieobciążonego czwórnika wg poniższego
schematu.
( )
( )
( )
?
1
2
=
=
s
U
s
U
s
G
( )
( )
( )
(
)
(
)
1
1
1
1
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
+
+
+
=
+
+
=
+
+
=
=
Cs
R
R
R
Cs
R
R
R
Cs
R
R
R
R
Cs
R
Cs
R
R
s
U
s
U
s
G
( )
2
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
R
R
R
Cs
R
Cs
R
R
R
Cs
R
Cs
R
s
G
+
+
+
=
+
+
+
=
( )
(
)
1
1
+
+
=
KTs
Ts
K
s
G
,
2
1
2
1
;
gdzie
R
R
R
K
C
R
T
+
=
=
5. Dany jest nieobciążony nieliniowy czwórnik RC, w którym opór zależy od prądu wg wzoru
podanego na poniższym schemacie.
a)
Napisać równanie wiążące U
2
(t) z U
1
(t)
b)
Zlinearyzować to równanie wokół punk-
tu i=i
0
=0
c)
Wyznaczyć transmitancję od modelu
zlinearyzowanego od U
1
(t) do U
2
(t)
d)
Przeskalować równanie zlinearyzowane
do współczynników równych 1
4
Rozwiązanie
a)
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
t
U
i
R
t
i
t
U
+
=
(1)
( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
( )
=
+
+
⋅
=
dt
t
dU
C
t
i
t
U
t
i
R
t
i
t
U
2
2
2
0
1
1
(2)
(3)
( )
( )
( )
( )
t
U
dt
t
dU
C
R
dt
t
dU
C
R
t
U
1
3
2
3
0
2
0
2
=
+
+
b)
( )
2
0
0
i
R
R
i
R
+
=
(
) ( )
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
R
i
R
i
R
R
RN
i
di
dR
i
R
i
i
R
i
i
=
+
+
≈
+
∆
+
=
∆
+
=
Podstawiając zlinearyzowaną rezystancję do (1) otrzymuje się
( )
( )
( )
t
U
t
i
R
t
U
1
0
2
=
+
Teraz podstawiając za prąd wg (3) otrzymuje się równanie zlinearyzowane
( )
( )
( )
t
U
dt
t
dU
C
R
t
U
1
2
0
2
=
+
c)
Stosując transformację Laplace’a dla zerowych warunków początkowych otrzymuje się
( )
( )
( )
( )
s
T
Cs
R
U
U
s
G
s
U
s
CsU
R
s
U
0
0
1
2
1
2
0
2
1
1
1
1
+
=
+
=
=
=
+
, gdzie
C
R
T
0
0
=
d)
Wprowadźmy zmienne bezwymiarowe
01
1
1
U
U
y
=
,
02
2
2
U
U
y
=
,
t
0
ω
τ
=
,
( )
0
0
0
0
0
02
01
2
02
2
02
0
0
1
01
2
02
0
2
1
1
skąd
,
1
być
musi
wtedy
V,
1
Przyjmijmy
postać
przyjmuje
(4)
Równanie
.
mamy
pochodnej
dla
skąd
T
C
R
C
R
U
U
y
U
d
dy
U
C
R
y
U
d
dy
U
dt
dU
=
=
=
=
=
+
=
=
ω
ω
τ
ω
τ
τ
ω
( )
0
0
02
0
2
02
0
V
1
V
1
1
Mamy więc
.
zależności
z
otrzymamy
gdzie
,
wa
bezwymiaro
zmienna
prądu
Dla
R
C
R
C
U
C
i
d
dy
U
C
j
i
i
i
i
j
t
i
b
b
b
=
=
=
=
=
ω
τ
ω
5
6. Wyznaczyć transmitancję operatorową układu mechanicznego wg poniższego schematu.
m
K
B
P
Q
F(t) -WE
Y(t) -WY
X(t)
( )
( ) ( )
(
)
(
)
=
−
−
=
−
−
−
0
:
0
:
x
B
x
y
k
Q
t
x
t
y
k
y
m
t
f
P
&
&
&
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
−
−
+
=
s
sBX
s
kX
s
kY
s
kX
s
kY
s
Y
ms
s
F
2
( )(
)
( )
s
kY
k
Bs
s
X
=
+
Y
s
k
B
Y
k
Bs
k
X
+
=
+
=
1
1
F
k
Bs
k
k
ms
Y
=
+
−
+
2
2
( )
( )
( )
2
2
2
3
k
k
kBs
mks
mBs
k
Bs
s
F
s
Y
s
G
−
+
+
+
+
=
=
B
k
B
m
T
k
B
T
1
;
;
1
2
1
=
=
=
( )
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
s
T
s
T
T
s
T
k
s
s
B
m
s
k
m
s
k
B
B
s
B
ms
s
k
mB
s
k
B
s
G
6
7. Wyznaczyć transmitancję operatorową układu mechanicznego wg poniższego schematu.
( )
( )
( )
?
=
=
s
F
s
Y
s
G
( )
( )
(
)
(
)
=
−
−
=
−
−
−
0
:
0
:
2
BsY
Y
X
K
Q
Y
X
K
s
X
ms
s
F
P
KY
BsY
KX
+
=
Y
s
K
B
Y
K
K
Bs
X
+
=
+
=
1
( )
s
F
KY
Y
s
K
B
K
Y
s
K
B
ms
=
−
+
+
+
1
1
2
( )
s
F
Y
Bs
ms
K
Bms
=
+
+
2
3
( )
( )
( )
s
s
B
m
s
K
m
B
s
B
ms
s
K
Bm
s
F
s
Y
s
G
+
+
=
+
+
=
=
1
1
1
2
2
7
8. Wyznaczyć transmitancję operatorową układu mechanicznego wg poniższego schematu.
F(t)=U(t)
y(t)
x(t)
k
B1
B2
Rozwiązanie:
( )
(
)
(
)
(
) (
)
Y
X
k
Y
X
s
B
sX
B
X
Y
k
X
Y
s
B
s
F
−
+
−
=
−
−
+
−
=
1
2
1
1
}
(
) (
)
(
)
(
)
k
s
B
Y
X
s
B
k
s
B
X
k
s
B
Y
k
s
B
F
+
=
+
+
+
−
+
=
1
2
1
1
1
}
(
)
(
)
1
1
2
1
2
1
1
+
+
=
+
+
+
=
s
T
s
T
Y
k
s
B
B
k
s
B
Y
X
,
gdzie
k
B
T
1
1
=
,
k
B
B
T
2
1
2
+
=
(
) (
)
Y
s
T
s
T
k
s
B
Y
k
s
B
F
1
1
2
1
1
1
+
+
+
−
+
=
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
+
+
=
+
+
=
+
−
−
+
+
=
+
+
−
+
=
=
s
T
s
s
T
k
G
s
T
s
T
s
k
s
T
s
T
s
T
s
T
k
s
T
s
T
k
s
B
Y
F
G
gdzie
(
)
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
B
k
B
k
B
B
B
k
T
T
k
k
=
=
−
+
=
−
=
)
(
(
)
(
=
s
F
s
Y
s
G
8
9. Przeskalować zlinearyzowane równanie wahadła matematycznego, przyjmując za jednost-
kę czasu okres drgań.
Dane: zlinearyzowane równanie wahadła
( )
( )
0
2
2
=
+
t
l
g
dt
t
d
θ
θ
przy warunkach początkowych
( )
0
0
=
θ
;
( )
0
0
θ
θ
&
&
=
Rozwiązanie równania metodą operatorową:
( )
0
0
0
2
=
+
−
−
s
l
g
s
s
θ
θ
θ
θ
&
0
0
2
θ
θ
θ
&
+
=
−
s
l
g
s
( )
l
g
l
g
s
l
g
l
g
s
s
s
2
2
0
2
2
0
+
+
+
=
θ
θ
θ
&
( )
t
l
g
g
l
t
l
g
t
sin
cos
0
0
θ
θ
θ
&
+
=
,
skąd pulsacja drgań
l
g
T
f
=
=
=
π
π
ω
2
2
i okres drgań
f
T
1
=
ω
π
2
=
g
l
π
2
=
.
Przyjmując za jednostkę czasu okres drgań, zastępujemy czas t bezwymiarowym cza-
sem
t
T
1
=
τ
.
Teraz
2
2
2
2
2
2
2
2
4
1
τ
θ
π
τ
θ
θ
d
d
l
g
d
d
T
dt
d
=
=
i równanie przyjmuje postać
0
4
1
:
0
4
2
2
2
2
2
2
=
+
=
+
θ
τ
θ
π
θ
τ
θ
π
d
d
l
g
l
g
d
d
l
g
Rozwiązanie tego równania metodą operatorową
( )
2
2
0
2
2
2
0
2
0
0
2
2
0
0
2
2
4
4
4
4
1
4
1
0
4
1
π
θ
π
π
θ
π
θ
θ
θ
π
θ
θ
θ
θ
θ
π
+
+
+
=
+
=
+
=
+
−
−
s
s
s
s
s
s
s
s
&
&
&
( )
πτ
θ
π
πτ
θ
π
τ
θ
2
sin
2
2
cos
4
0
0
2
&
+
=
Zastosowanie bezwymiarowego czasu τ dało wynik uogólniony, ważny dla dowolnej
długości wahadła przy dowolnym przyspieszeniu grawitacyjnym.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Listy MAT id 270609 Nieznany
LM SZ 01 2013 mat id 271607 Nieznany
FOLIE MOD IIIa id 179134 Nieznany
MB2 mat pom 1 id 289843 Nieznany
mat PP 2 id 282405 Nieznany
mat bud cwicz 10 11 id 282450 Nieznany
mat elem id 57053 Nieznany
mat prob styczen 2010(1) id 282 Nieznany
mat fiz 2003 12 06 id 282350 Nieznany
mat am 9 id 282446 Nieznany
mat am 4 id 282444 Nieznany
mat fiz 2003 10 11 id 282349 Nieznany
mat bb51 mat bb51 id 282267 Nieznany
mat fiz 2005 10 10 id 282352 Nieznany
mat fiz 2007 12 03 id 282357 Nieznany
Eek Mat Wyk 5 6 2015 id 150708 Nieznany
mat bc7 mat bc7 id 282273 Nieznany
mat bc4 mat bc4 id 282272 Nieznany
mat prob listopad 2013(1) id 28 Nieznany
więcej podobnych podstron