Aproksymacja średniokwadratowa dyskretna
Wprowadzenie
Danych jest (n+1) różnych punktów x0, x1, ... , xn z przedziału *a,b+ oraz wartości pewnej
funkcji y = f(x) w tych punktach

y0 = f(x0) , y1 = f(x1) , .... , yn = f(xn).

W przybliżeniach interpolacyjnych przyjmuje się , że funkcja przybliżająca F w punktach
xi pokrywa się z wartościami funkcji f. Wymóg ten jest często niedogodny, gdy wartości
f określone są empirycznie (np. są wynikami pomiarów). Wtedy wartości te mogą byd
obarczone błędami, i wówczas żądanie, aby szukana funkcja F przyjmowała dokładnie te
wartości nie ma sensu.

Zajmiemy się teraz zagadnieniem bardziej ogólnym, w którym warunek, aby funkcja
przybliżana i funkcja przybliżająca przyjmowały dokładnie te same wartości w punktach
xi , nie musi byd spełniony.

Przyjmujemy, że funkcja przybliżająca F jest określona przez zależnośd

F(x) = F(x; a0, a1, .... , am)

od (m+1) parametrów a0, a1, ... , am , przy czym

Ogólnie , zagadnienie aproksymacji na zbiorze punktów X = {x0, x1, ... , xn } polega na
wyznaczeniu parametrów a0, a1, ... , am tak, aby odległości yi (i = 0,1, ... ,n) od F były
minimalne. Sposób wyznaczania parametrów zależy od tego, jak rozumiemy to kryterium.
Aproksymacja średniokwadratowa dyskretna
Niech = ( 0, 1, , ... , m) będzie układem (m+1) funkcji określonych na przedziale *a,b+.

Będziemy rozważad zadanie aproksymacji liniowej polegające na przybliżaniu funkcji f
kombinacjami liniowymi funkcji j (j = 0, 1, ... , m)

Termin "liniowy" odnosi się do liniowej zależności F od parametrów aj ; nie wymagamy,
aby F zależała liniowo od x.
W aproksymacji średniokwadratowej dyskretnej, lub inaczej w metodzie najmniejszych
kwadratów, współczynniki aj dobieramy tak, aby wyrażenie

zwane odchyleniem średniokwadratowym, miało najmniejszą wartośd.

Funkcję Fm , dla której H osiąga minimum nazywamy m-tą funkcją optymalną (względem
układu na zbiorze X).
Zadanie znajdowania funkcji aproksymacyjnej Fm sprowadza się do znalezienia minimum
funkcji (m+1) zmiennych. Poszukiwane wartości współczynników wyznaczamy z warunków
zerowania się pochodnych cząstkowych

= 0 , k = 0, 1, ... , m

Powyższe równości tworzą układ (m+1) równao liniowych z (m+1) niewiadomymi
a0, a1, ... , am , zwany układem równao normalnych

Ga = b,

gdzie G = [Gi,j] (i,j = 0, 1, ... , m) , a = [a0, a1, ... , am ]T, b = [b0, b1, ... , bm ]T ,

,

(i,j = 0, 1, ... , m).

Macierz G, zwana macierzą Grama, jest macierzą kwadratową stopnia (m+1).
Można zapisad

G = MTM i b = MTy,

gdzie y = [y0, y1, ... , yn ]T i

Uwaga. Macierz G jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy M
jest równy (m+1).

Stąd wynika, że

Twierdzenie. Jeżeli rząd macierzy M jest równy (m+1), to istnieje dokładnie jedna m-ta
funkcja optymalna (w sensie aproksymacji średniokwadratowej dyskretnej).

Błąd średniokwadratowy oblicza się ze wzoru

Gdy m = n i rząd M jest równy (n+1), to n-ta funkcja optymalna jest funkcją interpolującą
funkcji f opartą na węzłach X. Wówczas odchylenie średniokwadratowe H i błąd średnio-
kwadratowy są równe 0. Interpolacja jest jedną z metod aproksymacji - nazywana jest
często aproksymacją interpolacyjną.

Przyjmując m n tracimy własności wygładzania "zakłóconych" wartości yi , jakie ma
aproksymacja średniokwadratowa. W praktyce, najczęściej m jest znacznie mniejsze niż n.
Aproksymacja wielomianowa i trygonometryczna

Funkcje

określają postać funkcji aproksymującej. Rozpatrzymy wielomiany algebraiczne

i funkcje trygonometryczne

Jeżeli funkcje

są wielomianami stopnia j (j = 0, 1, 2 , ... , m), to Fm jest wielomianem stopnia

co najwyżej m. Wtedy funkcję optymalną Fm nazywamy m-tym wielomianem (algebraicznym)
optymalnym.

W przypadku jednomianów

, już dla niedużych m (m>5) układ równao normalnych

jest źle lub bardzo źle uwarunkowany (W13). W przypadku przybliżeo wielomianowych

z wyjątkiem , gdy m jest bardzo małe, nie należy stosowad takiego wyboru funkcji

. Należy

stosowad tzw. wielomiany Grama ; omówienie tych problemów przekracza ramy wykładu.


Uwaga. Przy aproksymacji takimi wielomianami macierz G jest macierzą diagonalną.


W zagadnieniach aproksymacji często spotykamy się z przypadkiem, gdy yi są wartościami
pomiarowymi pewnego zjawiska , o którym wiadomo, że ma przebieg okresowy. Wtedy
do aproksymacji korzystniej jest stosowad wielomiany trygonometryczne, a nie algebraiczne.

Niech

(

).

Rozważamy na odcinku [0,2] aproksymację trygonometryczną postaci

na zbiorze równoodległych punktów

i = 0, 1, .... , n

Na tym zbiorze punktów macierz Grama jest macierzą diagonalną. Ponadto

j = 1, 2, ... ,k
Powiedzmy, że mamy ustalony układ funkcji = ( 0 , 1 , , ... , m , ...) . Liczbę funkcji
przybliżających, czyli wartośd (m+1), ustalamy na podstawie analizy modelu badanego
zjawiska lub wyznaczając kolejne funkcje optymalne Fm (m = 0, 1, 2 , ..... ) i obliczając
kwadrat średniego błędu

gdzie Hm jest odchyleniem średniokwadratowym dla m-tej funkcji optymalnej Fm. Obliczenia

te prowadzimy tak długo, aż

maleje w sposób istotny. Wartośd m, po której

już niemaleje znacznie, wyznacza układ funkcji przybliżających 0, 1, , ... , m .

m

n



Fm x

( )

0

m

j

a

j



j x

( )











H a

0

a

1



....



a

m







0

n

i

y

i

Fm x

i

 







2





0

n

i

y

i

0

m

j

a

j



j x

i

 





























2





a

k

H





2



0

n

i

y

i

0

m

j

a

j



j xi

 































k xi

 

























G

i j



0

n

k



i x

k

 



j x

k

 











b

i

0

n

k



i x

k

 

y

k











M



0 x

0

 



0 x

1

 

.

.



0 x

n

 



1 x

0

 



1 x

1

 

.

.



1 x

n

 

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.



m x

0

 



m x

1

 

.

.



m x

n

 



































1

n

1



0

n

i

y

i

F x

i

 







2









j



j



j x

( )

x

j



j



1 sin x

( )



cos x

( )



sin 2 x



(

)



cos 2 x



(

)



....



sin k x



(

)



cos k x



(

)



(

)

2 k



n



F

2 k



1



x

( )

a

0

1

k

j

a

j

cos j x



(

)



b

j

sin j x



(

)















x

i

2





i



n

1



a

0

1

n

1



0

n

i

y

i







a

j

2

n

1



0

n

i

y

i

cos j x

i



 













b

j

2

n

1



0

n

i

y

i

sin j x

i



 















m

 

2

H

m

n

m





m

 

2



m

 

2