Rozwiązywanie Ax=0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk
17 grudnia 2012
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
1 / 35
Zakres zagadnień
Rozwiązywanie Ax=0
Rozwiązywanie Ux=0 (Ax=0)
Rozwiązania specjalne
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Rozwiązywanie Rx=0 (Ax=0)
Zmienne osiowe
Zadania
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
2 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Celem rozwiązywania równania Ax=0 jest poznanie przestrzeni zerowej
macierzy A oraz znalezienie rzędu macierzy.
Mamy przykładową macierz A:
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
Zauważmy, że druga kolumna jest wielokrotnością pierwszej, więc nie jest
niezależna.
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
3 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Celem rozwiązywania równania Ax=0 jest poznanie przestrzeni zerowej
macierzy A oraz znalezienie rzędu macierzy. Mamy przykładową macierz A:
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
Zauważmy, że druga kolumna jest wielokrotnością pierwszej, więc nie jest
niezależna.
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
3 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Celem rozwiązywania równania Ax=0 jest poznanie przestrzeni zerowej
macierzy A oraz znalezienie rzędu macierzy. Mamy przykładową macierz A:
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
Zauważmy, że druga kolumna jest wielokrotnością pierwszej, więc nie jest
niezależna.
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
3 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Zauważmy też, że pierwszy wiersz dodać drugi daje nam wiersz trzeci.
Więc trzeci wiersz też nie jest niezależny.
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
Przeprowadźmy eliminację Gaussa. Zauważmy, że naszym pierwszym
elementem osiowym jest 1.
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
−→
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
2
4
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
4 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Zauważmy też, że pierwszy wiersz dodać drugi daje nam wiersz trzeci.
Więc trzeci wiersz też nie jest niezależny.
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
Przeprowadźmy eliminację Gaussa. Zauważmy, że naszym pierwszym
elementem osiowym jest 1.
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
−→
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
2
4
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
4 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Patrzymy na tą wytłuszczoną pozycje.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
2
4
Na tej pozycji mamy zero. Mamy też zero poniżej, więc nie możemy
przeprowadzić zamiany wierszy. Dlatego ta kolumna musi być kombinacją
innych kolumn.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
5 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Patrzymy na tą wytłuszczoną pozycje.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
2
4
Na tej pozycji mamy zero. Mamy też zero poniżej, więc nie możemy
przeprowadzić zamiany wierszy. Dlatego ta kolumna musi być kombinacją
innych kolumn.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
5 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Nasz następny element osiowy znajduje się w trzeciej kolumnie.
Przeprowadźmy dalszą eliminację.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
2
4
−→
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
= U
Jest to nasza macierz dolnotrójkątna czyli macierz U. Jest to macierz w
postaci schodkowej.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
6 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Nasz następny element osiowy znajduje się w trzeciej kolumnie.
Przeprowadźmy dalszą eliminację.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
2
4
−→
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
= U
Jest to nasza macierz dolnotrójkątna czyli macierz U. Jest to macierz w
postaci schodkowej.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
6 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Nasz następny element osiowy znajduje się w trzeciej kolumnie.
Przeprowadźmy dalszą eliminację.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
2
4
−→
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
= U
Jest to nasza macierz dolnotrójkątna czyli macierz U. Jest to macierz w
postaci schodkowej.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
6 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Nasz następny element osiowy znajduje się w trzeciej kolumnie.
Przeprowadźmy dalszą eliminację.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
2
4
−→
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
= U
Jest to nasza macierz dolnotrójkątna czyli macierz U. Jest to macierz w
postaci schodkowej.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
6 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Nasz następny element osiowy znajduje się w trzeciej kolumnie.
Przeprowadźmy dalszą eliminację.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
2
4
−→
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
= U
Jest to nasza macierz dolnotrójkątna czyli macierz U. Jest to macierz w
postaci schodkowej.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
6 / 35
Schodkowa postać macierzy
Schodkowa postać macierzy
Macierz schodkowa - macierz, której pierwsze niezerowe
elementy kolejnych niezerowych wierszy, znajdują się w
coraz dalszych kolumnach, a powstałe wiersze zerowe
umieszcza się jako ostatnie. Każda macierz może zostać
przekształcona do postaci schodkowej za pomocą operacji
elementarnych, w szczególności metody Gaussa.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
7 / 35
Schodkowa postać macierzy
Schodkowa postać macierzy
Macierz schodkowa - macierz, której pierwsze niezerowe
elementy kolejnych niezerowych wierszy, znajdują się w
coraz dalszych kolumnach, a powstałe wiersze zerowe
umieszcza się jako ostatnie. Każda macierz może zostać
przekształcona do postaci schodkowej za pomocą operacji
elementarnych, w szczególności metody Gaussa.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
7 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Następną rzeczą którą zauważamy jest to, że w naszej macierzy są 2
elementy osiowe. Mówi nam to, że rząd macierzy jest równy 2.
Jednakże pamiętajmy, że naszym celem było rozwiązanie Ax=0. Po
przeprowadzeniu eliminacji, możemy zabrać się za rozwiązywanie Ux=0.
Mamy tą samą przestrzeń zerową, te same rozwiązania.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
8 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Następną rzeczą którą zauważamy jest to, że w naszej macierzy są 2
elementy osiowe. Mówi nam to, że rząd macierzy jest równy 2.
Jednakże pamiętajmy, że naszym celem było rozwiązanie Ax=0. Po
przeprowadzeniu eliminacji, możemy zabrać się za rozwiązywanie Ux=0.
Mamy tą samą przestrzeń zerową, te same rozwiązania.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
8 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Wykonajmy podstawianie wstecz. W naszej macierzy mamy dwie kolumny
z elementami osiowymi.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
Oraz dwie kolumny swobodne.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
9 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Wykonajmy podstawianie wstecz. W naszej macierzy mamy dwie kolumny
z elementami osiowymi.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
Oraz dwie kolumny swobodne.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
9 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Wykonajmy podstawianie wstecz. W naszej macierzy mamy dwie kolumny
z elementami osiowymi.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
Oraz dwie kolumny swobodne.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
9 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Trzeba przyporządkować dowolne numery kolumnom x
2
i x
4
.
Przyporządkowujemy numer 1 kolumnie drugiej i numer 0 kolumnie
czwartej.
x =
1
0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
10 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Trzeba przyporządkować dowolne numery kolumnom x
2
i x
4
.
Przyporządkowujemy numer 1 kolumnie drugiej i numer 0 kolumnie
czwartej.
x =
1
0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
10 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Zapiszmy równania dla naszej macierzy. Naszym pierwszym rówaniem jest:
x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
+ 2x
4
= 0
Drugie równanie:
2x
3
+ 4x
4
= 0
Teraz możemy znaleźć x
1
i x
3
przez podstawianie wstecz.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
11 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Zapiszmy równania dla naszej macierzy. Naszym pierwszym rówaniem jest:
x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
+ 2x
4
= 0
Drugie równanie:
2x
3
+ 4x
4
= 0
Teraz możemy znaleźć x
1
i x
3
przez podstawianie wstecz.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
11 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Zapiszmy równania dla naszej macierzy. Naszym pierwszym rówaniem jest:
x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
+ 2x
4
= 0
Drugie równanie:
2x
3
+ 4x
4
= 0
Teraz możemy znaleźć x
1
i x
3
przez podstawianie wstecz.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
11 / 35
Rozwiązania specjalne
Wykonajmy podstawianie wstecz.
Otrzymujemy taki wektor:
x =
−2
1
0
0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
12 / 35
Rozwiązania specjalne
Wykonajmy podstawianie wstecz. Otrzymujemy taki wektor:
x =
−2
1
0
0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
12 / 35
Rozwiązania specjalne
Znajdźmy więcej wektorów w przestrzeni zerowej.
Możemy pomnożyć nasz wektor przez jakąkolwiek liczbę. Nie opisuje nam
to jednak całej przestrzeni zerowej.
Wrócmy do przyporządkowywania liczb kolumnom i podstawmy 0 za x
2
oraz 1 za x
4
.
x
1
=
0
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
13 / 35
Rozwiązania specjalne
Znajdźmy więcej wektorów w przestrzeni zerowej.
Możemy pomnożyć nasz wektor przez jakąkolwiek liczbę. Nie opisuje nam
to jednak całej przestrzeni zerowej.
Wrócmy do przyporządkowywania liczb kolumnom i podstawmy 0 za x
2
oraz 1 za x
4
.
x
1
=
0
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
13 / 35
Rozwiązania specjalne
Znajdźmy więcej wektorów w przestrzeni zerowej.
Możemy pomnożyć nasz wektor przez jakąkolwiek liczbę. Nie opisuje nam
to jednak całej przestrzeni zerowej.
Wrócmy do przyporządkowywania liczb kolumnom i podstawmy 0 za x
2
oraz 1 za x
4
.
x
1
=
0
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
13 / 35
Rozwiązania specjalne
Za pomocą równań, których użyliśmy wcześniej możemy obliczyć nowy
wektor:
x =
2
0
−2
1
Te dwa wektory to nasze rozwiązania specjalne.
x
1
=
−2
1
0
0
x
2
=
2
0
−2
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
14 / 35
Rozwiązania specjalne
Za pomocą równań, których użyliśmy wcześniej możemy obliczyć nowy
wektor:
x =
2
0
−2
1
Te dwa wektory to nasze rozwiązania specjalne.
x
1
=
−2
1
0
0
x
2
=
2
0
−2
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
14 / 35
Rozwiązania specjalne
Za pomocą równań, których użyliśmy wcześniej możemy obliczyć nowy
wektor:
x =
2
0
−2
1
Te dwa wektory to nasze rozwiązania specjalne.
x
1
=
−2
1
0
0
x
2
=
2
0
−2
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
14 / 35
Rozwiązania specjalne
Za pomocą równań, których użyliśmy wcześniej możemy obliczyć nowy
wektor:
x =
2
0
−2
1
Te dwa wektory to nasze rozwiązania specjalne.
x
1
=
−2
1
0
0
x
2
=
2
0
−2
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
14 / 35
Rozwiązania specjalne
Teraz dodajemy do siebie wielokrotności naszych specjalnych rozwiązań.
x = c
−2
1
0
0
+ d
2
0
−2
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
15 / 35
Rozwiązania specjalne
Teraz dodajemy do siebie wielokrotności naszych specjalnych rozwiązań.
x
= c
−2
1
0
0
+ d
2
0
−2
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
15 / 35
Rozwiązania specjalne
Teraz dodajemy do siebie wielokrotności naszych specjalnych rozwiązań.
x =
c
−2
1
0
0
+ d
2
0
−2
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
15 / 35
Rozwiązania specjalne
Teraz dodajemy do siebie wielokrotności naszych specjalnych rozwiązań.
x = c
−2
1
0
0
+ d
2
0
−2
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
15 / 35
Rozwiązania specjalne
Teraz dodajemy do siebie wielokrotności naszych specjalnych rozwiązań.
x = c
−2
1
0
0
+
d
2
0
−2
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
15 / 35
Rozwiązania specjalne
Teraz dodajemy do siebie wielokrotności naszych specjalnych rozwiązań.
x = c
−2
1
0
0
+ d
2
0
−2
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
15 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Mamy tyle specjalnych rozwiązań ile zmiennych swobodnych. W macierzy
mxn, gdzie m to liczba wierszy, n liczba kolumn, a r to rząd liczbę
zmiennych swobodnych obliczamy wg wzoru n − r . W naszym przypadku
to 4 − 2 czyli 2. To daje nam możliwość rozwiązywania Ax=0.
Ta macierz jest to macierz górnotrójkątna. Możemy ją zredukować jeszcze
bardziej. Będziemy ją nazywać zredukowaną postacią schodkową.
R=zredukowana wierszowa postać schodkowa macierzy
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
16 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Mamy tyle specjalnych rozwiązań ile zmiennych swobodnych. W macierzy
mxn, gdzie m to liczba wierszy, n liczba kolumn, a r to rząd liczbę
zmiennych swobodnych obliczamy wg wzoru n − r . W naszym przypadku
to 4 − 2 czyli 2. To daje nam możliwość rozwiązywania Ax=0.
Ta macierz jest to macierz górnotrójkątna. Możemy ją zredukować jeszcze
bardziej. Będziemy ją nazywać zredukowaną postacią schodkową.
R=zredukowana wierszowa postać schodkowa macierzy
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
16 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Macierz schodkowa zredukowana to macierz schodkowa, która
spełnia następujące warunki:
jej pierwszym niezerowym elementem kolejnych wierszy
(współczynnikiem wiodącym) jest jedynka
jeśli wyraz a
ij
znajduje się w tej samej kolumnie, co
pewien współczynnik wiodący i w wierszu powyżej tego
współczynnika, to a
ij
= 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
17 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Macierz schodkowa zredukowana to macierz schodkowa, która
spełnia następujące warunki:
jej pierwszym niezerowym elementem kolejnych wierszy
(współczynnikiem wiodącym) jest jedynka
jeśli wyraz a
ij
znajduje się w tej samej kolumnie, co
pewien współczynnik wiodący i w wierszu powyżej tego
współczynnika, to a
ij
= 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
17 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Macierz schodkowa zredukowana to macierz schodkowa, która
spełnia następujące warunki:
jej pierwszym niezerowym elementem kolejnych wierszy
(współczynnikiem wiodącym) jest jedynka
jeśli wyraz a
ij
znajduje się w tej samej kolumnie, co
pewien współczynnik wiodący i w wierszu powyżej tego
współczynnika, to a
ij
= 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
17 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Preprowadźmy dalszą eliminację macierzy, tym razem zredukujmy
wyrażenia powyżej elementów osiowych.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
= R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
18 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Preprowadźmy dalszą eliminację macierzy, tym razem zredukujmy
wyrażenia powyżej elementów osiowych.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
= R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
18 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Preprowadźmy dalszą eliminację macierzy, tym razem zredukujmy
wyrażenia powyżej elementów osiowych.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
= R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
18 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Preprowadźmy dalszą eliminację macierzy, tym razem zredukujmy
wyrażenia powyżej elementów osiowych.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
= R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
18 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Preprowadźmy dalszą eliminację macierzy, tym razem zredukujmy
wyrażenia powyżej elementów osiowych.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
= R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
18 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Preprowadźmy dalszą eliminację macierzy, tym razem zredukujmy
wyrażenia powyżej elementów osiowych.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
=
R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
18 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Preprowadźmy dalszą eliminację macierzy, tym razem zredukujmy
wyrażenia powyżej elementów osiowych.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
= R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
18 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
W naszej macierzy R możemy zauważyć część identycznościową. Są to
kolumny z elementami osiowymi.
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
−→
1
0
0
1
→ I
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
19 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
W naszej macierzy R możemy zauważyć część identycznościową. Są to
kolumny z elementami osiowymi.
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
−→
1
0
0
1
→ I
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
19 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
W naszej macierzy R możemy zauważyć część identycznościową. Są to
kolumny z elementami osiowymi.
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
−→
1
0
0
1
→ I
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
19 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
W naszej macierzy R możemy zauważyć część identycznościową. Są to
kolumny z elementami osiowymi.
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
−→
1
0
0
1
→ I
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
19 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
W naszej macierzy R możemy zauważyć część identycznościową. Są to
kolumny z elementami osiowymi.
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
−→
1
0
0
1
→
I
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
19 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
W naszej macierzy R możemy zauważyć część identycznościową. Są to
kolumny z elementami osiowymi.
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
−→
1
0
0
1
→ I
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
19 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Teraz ponownie wykonajmy podstawianie wsteczne, jednak teraz
wykorzystamy zredukowaną wierszową postać schodkową macierzy.
Rozwiązujemy teraz Rx=0.
x
1
+ 2x
2
− 2x
4
= 0
Drugie równanie:
x
3
+ 2x
4
= 0
Pamiętajmy, że rozwiązania Ax=0, Ux=0 oraz Rx=0 są takie same.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
20 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Teraz ponownie wykonajmy podstawianie wsteczne, jednak teraz
wykorzystamy zredukowaną wierszową postać schodkową macierzy.
Rozwiązujemy teraz Rx=0.
x
1
+ 2x
2
− 2x
4
= 0
Drugie równanie:
x
3
+ 2x
4
= 0
Pamiętajmy, że rozwiązania Ax=0, Ux=0 oraz Rx=0 są takie same.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
20 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Teraz ponownie wykonajmy podstawianie wsteczne, jednak teraz
wykorzystamy zredukowaną wierszową postać schodkową macierzy.
Rozwiązujemy teraz Rx=0.
x
1
+ 2x
2
− 2x
4
= 0
Drugie równanie:
x
3
+ 2x
4
= 0
Pamiętajmy, że rozwiązania Ax=0, Ux=0 oraz Rx=0 są takie same.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
20 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Teraz ponownie wykonajmy podstawianie wsteczne, jednak teraz
wykorzystamy zredukowaną wierszową postać schodkową macierzy.
Rozwiązujemy teraz Rx=0.
x
1
+ 2x
2
− 2x
4
= 0
Drugie równanie:
x
3
+ 2x
4
= 0
Pamiętajmy, że rozwiązania Ax=0, Ux=0 oraz Rx=0 są takie same.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
20 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Teraz ponownie wykonajmy podstawianie wsteczne, jednak teraz
wykorzystamy zredukowaną wierszową postać schodkową macierzy.
Rozwiązujemy teraz Rx=0.
x
1
+ 2x
2
− 2x
4
= 0
Drugie równanie:
x
3
+ 2x
4
= 0
Pamiętajmy, że rozwiązania Ax=0, Ux=0 oraz Rx=0 są takie same.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
20 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Podzielmy naszą zredukowaną macierz na dwie części: identycznościową(I)
oraz swobodną(F).
1
0
0
1
→ I
2
-2
0
2
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
21 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Podzielmy naszą zredukowaną macierz na dwie części: identycznościową(I)
oraz swobodną(F).
1
0
0
1
→ I
2
-2
0
2
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
21 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Podzielmy naszą zredukowaną macierz na dwie części: identycznościową(I)
oraz swobodną(F).
1
0
0
1
→
I
2
-2
0
2
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
21 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Podzielmy naszą zredukowaną macierz na dwie części: identycznościową(I)
oraz swobodną(F).
1
0
0
1
→ I
2
-2
0
2
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
21 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Podzielmy naszą zredukowaną macierz na dwie części: identycznościową(I)
oraz swobodną(F).
1
0
0
1
→ I
2
-2
0
2
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
21 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Podzielmy naszą zredukowaną macierz na dwie części: identycznościową(I)
oraz swobodną(F).
1
0
0
1
→ I
2
-2
0
2
→
F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
21 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Podzielmy naszą zredukowaną macierz na dwie części: identycznościową(I)
oraz swobodną(F).
1
0
0
1
→ I
2
-2
0
2
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
21 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Przypuśćmy że mamy zredukowną wierszową postać schodkową macierzy,
która w pierwszym wierszu posiada część identycznościową oraz swobodna,
a w drugim wierszu zera.
R =
"
I
F
0
0
#
Macierz ta posiada r kolumn z elementami osiowymi,r wierszy z
elementami osiowymi oraz n-r kolumn swobodnych(gdzie r to rząd
macierzy, a n to liczba kolumn).
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
22 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Przypuśćmy że mamy zredukowną wierszową postać schodkową macierzy,
która w pierwszym wierszu posiada część identycznościową oraz swobodna,
a w drugim wierszu zera.
R =
"
I
F
0
0
#
Macierz ta posiada r kolumn z elementami osiowymi,r wierszy z
elementami osiowymi oraz n-r kolumn swobodnych(gdzie r to rząd
macierzy, a n to liczba kolumn).
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
22 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Przypuśćmy że mamy zredukowną wierszową postać schodkową macierzy,
która w pierwszym wierszu posiada część identycznościową oraz swobodna,
a w drugim wierszu zera.
R =
"
I
F
0
0
#
Macierz ta posiada r kolumn z elementami osiowymi,r wierszy z
elementami osiowymi oraz n-r kolumn swobodnych(gdzie r to rząd
macierzy, a n to liczba kolumn).
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
22 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Chcemy rozwiązać Rx=0. Potrzebujemy wszystkich rozwiązań specjalnych,
w tym celu stworzę macierz przestrzeni zerowej, gdzie kolumny są
rozwiązaniami specjalnymi. N będzie naszą macierzą przestrzeni zerowej.
Rozwiążmy równanie RN=0. Jakie N spełni warunek?
N =
"
−F
I
#
To jest macierz rozwiązań specjalnych.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
23 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Chcemy rozwiązać Rx=0. Potrzebujemy wszystkich rozwiązań specjalnych,
w tym celu stworzę macierz przestrzeni zerowej, gdzie kolumny są
rozwiązaniami specjalnymi. N będzie naszą macierzą przestrzeni zerowej.
Rozwiążmy równanie RN=0. Jakie N spełni warunek?
N =
"
−F
I
#
To jest macierz rozwiązań specjalnych.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
23 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Chcemy rozwiązać Rx=0. Potrzebujemy wszystkich rozwiązań specjalnych,
w tym celu stworzę macierz przestrzeni zerowej, gdzie kolumny są
rozwiązaniami specjalnymi. N będzie naszą macierzą przestrzeni zerowej.
Rozwiążmy równanie RN=0. Jakie N spełni warunek?
N =
"
−F
I
#
To jest macierz rozwiązań specjalnych.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
23 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Chcemy rozwiązać Rx=0. Potrzebujemy wszystkich rozwiązań specjalnych,
w tym celu stworzę macierz przestrzeni zerowej, gdzie kolumny są
rozwiązaniami specjalnymi. N będzie naszą macierzą przestrzeni zerowej.
Rozwiążmy równanie RN=0. Jakie N spełni warunek?
N =
"
−F
I
#
To jest macierz rozwiązań specjalnych.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
23 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0
h
I
F
i
"
x
a
x
b
#
= 0
Gdzie x
a
to liczba zmiennych osiowych, a x
b
to liczba zmiennych
swobodnych.
Z tego mnożenia wynika równanie:
x
a
= −Fx
b
Do tego sprowadza się cała operacja podstawiania wstecz, jest to
najprostsza postać równania Rx=0.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
24 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0
h
I
F
i
"
x
a
x
b
#
= 0
Gdzie x
a
to liczba zmiennych osiowych, a x
b
to liczba zmiennych
swobodnych.
Z tego mnożenia wynika równanie:
x
a
= −Fx
b
Do tego sprowadza się cała operacja podstawiania wstecz, jest to
najprostsza postać równania Rx=0.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
24 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0
h
I
F
i
"
x
a
x
b
#
= 0
Gdzie x
a
to liczba zmiennych osiowych, a x
b
to liczba zmiennych
swobodnych.
Z tego mnożenia wynika równanie:
x
a
= −Fx
b
Do tego sprowadza się cała operacja podstawiania wstecz, jest to
najprostsza postać równania Rx=0.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
24 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0
h
I
F
i
"
x
a
x
b
#
= 0
Gdzie x
a
to liczba zmiennych osiowych, a x
b
to liczba zmiennych
swobodnych.
Z tego mnożenia wynika równanie:
x
a
= −Fx
b
Do tego sprowadza się cała operacja podstawiania wstecz, jest to
najprostsza postać równania Rx=0.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
24 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0
h
I
F
i
"
x
a
x
b
#
= 0
Gdzie x
a
to liczba zmiennych osiowych, a x
b
to liczba zmiennych
swobodnych.
Z tego mnożenia wynika równanie:
x
a
= −Fx
b
Do tego sprowadza się cała operacja podstawiania wstecz, jest to
najprostsza postać równania Rx=0.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
24 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0
h
I
F
i
"
x
a
x
b
#
= 0
Gdzie x
a
to liczba zmiennych osiowych, a x
b
to liczba zmiennych
swobodnych.
Z tego mnożenia wynika równanie:
x
a
= −Fx
b
Do tego sprowadza się cała operacja podstawiania wstecz, jest to
najprostsza postać równania Rx=0.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
24 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0
h
I
F
i
"
x
a
x
b
#
= 0
Gdzie x
a
to liczba zmiennych osiowych, a x
b
to liczba zmiennych
swobodnych.
Z tego mnożenia wynika równanie:
x
a
= −Fx
b
Do tego sprowadza się cała operacja podstawiania wstecz, jest to
najprostsza postać równania Rx=0.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
24 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0
h
I
F
i
"
x
a
x
b
#
= 0
Gdzie x
a
to liczba zmiennych osiowych, a x
b
to liczba zmiennych
swobodnych.
Z tego mnożenia wynika równanie:
x
a
= −Fx
b
Do tego sprowadza się cała operacja podstawiania wstecz, jest to
najprostsza postać równania Rx=0.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
24 / 35
Podsumowanie Ax=0
Zróbmy następny przykład. Weźmy transponowaną macierz A.
A =
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
Dwie pierwsze kolumny są niezależne, a trzecia jest zależna ponieważ jest
sumą poprzednich. Dlatego dwie pierwsze kolumny bedą kolumnami
osiowymi.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
25 / 35
Podsumowanie Ax=0
Zróbmy następny przykład. Weźmy transponowaną macierz A.
A
=
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
Dwie pierwsze kolumny są niezależne, a trzecia jest zależna ponieważ jest
sumą poprzednich. Dlatego dwie pierwsze kolumny bedą kolumnami
osiowymi.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
25 / 35
Podsumowanie Ax=0
Zróbmy następny przykład. Weźmy transponowaną macierz A.
A =
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
Dwie pierwsze kolumny są niezależne, a trzecia jest zależna ponieważ jest
sumą poprzednich. Dlatego dwie pierwsze kolumny bedą kolumnami
osiowymi.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
25 / 35
Podsumowanie Ax=0
Zróbmy następny przykład. Weźmy transponowaną macierz A.
A =
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
Dwie pierwsze kolumny są niezależne, a trzecia jest zależna ponieważ jest
sumą poprzednich. Dlatego dwie pierwsze kolumny bedą kolumnami
osiowymi.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
25 / 35
Podsumowanie Ax=0
Zróbmy następny przykład. Weźmy transponowaną macierz A.
A =
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
Dwie pierwsze kolumny są niezależne, a trzecia jest zależna ponieważ jest
sumą poprzednich. Dlatego dwie pierwsze kolumny bedą kolumnami
osiowymi.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
25 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadźmy eliminację tej macierzy.
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
−→
1
2
3
0
0
0
0
2
2
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
= U
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadźmy eliminację tej macierzy.
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
−→
1
2
3
0
0
0
0
2
2
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
= U
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadźmy eliminację tej macierzy.
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
−→
1
2
3
0
0
0
0
2
2
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
= U
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadźmy eliminację tej macierzy.
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
−→
1
2
3
0
0
0
0
2
2
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
= U
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadźmy eliminację tej macierzy.
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
−→
1
2
3
0
0
0
0
2
2
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
= U
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadźmy eliminację tej macierzy.
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
−→
1
2
3
0
0
0
0
2
2
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
= U
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadźmy eliminację tej macierzy.
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
−→
1
2
3
0
0
0
0
2
2
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
= U
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadźmy eliminację tej macierzy.
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
−→
1
2
3
0
0
0
0
2
2
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
= U
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadźmy eliminację tej macierzy.
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
−→
1
2
3
0
0
0
0
2
2
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
=
U
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadźmy eliminację tej macierzy.
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
−→
1
2
3
0
0
0
0
2
2
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
= U
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadźmy eliminację tej macierzy.
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
−→
1
2
3
0
0
0
0
2
2
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
= U
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz szukamy przestrzeni zerowej. Dzięki podstawianiu wstecz stworzymy
wektor, przydzielamy liczbę jeden do naszej zmiennej swobodnej.
x =
1
Zapiszmy teraz nasze równania.
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
= 0
Drugie równanie:
2x
2
+ 2x
3
= 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
27 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz szukamy przestrzeni zerowej. Dzięki podstawianiu wstecz stworzymy
wektor, przydzielamy liczbę jeden do naszej zmiennej swobodnej.
x =
1
Zapiszmy teraz nasze równania.
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
= 0
Drugie równanie:
2x
2
+ 2x
3
= 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
27 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz szukamy przestrzeni zerowej. Dzięki podstawianiu wstecz stworzymy
wektor, przydzielamy liczbę jeden do naszej zmiennej swobodnej.
x =
1
Zapiszmy teraz nasze równania.
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
= 0
Drugie równanie:
2x
2
+ 2x
3
= 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
27 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz szukamy przestrzeni zerowej. Dzięki podstawianiu wstecz stworzymy
wektor, przydzielamy liczbę jeden do naszej zmiennej swobodnej.
x =
1
Zapiszmy teraz nasze równania.
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
= 0
Drugie równanie:
2x
2
+ 2x
3
= 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
27 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz szukamy przestrzeni zerowej. Dzięki podstawianiu wstecz stworzymy
wektor, przydzielamy liczbę jeden do naszej zmiennej swobodnej.
x =
1
Zapiszmy teraz nasze równania.
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
= 0
Drugie równanie:
2x
2
+ 2x
3
= 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
27 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz szukamy przestrzeni zerowej. Dzięki podstawianiu wstecz stworzymy
wektor, przydzielamy liczbę jeden do naszej zmiennej swobodnej.
x =
1
Zapiszmy teraz nasze równania.
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
= 0
Drugie równanie:
2x
2
+ 2x
3
= 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
27 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz szukamy przestrzeni zerowej. Dzięki podstawianiu wstecz stworzymy
wektor, przydzielamy liczbę jeden do naszej zmiennej swobodnej.
x =
1
Zapiszmy teraz nasze równania.
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
= 0
Drugie równanie:
2x
2
+ 2x
3
= 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
27 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy teraz uzupełnić nasz wektor.
x =
−1
−1
1
Naszą przestrzenią zerową będą wielokrotności tego wektora.
x = c
−1
−1
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
28 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy teraz uzupełnić nasz wektor.
x =
−1
−1
1
Naszą przestrzenią zerową będą wielokrotności tego wektora.
x = c
−1
−1
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
28 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy teraz uzupełnić nasz wektor.
x =
−1
−1
1
Naszą przestrzenią zerową będą wielokrotności tego wektora.
x = c
−1
−1
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
28 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy teraz uzupełnić nasz wektor.
x =
−1
−1
1
Naszą przestrzenią zerową będą wielokrotności tego wektora.
x = c
−1
−1
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
28 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy teraz uzupełnić nasz wektor.
x =
−1
−1
1
Naszą przestrzenią zerową będą wielokrotności tego wektora.
x = c
−1
−1
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
28 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz pozostaje nam tylko znaleźć zredukowaną wierszową postać
schodkową R.
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
−→
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
= R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
29 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz pozostaje nam tylko znaleźć zredukowaną wierszową postać
schodkową R.
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
−→
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
= R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
29 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz pozostaje nam tylko znaleźć zredukowaną wierszową postać
schodkową R.
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
−→
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
= R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
29 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz pozostaje nam tylko znaleźć zredukowaną wierszową postać
schodkową R.
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
−→
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
= R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
29 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz pozostaje nam tylko znaleźć zredukowaną wierszową postać
schodkową R.
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
−→
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
=
R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
29 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz pozostaje nam tylko znaleźć zredukowaną wierszową postać
schodkową R.
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
−→
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
= R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
29 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy znowu zauważyć część identycznościową oraz swobodną.
1
0
0
1
→ I
1
1
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
30 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy znowu zauważyć część identycznościową oraz swobodną.
1
0
0
1
→ I
1
1
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
30 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy znowu zauważyć część identycznościową oraz swobodną.
1
0
0
1
→
I
1
1
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
30 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy znowu zauważyć część identycznościową oraz swobodną.
1
0
0
1
→ I
1
1
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
30 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy znowu zauważyć część identycznościową oraz swobodną.
1
0
0
1
→ I
1
1
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
30 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy znowu zauważyć część identycznościową oraz swobodną.
1
0
0
1
→ I
1
1
→
F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
30 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy znowu zauważyć część identycznościową oraz swobodną.
1
0
0
1
→ I
1
1
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
30 / 35
Podsumowanie Ax=0
Podstawianie wstecz pokazało nam taką zależność:
x = c
−1
−1
1
= c
"
−F
I
#
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
31 / 35
Podsumowanie Ax=0
Podstawianie wstecz pokazało nam taką zależność:
x = c
−1
−1
1
= c
"
−F
I
#
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
31 / 35
Podsumowanie Ax=0
Podstawianie wstecz pokazało nam taką zależność:
x
= c
−1
−1
1
= c
"
−F
I
#
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
31 / 35
Podsumowanie Ax=0
Podstawianie wstecz pokazało nam taką zależność:
x =
c
−1
−1
1
= c
"
−F
I
#
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
31 / 35
Podsumowanie Ax=0
Podstawianie wstecz pokazało nam taką zależność:
x = c
−1
−1
1
= c
"
−F
I
#
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
31 / 35
Podsumowanie Ax=0
Podstawianie wstecz pokazało nam taką zależność:
x = c
−1
−1
1
=
c
"
−F
I
#
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
31 / 35
Podsumowanie Ax=0
Podstawianie wstecz pokazało nam taką zależność:
x = c
−1
−1
1
= c
"
−F
I
#
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
31 / 35
Zadania
Zadanie 1:
Znajdź zredukowane wierszowe formy schodkowe macierzy oraz podaj jej
rząd.
A =
1
3
2
2
6
4
2
1
−1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
32 / 35
Zadania
Zadanie 1:
Znajdź zredukowane wierszowe formy schodkowe macierzy oraz podaj jej
rząd.
A =
1
3
2
2
6
4
2
1
−1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
32 / 35
Zadania
Zadanie 2:
Skonstruuj macierz, której przestrzeń zerowa zawiera wszystkie
kombinacje:
a) (2,-1,1,0) (3,1,2,2)
b) (1,2,0,-1) (2,0,2,-1)
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
33 / 35
Zadania
Zadanie 2:
Skonstruuj macierz, której przestrzeń zerowa zawiera wszystkie
kombinacje:
a) (2,-1,1,0) (3,1,2,2)
b) (1,2,0,-1) (2,0,2,-1)
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
33 / 35
Zadania
Zadanie 2:
Skonstruuj macierz, której przestrzeń zerowa zawiera wszystkie
kombinacje:
a) (2,-1,1,0) (3,1,2,2)
b) (1,2,0,-1) (2,0,2,-1)
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
33 / 35
Zadania
Zadanie3:
Wyznacz rząd podanej macierzy.
A =
−1
4
−1
0
2
1
0
5
1
−1 −1
−1
−1
2
1
2
1
−2 −5 −10
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
34 / 35
Zadania
Zadanie3:
Wyznacz rząd podanej macierzy.
A =
−1
4
−1
0
2
1
0
5
1
−1 −1
−1
−1
2
1
2
1
−2 −5 −10
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
34 / 35
Zadania
Zadanie 4:
Znajdź przestrzeń zerową dla podanej macierzy,podaj rozwiązania
specjalne.
A =
1
3
2
2
6
4
2
1
−1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
35 / 35
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
prez UZ 4FD Iseria 06 07
Prez 07 09 45
07 EW ZEW Prez ministerstwa
07 konstruktory destruktory prez
Prez 07 08 00
EŚT 07 Użytkowanie środków transportu
07 Windows
Prez etyka materiały1
07 MOTYWACJAid 6731 ppt
Prez etyka materialy7
Planowanie strategiczne i operac Konferencja AWF 18 X 07
Wyklad 2 TM 07 03 09
ankieta 07 08
więcej podobnych podstron